断裂力学引论
断裂力学引论
MA02139，剑桥
麻省理工学院
材料科学与工程系
David Roylance
2001年6月14日
引言
1983年，美国国家标准局（现国家科学和技术研究院）和巴特来（Battelle）编年史协会1估计：1982年由断裂引发的事故造成的损失竟高达1190亿美元。经济损失固然惨重，而在许多事故中，为丧生和人身伤害付出的代价更是难以估量。
引起结构失效的原因很多，包括载荷和环境的不确定性；材料本身的缺陷；设计不当；以及施工马虎、缺乏维护等。抗断裂设计有其自己的一套技术，是目前极为活跃的研究领域。本模块将介绍这一领域的重要方面，因为若缺乏断裂方面的知识，则前面所述的应力分析方法几乎没什么用处。我们的重点是单向拉伸时因应力过大而引起的断裂，但要再一次告诫设计师：务需尽可能多地考虑可能引起失效的各种因素，尤其是在可能会危及生命的场合。
“屈服和蠕变的基础——位错”这一模块（模块21）中曾指出：如何通过控制微观结构以抑制位错运动，从而使结构材料（特别是钢）的强度增加、达到一个很高的水平。不幸的是，这也使材料变得越来越脆，以至于在几乎毫无预兆的情况下，裂纹能够形成并灾难性地扩展。一系列不幸的工程事故都与这一现象直接相关，因此，涉及结构设计的工程师们必须清楚地了解目前应用的各种防止脆性断裂的加工工艺。
高强度材料抗断裂设计的主要困难是：裂纹的存在使局部应力有很大的变化，以至于设计师们仔细的弹性应力分析也难以胜任。当裂纹达到某个临界长度时，即使总应力仍远远低于使拉伸试样正常屈服或破坏的应力，裂纹也会在结构中灾难性地扩展。术语“断裂力学”指的是固体力学的一个重要分支，该学科要在假定裂纹存在的条件下，寻求裂纹长度、材料抗裂纹增长的固有阻力、以及能使裂纹高速扩展从而导致结构失效的应力之间的定量关系。
能量平衡法
当格里菲斯(A.A.Griffith)在1920年前开始对玻璃的断裂作开拓性的研究时，便注意到英格里斯(Inglis)为计算椭圆孔周围的应力集中所做的工作2，很自然地想到如何由此研究出一种预测断裂强度的基本方法。但是，英格里斯解遇到了一个数学难点：在裂纹完全尖锐的极限情况下，裂纹尖端处的应力趋于无穷大。显然这是不符合自然法则的（实际上材料通常会有某些局部屈服，这使裂纹的尖端变钝），若用此结果，则预示材料的强度将几乎为零，即使只作用极小的载荷，裂缝尖端附近的应力也将变成无穷大，那里的键都将断裂。格里菲斯并没有直接从裂缝尖端的应力着手，他用的是能量平衡法，这一方法现已成为材料科学最著名的研究成果之一3。
1 R.P. Reed et al., 美国国家标准局特别报告书(NBS Special Publication) 647-1,Wasshington, 1983.
2参见模块16。
3 A.A. Griffith, Philosophical Transactions, Series A, V ol. 221, pp. 163-198, 1920. 在上世纪50年代前，格里菲斯在断裂领域所做的重要工作在很大程度上是未被承认的。可参见J.E. Gordon, 结构和材料学(The Science of Structure and Materials), Scientific American Library,1988, for a personal account of the Griffith story.
在应力作用下，材料单位体积内的应变能为
如果材料是线性的(εσE =)，则单位体积内的应变能为
当固体材料内裂纹的长度增长至a 时，在裂纹自由表面附近的区域将卸载，并释放出应变能。应用英格里斯解，格里菲斯就能算出有多少应变能。
图1 裂纹侧面附近卸载区的理想化
把能量释放形象化的简单方法如图1所示，即认为裂纹侧面附近两个宽为、高为a a β的三角形区域完全卸载，而材料的其余部分仍然受全部应力σ的作用。参数β的选择应使应力与英格里斯解相一致，对于引起平面应力的载荷情况，πβ=。于是，释放的总应变能U 就是单位体积的应变能乘以两个三角形区域的体积：
这里，垂直于x -平面的尺寸取为1，因而U 就是单位厚度的试样释放的应变能。这是由裂纹的扩展而释放的应变能。但在形成裂纹的过程中，必定有键被破坏，所需的键能则被材料有效地吸收了。与（单位厚度的）裂纹长度有关的表面能为：
y a 式中，γ是单位面积的表面能（单位为J ／m 2
），因为故需乘以因子2。形成了两个自由表面，如图2所示，与裂纹有关的总能量是以下两者之和：其一是正的被吸收的能量，用以形成新的表面；其二是由于裂纹侧面附近的区域卸载而释放的负的应变能。
图2 断裂过程的能量平衡
随着裂纹的增长（增大）
，与的平方成正比的应变能最终拥有压倒表面能的优势，当超过临界裂纹长度时，系统将使裂纹变得更长、以降低其能量。在的临界点处，只有增加应力才会使裂纹继续增长。但当大于时，裂纹的扩展将不受约束、而且是灾难性的。
a a a c a c a a =a c a 令总能量的导数为零，可得到临界裂纹长度值：
U S
+
一旦上述条件满足，则快速的断裂即将发生，我们把此时的应力记做f σ。解得，
格里菲斯早期的工作研究的是很脆的材料，特别是玻璃棒。当材料表现出更多的塑性时，仅考虑表面能便难以提供精确的断裂模型。对这一不足之处，后来欧文4（Irwin ）和奥罗万5（Orowan ）各自独立地作了修正——至少作了部分修正。他们提出：在塑性材料中，许多（实际上是绝大多数）被释放的应变能不是被形成的新表面所吸收，而是由于裂纹尖端附近材料的塑性流动而耗散了。他们还指出：当应变能释放的速率足以补偿所有这些能量损耗时，
灾难性的断裂就发生了，用参数来表示这一临界应变能释放率，于是格里菲斯方程可改写成如下形式：
影响断裂过程的有三个重要因素：决定临界应变能释放率的材料、应力水平f σ、裂纹尺寸。上式非常简洁地描述了三者之间的相互关系。在设计时，可在容易发现的最小裂纹的a 4
G .R. Irwin,“断裂动力学（Fracture Dynamics ）”,Fracturing of Metals, American Society for Metals, Clevel,1948. 5 E. Orowan,“固体的断裂和强度（Fracture and Strength of Solids ）”,Report of Progress in Physics, V ol. 12, 1949.
