如何用逆向思维来解决几何问题

吴加国新《课程标准》告诉我们：“培养学生良好的数学思维能力是数学教学要达到的重要目标之一”. 在教学中，教给学生思维方法，让学生展开思维的翅膀，去观察、操作、归纳、分析数学问数学教学的任务是什么题，体验数学问题的探索性和挑战性，感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性，促进学生思维的发展是我们数学教学的重要任务. 教育家赞可夫指出：“在各科教学中要始终注意发展学生的逻辑思维，培养学生思维的灵活性和创造性”. 现代教育观点也认为，数学教学是数学活动的教学，即思维活动的教学.

对于初中数学题，学生普遍认为，代数题能较快找到思路，而几何证明题则感到困难. 虽然教师归纳了种种题型，学生也做了不少题，但对一些较为复杂或有一定难度的题目，学生仍不知从何下手. 怎样解决这一问题呢？

这就是我想说的用逆向思维来思考

在初中数学的教学中，逆向思维经常用到，特别是解决几何题中的证明问题。所谓逆向思维就是引导学生从相对的或者相反的角度进行思考，然后在反过来证明。这样别开生面、独具一格、思考新颖、效果独特，可以获得突破性的、意想不到的效果。

下面以一例加以说明：

如图，已知AB∥CD，B、E、F、C在同一条直线上，且BE=CF，添加一个条件使△ABF≌△DCE并加以证明。

分析推理：要证明△ABF≌△DCE，首先想到利用三角形的判定定理SSS、SAS、ASA、AAS中的某一个，由题意AB∥CD得:∠B＝∠C,已知BE＝CF，可得BF＝CE，△ABF≌△CDE现在已经具备两个条件，还需要具备一个条件。利用SAS证明,还需要添加AB＝CD；利用ASA证明,需要添加∠1＝∠2或AF∥DE；利用AAS证明，需要添加∠A＝∠D，分析基本结束，下面可以证明了。

证明：添加条件∠A＝∠D

∵AB∥CD

∴∠B＝∠C

∵BE＝CF

∴BF＝CE

在△ABF和△DCE中

∠A＝∠D

∠B＝∠C

BF＝CE

△ABF≌△DCE

学生的创新精神和思维能力是在反复多次的训练中培养出来的，只要我们使用恰当有效的方法，持之以恒，坚持不懈的努力奋斗，就一定能促进学生在几何学习中不断提高自己的推理与论证能力，同时大大提高数学教学的效果和质量。

测试逆向思维能力题及提高办法

测试逆向思维能力题及提高办法逆向思维也叫求异思维，它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式。那逆向思维能力训练办法与测试题有哪些呢?以下是学习啦小编为大家收集整理的逆向思维能力训练办法与测试题的全部内容了，仅供参考，欢迎阅读参考!希望能够帮助到您。一、测试逆向思维能力题 1、从你生下来到现在，是睁眼的次数多还是闭眼的次数多? 睁眼次数多→A 闭眼的次数多→B 一样多→C 2、先来个简单的：关羽为什么比张飞死得早因为关羽身体虚弱→A 因为关羽奋战沙场→B 因为红颜薄命→C 3、蟑螂请蜈蚣和壁虎到家中作客，发现没有油了，蜈蚣要去买，却久久未回，究竟发生了什么事? 蜈蚣还在门口穿鞋→A 蜈蚣身上没钱→B 蜈蚣在路上碰到了美女→C 4、是太阳叫公鸡起床，还是公鸡叫太阳起床? 公鸡叫太阳→A 太阳叫公鸡→B 相互勉励，一起床→C 5、三个孩子吃三个饼要用3分钟，九十个孩子九十个饼要用多少时间? 3分钟→A 9分钟→B 30分钟→C

6、一头牛，向北走10米，再向西走10米，再向南走10米，倒退右转，问牛的尾巴朝哪儿? 朝南→A 朝北→B 朝地→C 7 . 有一只公鸡在屋顶上下蛋，你说鸡蛋会从左边掉下还是右边? 从左边掉下来→A 不会掉下来→B 从右边掉下来→C 8 . 小华的爷爷有7个儿子，每一个儿子又各有一个妹妹，请问：小华的爷爷有多少个儿女? 7个→A 8个→B 14个→C 9 . 你爸爸的姑姑的妹妹的爷爷的哥哥的太太太太太爷爷的孙子和你什么关系? 好复杂的关系→ A 亲戚关系→B 没有关系→C 10 . 读完北京大学需要多少时间? 一秒钟→A 4年→B 一辈子→C 十道题的答案：1、C2、C3、A4、A5、A6、C7、B8、B9、B10、A 测试结果：有点无厘头脑筋急转弯有的时候就是有点无厘头，它的答案经常都不用平常的思维来思考的;有的时候你都会觉得最后的答案有些好笑，所以不要太计较最后的结果，关键是你从中学到的东西。

逆向思维

第三节横向思维 1、趣味数学你来解 1＋1＝？（2、王、土、11……） 1＋1＝1 （请说明算式成立的理由） 2、奇趣数学我来算 3＋4＝1 （七天为一周） 10＋14＝1 （24小时为一天） 5＋7＝1(十二个月为一年) 聪明的同学们在解决刚才的数学题时，改变了一般解决数学题思路，突破了问题的结构范围，从不同的角度，不同的层面来找到解决问题的方法，这就是我们要学的“横向思维”。一、定义横向思维是爱德华。德。波诺首先提出的。又叫水平思维。从空间的各个方向上，即从思维对象与周围其他事物之间的相互关系、相互作用中，来考察其本质、特点和运动规律。例如：一个人从外面进来发现他的头发湿了。二、横向思维的类型书190 第四节纵向思维小品导入小品《昨天今天明天》提问：⑴小品中，赵本山和宋丹丹是怎样理解“昨天、今天、明天”

