锐角三角函数的易错题汇编含答案
锐角三角函数的易错题汇编含答案
一、选择题
1．如图，在Rt ABC V 中，90C ∠?＝，30B ∠=?，AD 是BAC ∠的角平分线，6AC ＝，则点D 到AB 的距离为( )
A ．3
B ．3
C ．23
D ．33
【答案】C
【解析】
【分析】
如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，根据直角三角形两锐角互余的性质可得∠BAC=60°，由AD 为∠BAC 的角平分线可得∠DAC=30°，根据角平分线的性质可得DE=CD ，利用∠DAC 的正切求出CD 的值即可得答案．
【详解】
∵∠B=30°，∠C=90°，
∴∠BAC=60°，
∵AD 平分∠BAC ，
∴∠DAC=30°，DE=CD ，
∵AC=6，
∴CD=AC·tan ∠DAC=6×33
=23，即DE=23， ∴点D 到AB 的距离为23，
故选：C ．
【点睛】
本题考查解直角三角形及角平分线的性质，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜边；余弦是邻边比斜边；正切是对边比邻边；余切是邻边比对边；角平分线上的点到角两边的距离相等；熟练掌握三角函数的定义是解题关键．
2．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则()2
sin cos θθ-=( )
A ．15
B ．5
C ．35
D ．95
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为55，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．
【详解】
解：∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25，
∴大正方形的边长为55，小正方形的边长为5，
∴55cos 55sin 5θθ-=，
∴5cos sin 5θθ-=
， ∴()21sin cos 5
θθ-=
． 故选：A ．
【点睛】 本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正确得出5cos sin θθ-=．
3．菱形ABCD 的周长为20cm,DE ⊥AB,垂足为E,sinA=35
,则下列结论正确的个数有（ ） ①DE=3cm; ②BE=1cm; ③菱形的面积为15cm 2; ④BD=210cm ．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据菱形的性质及已知对各个选项进行分析，从而得到答案【详解】
∵菱形ABCD的周长为20cm
∴AD=5cm
∵sinA=3 5
∴DE=3cm（①正确）
∴AE=4cm
∵AB=5cm
∴BE=5﹣4=1cm（②正确）
∴菱形的面积=AB×DE=5×3=15cm2（③正确）
∵DE=3cm,BE=1cm
∴BD=10cm（④不正确）
所以正确的有三个．
故选C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质及锐角三角函数的定义，熟练掌握性质是解题的关键
4．如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3，则∠A的正切值等于（）
A．3
5
B．
4
5
C．
3
4
D．
4
3
【答案】C
【解析】
试题分析：如答图，过点O作OD⊥BC，垂足为D，连接OB，OC，∵OB=5，OD=3，∴根据勾股定理得BD=4.
∵∠A=1
2
∠BOC，∴∠A=∠BOD.
∴tanA=tan∠BOD=
4
3 BD
OD
.
故选D．
考点：1.垂径定理；2.圆周角定理；3.勾股定理；4.锐角三角函数定义．
5．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（）
A．2＋3B．23C．3＋3D．33
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
设AC=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，即可得AB=2x，BC=3x，
所以BD=BA=2x，即可得CD=3x+2x=（3+2）x，
在Rt△ACD中，tan∠DAC=
(32)
32 CD x
AC
+
==+，
故选A.
6．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC
V如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则tan CBE
∠的值是（）
A．24
7
B．
7
3
C．
7
24
D．
1
3
【答案】C
【解析】
试题分析：根据题意，BE=AE．设BE=x，则CE=8-x．在Rt△BCE中，x2=（8-x）2+62，
解得x=254，故CE=8-254=74
， ∴tan ∠CBE=
724CE CB =. 故选C.
考点：锐角三角函数.
7．如图，从点A 看一山坡上的电线杆PQ ，观测点P 的仰角是45?，向前走6m 到达B 点， 测得顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是60?和30°，则该电线杆PQ 的高度（ ）
A ．623+
B ．63+
C ．103-
D ．83+
【答案】A
【解析】
【分析】 延长PQ 交直线AB 于点E ，设PE=x 米，在直角△APE 和直角△BPE 中，根据三角函数利用x 表示出AE 和BE ，列出方程求得x 的值，再在直角△BQE 中利用三角函数求得QE 的长，则问题求解．
【详解】
解：延长PQ 交直线AB 于点E ，设PE=x ．
在直角△APE 中，∠A=45°，
AE=PE=x ；
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE 中，BE=
33PE=33
x ， ∵AB=AE-BE=6米，
则x-
3
3
x=6，
解得：x=9+33．则BE=33+3．
在直角△BEQ中，QE=
3
3
BE=
3
3
（33+3）=3+3．
∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23．
答：电线杆PQ的高度是（6+23）米．
故选：A．
【点睛】
本题考查解直角三角形的实际应用，解答关键是根据题意构造直角三角形解决问题. 8．如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与
函数
1
y
x
=-、
2
y
x
=的图象交于B、A两点，则∠OAB大小的变化趋势为（）
A．逐渐变小B．逐渐变大C．时大时小D．保持不变【答案】D
【解析】
【分析】
如图，作辅助线；首先证明△BEO∽△OFA，，得到BE OE
OF AF
=；设B为（a，
1
a
-），A为
（b，2
b
），得到OE=-a，EB=
1
a
-，OF=b，AF=2
b
，进而得到222
a b=，此为解决问题的关
键性结论；运用三角函数的定义证明知tan∠OAB=
2
2
为定值，即可解决问题．
【详解】
解：分别过B和A作BE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F，则△BEO∽△OFA，
∴BE OE OF AF
=，
设点B 为（a ，1a -），A 为（b ，2b ）， 则OE=-a
，EB=1a
-，OF=b ，AF=2b ， 可代入比例式求得222a b =，即22
2a b =， 根据勾股定理可得：OB=22221OE EB a a +=+，OA=2222
4OF AF b b +=+， ∴tan ∠OAB=2222222212244b a OB a b OA b b b b
++==++=222214()24b b b b ++=22 ∴∠OAB 大小是一个定值，因此∠OAB 的大小保持不变.