基础上选择值。对于给定的材料，与材料相关的a 值已知，于是可确定应力f σ的安全值。
结构的尺寸应保证工作应力低于临界值、而且有充足的裕量。
例1 以下的故事是悲惨的，但对断裂理论重要性的领悟却引起人们强烈的兴趣。20世纪50年代初，黛哈维兰特(DeHavilland)公司至少有两架彗星号飞机在飞行中解体。不可思议的是，这些事故几乎全被舒特(Nevil Shute) 1948年出版的名为“禁止飞行”的小说所言中。小说后来被改编成电影，影星斯图尔特(James Stewart)在影片中出演一个坚持己见的冶金学家，他确信：公司推出的“驯鹿号”新飞机有金属疲劳的致命倾向。仅在几年后，专家们确定：彗星号飞机上存在几乎完全一样的问题。因而，这本书和这部电影在材料工程界就变得相当著名了。
对彗星号问题的事后研究是工程历史6上涉及面最广的研究之一。它需要打捞散布在海底的几乎整架飞机的残骸，还要在一个巨大的水箱中对具有原尺寸的飞机加上足够大的压力。尽管从中吸取了颇有价值的教训，但一般而言，事故对黛哈维兰特公司和英国的飞机产业的损害是不可估量的。有时甚至出现这样的说法：美国之所以能在商业飞机上长期处于支配地位，至少有部分要归因于那次彗星号的灾祸。
彗星号飞机的机身由复合铝板制成，300≈in-psi 。由机舱相对增压引起的周向应力为20,000 psi ，在此应力作用下，将引起灾难性扩展的裂纹长度为
不难推测：裂纹在增长到这一长度之前，早该在日常检测中被发现了。但在彗星号事件中，裂纹却是从机舱窗口附近的铆钉孔处扩展开来的。当裂纹扩展到窗玻璃时，窗玻璃开裂的尺寸使裂纹的长度显著增加，从而引发了这场灾难。
在现代的飞机制造中考虑了这种失效模式，“开口条”7有望阻止任何裂纹的迅速扩展。但这一补救措施并不总是有效的，例如，在1988年，阿罗哈（Aloha ）航空公司的波音737飞机飞行时，头等舱的顶部就被掀掉了。这架飞机的机身叠合处的许多铆钉上都有应力腐蚀损害8，导致许多小裂纹连接成大裂纹。现在很多人都对寻求防止这类“多点损害”的保护措施十分关注。
临界裂纹长度是一个绝对的数值，它与裂纹所在结构的尺寸无关，认识到这一点十分重要。每次裂纹跳跃式地向前扩展一个小的长度增量a δ时，裂纹附近新的卸载材料就另外释放出新的应变能。再一次应用经我们简化的三角形区域图，该区域的应力为零；而结构的其余部分则继续受到全部应力的作用，从图3容易看出：由于裂纹跳跃式地增长，在位置2处释放的应变能远比位置1处多得多。这就是为什么小的物体往往强度更高的另一个原因：因为物体太小时，容不下一个临界长度的裂纹。
6
T. Bishop, 金属进展 (Metal Progress ), V ol.67, pp. 79-85, May 1955. 7 开口条(tear strips)通常用于罐头或信封的开口处，这里借用这一名称。——译者注
8 应力腐蚀是指在环境介质（腐蚀介质和某些非腐蚀介质）和拉应力共同作用下引起的材料断裂。详见中国大百科全书，力学，P125e 。——译者注
图3 两个不同的裂纹长度在裂纹扩展过程中释放的能量
例2 戈代9(Gorden)讲述了如下的故事：有一天，船上的一位厨师发现其厨房的钢甲板上有一条裂缝。而他的上司却要他确信，没什么可担心的——与庞大的船体相比，裂纹无疑是微不足道的——但每一场狂风暴雨都会使裂纹增长，于是，厨师开始用油漆在甲板上注明日期，以标记裂纹的新长度。随着裂纹的每一次扩展，新的甲板材料被卸载，原先储存在其中的应变能被释放。但是，因为被释放的能量与裂纹长度的平方成正比，最终获得足够的能量，即使总载荷不再增加，也能使裂纹继续扩展。当这一切发生时，船将裂成两块。这听起来使人大吃一惊，但确有不少证据详尽地记录了这样的事故发生过程。在事故发生后，带有裂纹扩展标记的船体残块被打捞上来，缓慢的裂纹扩展如何导致最终灾难性的断裂，残块便是最好的证明实例之一。
柔度法
有许多种方法可用来测量材料特性。其中一种称为柔度法，该法用到了柔度是变形量与作用的载荷之比的概念：P C δ=。总应变能U 可用柔度表示为：
图4 柔度与裂纹长度之间的函数关系 9 J.E. Gordon, 结构，建筑物为何不再倒塌（Structures, or Why Things Don’t Fall Down ）, Plenum, New York, 1978.
合适的试样（例如悬臂梁）的柔度可从试验中测得，它是试样中裂纹长度a 的函数（参见图4）。于是，将柔度对裂纹长度求偏导数，便可求得应变能释放率：
若试样内的裂纹已达到临界裂纹长度，测得使该试样断裂所需的临界载荷，并利用柔度曲线在处的斜率，便可求得c a c P c a 的临界值：
图5 双悬臂梁断裂试样
例3 对于如图5所示的双悬臂梁（英文缩写为DCB ）试样，梁的理论给出的自由端的挠度为
式中，123bh I =。于是弹性柔度为
如果当时，观察到裂纹跳跃式地向前扩展，则可用式（3）计算临界应变能释放率
c P P
=
应力强度法
图6 断裂型式
能量平衡法使我们能深入、透彻地理解断裂过程；另外的方法是：直接考察尖锐裂纹尖端的应力状态，已证实后者在工程实际中更为有用。文献中将裂纹分为三种类型，分别称为Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅲ型，如图6所示。Ⅰ型是垂直张开型，我们将在这里重点研究；而Ⅱ型和Ⅲ型是剪切滑移型。如模块16中所略述的，威斯特嘎德 (Westergaard)提出的半逆解法表明，张开型裂纹的应力为：
对接近裂纹尖端 (a r 1.0≤)的区域，用省略号表示的第二项及更高次项都可忽略不计。在远离裂纹尖端处，不再应用这些关系式，因为此时应力趋近远处应力场的应力值，与裂纹不存在时得到的值一样。
式（4）中的是非常重要的参数，称为应力强度因子。下标Ⅰ表示张开型裂纹，Ⅱ型和Ⅲ型也有类似的关系式。上式表明，三个因子共同描述了裂纹尖端附近的应力状态：分母因子I K 21)2(?r π显示了应力分布的奇异性（趋近裂纹尖端时，21?r 的依赖关系使应力σ趋于无穷大）；对角度的依赖性+???=)23sin 2sin 1(2cos θθθx f …，是另一个独立的因子；第三个因子包含了对所加应力I K ∞σ、裂纹长度a 和试样几何形状的依赖性。因子反映了应力分布的总强度，故以此命名。
I K
表1 几种常见几何条件下的应力强度因子
裂纹类型
应力强度因子 I K 无限大平板中长为的中心裂纹
a 2 半无限大平板中长为的边缘裂纹a
无穷大物体中半径为的中心钱币状裂纹
a 宽为的平板中长为的中心裂纹
W a 2 宽为的平板中两个长
W 各为的对称边缘裂纹 a
对大平板中有长为的中心裂纹（或边缘裂纹）的特定情况，a 2a K I πσ∞
=，而于有长为的边缘裂纹的大平板，则对a a K I πσ∞=12.1（显然，这里的因子π可与式（4）分母中的π相约，但为了与早期的工作保持一致性，通常仍保留π）。某些其他几何条件下
的表达式由表1给出。对不同的裂纹型式、加载方式和几何尺寸，文献中列出了大量对I K 应的K 的表达式，确定应力强度因子的数值方法和实验方法实际上是一门特殊的几何学。
（称为断是材料韧性的度量。而破坏应力在设计和分析中，这些应力强度因子给出了材料裂纹尖端可以承受的应力强度的临界值
裂韧性，记作）
，一旦超过此值，裂纹将迅速扩展。于是临界应力强度因子就c I K f σ与裂纹长度和断裂韧性之间的关系为
a
式中，α是几何参数，对边缘裂纹，α等于1；对其他情况通常在1的量级。对很广范围内的各种试样尺寸和裂纹形状，其α的达式已制成表格，若遇到新情况，则可用专门的有限元法来计算。