的？他们这样理解对吗？为什么？ ⑵你是如何理解“昨天、今天、明天”的呢？（过去、现在、未来）一、概念将思考对象从纵的发展方向上，依照各个发展阶段进行思考，从而设想、推断出进一步的发展趋向德思维，叫做纵向思维法。针对某一物品，谈谈其发展史，表现科技的进步；（电视、手机、文具盒……）发展史针对某人，谈谈其变化，揭示一个中心；（略讲，动态观察法中讲过）就人们（衣食住行）某一方面来谈生活变化，反映人们生活水平日益提高。设置一个情境引出现在（买家电、买汽车……）借他人之口引出现在（长辈讲述过去的生活）总结变化，谈感受，从而展望未来。《小区的变化》《搬新家啦》《逛街》

《我家的新变化》《饭桌上的故事》《买手机》《手机下岗记》《××发展史》第五节逆向思维例如“司马光砸缸。”有人落水，常规的思维模式是“救人离水”，而司马光面对紧急险情，运用了逆向思维，果断地用石头把缸砸破，“让水离人”，救了小伙伴性命。曾有一篇文章说到：一位中国人移民到了美国，因要打官司就对其律师说：我们是不是找个时间约法官出来坐一坐或者给他送点礼。律师一听，大骇，说千万不可，如果你向法官送礼，你的官司必败无疑。那人说怎么可能。律师说：你给法官送礼不正说明你理亏吗？几天后，律师打电话给他的当事人，说：我们的官司打赢了。那人淡淡地说，我早就知道了。律师奇怪地问，怎么可能呢？我刚从法庭里出来。中国人说，我给法官送了礼。那位律师差点跳了起来，不可能吧！中国人说：的确送了礼，不过我在邮寄单上写的是对方的名字。在这两个故事当中，主人公运用的就是逆向思维。一、定义逆向思维又叫反向思维，是指从常规思维相反的角度、过程出发去思考问题的方式。这种思维的特点是对人们习惯的思维方式持怀疑和反对的态度，善于唱反调。当然从问题的相反面深入地进行探索，树立新思想，创立新形象，可以给人意想不到的收获。二、特点 1．普遍性形式又是多种多样的，有一种对立统一的形式，相应地就有一种逆向思维的角度，所以，逆向思维也有无限多种形式。如性质上对立两极的转换：软与硬、高与低等；结构、位置上的互换、颠倒：上与只要从一个方面想到与之对立的另一方面，都是逆向思维。 2．批判性逆向是与正向比较而言的，正向是指常规的、常识的、公认的或习惯的想法与做法。逆向思维则恰造成的僵化的认识模式。 3．新颖性循规蹈矩的思维和按传统方式解决问题虽然简单，但容易使思路僵化、刻板，摆脱不掉习惯的束缚，得到的往往是一些司空见惯的答案。其实，任何事物都具有多方面属性。由于受过去经验的影响，人们容易看到熟悉的一面，而对另一面却视而不见。逆向思维能克服这一障碍，往往是出人意料，给人以耳目一新的感觉。某时装店的经理不小心将一条高档呢裙烧了一个洞，其身价一落千丈。如果用织补法补救，也只是名为“凤尾裙”。一下子，“凤尾裙”销路顿开，该时装商店也出了名。逆向思维带来了可观的经济效益。

数形结合法解决问题

数形结合法解决问题教学目标： 1．使学生进一步感受和认识转化的策略，能根据一些算式的特点，采用转化策略用简便的方法计算得数；能发现一些计算的规律，并能应用规律简便计算。 2．使学生经历采用转化策略使计算简单的体悟过程，进一步感受转化的思想方法，积累数学活动的基本经验，发展思维的灵活性和敏捷性。 3．使学生在获得策略体验的过程中，感受转化策略的价值，增强策略意识；在应用转化中感受计算规律，产生学习数学的兴趣；受到事物可以互相转化观点的熏陶。教学重点：用转化策略解决相关计算。教学难点：理解算式转化的依据和方法。课前准备：课件。教学过程：一、揭示内容谈话：我们上节课学习了解决问题的策略，认识了转化的策略，知道转化就是把要解决的新问题，变成已经能解决的问题，获得解决问题的相应的思路和方法。今天我们继续学习解决问题转化的策略，主要研究一些计算问题的转化策略，发现一些转化的具体方法，获得一些计算的规律，使一些计算比较简便。二、学习策略

1．了解特点，计算结果。出示例2，让学生观察有没有什么特点。提问：观察算式，你有什么发现吗？说明：这个算式中作加数的分数，后一个加数都是前一个的一半。让学生想办法计算得数，和同学说说怎样计算的。交流：你是怎样计算的？（板书算式和计算过程）先通分实际上用了什么策略？ 2．引导转化。（1）引导：先通分再计算，实际上是把异分母分数加法转化成了同分母分数加法，使算式可以直接计算得数。那这个算式能不能转化成更简单的，使计算变得更方便呢？看看有没有办法。现在先想一想， 1/1什么意思？和其余的分数呢？2/4那能不能根据每个分数的意义，像学习分数加法那样，在图上用涂色的方法来计算表示结果呢？可以怎样表示呢，哪位来说一说？（2）引导：那我们就把正方形看作单位“1”，（呈现图形）大家能在正方形里填上算式里的4个加数吗？请在课本上填一填，然后观察图形，想想可以怎样转化。提问：观察图中分数相加的结果，能想到怎样转化吗？启发：没有涂色的空白部分占大正方形的几分之几？相加的和跟“1\（）”有什么关系？原来的算式可以怎样转化？