故选D
【点睛】
该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．
9．在半径为1的O e 中，弦AB 、AC 32，则BAC ∠为（ ）度． A ．75
B ．15或30
C ．75或15
D ．15或45
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意画出草图，因为C 点位置待定，所以分情况讨论求解．
【详解】
利用垂径定理可知：32AE ．
sin∠AOD=
3
2
，∴∠AOD=60°；
sin∠AOE=
2
2
，∴∠AOE=45°；
∴∠BAC=75°．
当两弦共弧的时候就是15°．
故选：C．
【点睛】
此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.
10．将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺的交点，B为光盘与直尺的交点，AB=4，则光盘表示的圆的直径是()
A．4 B．83C．6 D．43
【答案】B
【解析】
【分析】
设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，根据切线长定理可得AB=AC=3，∠OAB=60°，然后根据三角函数，即可得出答案.
【详解】
设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，
由切线长定理知，AB=AC=3，AO平分∠BAC，
∴∠OAB=60°，
在Rt△ABO中，OB=AB tan∠OAB3
∴光盘的直径为3
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.
11．如图，一架飞机在点A 处测得水平地面上一个标志物P 的俯角为α，水平飞行m 千米后到达点B 处，又测得标志物P 的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为( )
A ．cot cot m αβ-千米
B ．cot cot m βα-千米
C ．tan tan m αβ
-千米 D ．tan tan m βα-千米
【答案】A
【解析】
【分析】
根据锐角三角函数的概念进行作答.
【详解】
在P 点做一条直线垂直于直线AB 且交于点O ，由锐角三角函数知，AO=PO cot α，BO=PO cot β，又AB=m=AO-BO= PO cot α- PO cot β=
cot cot m αβ
-. 所以答案选A. 【点睛】
本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键.
12．如图，点O 为△ABC 边 AC 的中点，连接BO 并延长到点D,连接AD 、CD ，若BD=12，AC=8，∠AOD ＝120°，则四边形ABCD 的面积为（ ）
A ．3
B ．2
C 10
D ．243【答案】D
【解析】
【分析】
分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ，通过题意可求出AM 、CN 的长度，可计算三角形ABD 和三角形CBD 的面积，相加即为四边形ABCD 的面积.
【详解】
解：分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ，
∵点O 为△ABC 边 AC 的中点，AC=8，
∴AO=CO=4，
∵∠AOD ＝120°，
∴∠AOB=60°，∠COD=60°， ∴34AM AM sin AOB AO ===∠ 34CN CN sin COD CO ===∠， ∴AM=23CN=3 ∴122312322
ABD BD AM S ?===g △ 122312322
BD CN S ?===g △BCD ， ∴=123123243ABD BCD ABCD S S S +==△△四边形
故选：D.
【点睛】
本题考查了三角函数的内容，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
13．cos60tan45+o o 的值等于( )
A ．32
B ．22
C ．32
D ．1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】 解：原式13122=
+=． 故选A ．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．
14．如图，在菱形ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点C 和点D 为圆心，大于12CD 为半径作弧，两弧交于点M ，N ；②作直线MN ，且MN 恰好经过点A ，与CD 交于点E ，连接BE ，则下列说法错误的是（ ）
A ．60ABC ∠=?
B ．2ABE ADE S S ?=V
C ．若AB=4，则47BE =
D ．21sin 14
CBE ∠= 【答案】C
【解析】
【分析】 由作法得AE 垂直平分CD ，则∠AED=90°，CE=DE ，于是可判断∠DAE=30°，∠D=60°，从而得到∠ABC=60°；利用AB=2DE 得到S △ABE =2S △ADE ；作EH ⊥BC 于H ，如图，若AB=4，则可计算出CH=12
CE=1，EH=3CH=3，利用勾股定理可计算出BE=27 ；利用正弦的定义得sin ∠CBE=
2114EH BE =． 【详解】
解：由作法得AE 垂直平分CD ，
∴∠AED=90°，CE=DE ，
∵四边形ABCD 为菱形，
∴AD=2DE ，
∴∠DAE=30°，∠D=60°，
∴∠ABC=60°，所以A 选项的说法正确；
∵AB=2DE ，
∴S △ABE =2S △ADE ，所以B 选项的说法正确；
作EH ⊥BC 于H ，如图，若AB=4，
在Rt △ECH 中，∵∠ECH=60°，
CH=12CE=1，EH=3CH=3， 在Rt △BEH 中，BE=22(3)527+=，所以C 选项的说法错误；
sin ∠CBE=
32114
27EH BE ==，所以D 选项的说法正确． 故选C ．
【点睛】
本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了菱形的性质和解直角三角形．
15．在一次数学活动中，嘉淇利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD .如图，嘉淇与假山的水平距离BD 为6m ，他的眼睛距地面的高度为1.6m ，嘉淇的视线经过量角器零刻度线OA 和假山的最高点C ，此时，铅垂线OE 经过量角器的60?刻度线，则假山的高度CD 为（ ）
A ．()23 1.6m +
B ．()22 1.6m +
C ．()43 1.6m +
D ．23m
【答案】A
【解析】
【分析】 根据已知得出AK=BD=6m ，再利用tan30°=
6
CK CK AK =，进而得出CD 的长． 【详解】
解：如图，过点A 作AK ⊥CD 于点K
∵BD=6米，李明的眼睛高AB=1.6米，∠AOE=60°，
∴DB=AK ，AB=KD=1.6米，∠CAK=30°，
∴tan30°=6CK CK AK =， 解得：CK=23
即CD=CK+DK=23+1.6=（23+1.6）m ．
故选：A ．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，解答关键是应用锐角三角函数定义.