比较式（1）表和式（5）（取1=α）就可看出，应力强度和能量释放率是互相关联的：
上式适用于平面应力状态；对平面应变状态10，则略有不同：
对于3.0=ν的金属，，这与1相差不大。但是，在平面应力状态或平面应变状态中，91.0)1(2
=?ν或的数值却相差甚远，如下文所述。 c I
K 10 平面应力状态是指薄平板（t 很小）中，裂纹尖端附近应力场为两向应力；平面应变状态是指厚平板（t 很大）中，裂纹尖端附近应力场为三向应力。——译者注
表2中列出了各种材料和的典型值，由表可见，不同材料的和值在很宽的范围内变化。某些聚合物的韧性很好，特别是用每磅制来评价时；但合金钢阻碍裂纹扩展的绝对能力是其他材料很难超过的。
c I G c I K c I G c I K _______________________________________________________________________________
例4 对作用的应力σ、材料的韧性和裂纹长度这三个量，式（5）提供的三者之间的关系式可用于设计。一旦这些参数中的任何两个已知，则可算得第三个。为了说明这一过程的应用，请看下例：设铝制压力容器的直径为0.25m ，壁厚为5mm ，试求该容器工作时的安全压强。先假定当周向应力达到屈服应力（330MPa ）时将屈服失效，取安全因素为0.75，算出容器能承受的最大压强为
c I K a
为了防止因裂纹迅速扩展而引起的断裂，现计算在工作应力下容许的最大裂纹长度，取韧性值= 41MPa c I
K m ：
这里，假定为α= 1的边缘裂纹。我们必须在裂纹达到此长度前作定期检查。
试样几何尺寸的影响
图7 以屈服应力为极限的区域
p r
材料的韧性、或抵抗裂纹扩展的能力，是由裂纹扩展过程中所吸收的能量决定的。在像窗玻璃这样极脆的材料中，此能量的初值就是打破裂纹平面内化学键的能量；但如前面所提及的，在韧性材料中，键的断裂对阻碍裂纹扩展所起的作用相对较小，绝大部分断裂能量与裂纹尖端附近的塑性流动有关。裂纹尖端附近存在“塑性区”，按式（4）的预测，塑性区内的应力将超过材料的屈服应力Y σ。但因为应力不可能超过Y σ，故塑性区内的应力是Y σ而不是由式（4）所得的结果。在初步的近似中，欲求出塑性区沿x 轴延伸的距离（在该距
离处，应力降为p r Y σ）
，可令式（4）中0=θ，得
这一关系曲线如图7所示。当作用的应力或裂纹的长度增大而使应力强度增大时，塑性区域也变大，但是其塑性流动的程度最终受限于材料分子或微观结构的活动性，塑性区域只能够这么大。当塑性区域不再增大时，裂纹也不再受约束，不稳定的扩展也随之发生。出现上述情况时的值可视为材料的一种性能，称为。
I K Ic K 为了测得正确的值，塑性区域的尺寸不应过大，以免与试样的自由边界相互影响、或者破坏应力分布的奇异性。美国材料试验标准（ASTM ）的规范对断裂韧性的测试Ic K 11规定了试样的几何性状，以保证与裂纹长度和塑性区域的尺寸相比，试样都足够大（参见图8）：
图8 断裂韧性试样的尺寸
在有些重要情况下，材料有足够的塑性，因而无法满足上述准则，这些情况备受人们的关注。此时，不得不抛弃应力强度的观点，而代之以其他技术，如积分或裂纹尖端张开位移法。读者若想了解对这些方法的论述，可查阅本模块末尾列出的参考文献。 J
图9 试样厚度对断裂韧性的影响
11 E 399-83,“金属材料平面应变断裂韧性的标准试验方法”，ASTM, 1983.
由或c K 度量的断裂韧性，本质上就是与裂纹扩展相关的塑性变形程度的度量。我们可预期：材料的塑性流动量与试样的厚度成线性比例关系。因为若材料的厚度减少一半，自然也把塑性变形材料的体积近似地切掉一半。因而韧性随着试样厚度的增加线性地增加（至少在开始时），如图9所示。但最终，可观察到：韧性在达到最大值之后就下降到一个较低
的值。这种超过某个临界厚度后的韧性损失在防断裂设计中是极其重要的。因为在韧性
测试中采用过薄的试样，将得到不切实际的乐观的值。按断裂韧性的测试要求，试样的尺寸应使测得的值是最保守的。
临界厚度指的是使试样中平面应变状态（不同于平面应力状态）占主导地位的厚度。沿厚度方向上的应力在试样的两侧必定变为零，因为那里没有边界面力的作用；而且在薄的试样中，材料的尺寸不足以使应力上升到可观的数值。当然，z 方向的应变不为零，试样将产生z )(y x z σσνε+=的泊松收缩。但当试样较厚时，中心附近的材料将因为邻近材料的约束而不能横向收缩。现在方向的应变为零，因为材料力图收缩却又受到阻碍，于是产生了拉应力。z z σ的值从外表面处的零逐渐增大、在距离外表
面处趋近最大值)(y x z σσνσ+≈，如图10所示。为保证平面应变占主导地位，试样的厚度必须满足
。
图10 裂纹尖端处的横向应力
切应力促使塑性流动，而在裂纹尖端附近，试样中心区的空间应力状态却使最大切应力减小，因为最大切应力等于最大和最小主应力之差的一半，而现在的最小主应力大于零。换言之，不能横向收缩限制了材料的活动性。无论是从应力还是应变观点来看，试样变厚都减少了塑性流动的范围。
例5 用合适的屈服准则和裂纹尖端附近的应力表达式，可画出平面应力和平面应变情况下塑性区域的大小。在模块20中，密赛斯(v. Mises)
屈服准则可用主应力表示为
由式(4
)求得主应力为
第三个主应力为
将这些应力代入屈服准则的表达式，随后就可解出发生屈服范围的半径r 。用式(6)给出的塑性区域沿x 轴的半径将上述半径r 标准化较为方便。Maple 令可完成上述代入运算并画命出结果：
塑性区域沿x 轴的半径
用主应力表示的密赛斯屈服准则
裂纹尖端区的主应力
对平面应力状态和平面应变状态，计算密赛斯应力，取3.0=ν
对平面应力状态和平面应变状态，求出塑性区的半径，并用标准化
p r
对平面应力状态和平面应变状态，画出标准化的塑性区
图11 标准化的塑性区形状（对平面应变为内边界线；对平面应力为外边界线）
即使在厚试样中，侧面上方向的应力必定趋于零。所以靠近表面的区域并不处于空间应力状态，在切应力驱动下，塑性流动较为明显。在带裂纹的试样试验至断裂后，常可看到平的“拇指甲”般的图案，如图12所示。这是裂纹的缓慢扩展区，在该区域内，裂纹能保持其择优取向不变，即垂直于方向的应力。边缘附近的裂纹扩展因该处更多的塑性流动而被延缓，所以裂纹线向内弯曲。当应力增加到足以使裂纹灾难性地扩展时，一般裂纹扩展的速度相当快，使得不能总是保持其原先的择优取向。所以快速断裂区的断面粗糙、且有许多小平面，这使得某些研究材料自身结构的学者认为：材料的破坏是因为它的“晶化”。
z y 沿着试样的边缘常可找到“切变唇缘”，在唇缘区，剪切流动使裂纹进一步扩展，所以有显著的塑性变形。唇缘与拉应力轴线约成角、即沿最大切应力所在平面的方向。 o
45
图12 断裂面形貌
晶粒尺寸与温度的影响
钢是一种如此重要而又广泛应用的结构材料，以至于我们很容易忘记它是相当近代的技术革新的产物。在19世纪初，木材还是建造许多桥梁、建筑物和船舶的主要材料。到19世纪末和20世纪初，铁和钢的应用日益广泛，但由于那时对这些新材料的性能（尤其是在
低温下的冷脆性）认识不够，导致许多灾难性事故的发生。帕克12(Parker )所著一本很吸引
人的书中，描述和分析了很多这类事故。 12 E.R. Parker, 工程结构的脆弱性 (Brittle Behavior of Engineering Structures ), John Wiley & Sons, 1957.