2.1从生活中认识几何图形

2017-2018学年上学期七年级数学导学案编号：039编制：杨桂印审核：金瑞镇学科组长签字：主管领导签字：班级姓名组号评价 2.1从生活中认识几何图形一、学习目标 1、能识别一些简单几何体，正确区分平面图形与立体图形。 2、理解构成几何图形的要素。二、重点、难点重点：正确区分平面图形与立体图形；难点：构成几何图形的要素。三、学习流程（一）知识链接下面图形中实物的形状对应哪些立体图形?把相应的实物与图形用线连起来. （二）、自主学习与探究（自学教材P62-P63）探究一：几何图形 1、线段、角、三角形、长方形、圆等它们的各部分都在同一平面内，它们是。 2、长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等它们的，它们是立体图形。 3、小组交流如何对几何图形进行分类。探究二：几何图形要素包围着几何体的是，面与面相交成，线与线相交成；、、几何图形的基本要素。（三）典例分析例1. 把下面几何体的标号写在相应的括号里. (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7) 长方体：｛｝棱柱体：｛｝圆柱体：｛｝球体：｛｝圆锥体：｛｝（四）、当堂巩固 1、下列几种图形：①长方形；②梯形；③正方体；④圆柱；⑤圆锥；其中属于立体图形的是（） A、①②③ B、③④⑤ C、③⑤ D、④⑤ 2、一个圆锥体有_________个面，其中有_________个平面。 3、圆柱体有_______个面，其中有_____个平面，还有一个面，是_________面。 4、这个几何体的名称是_______；它有_______个面组成；它有_______个顶点；经过每个顶点有_______条边。 5、下图为一个三棱柱，用一个平面去截这个三棱柱，截面形状可能为下图中的_____________（填序号） 6、（1）五棱柱共有_______个面，_______条棱，______个顶点，（顶点数）＋（面数）－（棱数）＝__________；（2）一个棱柱共有10个面，那么它有_______条棱，______个顶点，（顶点数）＋（面数）－（棱数）＝__________；（3）一个棱柱共有18条棱，那么它有______个面，______个顶点，（顶点数）＋（面数）－（棱数）＝__________. (8)(9) (10) 4题图

立体几何动点问题

立体几何与平面解析几何的交汇问题在教材中，立体几何与解析几何是互相独立的两章，彼此分离不相联系，实际上，从空间维数看，平面几何是二维的，立体几何是三维的，因此，立体几何是由平面几何升维而产生；另一方面，从立体几何与解析几何的联系看，解析几何中的直线是空间二个平面的交线，圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）是平面截圆锥面所产生的截线；从轨迹的观点看，空间中的曲面（曲线）是空间中动点运动的轨迹，正因为平面几何与立体几何有这么许多千丝万缕的联系，因此，在平面几何与立体几何的交汇点，新知识生长的土壤特别肥沃，创新型题型的生长空间也相当宽广，这一点，在高考卷中已有充分展示，应引起我们在复习中的足够重视。一、动点轨迹问题这类问题往往是先利用题中条件把立几问题转化为平面几何问题，再判断动点轨迹。例1定点A 和B 都在平面α内，定点α?P ，α⊥PB ， C 是α内异于A 和B 的动点，且AC PC ⊥。那么，动点C 在平面α内的轨迹是（） A. 一条线段，但要去掉两个点 B. 一个圆，但要去掉两个点 C. 一个椭圆，但要去掉两个点 D. 半圆，但要去掉两个点例2若三棱锥A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到平面BCD 距离与到棱AB 距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成的图形可能是（））解：设二面角A —BC —D 大小为θ，作PR ⊥面BCD ，R 为垂足，PQ ⊥BC 于Q ，PT ⊥AB 于T ，则∠PQR =θ，且由条件PT=PR=PQ·sinθ，∴ 为小于1的常数，故轨迹图形应选（D ）。二、几何体的截痕

例3：球在平面上的斜射影为椭园：已知一巨型广告汽球直径6米，太阳光线与地面所成角为60°，求此广告汽球在地面上投影椭圆的离心率和面积（椭圆面积公式为S=πab ，其中a,b 为长、短半轴长）。解：由于太阳光线可认定为平行光线，故广告球的投影椭园等价于以广告球直径为直径的圆柱截面椭园：此时 b=R ，a= =2R ，∴离心率，投影面积S=πab=π·k·2R=2πR 2=18π。三、动点与某点（面）的距离问题 , 例4．正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为a ，E 是 1AA 的中点，在对角面D D BB 11上找一动点M ，使AM+ME 最小.a 23．四、常见的轨迹问题（1）轨迹类型识别此类问题最为常见，求解时，关注几何体的特征，灵活选择几何法与代数法. 例5、（北京）平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交 α于点C ，则动点C 的轨迹是( ) A ．一条直线 B.一个圆 C.一个椭圆 D.双曲线的一支【解析】直线l 运动后形成的轨迹刚好为线段AB 的垂面，由公理二易知点C 刚好落在平面α与线段AB 的垂面的交线上，所以动点C 的轨迹是一条直线.选择 A. 总结：空间的轨迹最简单的一直存在形式就是两个平面的交线，处理问题中注意识别即可. 例6、如图，在正方体ABCD A 1 B 1C 1D 1 中，若四边形A 1BCD 1 内一动点P 到AB 1和 BC 的距离相等，则点P 的轨迹为（） … A ．椭圆的一部分 B ．圆的一部分 C ．一条线段 D ．抛物线的一部分 O E 例4题图 A % C D A 1 C 1 D 1 B 1 M - C D B C P O