16．如图，在平面直角坐标系中，AOB ?的顶点B 在第一象限，点A 在y 轴的正半轴上，2AO AB ==，120OAB ∠=o ，将AOB ∠绕点O 逆时针旋转90o ，点B 的对应点'B 的坐标是（ ）
A ．3(2,3)2--
B ．33(2,2)22---
C ．3(3,2)2--
D ．(3,3)-
【答案】D
【解析】
【分析】
过点'B 作x 轴的垂线，垂足为M ，通过条件求出'B M ，MO 的长即可得到'B 的坐标.
【详解】
解：过点'B 作x 轴的垂线，垂足为M ，
∵2AO AB ==，120OAB ∠=?，
∴'''2A O A B ==，''120OA B ∠=?，
∴'0'6M B A ∠=?，
在直角△''A B M 中，3==2
2=B'M B'M 'sin B A M B '''A ∠ ，
1=
=2
2=A'M A'M 'cos B A M B '''A ∠， ∴'3B M =，'1A M =，
∴OM=2+1=3，
∴'B 的坐标为(3,3)-.
故选：D.
【点睛】
本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
17．如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得60BAC ∠=?，70DAC ∠=?，则竹竿AB 与AD 的长度之比为（ ）．
A ．2sin70?
B ．2cos70?
C ．2tan70?
D ．2tan 70?
【答案】B
【解析】
【分析】 直接利用锐角三角函数关系分别表示出AB ，AD 的长，即可得出答案．
【详解】
解：∵∠BAC=60°，∠DAC=70°，
∴cos60°=
12
AC AB =， 则AB=2AC ， ∴cos70°=AC AD
， ∴AC=AD ?cos70°，
AD=cos70AC ?
， ∴2cos70AC AC AB AD
=?
=2cos70°． 故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确表示出各边长是解题关键．
18．如图，基灯塔AB 建在陡峭的山坡上，该山坡的坡度i ＝1：0.75．小明为了测得灯塔的高度，他首先测得BC ＝20m ，然后在C 处水平向前走了34m 到达一建筑物底部E 处，他在该建筑物顶端F 处测得灯塔顶端A 的仰角为43°．若该建筑物EF ＝20m ，则灯塔AB 的高度约为（精确到0.1m ，参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93）（ ）
A ．46.7m
B ．46.8m
C ．53.5m
D ．67.8m
【答案】B
【解析】
【分析】 根据山坡的坡度i ＝1：0.75，可得BD CD ＝43
，设BD ＝4x ，CD ＝3x ，然后利用勾股定理求得BD ＝4x ＝16m ，CD ＝3x ＝12m ；再利用矩形的性质求出FG ＝DE ＝46m ，BG ＝DG ﹣DB ＝4m ，最后利用三角函数解直角三角形即可．
【详解】
解：如图，∵∠ADC ＝90°，i ＝1：0.75，即BD CD ＝43
， ∴设BD ＝4x ，CD ＝3x ，则BC 22(4)(3)x x 5x ＝20m ，
解得：x ＝4，
∴BD ＝4x ＝16m ，CD ＝3x ＝12m ，
易得四边形DEFG 是矩形，
则EF ＝DG ＝20m ，FG ＝DE ＝DC+CE ＝12+34＝46（m ），
∴BG ＝DG ﹣DB ＝4m ，
在Rt △AFG 中，AG ＝FG·
tan ∠AFG ＝46·tan43°≈46×0.93＝42.78（m ）， ∴AB ＝AG+BG ＝42.78+4≈46.8（m ），
故选：B ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用—仰角和俯角问题、坡度坡比问题，灵活运用三角函数是解答本题的关键.．
19．如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥AC于点F，则下列结论中错误的是（）
A．AF＝1
2 CF
B．∠DCF＝∠DFC
C．图中与△AEF相似的三角形共有5个D．tan∠CAD
3
【答案】D
【解析】
【分析】
由AE=1
2
AD=
1
2
BC，又AD∥BC，所以
1
2
AE AF
BC FC
==，故A正确，不符合题意；
过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=1
2
BC，得到
CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B正确，不符合题意；
根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意；
由△BAE∽△ADC，得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求tan∠CAD的值，故D错误，符合题意．
【详解】
解：A、∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴AE
BC
＝
AF
FC
，
∵AE＝1
2
AD＝
1
2
BC，
∴AF
FC
＝
1
2
，故A正确，不符合题意；
B、过D作DM∥BE交AC于N，∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM＝DE＝1
2 BC，
∴BM＝CM，
∴CN＝NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DF＝DC，
∴∠DCF＝∠DFC，故B正确，不符合题意；
C、图中与△AEF相似的三角形有△ACD，△BAF，△CBF，△CAB，△ABE共有5个，故C正确，不符合题意．
D、设AD＝a，AB＝b由△BAE∽△ADC，有b
a
＝
2
a
．
∵tan∠CAD＝CD
AD
＝
b
a
＝
2
，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
20．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为 45°，沿斜坡走下来在地面A处测得标识牌底部D的仰角为 60°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝AE＝10 米．则标识牌CD的高度是( )米．
A．15－3B．20－3C．10－3D．35
【答案】A
【解析】
【分析】
过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，通过解直角三角形可求出BM，AM，CN，DE的长，再结合CD＝CN＋EN?DE即可求出结论．
【详解】
解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示．
在Rt△ABE中，AB＝10米，∠BAM＝30°，
∴AM＝AB?cos30°＝3BM＝AB?sin30°＝5（米）．
在Rt△ACD中，AE＝10（米），∠DAE＝60°，
∴DE＝AE?tan60°＝3
在Rt△BCN中，BN＝AE＋AM＝10＋3CBN＝45°，
∴CN＝BN?t an45°＝10＋3（米），
∴CD＝CN＋EN?DE＝10＋33＝3
故选：A．
【点睛】
本题考查了解直角三角形?仰角俯角问题及解直角三角形?坡度坡脚问题，通过解直角三角形求出BM，AM，CN，DE的长是解题的关键．
培优锐角三角函数辅导专题训练含详细答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°
在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再
中考数学压轴题专题锐角三角函数的经典综合题