在这些脆性失效事故中，泰坦尼克号的沉没或许是近几个世纪中最为惨烈的海难之一。这场灾难发生在1912年4月15日横贯大西洋的航线中，有1500多人丧生，仅705人生还。直到最近，人们还认为这场悲剧的原因是冰山所划的长而深的切痕撕裂了船体，使船体迅速沉没。但是，当1985年水下机器人最终发现船体残骸时，并没有找到存在切痕的证据。此外，机器人随后带回了船体钢板的样本，对样本的分析得出了与前不同的解释。
现在的设计师都熟知：低等级的钢材，特别是含有大量杂质（如有空隙的碳夹杂物）的钢材，在低温下很容易变脆。加斯克(William Garzke)是吉布斯(Gibbs)和考克斯(Cox)纽约分公司的船舶设计师，他和他的同事们表示：毫无疑问，泰坦尼克号的船体钢板那晚在大西
o
31
洋F的水中变脆了，当船以每小时22海里的速度撞到冰山上时，并没有产生切痕，而是
生成一条迅速扩展的裂纹，海水正是通过这一裂纹进入船舱的。他们认为：如果钢在如此低的温度下仍能保持足够的韧性，裂纹扩展的程度可能会大大降低。这将减慢船舱的进水速度，
使救援船只能及时赶到出事地点，大大增加获救的人数。
图13 晶粒内的位错塞积
在体心立方晶格的过渡金属（如铁和碳钢等）中，脆性断裂始于晶粒内的位错滑移。材料达到屈服应力时就会发生滑移，按照模块21中所描述的亨尔-皮脱(Hall-Petch)规d
律随晶粒尺寸而变化：
位错的传播不能超越晶界，因为相邻晶粒的滑移面通常取向并不一致。于是位错在晶界前塞积，如图13所示。位错塞积的作用和内部裂纹（该裂纹的长度与晶粒尺寸d成正比）相似，
d
位错塞积还在周围的晶粒中引起应力集中。在修正后的格里菲斯方程（式（1））中用代a
替，则引起相邻晶粒断裂所需作用的应力与晶粒尺寸的关系为
图14 晶粒尺寸对屈服和断裂应力的影响
上述两个屈服和断裂应力的关系式可画成图14所示的图形，图中以晶粒尺寸平方根的倒数为自变量（所以往左时晶粒尺寸增大），两直线的斜率分别为和。当时，对于点左边的d 值，在Y k f k Y f k k >A Y σσ=之前，将不会发生断裂，因为屈服和滑移是断裂必须预先具备的条件。在这一区域，屈服应力和断裂应力相同，断裂表现出脆性，因为没有机会发生大范围的屈服。在点右边，屈服的发生先于断裂，材料表现出可延展性。所以，点决定了临界晶粒尺寸A A ，在该点，将发生从可延展性断裂（晶粒尺寸小于）向脆性断裂的“零延展性”转变。
如模块20中所述，随着温度的降低，屈服应力Y σ将增大，而断裂应力f σ将减小（因为原子的活动性减少，从而使降低）。因此，当温度降低时，点将右移。零塑性的临界晶粒尺寸值变小，即晶粒必须更小，才能避免材料变脆。同样，细化晶粒尺寸有降低延-脆转变温度的效果。所以，晶粒尺寸的细化不仅提高了屈服和断裂应力、降低了延-脆转变温度；而且也提高了材料的韧性。这一强化机理的作用非同寻常，因为其他技术（如应变硬化和固溶体硬化）在提高强度的同时往往也降低了韧性。
A 除了温度之外，其他因素也会使钢变脆。钢中的夹杂物（如碳和磷）能固定滑移体系，这可以减小与位错塞积有关的应力，这些夹杂物还能显著地提高屈服应力、从而提高延-脆转变温度。高能辐射损伤也会产生类似的影响，因此核反应堆构件的脆化备受关注。构件上的槽和缺口也会促进脆化，因为槽和缺口引起的空间应力抑制了材料的塑性流动。高应变率也会助长脆性，因为高应变率需要更大的流动应力。不适当的焊接不仅改变了钢的微观结构、而且会引起残余的内部应力，这些都可能导致脆化。
通用的参考文献
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习题
1 模块21中曾推导过理论屈服应力值，用类似的推导方法证明：理论拉伸强度极限10th E ≈σ（比实验中观察到的值大得多）。假定原子力为调和函数)2sin(th λπσσx =，式中，x 是原子偏离其平衡位置的位移，0a ≈λ是原子间距。于是，最大应力th σ可通过下式求得
2 两端封闭的钢制压力容器，直径为1′、壁厚为2.0′′，取安全因数为，求该容器安全的工作压强。
23 压力容器的直径，长度81′′=d 6′=L 。要求该容器能承受1000=p psi 的内压、壁厚能使名义的周向应力低于psi 。但是，该容器在内压仅psi 时就爆裂了，对容器的显微照片调查揭示：断裂是由长为25005001.0′′的内部裂纹引起的。试计算其材料断裂韧性的临界值。
Ic K 4 高度交联的环氧树脂，线胀系数，-15K 105?×=α2
IC m J 120=G ， 2.3=E GPa ，35.0=ν。一厚层固化的树脂在时牢固地粘结在铝制零件（铝的线胀系数）上。当冷却至时，试计算使树脂形成初始裂纹所需的最小缺陷尺寸。设裂纹为宽板中半径为的钱币状裂纹，取式（5）中C 180o -15K 105.2?×=αC 20o a α为π2。
5（a ）铝合金厚板宽为，板的中心裂纹长为。在的垂直裂纹方向的单轴应力作用下，板发生脆性断裂。 试求材料的断裂韧性。
mm 175mm 75MPa 110（b ）如果板有足够的宽度、可假设为无限宽时，断裂应力为多大？
6 在平面应变情况下，为了得到正确的断裂韧性值，塑性区尺寸与试样厚度B 、裂纹 长度a 、“韧带”宽度相比必须较小，建立的准则为
a W ?
根据上式右边给出的参数将资料库中的材料依次排列。
7 拉伸试样上有一条的裂纹，当作用150kN 的载荷时，试样两端之间的总位移为。当裂纹扩展至时，同样载荷作用下试样两端间的总位移为。试样厚。对裂纹长度为的同样的试样，其断裂载荷为175kN 。试求此材料的断裂韧性。
mm 35mm 5.0mm 37mm 505.0mm 40mm 36Ic K
ansys断裂力学技巧
Ansys断裂力学 裂纹和瑕疵在很多结构和零部件中会出现，有时会导致严重的后果。断裂力学就是研究裂纹扩散问题的学科。 12.1 断裂力学的理解 断裂力学就是解决结构在外载荷作用下，裂纹和瑕疵如何扩散的问题。它包含裂纹扩散相应的解析预报和实验结果验证。解析预报是通过断裂参数的计算得出的，如裂纹区域的应力强度因子，它可以用来评估裂纹的生长率。最具典型的是，裂纹的长度随着一些循环载荷的每一次作用而增长，如飞机上机舱的增压-减压。另外，环境的情况，如温度或光线的照射等，都会影响某些材料的断裂性能。 在研究中，断裂问题需重点研究的典型参数如下： ●应力强度因子（K I, K II和K III），是断裂的三个基本形式。 ●J-积分，是一种不受线路影响的线积分，用来测量裂纹端点的奇异应力和应变。 ●能量释放率（G），它代表裂纹开始和终止处的能量的大小。 12.2 求解断裂力学问题 求解断裂力学问题包括执行线弹性或弹塑性静态分析，以及使用专用的后处理命令或宏来计算需要的断裂参数。此处分成两个部分来介绍： ●裂纹区域的建模 ●计算断裂参数 12.2.1裂纹区域的建模 断裂模型中最重要的部分就是裂纹边界的部分。在ansys中，在二维模型和三位模型中，分别将裂纹的边界看成是裂纹端点和裂纹前端。如图12.1所示。 r是距离裂纹端点的长度。裂 裂纹面应该是重合 纹端点处的应力和应变是奇异的， 的，裂纹端点（或裂纹前端）附近的单元应该是二次的，即角点之间有中间节点。这种单元被称为奇异单元。