正向思维与逆向思维-厦门一中

数学思维能力培养系列谈③ 正向思维与逆向思维厦门第一中学郑辉龙姚丽萍一、正向思维与逆向思维正向思维是指按常规习惯去分析问题，按常规进程进行思考、推测，是一种从已知进到未知的逻辑顺序来揭示问题本质的思维方法。正向思维与逆向思维只是相对而言的，逆向思维是指背逆人们的习惯路线行进的思维。听过“1美元”的故事吗？一天，犹太富翁哈德走进纽约花旗银行的贷款部。看到这位气度非凡的绅士，贷款部的经理不敢怠慢，赶紧招呼：“先生，您有什么事情需要我帮忙的吗？”“哦，我想借些钱。”“好啊，你要借多少？”“1美元。”“只需要1美元？”“不错，只借1美元，可以吗？”“当然可以，像您这样的绅士，只要有担保多借点也可以。” “那这些担保可以吗？”犹太人说着，从豪华的皮包里取出一大堆珠宝堆在写字台上。“喏，这是价值50万美元的珠宝，够吗？”“当然，当然！不过，你只要借1美元？”“是的。”犹太人接过了1美元和抵押凭证，就准备离开银行。在旁观看的分行行长十分纳闷，他急忙追上前去，对犹太人说：”先生，请等一下，假如您想借30万、40万美元的话，我们也会考虑的。”读者朋友，您知道哈德先生如何回答的吗？答案见本文结尾。正逆向思维起源于事物的方向性，客观世界存在着互为逆向的事物，由于事物的正反向，才产生思维的正反向，两者是密切相关的。数学知识本身就充满着正反两方面的转换。例如加减、乘除、乘方开方等运算与逆运算；最大值与最小值、函数与反函数、性质定理与判定定理等。两种思维的培养同样重要。事实上，一方面由于正向思维符合人们的常规习惯，显得亲切自然，大众化，因此只要开动脑筋，正向思维即自动成为默认的第一选择，教师的课堂教学及学生的问题思考同样习惯于正向思维，相对而言，逆向思维培养明显弱化。另一方面，事实证明，运用逆向思维，常常会取得意想不到的功效，这说明反向思维是摆脱常规思维羁绊的一种具有创造性的思维方式。因此，本文重点谈谈逆向思维的培养。二、逆向思维培养示例 1.新授课中的培养方式。（1）逆用定义。在概念教学中应让学生明白：所有定义都是“充分且必要”的，也就是说定义都具备“可逆性”，可以正反两用。案例1：解方程12 22=---x x x 的结果是( ）

逆向思维的三个特点_如何培养这样的思维

逆向思维的三个特点_如何培养这样的思维逆向思维是创造性思维中一种重要的思维方式。逆向思维的三个特点有哪些的呢?如何培养逆向思维？本文是小编整理逆向思维的三个特点的资料，仅供参考。逆向思维的三个特点逆向思维逆向思维也叫求异思维，它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式。敢于“反其道而思之”，让思维向对立面的方向发展，从问题的相反面深入地进行探索，树立新思想，创立新形象。当大家都朝着一个固定的思维方向思考问题时，而你却独自朝相反的方向思索，这样的思维方式就叫逆向思维。特点 1.普遍性逆向性思维在各种领域、各种活动中都有适用性，由于对立统一规律是普遍适用的，而对立统一的形式又是多种多样的，有一种对立统一的形式，相应地就有一种逆向逆向思维思维的角度，所以，逆向思维也有无限多种形式。如性质上对立两极的转换：软与硬、高与低等;结构、位置上的互换、颠倒：上与下、左与右等;过程上的逆转：气态变液态或液态变气态、电转为磁或磁转为电等。不论那种方式，只要从一个方面想到与之对立的另一方面，都是逆向思维。 2.批判性逆向是与正向比较而言的，正向是指常规的、常识的、公认的或习惯的想法与做法。逆向思维则恰恰相反，是对传统、惯例、常识的逆向思维反叛，是对常规的挑战。它能够克服思维定势，破除由经验和习惯造成的僵化的认识模式。 3.新颖性循规蹈矩的思维和按传统方式解决问题虽然简单，但容易使思路僵化、刻板，摆脱不掉习惯的束缚，得到的往往是一些司空见惯的答案。其实，任何事物都具有多方面属性。由于受过去经验的影响，人们容易看到熟悉的一面，而对另一面却视而不见。逆向思维能克服这一障碍，往往是出人意料，给人以耳目一新的感觉。

数形结合解决问题

第课时总课时数形结合解决问题【教学内容】：义务教育课程标准实验教科书青岛版小学数学六年级下册116——117页。【教学目标】：在回顾整理的过程中，加深对数形结合思想方法的认识，使学生充分感受数形结合在小学数学学习中的应用。【教学重点】：通过一些数形结合的实例，使学生体会数形结合思想的优越性，并能帮助学生建立思路解决问题。【教学过程】; 一、谈话引入。师：同学们，在我们的数学学习中，除了研究各种数以外，还经常要用到各种各样的图形。利用图形来研究问题，会使问题变得更加简单明了。请同学们回忆所学的知识，你能举一些这样的例子吗？学生思考后举例。二、自主探究。 1、教师出示某电脑公司2008年各种电脑销售情况的具体数据及条形统计图、扇形统计图和某电脑公司2004-2008最畅销的两种电脑销量折线统计图。师：仔细观察这些数据和统计图，你有什么发现？学生各抒己见，发表自己的看法。师引导学生总结：图形描述数据更加直观、有效。条形统计图能清楚看出数量的多少，扇形统计图能清楚看出个部分同总数之间的关系，折线统计图能清楚看出数量增长情况。 2、师：图形不仅在描述数据方面有优越性，在其他方面同样能体现出优势。你还能举例说明数形结合在其他方面的应用吗？（生独立思考）下面请同学们以小组为单位交流自己的想法。交流过程中，要注意倾听他人的想法。集体交流。教师在学生交流的基础上引导学生发现：画图可以帮助我们理解计算方法、图形可以更加形象的反映成正比例关系的两种量的变化情况、在平面内确定物体的位置也利用了数形结合。 3、小结师：通过刚才的交流，我们发现实际上许多问题的解决都利用了数形结合，你能谈一谈自己的体会吗? 三、拓展延伸。师：同学们，我们在解决问题中常常用到的线段图，也是数形结合思想的一个重要应用。例如前面学过的相遇问题、百分数应用题等等。下面我们就做两个题目，体会画线段图解决问题的优越性。 1、育才小学2000年有60台计算机，2006年以达到150台。2006年比2000年增加了百分之几？ 2、有两根蜡烛，一根长8厘米，另一根长6厘米。把两根都燃掉同样长的一部分后，短的一根剩下的长度是长的一根剩下的3/5。每段燃掉多少厘米？（学生独立解答，体会用线段图解决问题的优越性。）集体交流，引导学生陈述自己的解题思路。四、归纳梳理。师：这节课我们主要研究了利用数形结合的方法来解决问题，你能谈谈自己的收获吗？学生谈自己收获，提出尚存疑惑的问题。

《从生活中认识几何图形》教案

《从生活中认识几何图形》教案教学目标 1、从现实世界抽象出图形的过程，在具体情景中，认识圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球，并能用语言表达它们的某些特征. 2、使学生通过观察、分析、交流等过程，培养学生的概括能力，了解观察探究的基本方法，学会解决问题的基本策略和数学中的分类思想. 3、通过了解生活中的立体图形，使学生体验和感受数学与实际生活的联系，培养学生合作意识和审美情趣. 教学重点认识生活中常见的几何体以及常见几何体的识别与分类. 教学难点常见几何体的分类以及用语言描述它们的某些特征. 教学过程一、情境引入. 教师依次展示三张图片(如下图)要求学生从图片中寻找出所熟悉的几何体. 东方明珠电视塔外滩金融街金字塔二、探究新知. 1、学生回答.