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．某地是国家AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ，想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40，从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60，5CB m ＝, 2.7CD m ＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m ．于是，他们很快就算出了AB 的长．你也算算？（结果精确到0.1m ．参考数据：400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈，，.2 1.41,3 1.73≈≈） 【答案】AB 的长约为0.6m ． 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ，根据正弦的定义求出BF ，利用余弦的定义求出CF ，利用正切的定义求出DE ，结合图形计算即可． 【详解】 解：作BF CE ⊥于F ， 在Rt BFC ?中， 3.20BF BC sin BCF ?∠≈＝， 3.85CF BC cos BCF ?∠≈＝， 在Rt ADE ?E 中，3 1.73tan 3 AB DE ADE ===≈∠， 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+＝﹣＝，＝＝﹣＝ 由勾股定理得，22BH AH 0.6(m)AB =+≈， 答：AB 的长约为0.6m ．
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60??,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. （1）求之间的距离 （2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】（1）120米；（223. 【解析】 【分析】 （1）解直角三角形即可得到结论； （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==， '30CE AA ==3Rt △ABC 中，求得33，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】 解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ?=6012 =120（m ） （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ， 则'60A E AC ==， '30 CE AA ==3 在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴33∴3 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC='A E DE 503235
初中数学锐角三角函数的难题汇编及解析
初中数学锐角三角函数的难题汇编及解析 一、选择题 1．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A ＝30°，则sin ∠E 的值为（ ） A ． 12 B ． 2 C ． 3 D ． 3 【答案】A 【解析】 【分析】 首先连接OC ，由CE 是⊙O 切线，可证得OC ⊥CE ，又由圆周角定理，求得∠BOC 的度数，继而求得∠E 的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案． 【详解】 如图，连接OC ， ∵CE 是⊙O 的切线， ∴∠OCE=90°， ∵OA=OC ， ∴∠OCA=∠A=30°， ∴∠COE=∠A+∠OCA=60°， ∴∠E=180°-90°-60°=30°， ∴sinE=sin30°=12 . 故选A. 2．如图，在ABC ?中，AB AC =，MN 是边BC 上一条运动的线段（点M 不与点B 重合，点N 不与点C 重合），且1 2 MN BC = ，MD BC ⊥交AB 于点D ，NE BC ⊥交AC 于点E ，在MN 从左至右的运动过程中，设BM x =，BMD ?的面积减去CNE ?的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）
A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 【分析】 设a ＝1 2BC ，∠B ＝∠C ＝α，求出CN 、DM 、EN 的长度，利用y ＝S △BMD ?S △CNE ，即可求解． 【详解】 解：设a ＝ 1 2 BC ，∠B ＝∠C ＝α，则MN ＝a ， ∴CN ＝BC?MN?BM ＝2a?a?x ＝a?x ，DM ＝BM·tanB ＝x·tanα，EN ＝CN?tanC ＝（a?x ）·tanα， ∴y ＝S △BMD ?S △CNE ＝ 1 2 （BM·DM?CN·EN ）＝()()2 21tan tan 22 2x a x a tan x a ααα????-?=? ? --， ∵ 2 a tan α ?为常数， ∴上述函数图象为一次函数图象的一部分， 故选：A ． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
培优锐角三角函数之欧阳光明创编
锐角三角函数 欧阳光明（2021.03.07） 题型：锐角三角函数基本概念(1) 例：已知α为锐角，下列结论： （1）sin α+cos α=1;（2）若α>45°,则sin α>cos α;（3）若 cos α>21,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。正确的有（）A.(1)(2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3) 变式： 1、下列各式中，不正确的是（） A.160cos 60sin 0202=+ B .130cos 30sin 00=+ C.0055cos 35sin = D.tan45°>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-，那么∠A 的取值范围是（） A.0°<∠A ≤90° B.90°<∠A<180° C.0°≤∠A<90° D.0°≤∠A ≤90° 3．α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 4。若sin53018\=0.8018，则cos36042\= 题型：锐角三角函数基本概念(2) 例：已知 sin α·cos α=81，且45°<α<90°，则COS α-sin α的值为（） A.23B.2 3- C.43D.23± 变式： 1、已知△ABC 中，∠C=90°，下列各式中正确的是（）
A.sinA+cosB=sinC B.sinA+sinB=sinC C.2cos 2sin C B A += D.2tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ，则m,n 的关系式（） A.m=n B.m=2n+1 C.122+=n m D.n m 212 -= 题型：求三角函数值 例：如图，菱形的边长为5，AC 、BD 相交于点O ， AC=6，若a ABD =∠，则下列式子正确的是（） A.sin α=54 B.cos α=53 C.tan α=34 D.cot α=34 变式：1、设0°<α<45°，sin αcos α=167 3,则sin α= 2、已知sin α-cos α=5 1，0°<α<180°，则tan α的值是（ ）43B.43- C.34D.34- 3、如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，E 为AB 上一点，且BE=3AE ，求sin ∠ECM 。 4、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。 （1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。 题型：三角函数值的计算(1) 例：计算：000020246tan 45tan 44tan 42sin 48sin ??-+= 变式：1、计算： 2002020010)60cot 4()60tan 25.0(?= 2、计算：0 000002000027tan 63tan 60cot 360sin 60cot 45cos )45sin 30)(cos 45cos 60(sin -++- 题型：三角函数值的计算(2)