12.2.1.1 二维断裂模型 二维断裂模型的推荐单元类型是PLANE2，6节点的三角实体单元。裂纹端点附近的单元的第一行是奇异的，如图12.2（a）所示。前处理模块PREP7的命令(Main Menu> Preprocessor> Meshing> Size Cntrls> Concentrat KPs> Create)可以定义某关键点附近的单元划分的大小，在断裂模型中特别有用。它在指定关键点附近可以自动生成奇异单元。此命令的其他域可以控制单元第一行的半径，在圆周方向的单元的数量等。图12.3为命令KSCON 生成的断裂模型。
断裂力学习题
断裂力学习题 一、问答题 1、什么是裂纹？ 2、试述线弹性断裂力学的平面问题的解题思路。 3、断裂力学的任务是什么？ 4、试述可用于处理线弹性条件下裂纹体的断裂力学问题两种方法： 5、试述I型裂纹双向拉伸问题中的边界条件，如何根据该边界条件确定一复变函数，并由此构成应力函数，最后写出问题的解。b5E2RGbCAP 6、什么是应力场强度因子K1？什么是材料的断裂韧度K1C？对比单向拉伸条件下的应力及断裂强度极限b，，说明K1与K1C的区别与联系？p1EanqFDPw 7、在什么条件下应力强度因子K的计算可以用叠加原理 8、试说明为什么裂纹顶端的塑性区尺寸平面应变状态比平面应力状态小？ 9、试说明应力松驰对裂纹顶端塑性区尺寸有何影响。 10、K准则可以解决哪些问题？ 11、何谓应力强度因子断裂准则？线弹性断裂力学的断裂准则与材料力学的强度条件有何不同？ 12、确定K的常用方法有哪些？ 13、什么叫裂纹扩展能量释放率？什么叫裂纹扩展阻力？ 14、从裂纹扩展过程中的能量变化关系说明裂纹处于不稳定平衡的条件是什么？ 15、什么是格里菲斯裂纹？试述格氏理论。
16、奥罗万是如何对格里菲斯理论进行修正的？ 17、裂纹对材料强度有何影响？ 18、裂纹按其力学特征可分为哪几类？试分别述其受力特征 19、什么叫塑性功率？ 20什么是G准则？ 21、线弹性断裂力学的适用范围。 22、“小范围屈服”指的是什么情况？线弹性断裂力学的理论公式能否应用？如何应用？ 23、什么是Airry应力函数？什么是韦斯特加德 第一章 断裂力学的基本概念 宏观裂纹的产生: 1) 制造时存在而无损检测漏检：大型锻件容易出现白点裂纹，夹杂裂纹；高强度钢易出现 焊接裂纹 2) 构件中原来存在的较小裂纹，在周期性的工作应力（疲劳应力）下逐渐发展长大的； 3) 腐蚀性价值中工作的构件，在应力和介质联合作用下，小裂纹也会逐渐发展成宏观裂纹； 总之构件内部存在的宏观裂纹是造成构件低应力脆断的直接原因。 材料力学：研究不含宏观裂纹构件的强度、刚度和稳定性； 断裂力学：研究含有宏观裂纹构件的安全性 裂纹：夹渣、气孔、未焊透、大块夹杂； 断裂韧性：只与材料本身、热处理、加工工艺有关； Y a K c Ic σ=是材料抵抗低应力脆性破坏的韧性参数 Ic K 是材料性能，裂纹形状大小Y a 一定时，Ic K 越大，使裂纹快速扩展导致构件脆断所需应力c σ也越高，构件阻止裂纹失稳扩展的能力就越大。 应力场强度因子： Y a K I σ= 断裂韧性Ic K 是应力强度因子I K 的临界值，I K 是裂纹前端应力场强度的度量，它和裂纹大小、形状以及外加应力都有关 断裂力学的应用 a Y K I σ?= Q Y π 1.1= 22212.0??? ? ??-Φ=s Q σσ: 形状因子 Φ是和椭圆轴比有关的椭圆积分，可查手册获得； 第二章 线弹性断裂力学 弹性力学的某些概念： 应力分量：3 应变分量：3 胡克定律和广义胡克定律： 平面应力：z 方向总力和为0，x,y 平面有正应力和切应力，这三个应力沿z 轴（厚度方向）都一样，与z 无关，仅是x,y 的函数,这种应力状态称为平面应力状态。当板很薄时，可认为是平面应力状态。0=z σ 体内应变分量只有三个，厚度方向认为没有应变，这种应变状态称为平面应变状态。()y x z σσυσ+= 对试件来说，厚度很小就是平面应力状态；厚度很大就是平面应变状态；厚度中等，两外表面不受力属于平面应力状态；中间大部分地区由于受两端面的约束，沿厚度方向不能变形，故属于平面应变状态； 三种裂纹组态： 张开型裂纹(I)：外加正应力和裂纹面垂直； 最容易引起低应力脆断； 滑开型裂纹(II)：外加剪应力和裂纹面平行； 撕开型裂纹(III)：外加剪应力与裂纹面错开； 裂纹顶端附近应力场 复变函数求解； 塑性区及其修正： 裂纹尖端应力不可能无限大，材料一旦屈服，弹性规律就失效，若屈服区很小周围仍然是弹性区，经修正线性弹性断裂力学仍然有效； 屈服判据： 最大剪应力判据（屈雷斯加判据）：在复杂加载条件下，当最大剪应力等于材料的极限剪应力（即单向拉伸剪应力）时，材料就屈服； 2 2min max max σσστ-==s 形状改变能判据（米塞斯判据）：当复杂应力状态的形状改变能密度，等于单向拉压屈服时的形状改变能密度时，材料就屈服； ()()()22132322212s σσσσσσσ=-+-+- xy y x y x τσσσσσσ+-±+=2 )(2221 ()???+=2130 σσυσ 第二节材料的韧性及断裂力学简介 一、低应力脆断及材料的韧性 人们在对船舶的脆断、无缝输气钢管的脆断裂缝、铁桥的脆断倒塌、飞机因脆断而失事、石油、电站设备因脆断而发生重大事故的分析中，发现了一些它们的共同特点： 1.通常发生脆断时的宏观应力很低，按强度设计是安全的； 2.脆断事故通常发生在比较低的工作温度环境下； 3.脆断从应力集中处开始，裂纹源通常在结构或材料的缺陷处，如缺口、裂纹、夹杂等； 4.厚截面、高应变速率促进脆断。 由此，人们发现了传统设计思想和材料的性能指标在强度设计上的不足，试图提出新的性能指标和安全判据，找到防止脆断的新的设计方法。 传统的强度设计所依据的性能指标主要为弹性模量E、屈服极限σs、抗拉强度σb，而塑性指标延伸率δ和面收缩率φ在设计中只是参考数据，通常还会考虑应力集中现象，即使如此，设计的安全判据仍不足以防止脆断的发生，这说明材料的强度、塑性、弹性这些性能指标还不能完全反映材料抵抗脆断的发生。经过对众多脆断事故的分析和研究，人们提出了一个便于反映材料抗脆断能力的新的性能指标——韧性，从使脆性材料和韧性材料断裂所消耗的能量不同，归纳出韧性的定义为：所谓韧性是材料从变形到断裂过程中吸收能量的太小，它是材料强度和塑性的综合反映。 例如图l-2为球墨铸铁和低碳钢的拉伸曲线，可以用拉伸曲线下的面积来表示材料的韧性，即 图中可见，虽然球墨铸铁的抗拉强度σb比低碳钢高，但其断裂时的塑性应变εp确远较低碳钢小，综合起来看，低碳钢的韧性高。 图1-2 球铁和低碳钢拉伸曲线表示的韧性 材料的韧性可用实验的方法测试和判定。应用较早和较广泛的是缺口冲击试验，这种方法已经规范化。具体方法是将图1-3所示的缺口试样用专用冲击试验机施加冲击载荷，使试 样断裂，用冲击过程中吸收的功除以断口面积，所得即为材料的冲击韧性，以αk表示，单位为J/cm^2。目前国际上多用夏氏V型缺口试样，我国多用U型缺口试样。由于缺口冲击 一、 简答题（80分） 1. 断裂力学中，按裂纹受力情况，裂纹可以分为几种类型？请画出这些类型裂纹的受力示意图。（15分） 2 请分别针对完全脆性材料和有一定塑性的材料，简述裂纹扩展的能量平衡理论？（15分） 3. 请简述应力强度因子的含义，并简述线弹性断裂力学中裂纹尖端应力场的特点？（15） 4. 简述脆性断裂的K 准则及其含义？（15） 5. 请简述疲劳破坏过程的四个阶段？（10） 6. 求出平面应变状态下裂纹尖端塑性区边界曲线方程，并解释为什么裂纹尖端塑性区尺寸在平面应变状态比平面应力状态小？（5分） 7. 对于两种材料，材料1的屈服极限s σ和强度极限b σ都比较高，材料2的s σ和b σ相对较低，那么材料1的断裂韧度是否一定比材料2的高？