(1)在小明的书房中，哪些物体的形状与你在小学学过的几何体(正方体、长方体、圆锥和球)类似？ (2)书房中哪些物品的形状与圆柱、圆锥类似？ (3)请在房中找出与笔筒形状类似的物品？ 2、画一画、想一想、说一说. (1)画一画，请学生用笔画出长方体、正方体、棱柱、棱锥、圆柱、球等. (2)认识棱柱与笔筒形状类似的几何体称为棱柱. 以六棱柱为例认识棱柱的顶点、侧棱、侧面、底面. 棱柱的侧棱、底面、侧面有何特点？棱柱的所有侧棱长都相等.棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形. 棱柱的分类：人们通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形…… 需要说明的是：棱柱又分为直棱柱、斜棱柱.(本书讨论的都是直棱柱.) 直棱柱斜棱柱 (3)说一说棱柱与圆柱的相同点与不同点. (4)根据这些几何体的特征对它们进行分类. 3、再认常见几何体. 下面物体可以近似地看成由一些常见几何体组合而成，你能找出其中常见的几何体吗？你还能举出其他组合几何体的例子吗？

立体几何动态问题专题

立体几何的动态问题立体几何的动态问题，主要有五种：动点问题、翻折问题、旋转问题、投影与截面问题以及轨迹问题。基本类型：点动问题；线动问题；面动问题；体动问题；多动问题等。解题时一般可以通过改变视角、平面化或者寻找变化过程中的不变因素而把问题回归到最本质的定义、定理或现有的结论中，若能再配以沉着冷静的心态去计算，那么相信绝大多数问题可以迎刃而解。动点轨迹问题空间中动点轨迹问题变化并不多，一般此类问题可以从三个角度进行分析处理，一是从曲线定义或函数关系出发给出合理解释；二是平面与平面交线得直线或线段；三是平面和曲面（圆锥，圆柱侧面，球面）交线得圆，圆锥曲线。很少有题目会脱离这三个方向。（注意：阿波罗尼斯圆，圆锥曲线第二定义） 1．（2015·浙江卷8）如图11-10，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB ＝30°，则点P的轨迹是( ) A．直线 B．抛物线C．椭圆 D．双曲线的一支式题如图，平面α的斜线AB交α于B点，且与α所成的角为θ，平面α内有一动点满足∠＝π 6 ，若动点C的轨迹为椭圆，则θ的取值范围为________． 3．（2015春?龙泉驿区校级期中）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，点P在侧面BCC1B1上运动．现有下列命题： ①若点P总保持PA⊥BD1，则动点P的轨迹所在的曲线是直线； ②若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹所在的曲线是圆； ③若P满足∠MAP＝∠MAC1，则动点P的轨迹所在的曲线是椭圆； ④若P到直线BC与直线C1D1的距离比为2：1，则动点P的轨迹所在的曲线是双曲线； ⑤若P到直线AD与直线CC1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是抛物线．其中真命题的个数为（） A．4 B．3 C．2 D．1

如何提高和培养逆向思维能力

如何提高和培养逆向思维能力集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）

如何提高和培养逆向思维能力什么是逆向思维呢？逆向思维是指与一般思维方向相反的思维方式。也称反向思维或求异思维，有人称“倒过来想”。它指人们为达到一定目标，从相反的角度来思考问题，从中引导启发思维的方法；它是人们重要的一种思维方式，是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式。逆向思维具有普遍性、新颖性、批判性、异常性、反向性等特点。逆向思维具有反转型逆向思维法、转换型逆向思维法、缺点逆用思维法等几种类型。那么我们该如何来培养这种能力呢？首先要认清逆向思维的本质，它并不是主张人们在思考时违逆常规，不受限制地胡思乱想，而是训练一种小概率思维模式，即在思维活动中关注小概率可能性的思维。它是发现问题、分析问题和解决问题的重要手段，有助于克服思维定势的局限性，是决策思维的重要方式。在学校的时候，我们常常是先学规则，再接触实例。，再接触实例。比如，我们在学习中学物理的时候，先在课堂上听老师讲牛顿三定律，然后，在到实验室去做实验，看物体没有阻力的时候能够滑下去很远。在这里，实际的例子是来应证事先被灌输的规律。可是我们有时也会遇到这样一种情况，我们接触到了具体的事物但却不知道其中有什么规律。这就需要我们有逆向思维的能力，从现象悟出后面隐藏的规律来。现实生活中有许多这样的例子。相信大家都听说过这样一件事。某时装店的经理不小心将一条高档呢裙烧了一个洞，其身价一落千丈。如