初三锐角三角函数知识点与典型例题
锐角三角函数： 知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义： 在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA= ， ∠A 的余弦可表示为cosA= ∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数 【特别提醒：1、sinA 、∠cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关 2、取值范围
1．已知Rt △ABC 中，,12,43 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?= ∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，?=∠5 3 sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ． 4. 已知A ∠是锐角，17 8 sin =A ，求A cos ，A tan 的值 对应训练： （西城北）3．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为 A ． 55 B ．255 C ．12 D ．2 (房山)5．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 类型二. 利用角度转化求值： 1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点． DE ∶AE ＝1∶2． 求：sin B 、cos B 、tan B ．
深圳市初中数学锐角三角函数的解析含答案
深圳市初中数学锐角三角函数的解析含答案 一、选择题 1．将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺的交点，B为光盘与直尺的交点，AB=4，则光盘表示的圆的直径是() A．4 B．83C．6 D．43 【答案】B 【解析】 【分析】 设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，根据切线长定理可得AB=AC=3，∠OAB=60°，然后根据三角函数，即可得出答案. 【详解】 设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB， 由切线长定理知，AB=AC=3，AO平分∠BAC， ∴∠OAB=60°， 在Rt△ABO中，OB=AB tan∠OAB3 ∴光盘的直径为3 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数. 2．同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角，其作法是：如图： （1）作线段AB，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点C； （2）以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D； （3）连接BD，BC． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）
A．∠ABD＝90°B．CA＝CB＝CD C．sinA＝ 3 2 D．cosD＝ 1 2 【答案】D 【解析】 【分析】 由作法得CA＝CB＝CD＝AB，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，点C是△ABD的外心，根据三角函数的定义计算出∠D＝30°，则∠A＝60°，利用特殊角的三角函数值即可得到结论． 【详解】 由作法得CA＝CB＝CD＝AB，故B正确； ∴点B在以AD为直径的圆上， ∴∠ABD＝90°，故A正确； ∴点C是△ABD的外心， 在Rt△ABC中，sin∠D＝AB AD ＝ 1 2 ， ∴∠D＝30°，∠A＝60°， ∴sinA＝ 3 2 ，故C正确；cosD＝ 3 2 ，故D错误， 故选：D． 【点睛】 本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和解直角三角形． 3．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（） A．23B．3C．33D．3 【答案】A 【解析】
培优锐角三角函数
锐角三角函数 题型：锐角三角函数基本概念(1) 例：已知α为锐角，下列结论： （1）sin α+cos α=1;（2）若α>45°,则sin α>cos α;（3）若cos α> 2 1 ,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。正确的有（ ）A.(1) (2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3) 变式： 1、下列各式中，不正确的是（ ） A.160cos 60sin 0 2 2 =+ B .130cos 30sin 0 =+ C.0 55cos 35sin = °>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-，那么∠A 的取值范围是（ ） °<∠A ≤90° °<∠A<180° °≤∠A<90° °≤∠A ≤90° 3．α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 4。若sin53018\=，则cos36042\= 题型：锐角三角函数基本概念(2) 例：已知sin α·cos α= 8 1 ，且45°<α<90°，则COS α-sin α的值为（ ） A. 23 B.23- C.4 3 D.23± 变式： 1、已知△ABC 中，∠C=90°，下列各式中正确的是（ ） A.sinA+cosB=sinC +sinB=sinC C.2cos 2sin C B A += D.2 tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ，则m,n 的关系式（ ） A.m=n =2n+1 C.122 +=n m D.n m 212 -= 题型：求三角函数值 例：如图，菱形的边长为5，AC 、BD 相交于点O ，AC=6，若a ABD =∠，则 下列式子正确的是（ ） A.sin α= 54 α=53 α=34 α=3 4 变式：1、设0°<α<45°，sin αcos α= 16 7 3,则sin α= 2、已知sin α-cos α= 51，0°<α<180°，则tan α的值是（ ）43 B.43- C.34 D.3 4- 3、如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，E 为AB 上一点，且BE=3AE ，求sin ∠ECM 。
《锐角三角函数》题型分析