试简要说明断裂力学与材料力学设计思想的差别？ （5分） 二、 推导题（10分） 请叙述最大应力准则的基本思想，并推导出I-II 型混合型裂纹问题中开裂角的表达式？ 三、 证明题（10分） 定义J 积分如下， (/)J wdy T u xds Γ =-????，围绕裂纹尖端的回路Γ，始于裂纹下表面，终于裂纹上表面，按逆时针方向转动，其中w 是板的应变能密度，为作用在路程边界上的力，是路程边界上的位移矢量，ds 是路程曲线的弧元素。证明J 积分值与选择的积分路程无关，并说明J 积分的特点。 四、 简答题（80分） 1. 断裂力学中，按裂纹受力情况，裂纹可以分为几种类型？请画出这些类型裂纹的受力示意图。（15分） 答： 按裂纹受力情况把裂纹（或断裂）模式分成三类：张开型（I 型）、滑开型（II 型）和撕开型（III 型），如图所示 工程断裂力学76 (2009) 709–714 内容列表可以在ScienceDirect期刊获得 工程断裂力学 杂志主页: https://www.360docs.net/doc/f01292127.html,/locate/engfracmech AA7075-T651在交变载荷下裂纹形核的显微结构形貌 H. Weiland a,*, J. Nardiello b, S. Zaefferer c, S. Cheong a, J. Papazian b, Dierk Raabe c a 美国铝业有限公司，100技术驱动,美国铝业中心，宾夕法尼亚15069，美国 b 诺斯罗普2格鲁曼公司AEW/EW系统，925 S，.牡蛎湾路，贝思佩奇，纽约11714，美国 c普朗克铁研究所，普朗克Stra?e 1,，杜塞尔多夫D 40237，德国 文章信息摘要 文章历史: 一系列由7075-T651铝合金制作的疲劳试验样品被打断成各种寿命的部分和2007年1月9日收到一定数量脱胶，破裂的粒子和在金属基体中的破裂决定了定量是加载周期的函数2008年11月24日收到修订后的形式根据发现，只有破裂的第二相粒子，在一个基体裂纹中形核。晶体学关于一个独2008年11月26日录入立的裂纹和它的三维形状是由在扫描显微镜下一系列的切片通过应用聚焦离子束2008年12月10日网上可获得粉末与取向成像显微技术结合决定。这些极限数据显示裂纹萌生方向，受金属基体 中扩展的裂纹的晶体取向影响。。 关键字： 裂纹萌生 AA7075 3D微观结构 疲劳 @2008爱思唯尔有限公司保留所有权利。 1.介绍 优化的铝合金对航天航空应用，需要定量的理解不同控制形核的显微结构特性和裂纹在金属基体中的扩展。此外，在整体部分，裂纹在连接处的停滞不是给定的，显微结构的作用变得越来越重要。需要定量的理解，在复杂微观结构下的损伤演化。 当前对于航空航天应用铝合金的发展，基于一个良好的理解，关于微观结构下破坏的相关性质影响，例如断裂韧性和疲劳[1-5]。然而，铝合金上个世纪上半年的发展，例如AA7075，主要使用Edisonian方法。尽管存在一些研究，关于老化条件对性能的影响，详细分析显微结构属性下控制裂纹形核和单调生长区间，或者在那时候开发的铝合金没有采用交变载荷。然而，在早期理论上可知，含铁第二相在5-50微米直径范围，一般被称为夹杂相，是裂纹的起始点位置[1]。因此，此后的铝合金发展包括减少铁和硅元素提高损伤的相关性质。另一方面，如果粒子密度减少，正如当前阶段铝合金，其他显微结构下的特征，例如晶界和晶粒取向，将有助于裂纹的形核和扩展。读者可以参考文献[1-5]，详细的讨论商业铝合金微观结构的损坏的影响。它必须指出，外推法得到的知识在Al-Cu系统（2xxx系列合金）不能容易的推测Al–Zn（7xxx系列合金），因为相和强化机制不同。 在目前的研究中，一部分数量脱粘和破裂的粒子，决定了一定数量是疲劳循环的函数，来自中断的疲劳试验。此外，破裂粒子在开裂基体中形核的尺寸和相关的裂纹长度是确定的。晶体学中关于裂纹和三维形状由来自一系列的切片通过聚焦离子束制粉和取向成像显微技术的结合决定。这些数据显示一开始裂纹的生长方向，同时由粒子周围的局部应力场和基体中正在生长的裂纹的晶向决定。 如今工作的目的，确定一定数量第二相粒子在交变载荷控制裂纹形核的作用，目的是确定以微观结构为基础，预测以这些合金制成的机身零件部分寿命。后者将另行公布。 （ （ = K I + K I(2) 1.简述断裂力学的发展历程（含3-5 个关键人物和主要贡献）。 答：1）断裂力学的思想是由Griffith 在1920 年提出的。他首先提出将强度与裂纹长度定量 地联系在一起。他对玻璃平板进行了大量的实验研究工作，提出了能量理论思想。（2）断裂 力学作为一门科学，是从1948 年开始的。这一年Irwin 发表了他的第一篇经典文章“Fracture Dynamic（断裂动力学）”，研究了金属的断裂问题。这篇文章标志着断裂力学的诞生。（3） 关于脆性断裂理论的重大突破仍归功于Irwin。他于1957 年提出了应力强度因子的概念，在 此基础上形成了断裂韧性的概念，并建立起测量材料断裂韧性的实验技术。这样，作为断裂 力学的最初分支——线弹性断裂力学就开始建立起来了。（4）1963 年，Wells 提出了裂纹张 开位移（COD）的概念，并用于大范围屈服的情况。研究表明，在小范围屈服情况下COD 法与LEFM 是等效的。（5）1968 年，Rice 等人根据与路径无关的回路积分，提出了J 积分 的概念。J 积分是一个定义明确、理论严密的应力应变参量，它的实验测定也比较简单可靠。 J 积分的提出，标志着弹塑性断裂力学基本框架形成。 2.断裂力学的定义，研究对象和主要任务。 答：1）断裂力学的定义：断裂力学是一门工程学科，它定量地研究承载结构由于所含有的 一条主裂纹发生扩展而产生失效的条件。 （2）研究对象：断裂力学的研究对象是带有裂纹的承载结构。 （3）主要任务：研究裂纹尖端附近应力应变分布，掌握裂纹在载荷作用下的扩展规律；了 解带裂纹构件的承载能力，进而提出抗断设计的方法，保证构件安全工作。 3.什么是平面应力和平面应变状态，二者有什么特点？请举例说明之。 答：（1）平面应力：薄板问题，只有xoy 平面内的三个应力分量σ x、σ y、τ xy； ε z ≠ 0， 属三向应变状态。 （2）平面应变：长坝问题，与oz 轴垂直的各横截面相同，载荷垂直于z 轴且沿z 轴方向无 变化； ε z = 0， σ z ≠ 0，属三向应力状态；材料不易发生塑性变形，更具危险。 4.什么是应力强度因子的叠加原理，并证明之。掌握工程应用的方法。 答：（1）应力强度因子的叠加原理：复杂载荷下的应力强度因子等于各单个载荷的应力强 度因子之和。 (1) 在外载荷T2作用下，裂纹前端应力场为 σ2，则相应的应力强度因子为K I(2) = σ 2 π a 如果外载荷T1和T2联合作用，则裂纹前端应力场为 σ1+ σ2，则相应的应力强度因子为 K I = (σ 1 + σ 2 ) π a = σ 1 π a + σ 2 π a (1) 6.为什么裂纹尖端会发生应力松弛？如何对应力强度因子进行修正？ 答：裂纹尖端附近存在着小范围的塑性区（设塑性区是以裂纹尖端为圆心，半径为r0 的圆 π a 形区域），材料屈服后，多出来的应力将要松驰（即传递给r>r0 的区域），使r0 前方局部地 区的应力升高，又导致这些地方发生屈服。即屈服导致应力松弛。 