果用织补法补救，也只是蒙混过关，欺骗顾客。这位经理突发奇想，干脆在小洞的周围又挖了许多小洞，并精于修饰，将其命名为“凤尾裙”。一下子，“凤尾裙”销路顿开，该时装商店也出了名。逆向思维带来了可观的经济效益。无跟袜的诞生与“凤尾裙”异曲同工。因为袜跟容易破，一破就毁了一双袜子，商家运用逆向思维，试制成功无跟袜，创造了非常良好的商机。还有一个例子我要跟大家分享一下，这对以后我们工作时有很大的好处。有些公司在招聘时就会问一些注重逆向思维能力的题目。有一个朋友去某公司应聘时，面试主考官给他出了这样一道题：一个系列M、T、W、T、F 、_、_请填出后两个空。她跟我说的时候我都懵了，我问她回答出来了吗。她的回答是肯定的。我问她是怎么想出来的。她告诉我其实我也一定能想出来，她说她当时的反应和我一样，后来她平静了一下自己的紧张的情绪，她就想出来了。我后来也想出来那几个字母就是星期英文的开头。这样一个例子更说明其实逆向思维还是基于很多已经知道的规则。在创造发明的路上，更需要逆向思维，逆向思维可以创造出许多意想不到的人间奇迹。洗衣机的脱水缸，它的转轴是软的，用手轻轻一推，脱水缸就东倒西歪。可是脱水缸在高速旋转时，却非常平稳，脱水效果很好。当初设计时，为了解决脱水缸的颤抖和由此产生的噪声问题，工程技术人员想了许多办法，先加粗转轴，无效，后加硬转轴，仍然无效。最后，他们来了个逆向思维，弃硬就软，用软轴代替了硬轴，成功地解决了颤抖和噪声两大问题。传统的破冰船，都是依靠自身的重量来压碎冰块的，因此它的头部都采用高硬度材料制成，而且设计得十分笨重，

数形结合在小学数学解决问题中的运用

数形结合在小学数学解决问题中的运用许巷中心小学傅玲玲 [摘要]数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，数与形是数学的基本研究对象，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。数形结合是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。它包含“以形助教”、“以数解形”和“数形互译”三个方面。本文将结合小学数学中的教学实例，阐述数形结合思想在解决问题这个方面教学中的运用。 [关键词]数形结合；解决问题；小学数学数学是以现实世界的空间形式和数量关系作为自己特定的研究对象，也就是说，数学是研究“数”与“形”及其相互关系的一门科学。数形结合的思想是数学的重要思想之一。［1］数形结合就是通过数(数量关系)与形(空间形式)的相互转化、互相作用来解决数学问题的一种思想方法。其实质是将抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，使得抽象的数学概念或复杂的数量关系直观化、形象化、简单化。[2] 数形结合是指在数学问题解决过程中，结合问题中各要素间的本质联系，根据实际需要，将数量关系与几何图形相结合，依据数与形的对应关系，通过数与形相互转化的方式使问题得到巧妙解决的一种思想方法。在解决问题中，其策略具体表现为把有关数量关系的问题转化成图形性质的问题进行分析，或者将有关图形性质的问题转化成数量关系的问题加以讨论，最终解决问题。这种思想方法不仅分析问题的代数含义，而且还要揭示其几何意义，把抽象的数学运算和直观的几何图形紧密地联系起来。这种思想方法具备了数的精确性和形的直观性的双重优势，以数精确地分析形，或以形直观地表示数，正如数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”。故而，数形结合是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。它包含“以形助教”、“以数解形”和“数形互译”三个方面。

立体几何中的动点问题

立体几何中的动点问题 1、如图，四棱锥ABCD P -的底面是边长为2的正方形，⊥PA 平面ABCD ，且4=PA ，M 是PB 上的一个动点（不与B P ,重合），过点M 作平面//α平面PAD ，截棱锥所得图形的面积为y ，若平面α与平面PAD 之间的距离为x ，则函数()x f y =的图象是C 2、在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑BCD A -中，⊥AB 平面BCD ，且CD BD ⊥，CD BD AB ==，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若PBD ?的面积为()x f ，则()x f 的图象大致是A

3、如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱1111D C B A ABCD -中，21=AA ，1=AB ，N M ,分别在BC AD ,1上移动，始终保持//MN 平面11D DCC ，设x BN =，y MN =，则函数()x f y =的图象大致是 C 4、如图，已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱1DD 上运动，点N 在正方体的底面ABCD 内运动，则MN 的中点P 的轨迹的面积是________2π 5、点P 在正方体1111D C B A ABCD -的面对角线1BC 上运动，给出下列命题： ①三棱锥PC D A 1-的体积不变； ②//1P A 平面1ACD ； ③1BC DP ⊥； ④平面⊥1PDB 平面1ACD ；其中正确的命题序号是_______①②④

6、在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别为11C B ，11D C 的中点，点P 是底面1111D C B A 内一点，且//AP 平面EFDB ，则1tan APA ∠的最大值是_______22 7、已知直三棱柱111C B A ABC -中的底面为等腰直角三角形，AC AB ⊥，点N M ,分别是边C A AB 11,上动点，若直线//MN 平面11B BCC ，点Q 为线段MN 的中点，则点Q 的轨迹为 C .A 双曲线的一支（一部分） .B 圆弧（一部分） .C 线段（去掉一个端点） .D 抛物线的一部分解：以AB 为轴，AC 为轴，1AA 为轴建系设()b ta M ,0,1，()tb ta M ,0,，()b ta N ,,01，则()()b t ta N -1,,0，()tb ta M ,0,()10<≤t 则N M ,中点?? ? ??2,2,2b ta ta Q (通过作与平面11B BCC 平行的平面交C A AB 11,来找N M ,进而找中点Q )