《锐角三角函数》题型分析 【经典范例引路】 例1（考察基本的三角函数关系）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝12，BC ＝15。 （1）求AB 的长；（2）求sinA 、cosA 的值；（3）求A A 22cos sin +的值；（4）求tanA ?tanB 的值。 变式：（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，5=a ，2=b ，则sinA ＝ 。 （2）在Rt △ABC 中，∠A ＝900 ，如果BC ＝10，sinB ＝0.6，那么AC ＝ 。 解题关键：熟记锐角三角函数的基本概念及公式： 特别要熟记的内容：当∠A+∠B ＝900时，（1）sinA ＝cosB ＝cos （900-A ）； （2）sin 2A+ sin 2B ＝1或sin 2A+ cos 2A ＝1；cos 2 A+ cos 2B ＝1 （3）tanA ?tanB=1 例2（考察特殊角的计算）计算：020045sin 30cot 60sin +? 解题关键：扎实的实数计算能力是关键，尤其是分数及含有根号的无理数计算化简 例3（考察锐角三角函数值的转换）已知，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，2 5 tan = B ，那么cosA （ ） A 、 25 B 、35 C 、5 5 2 D 、32 变式：已知α为锐角，且5 4 cos = α，则ααtan sin +＝ 。 解题关键：已知任意一个锐角三角函数值都可以转换出其它两个锐角三角函数值 例4（考察锐角三角函数的增减性及二次根式、绝对值的化简问题） 已知009030<<<βα，则αβαβcos 12 3 cos )cos (cos 2-+- --＝ 。 解题关键：（1）理解锐角三角函数的增减性:sinA 和tanA 的值随∠A 的增大而增大，即角度越大，sinA 和tanA 的值就越大，而cosA 的值随∠A 的增大而减小（反之也成立）。 （2）记得公式==a a 2
初中数学锐角三角函数的易错题汇编含答案
初中数学锐角三角函数的易错题汇编含答案 一、选择题 1．如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y=的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（1，1），∠ABC=60°，则k的值是（） A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2 【答案】C 【解析】 分析：根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得k的值． 详解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BA=BC，AC⊥BD， ∵∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵点A（1，1）， ∴OA=， ∴BO=， ∵直线AC的解析式为y=x， ∴直线BD的解析式为y=-x， ∵OB=， ∴点B的坐标为（?，）， ∵点B在反比例函数y=的图象上， ∴， 解得，k=-3， 故选C． 点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 2．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地起飞，垂直上升1000米到
达C 处，在C 处观察B 地的俯角为α，则AB 两地之间的距离约为（ ） A ．1000sin α米 B ．1000tan α米 C ．1000tan α米 D ．1000sin α 米 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=1000米，根据tan AC AB α= ，即可解决问题． 【详解】 解：在Rt ABC ?中，∵90CAB ∠=o ，B α∠=，1000AC =米， ∴tan AC AB α= ， ∴1000tan tan AC AB αα ==米． 故选：C ． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果AC=2，cosA= 23，那么AB 的长是（ ） A ．3 B ．43 C 5 D 13【答案】A 【解析】 根据锐角三角函数的性质，可知cosA= AC AB =23，然后根据AC=2，解方程可求得AB=3. 故选A. 点睛：此题主要考查了解直角三角形，解题关键是明确直角三角形中，余弦值cosA=A ∠的邻边 斜边，然后带入数值即可求解. 4．如图，在ABC ?中，AB AC =，MN 是边BC 上一条运动的线段（点M 不与点B 重
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锐角三角函数 1 ．把 Rt △ABC 各边的长度都扩大 3 倍得 Rt △A′B′C′，那么锐角 A ， A ′的余弦值的关系为（） A ．cosA=cosA ′B． cosA=3cosA ′C． 3cosA=cosA ′ D ．不能确定 2 ．如图 1 ，已知 P 是射线 OB 上的任意一点， PM ⊥ OA 于 M ，且 PM ：OM= 3 ： 4 ，则 cos α的值等于（） A ．3 B． 4 C． 4 D ． 3 4 3 5 5 图 1 图 2 图 3 图 4 图 5 3 ．在△ABC 中，∠C=90 °，∠A ，∠B，∠C 的对边分别是a， b ， c，则下列各项中正确的是（） A ．a=c ·sin B B． a=c ·cosB C．a=c ·tanB D．以上均不正确 4 ．在 Rt △ABC 中，∠C=90 °，cosA= 2 ，则 tanB 等于（）3 A ．3 B． 5 C． 2 5 D ． 5 5 3 5 2 5 ．在 Rt △ABC 中，∠C=90 °，AC=5 ，AB=13 ，则 sinA=______ ， cosA=______ ， ?tanA=_______ ． 6 ．如图 2 ，在△ABC 中，∠C=90 °，BC： AC=1 ： 2 ，则 sinA=_______ ，cosA=______ ， tanB=______ ． 7 ．如图 3 ，在 Rt △ABC 中，∠C=90 °，b=20 ， c=20 2 ，则∠B 的度数为 _______． 8 ．如图 4 ，在△CDE 中，∠E=90 °，DE=6 ， CD=10 ，求∠D 的三个三角函数值． 9 7 ．已知：α是锐角， tan α=，则sinα=_____，cosα=_______． 24 10 ．在 Rt △ABC 中，两边的长分别为 3 和 4 ，求最小角的正弦值为 10 ．如图 5 ，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x 轴上， ?另一边经过点 P（ 2 ，2 3），求角α的三个三角 函数值． 12 ．如图，在△ ABC 中，∠ABC=90 °，BD ⊥ AC 于 D，∠CBD= α，AB=3 ，?BC=4 ，?求 sin α，cos α，tan α的值． 解直角三角形 一、填空题 3 1．已知 cosA=，且∠B=900-∠A，则sinB=__________． 2
求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A ) 513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB tan A 的值为( ) A B C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A = 5 12 ，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A= 5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ABC 中， 90=∠C ，3cosB=2， AC=52 ，则AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长．
第8题图 A D E C B F 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则c o s ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为 3 2 ，2AC =，则s in B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．4 3 2. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =， AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45 3. 如图6，在等腰直角三角形ABC ?中，90C ∠=?，6AC =，D 为AC 上一点，若 1tan 5 DBA ∠ = ，则AD 的长为( ) A ．2 C ．1 D ．4． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧 圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ）A ． 12 B ．2 C ．35 D ．45 5.如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ． 6.（庆阳中考）如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5 A =，则这个菱形的面积= cm 2 ． 7. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A AD = 3 3 16求 ∠B 的度数及边BC 、AB 的长. D A B C