Irwin 提出了有效裂纹尺寸的概念a eff = a + r y对应力强度因子进行修正，在小范围条件下， 万方数据 万方数据 万方数据 万方数据 断裂力学的发展与研究现状 作者：康颖安， KANG Ying-an 作者单位：湖南工程学院,机械工程系,湖南,湘潭,411101 刊名： 湖南工程学院学报（自然科学版） 英文刊名：JOURNAL OF HUNAN INSTITUTE OF ENGINEERING(NATURAL SCIENCE EDITION) 年，卷(期)：2006,16(1) 被引用次数：1次 参考文献(10条) 1.范天佑断裂理论基础 2003 2.陈会军;李永东;唐立强多孔材料中裂纹尖端的渐近场[期刊论文]-哈尔滨工程大学学报 2000(03) 3.张淳源粘弹性断裂力学 1994 4.张俊彦;张淳源裂纹扩展条件及其温度场研究 1996(01) 5.Rice J R;Rosengren G F Plane strain deformation near a crack tip in a powerlaw hardening material 1968 6.Hutchinson J W Singular behavior at the end of a tensile crack in a hardening material 1968 7.黄克智弹塑性断裂力学的一个重要进展 1993(01) 8.Wells A A Applications of fracture mechanics at/and beyond general yielding 1963 9.Irwin G R Analysis of stress and strains near the end of a crack traversing a plate 1957 10.沈成康断裂力学 1996 引证文献(1条) 1.单丙娟浅谈断裂力学的发展与研究现状[期刊论文]-内蒙古石油化工 2007(7) 本文链接：https://www.360docs.net/doc/f01292127.html,/Periodical_hngcxyxb-zr200601011.aspx ?断裂力学是为解决机械结构断裂问题而发展起来的力学分支，它将力学、物理学、材料学以及数学、工程科学紧密结合，是一门涉及多学科专业的力学专业课程。 ?本课程将简要介绍断裂的工程问题、能量守恒与断裂判据、应力强度因子、线弹性和弹塑性断裂力学基本理论、裂纹扩展、J积分以及断裂问题的有限元方法等内容。 ?当机械结构带有裂纹时，判断机械结构发生断裂的时机，不能用屈服判据，而应该寻求新的断裂判据。 ?现代断裂力学（fracture mechanics）这门学科，就在这种背景下诞生了。从上世纪五十年代中期以来，断裂力学发展很快，目前线性理论部分已比较成熟，在工程方面，已广泛应用于宇航、航空、海洋、兵器、机械、化工和地质等许多领域。断裂力学的关键问题（一） 1．多小的裂纹或缺陷是允许存在的，即此小裂纹或缺陷不会在预定的服役期间发展成断裂时的大裂纹？ 2．多大的裂纹就可能发生断裂，即用什么判据判断断裂发生的时机？ 3．从允许存在的小裂纹扩展到断裂时的大裂纹需要多长时间，即机械结构的寿命如何估算？以及影响裂纹扩展率的因素。 4．在既能保证安全，又能避免不必要的停产损失，探伤检查周期应如何安排？ 5．万一检查时发现了裂纹，该如何处理？ 断裂力学的关键问题（二） 1.什么材料比较不容易萌生裂纹？ 2.什么材料可以容许比较长的裂纹存在而不发断裂？ 3.什么材料抵抗裂纹扩展的性能较好？ 4.怎样冶炼、加工和热处理可以得到最佳效果？ 前五个问题可以用断裂力学的方法来解决；后面四个问题则属于材料或金属学的领域。因此，断裂是与力学、材料和工程应用有关的问题。应综合力学、材料学和工程应用等方面着手研究。 解决断裂问题的思路 为解决上面所提的工程问题和材料问题，对于含裂纹的受力机械零件或构件，必须先找到一个能表征裂纹端点区应力应变场强度(intensity)的参量，就象应力可以作为裂纹不存在时的表征参量一样。 解决断裂问题的思路—科学假说（续） 因为断裂的发生绝大多数都是由裂纹引起的，而断裂尤其是脆性断裂，一般就是裂纹的失稳扩展。裂纹的失稳扩展，通常由裂纹端点开始。因此，发生断裂的时机必然与裂端区应力应变场的强度有关。 对于不含裂纹的物体，当某处的应力水平超过屈服应力，就要发生塑性变形；而对于含裂纹的物体，当某裂端表征应力应变场强度的参量达到临界值时，就要发生断裂。 这个发生断裂的临界值很可能是材料常数，它既可表征材料抵抗断裂的性能，亦可用来衡量材料质量的优劣。 影响断裂的两大因素 载荷大小和裂纹长度 考虑含有一条宏观裂纹的构件，随着服役时间后使用次数的增加，裂纹总是愈来愈长。在工作载荷较高时，比较短的裂纹就有可能发生断裂；在工作载荷较低时，比较长的裂纹才会带来危险。这表明表征裂端区应力变场强度的参量与载荷大小和裂纹长短有关，甚至可能与构件的几何形状有关。 断裂力学研究内容 2007断裂力学考试试题 B 卷答案 一、简答题（本大题共5小题，每小题6分，总计30分） 1、（1）数学分析法:复变函数法、积分变换；（2）近似计算法：边界配置法、有限元法；（3）实验标定法：柔度标定法；（4）实验应力分析法：光弹性法. 2、假定：（1）裂纹初始扩展沿着周向正应力θσ为最大的方向；（2）当这个方向上的周向正应力的最大值max ()θσ达到临界时,裂纹开始扩展. 3、应变能密度:r S W = ，其中S 为应变能密度因子，表示裂纹尖端附近应力场密度切的强弱程度。 4、当应力强度因子幅值小于某值时，裂纹不扩展，该值称为门槛值。 5、表观启裂韧度，条件启裂韧度，启裂韧度。 二、推导题（本大题10分） D-B 模型为弹性化模型，带状塑性区为广大弹性区所包围，满足积分守恒的诸条件。 积分路径：塑性区边界。 AB 上：平行于1x ，有s T dx ds dx σ===212,,0 BD 上：平行于1x ，有s T dx ds dx σ-===212,,0 5分 δ σσσσΓ s D A s D B s B A s BD A B i i v v v v dx x u T dx x u T ds x u T Wdx J =+=+-=??-??-=??-=???)()(1 122112212 5分 三、计算题（本大题共3小题，每小题20分，总计60分） 1、利用叠加原理:微段→集中力qdx →dK = Ⅰ ?0 a K =?Ⅰ 10分 A 令cos cos x a a θθ==,cos dx a d θθ= ?111sin () 10 cos 22(cos a a a a a K d a θθθ--==Ⅰ 当整个表面受均布载荷时,1a a →. ?12()a a K -==Ⅰ 10分 2、边界条件是周期的: a. ,y x z σσσ→∞==. b.在所有裂纹内部应力为零.0,,22y a x a a b x a b =-<<-±<<±在区间内 0,0y xy στ== c.所有裂纹前端y σσ> 单个裂纹时 Z = 又Z 应为2b 的周期函数 ?sin z Z πσ= 10分 采用新坐标:z a ξ=- ?sin ()a Z π σξ+= 当0ξ→时,sin ,cos 1222b b b π π π ξξξ== ?sin ()sin cos cos sin 22222a a a b b b b b π π π π π ξξξ+=+ cos sin 222a a b b b π π π ξ= + 222 2[sin ()]( )cos 2 cos sin (sin )2222222a a a a a b b b b b b b π π π π π π π ξξξ+=++ 中国矿业大学 断裂力学课程报告课程总结及创新应用 XXX 2014/5/7 班级：工程力学XX班 学号：0211XXXX 断裂力学结课论文 一、学科简介 1、学科综述 结构的破坏控制一直是工程设计的关键所在。