逆向思维

逆向思维平阴县第二中学张树峰第六周教学目标： 1、知识和能力：了解逆向思维的概念、类型，掌握逆向思维的方法，学会用逆向思维思考问题、分析问题、解决问题，培养创新思维能力。 2、过程和方法：通过学生活动、案例、故事、逆向思维训练等指导学生学会逆向思维。 3、情感态度和价值观：鼓励学生善于用逆向思维的方法解决问题。教学重点：通过学生活动、案例、故事、逆向思维训练等指导学生学会逆向思维。教学难点：如何抓住逆向思维的思考点。教学过程：一、课前笑话一则：某师为生布置了画一幅《春牛吃草图》的绘画作业，一生交了白卷。师大怒，问：这就是你的《春牛吃草图》吗？！答：是。师：草在哪里？答：草让牛吃完了，你当然看不见了。师：那么牛在哪里？答：牛吃完草当然走了，所以你也看不见了…… 二、故事引出逆向思维故事：抗战时期，有一次，敌人把一个村庄包围了，不让村里的任何人出去，派了一个伪军在村子通向外界的唯一通道——一座小桥上把守，正巧村里有一个重要的情报要报告给在村外的八路军领导人，在敌人看守如此严密的情况下，怎样才能把情报顺利、又安全送出去呢？村里的一个小八路，勇敢地担当起这个任务，这个小八路在黄昏时趁着夜色的掩护，悄悄的来到了小桥旁边的芦苇地，躲藏了起来，他认真地观察小桥上发生的一切，他注意到守关卡的敌人打起了瞌睡，凡是由村外的人来，他总是头也不抬就说，回去，回去，村里不让进，如此几次，小八路心里有了主意，于是小八路钻出了芦苇地，悄悄接近并上了小桥，就在敌人抬头发话之前他突然转身向村里的方向走来，并且故意把脚步声弄得挺大，敌人听到后，还是头也不抬的说，回去，回去，村里不让进，结果小八路顺利过关把情报安全的送了出去，为部队打胜仗立下了汗马功劳。老师问：小八路为什么能成功出去？答案：因为他成功地运用了逆向思维。三、展示本课学习任务 1、了解什么是逆向思维； 2、学会如何进行逆向思维； 3、利用逆向思维解决问题。四、逆向思维概念理解 1、Ppt显示概念：逆向思维也称反向思维，是指转换思维视角，用与通常考虑问题的方向相反的思考方法。补充说明：世界上的事物都有正反两个方面，人们也应该从正反两个方面认识事物。但是长期的思维习惯往往使人们只看到其中的一面，使思维的过程和结果越来越雷同，没有新意。利用事物的另一面，逆向思维可以获得意想不到的效果。 2、分析《回去，回去，村里不让进》的反向思考：抓住“回去，回去，村里不让进”的，他把“出去”进行逆向思维，变成了“回去”，成功地过了敌人的关卡。 3、通过案例理解逆向思维概念：英国毛姆在尚未成名之前，他的小说无人问津，在穷得走投无路之下，他用自己最后一点钱，

成功者的12个逆向思维法

成功者的12个逆向思维法人们习惯于沿着事物发展的正方向去思考问题并寻求解决办法。其实，对于某些问题，尤其是一些特殊问题，从结论往回推，倒过来思考，从求解回到已知条件，反过去想或许会使问题简单化，使解决它变得轻而易举，甚至因此而有所发现，创造出惊天动地的奇迹来，这就是逆向思维和它的魅力所在。原谅他人，其实是升华自己。曼德拉曾被关压27年，受尽虐待。他就任总统时，邀请了三名曾虐待过他的看守到场。当曼德拉起身恭敬地向看守致敬时，在场所有人乃至整个世界都静了下来。他说：当我走出囚室，迈过通往自由的监狱大门时，我已经清楚，自己若不能把悲痛与怨恨留在身后，那么我仍在狱中。成功除了勤奋、创新，还有另一个朋友——危机感。 14岁的李嘉诚开始"行街仔"的推销生涯，从此渐入佳境，直至连续15年蝉联华人首富宝座。他这样工作：不论几点睡觉，一定在清晨5点59分闹铃响后起床。随后，他听新闻，打一个半小时高尔夫。他认为重点是打每一球时都保持冷静，有规划。一定在每天六点下班，回家

后，除了拨打越洋电话，还有两件必修功课：跟着有字幕的英语节目大声朗读，以及夜晚的阅读。这两个工作都意味着一点：他最大的恐惧在于错过见证世界的变化。当前后左右都没有路时，命运一定是鼓励你向上飞了。事业初创期，被女友劈腿；成立公司遭遇失败，刘德华被封"烂片之王"；即使这样，他从不放弃对事业的追求，就像一架永不停歇的发动机，今天的刘德华似乎已经成为了一面迎风不倒的精神旗帜。被所有的媒体神化的一个艺人，都说他勤奋、他努力、他不会干坏事、他可以不吃、不眠、不喝，光是呼吸就可以活到五十二岁。抓住人性的弱点，无事不成。有个老人爱清静，可附近常有小孩玩，吵得他要命，于是他把小孩召集过来，说：我这很冷清，谢谢你们让这更热闹，说完每人发三颗糖。孩子们很开心，天天来玩。几天后，每人只给2颗，再后来给1颗，最后就不给了。孩子们生气说：以后再也不来这给你热闹了。老人清静了。为客户节省时间，钱才能进来快些。

复习专题数形结合解决数学问题的重要手段

A B O C x y P 复习专题数形结合—解决数学问题的重要手段一、内容提要： 1、数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性。 2、一般说来，依形想数，可使几何问题代数化.由数想形，可使代数问题几何化.这样数形结合，相辅相成，既有利于开拓解题思路，又有利于发展思维能力. 二、例题分析：例1．如图，图象（折线OEFPMN ）描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系.根据图像所给的信息，下列说法中 ①第3分时汽车的速度是40千米/时； ②从第3分到第6分，汽车的速度是40千米/时； ③从第3分到第6分，汽车行驶了120千米； ④从第9分到第12分，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时；正确的有_______________．（只填序号）例2.如图，直线l 是一次函数y kx b =+的图象,点A 、B 在直线l 上．根据图象回答下列问题：（1）写出方程0=+b kx 的解；（2）写出不等式b kx +＞1的解集； (3)若直线l 上的点P （a,b ）在线段AB 上移动，则a 、b 应如何取值？例3、如图，矩形ABCO ，O 为坐标原点，B 的坐标为（8，6），A 、C 分别在坐标轴上，P 是线段BC 上动点，设PC ＝m ，已知点D 在第一象限，且是两直线y 1＝2x ＋6、y 2＝2x －6中某条上的一点，若△APD 是等腰Rt △，求点D 的坐标例4、..甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地480千米的目的地，乙车比甲车晚出发2小时（从甲车出发时开始计时）．图中折线OABC 、线段DE 分别表示甲、乙两车所行路程y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系对应的图象（线段AB 表示甲出发不足2小时因故停车检修）．请根据图象所提供的信息，解决如下问题： y 与时间x 的函数关系式；（2）求两车在途中第二次相遇时，它们距出发地的路程；（3）乙车出发多长时间，两车在途中第一次相遇？（写出解题过程）三、思维提升： 1.已知关于x 的不等式组 ?? ?---0125＞＞a x x 无解，则a 的取值范围是． A O D P B F C E y （千米） x （小时） 480 6 8 10 2 4.5 速度/（千米/时） /分 60 40 20 3 6 9 12