人教版初中数学锐角三角函数的难题汇编及解析
人教版初中数学锐角三角函数的难题汇编及解析 一、选择题 1．如图，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为30海里的A 处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30°方向上的B 处，则此时轮船所在位置B 与灯塔P 之间的距离为( ) A ．60海里 B ．45海里 C ．3 D ．3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP 的长，求出答案． 【详解】 解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°， 故AB=2AP=60（海里）， 则此时轮船所在位置B 处与灯塔P 之间的距离为：22303AB AP -= 故选：D ． 【点睛】 此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键． 2．在半径为1的O e 中，弦AB 、AC 32，则BAC ∠为（ ）度． A ．75 B ．15或30 C ．75或15 D ．15或45 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意画出草图，因为C 点位置待定，所以分情况讨论求解． 【详解】 利用垂径定理可知：32 2 AE = ．
sin∠AOD= 3 2 ，∴∠AOD=60°； sin∠AOE= 2 2 ，∴∠AOE=45°； ∴∠BAC=75°． 当两弦共弧的时候就是15°． 故选：C． 【点睛】 此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形. 3．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（） A．23B．3C．33D．3 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 设AC=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，即可得AB=2x，3， 所以BD=BA=2x，即可得33）x， 在Rt△ACD中，tan∠DAC= (32) 32 CD x AC + ==， 故选A. 4．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC V如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则tan CBE ∠的值是（）
锐角三角函数(培优)
知识要点 1、 锐角三角函数定义？ 斜边的对边αα∠= sin 斜边的邻边αα∠=cos 的邻边的对边 ααα∠∠= t a n 的对边的邻边ααα∠∠=cot 2、 特殊角的三角函数值300 、450 、600 、的记忆规律： 3、 角度变化与锐角三角函数的关系 当锐角α在00∽900 之间变化时，正弦（切）值随着角度的增大而增大；余弦（切）值随着角度的增大而减少。 4、 同角三角函数之间有哪些关系式 平方关系：sin 2A ＋cos 2 A ＝1； 商数关系：sinA/cosA ＝tanA ； 倒数关系：tanA ·tan B ＝1； 5、 互为余角的三角函数有哪些关系式？ Sin （900－A ）＝cosA ； cos （900－A ）＝sin A ； tan （900 －A ）＝ctan A ； 一、选择题 1．在Rt △ABC 中，∠C ＝900 ，∠A ＝∠B ，则sinA 的值是（ ）．A ． 2 1 B ．22 C ．23 D ．1 2．在△ABC 中，∠A ＝105°，∠B ＝45°，tanC 的值是（ ）． A ． 2 1 B ．33 C ．1 D ．3 3．在Rt △ABC 中，如果各边的长度都缩小至原来的 5 1 ，那么锐角A 的各个三角函数值（ ）． A ．都缩小 5 1 B ．都不变 C ．都扩大5倍 D ．仅tan A 不变 4．如图，菱形ABCD 对角线AC ＝6，BD ＝8，∠ABD ＝α．则下列结论正确的是（ ）． A ．sin α＝ 54 B ．cos α＝ 53 C ．tan α＝ 34 D ．tan α＝ 4 3 5．在Rt △ABC 中，斜边AB 是直角边AC 的3倍，下列式子正确的是（ ）． A ．423sin = A B ．3 1 cos =B C ．42tan =A D ．tan 4B = 6．已知ΔABC 中，∠C ＝90?，CD 是AB 边上的高，则CD ：CB 等于（ ）． A ．sinA B ．cosA C ．tanA D ． 1 tan A 7．等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）．A. 513 B. 1213 C.10 13 D.512 8．如图，在△EFG 中，∠EFG ＝90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误．．的是（ ）． A. sin EF G EG = B. sin EH G EF = C. sin GH G FG = D. sin FH G FG = 9．身高相同的三个小朋友甲、乙、丙风筝，他们放出的线长分别为300米、250米、200米，线与地面所成的角为30°、45°、60°（风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（ ）．
锐角三角函数专项复习经典例题
1、平面内，如图17，在□ABCD 中，10AB =，15AD =，4tan 3A =．点P 为AD 边上任意一点，连接PB ，将PB 绕点P 逆时针旋转90?得到线段PQ ． （1）当10DPQ ∠=?时，求APB ∠的大小； （2）当tan :tan 3:2ABP A ∠=时，求点Q 与点B 间的距离（结果保留根号）； （3）若点Q 恰好落在□ABCD 的边所在的直线上，直接写出PB 旋转到PQ 所扫过的面积（结果保留π）． 2、如图所示，我国两艘海监船A ，B 在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C ，此时，B 船在A 船的正南方向5海里处，A 船测得渔船C 在其南偏东45°方向，B 船测得渔船C 在其南偏东53°方向，已知A 船的航速为30海里/小时，B 船的航速为25海里/小时，问C 船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.41） 3、如图，港口B 位于港口A 的南偏东37°方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处，一艘海轮位于港口A 的正南方向，港口B 的正西方向的D 处，它沿正北方向航行5km 到达E 处，测得灯塔C 在北偏东45°方向上，这时，E 处距离港口A 有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） B A P C D Q 备用图17 A B C D P Q