小学生逆向思维培养的点滴尝试

小学生逆向思维培养的点滴尝试我国古代有这样一个故事，一位母亲有两个儿子，大儿子开染布作坊，小儿子做雨伞生意。每天，这位老母亲都愁眉苦脸，天下雨了怕大儿子染的布没法晒干；天晴了又怕小儿子做的伞没有人买。一位邻居开导她，叫她反过来想：雨天，小儿子的伞生意做得红火；晴天，大儿子染的布很快就能晒干。逆向思维使这位老母亲眉开眼笑，活力再现。在学习过程中学生一般习惯于顺向思维，因此逆向思维能力显得很薄弱。学习一个新概念，新方法，解决一个新问题的过程中不自觉抑制和掩盖了另一个过程，致使顺向思维的惯性一定程度上影响了逆向思维的建立，进而直接影响着学生分析问题、解决问题能力的提高。作为思维的一中形式，逆向思维蕴育着创造思维的萌芽，是人们学习和生活中必备的一种思维，在数学教学中充分认识逆向思维的作用，能完学生的知识结构，开阔思路，还激发学生创造精神，提高学习能力的目的。因此在数学教学中过程中要重视逆向思维能力的培养。那么在数学教育中，如何培养学生的逆向思维能力呢？事实上，数学学科本身提供了大量的素材，为我们培养学生的逆向思维创造了条件。本人体会中学数学中可以从以下三方面训练学生的逆向思维：一、利用数学定义、公式、定理的逆向表达能力,在解题过程中注意逆向思维能力的训练 1．利用定义的可逆性数学中的定义是通过揭示其本质而来的，定义都是充要条件，均为可逆的。所以，其命逆题也是成立的。因此，定义即是某一个数学概念的判定方法，也是这一概念的性质。在教学中应充分利用这一特征，尤为注意定义的逆用解决问题。 2．利用公式的可逆性数学公式本身是双向的，由左至右和由右至左同等重要，但习惯上讲究由左至右或化繁为简的顺序。为了防止学生只能单向运用公式，教师应通过对公式的推导、公式的形成过程与公式的形式进行对比，探索公式能否逆向运用，从而培养学生逆向思维能力和逆用公式，鼓励他们别出心裁地去解决问题，在“活” 字上下工夫。 3 ．利用定理的可逆性每个定理都有它的逆命题，但逆命题不一定成立，引导学生探求定理的逆命题的真假性，不仅使学生学到的知识更为完，激发学生去钻研新知识，而且能培养学生的创造性能力，把定理题设和结论在一定条件下进行转换，而形成有异于原命题基本思想的新题型。但有些学生简单地把定理的题设与结论对调，这样难免会出现语言不准确的错误，例如把定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题说成“两个底角相等的三角形是等腰三角形”就不妥了。教师应及时纠正其错误。此外，有些定理的题设和结论各包含几个事项，任意交换其中的一个题设和一个结论，得到多个逆命题。

顺向思维、逆向思维解决问题

顺向思维、逆向思维解决问题教学目标： 1.能够根据实际情况灵活运用所学的知识解决实际问题。 2.在探索、解决问题过程中，培养学生的顺向思维能力、逆向思维能力。 3.经历观察、操作和交流等学习活动，体验数学学习的乐趣，感受数学知识间的紧密联系。教学重点：根据实际情况灵活运用所学的知识解决实际问题。教学难点：探索逆向思维解决问题的过程。教学准备：PPT 第一层：顺向思维解决问题应用分数的基本性质顺向思维解决问题。出示习题： 1. 4 3的分子乘6，要使分数的大小不变，分母应乘（）。 2.43的分子加上6，要使分数的大小不变，分母应加上（）。（1）独立思考、解决问题。（2）说说你是怎么想的？预设：第2题答案1:6。（对分数的基本性质的错误理解）第2题答案2:12。理由4 3的分子加上6，分子就是9，分子乘3，要使分数的大小不变，分母应该也乘3，是12。分母应加上8。小结：我们直接应用了分数的基本性质解决了问题。第二层：顺向思维、逆向思维解决问题应用分数单位顺向思维、逆向思维解决问题。出示习题： 1. 12 7再加上（）个这样的分数单位是1。 2.74再添上（）个这样的分数单位是最小的质数。（1）独立思考、解决问题。

（2）说说你是怎么想的？预设：第1题答案1:5。 127+125=1或1-127=12 5 第2题答案2:10。 74+710=2或2-710=74 小结：解决此类问题既可以顺向思维又可以反过来想一想。第三层：逆向思维解决问题出示习题：组1： 1.一个分数，用5约分一次，用2约分2次，用3约分1次后，得到的分数是6 5，这个分数是（）。 2.一个分数的分子扩大2倍，分母除以2后是15 3，原来的分数是（）。（1）独立思考、解决问题。（2）说说你是怎么想的？预设：第1题答案1: 360 300，分子5×5×2×2×3=300，分母6×5×2×2×3=360。。第2题答案2:104。先将带分数转化成假分数，分子除以2，分母乘2。小结：解决此类问题我们是由已知的最简分数，推算出原来的分数，需要逆向思维。组2： 1.一个分数，分子比分母少10，约分后等于5 3，这个分数是（）。 2.一个分数，分子比分母小36，约分后是7 3，这个分数是（）。（1）独立思考、解决问题。（2）说说你是怎么想的？预设：