4、如图，两座建筑物的水平距离BC=30m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°，求这两座建筑物的高度． 5、一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在A处测得塔顶的仰角为α，在B处测得塔顶的仰角为β，又测量出A、B两点的距离为s米，则塔高为米． 6、如图，某小区①号楼与?号楼隔河相望，李明家住在①号楼，他很想知道?号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮助李明计算?号楼的高度CD． 7、某学校教学楼（甲楼）的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是31cm，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°． （1）求甲楼的高度及彩旗的长度；（精确到0.01m） （2）若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶G处的仰角为40°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲乙两楼之间的距离．（精确到0.01m） （cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
锐角三角函数的题型及解题技巧
锐角三角函数的题型及解题技巧 锐角三角函数是三角函数的基础，它应用广泛，解题技巧性强，下面归纳 出 锐角三角函数的常见题型，并结合例题介绍一些解题技巧。 、 化简或求值 例1 (1) 已知tan 2cot 1，且 是锐角，求乙tan 2 cot 2 2的值。 (2) 化简 a sin bcos ? acos bsin ?。 分析 （1）由已知可以求出tan 的值，化简?、tan 2 cot 2 2可用 1 tan cot ； （2）先把平方展开，再利用sin 2 cos 2 1化简 解（1）由tan 2cot 1得tan 2 2 tan ，解关于tan 的方程得 tan 2或 tan 1。又是锐角，二 tan 2。二、tan 2 cot 2 2 = 1 2 2 2，「 tan cot 2 = tan cot (2) a sin bcos ? acos bsin 2 -2 ? 2 2 cos b sin cos = a 、已知三角函数值，求角 求C 的度数。 分析 几个非负数的和为0，则这几个数均为0。由此可得cosA 和sin B 的 值，进而求出 代B 的值，然后就可求出 C 的值。 \ tan 2 2tan cot cot 2 = ： (tan cot )2 tan cot 由tan 得cot a 2 sin 2 2ab sin cos b 2 cos 2 + a 2 cos 2 2ab cos sin b 2s in 2 2 2 a sin 2 b 2 tan 说明 在化简或求值问题中，经常用到 cot 1 等。 “ 1” 的代换, 即 sin 2 2 cos J 2 例2在厶ABC 中，若cosA — 2 .3 2 sin B 0 A, B 均为锐角，
新初中数学锐角三角函数的经典测试题及答案
新初中数学锐角三角函数的经典测试题及答案 一、选择题 1．如图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=?，3 tan 4 B =，CD 为AB 边上的中线，CE 平分ACB ∠，则 AE AD 的值（ ） A ． 35 B ． 34 C ． 45 D ． 67 【答案】D 【解析】 【分析】 根据角平分线定理可得AE ：BE ＝AC ：BC ＝3:4，进而求得AE ＝ 3 7 AB ，再由点D 为AB 中点得AD ＝ 12AB ，进而可求得AE AD 的值． 【详解】 解：∵CE 平分ACB ∠， ∴点E 到ACB ∠的两边距离相等， 设点E 到ACB ∠的两边距离位h ， 则S △ACE ＝ 12AC·h ，S △BCE ＝12 BC·h ， ∴S △ACE ：S △BCE ＝ 12AC·h ：1 2 BC·h ＝AC ：BC ， 又∵S △ACE ：S △BCE ＝AE ：BE ， ∴AE ：BE ＝AC ：BC ， ∵在Rt ABC V 中，90ACB ∠=?，3tan 4 B =， ∴A C ：BC ＝3:4， ∴AE ：BE ＝3:4 ∴AE ＝ 3 7 AB ， ∵CD 为AB 边上的中线， ∴AD ＝ 1 2 AB ，
∴ 3 6 717 2 AB AE AD AB ==， 故选：D ． 【点睛】 本题主要考查了角平分线定理的应用及三角函数的应用，通过面积比证得AE ：BE ＝AC ：BC 是解决本题的关键． 2．如图，某地修建高速公路，要从A 地向B 地修一条隧道（点A ，B 在同一水平面上）．为了测量A ，B 两地之间的距离，一架直升飞机从A 地起飞，垂直上升1000米到达C 处，在C 处观察B 地的俯角为α，则AB 两地之间的距离约为（ ） A ．1000sin α米 B ．1000tan α米 C ． 1000 tan α 米 D ． 1000 sin α 米 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=1000米，根据tan AC AB α=，即可解决问题． 【详解】 解：在Rt ABC ?中，∵90CAB ∠=o ，B α∠=，1000AC =米， ∴tan AC AB α=， ∴1000 tan tan AC AB αα = =米． 故选：C ． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．如图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上的点A′处，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，若矩形纸片的宽AB=4，则折痕BM 的长为( )
锐角三角函数的难题汇编附答案
锐角三角函数的难题汇编附答案 一、选择题 1．将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，则CD的长为（） A．43B．12﹣43C．12﹣63D．63 【答案】B 【解析】 【分析】 过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，进而可得出答案． 【详解】 解：过点B作BM⊥FD于点M， 在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122， ∴BC＝AC＝122． ∵AB∥CF， ∴BM＝BC×sin45°＝ 2 12212 ?= CM＝BM＝12， 在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°， ∴∠EDF＝60°， ∴MD＝BM÷tan60°＝43， ∴CD＝CM﹣MD＝12﹣43． 故选B． 【点睛】 本题考查了解直角三角形，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立直角三角形利用所学的三角函数的关系进行解答． 2．如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一
个内角为60°，A 、B 、C 都是格点，则tan ABC ∠=（ ） A ．3 B ．3 C ．3 D ．3 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用菱形的对角线平分每组对角，结合锐角三角函数关系得出EF,的长，进而利用EC tan ABC BE ∠= 得出答案． 【详解】 解:连接DC ，交AB 于点E ． 由题意可得:∠AFC=30°, DC ⊥AF, 设EC=x,则EF=x 3x tan 30? , ∴BF AF 2EF 23x === EC 3tan ABC BE 923x 3x 33= ===+∠, 故选:A 【点睛】 此题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形，正确得出EF 的长是解题关键． 3．如图，某地修建高速公路，要从A 地向B 地修一条隧道（点A ，B 在同一水平面上）．为了测量A ，B 两地之间的距离，一架直升飞机从A 地起飞，垂直上升1000米到达C 处，在C 处观察B 地的俯角为α，则AB 两地之间的距离约为（ ）