工程构件中难免有裂纹，从而会产生应力集中、结构失效等问题。裂纹既可能是结构零件使用前就存在的，也可能是结构在使用过程中产生的。但裂纹的存在并不意味着构件的报废，而是要求我们能准确地预测含裂纹构件的使用寿命或剩余强度。针对脆性材料的研究已有完善的弹性理论方法，并获得了广发的应用。但对于工程中许多由韧性较好的中、低强度金属材料制成的构件，往往在裂纹处先经历大量的塑性变形，然后才发生断裂破坏或失稳等。这说明，韧性好的金属材料有能力在一定程度上减弱裂纹的危险，并可以增大结构零件的承载能力或延长器使用寿命，这也是韧性材料的优点所在。但与此同时，这给预测强度的力学工作者带来了更复杂的问题，即不可逆的非塑性变形，这也是开展工程构架弹塑性变形的原因之一。 因而，裂纹的弹塑性变形研究具有广泛的工程背景和重要的理论意义。作为研究裂纹规律的一门学科，即断裂力学，它是50年代开始蓬勃发展起来的固体力学新分支，是为解决机械结构断裂问题而发展起来的力学分支，被广泛地应用于航海、航空、兵器、机械、化工和地质等诸多领域，它将力学、物理学、材料学以及数学、工程科学紧密结合，是一门涉及多学科专业的力学专业课程。 断裂力学有微观断裂力学与宏观断裂力学之分。一方面，需要深入到微观领域弄清微观的断裂机理，才能深入了解宏观断裂的现象。另一方面，宏观断裂力学仍然没有发展完善，尤其是在工程实际中的应用还远未成熟，即使平面弹塑性断裂力学也依然有许多亟待解决的问题。 2、断裂力学研究的主要问题 1、多少裂纹和缺陷是允许存在的？ 2、用什么判据来判断断裂发生的时机？ 3、研究对象的寿命图和估算？如何进行裂纹扩展率的测试及研究影响裂纹扩展率的因素。 4、如何在既安全又能避免不必要的停产损失的情况下安排探伤检测周期。 5、若检测出裂纹又应如何处理？ 3、生活中常见的断裂破坏及破坏的主要特征 断裂在生活及工程中引发的问题和事故：1、海洋平台发生崩溃；2、压力容器发生破裂；3、吊桥的钢索断；4、天然气管道破裂；5、房屋开裂倒塌；6、气轮机叶片断裂。 断裂破坏的主要特征：1、尽管材料可能是由延性材料制成，但是灾难性破坏大多有脆性特征。2、大多数是低应力破坏，破坏时应力远小于屈服极限或设计的极限应力。3、大多数破坏始于缺陷、孔口、缺口根部等不连续部位。4、断裂破坏传播速度很高，难以防范和补救。5、高速撞击、高强度材料、低温情况下更容易发生。 4、断裂力学的发展历史 断裂力学的发展迄今为止大致经历了一下几个阶段，首先1920—1949年间主要以能量的方法求解，其中最有影响的是英国科学家Griffith提出的能量断裂理论以及据此建立的断裂判据。而后从1957年开始时线弹性断裂理论阶段，提出了应力强度因子概念及相应的判断依据。到1961—1968年间是弹塑性理论阶段，其中以1961年的裂纹尖端位移判据和 （ （ = K I + K I(2) 1.简述断裂力学的发展历程（含 3-5 个关键人物和主要贡献）。 答： 1）断裂力学的思想是由 Griffith 在 1920 年提出的。他首先提出将强度与裂纹长度定量 地联系在一起。他对玻璃平板进行了大量的实验研究工作，提出了能量理论思想。（2）断裂 力学作为一门科学，是从 1948 年开始的。这一年 Irwin 发表了他的第一篇经典文章“Fracture Dynamic （断裂动力学）”，研究了金属的断裂问题。这篇文章标志着断裂力学的诞生。（3） 关于脆性断裂理论的重大突破仍归功于 Irwin 。他于 1957 年提出了应力强度因子的概念，在 此基础上形成了断裂韧性的概念，并建立起测量材料断裂韧性的实验技术。这样，作为断裂 力学的最初分支——线弹性断裂力学就开始建立起来了。（4）1963 年，Wells 提出了裂纹张 开位移（COD ）的概念，并用于大范围屈服的情况。研究表明，在小范围屈服情况下 COD 法与 LEFM 是等效的。（5）1968 年，Rice 等人根据与路径无关的回路积分，提出了 J 积分 的概念。J 积分是一个定义明确、理论严密的应力应变参量，它的实验测定也比较简单可靠。 J 积分的提出，标志着弹塑性断裂力学基本框架形成。 2.断裂力学的定义，研究对象和主要任务。 答： 1）断裂力学的定义：断裂力学是一门工程学科，它定量地研究承载结构由于所含有的 一条主裂纹发生扩展而产生失效的条件。 （2）研究对象：断裂力学的研究对象是带有裂纹的承载结构。 （3）主要任务：研究裂纹尖端附近应力应变分布，掌握裂纹在载荷作用下的扩展规律；了 解带裂纹构件的承载能力，进而提出抗断设计的方法，保证构件安全工作。 3.什么是平面应力和平面应变状态，二者有什么特点？请举例说明之。 答：（1）平面应力：薄板问题，只有 xoy 平面内的三个应力分量σ x 、σ y 、τ xy ； ε z ≠ 0 ， 属三向应变状态。 （2）平面应变：长坝问题，与 oz 轴垂直的各横截面相同，载荷垂直于 z 轴且沿 z 轴方向无 变化； ε z = 0 ， σ z ≠ 0 ，属三向应力状态；材料不易发生塑性变形，更具危险。 4.什么是应力强度因子的叠加原理，并证明之。掌握工程应用的方法。 答：（1）应力强度因子的叠加原理：复杂载荷下的应力强度因子等于各单个载荷的应力强 度因子之和。 (1) 在外载荷 T 2 作用下，裂纹前端应力场为 σ2，则相应的应力强度因子为 K I(2) = σ 2 π a 如果外载荷 T 1 和 T 2 联合作用，则裂纹前端应力场为 σ1+ σ2 ，则相应的应力强度因子为 K I = (σ 1 + σ 2 ) π a = σ 1 π a + σ 2 π a (1) 6.为什么裂纹尖端会发生应力松弛？如何对应力强度因子进行修正？ 答：裂纹尖端附近存在着小范围的塑性区（设塑性区是以裂纹尖端为圆心，半径为 r0 的圆 π a 形区域），材料屈服后，多出来的应力将要松驰（即传递给 r>r0 的区域），使 r0 前方局部地 区的应力升高，又导致这些地方发生屈服。即屈服导致应力松弛。 Irwin 提出了有效裂纹尺寸的概念 a eff = a + r y 对应力强度因子进行修正，在小范围条件下， 断裂力学复习题 1．裂纹按几何特征可分为三类,分别是（穿透裂 纹）、（表面裂纹）和（深埋裂纹）。按力学特征也可分为三类，分别是（张开型）、（滑开型）和（撕开型）。 2．应力强度因子是与（外载性质）、（裂纹）及 （裂纹弹性体几何形状）等因素有关的一个量。材料的断裂韧度则是（应力强度因子）的临界值，是通过（实验）测定的材料常数。 3．确定应力强度因子的方法有：（解析法），（数 值法），（实测法）。 4．受二向均匀拉应力作用的“无限大”平板， 具有长度为2a 的中心贯穿裂纹，求应力强度因子ⅠK 的表达式。 【解】将x 坐标系取在裂纹面上，坐标原点取在 裂纹中心，则上图所示问题的边界条件为： ① 当y = 0，x → ∞时，σσσ==y x ； ② 在y = 0，a x <的裂纹自由面上， 0,0==xy y τσ；而在a x >时，随a x →，∞→y σ。 可以验证，完全满足该问题的全部边界条件的解 析函数为 22Ⅰ )(a z z z Z -=σ （1） 将坐标原点从裂纹中心移到裂纹右尖端处，则有 z =ζ+a 或ζ= z －a ， 代入（1），可得： )2() ()(I a a Z ++=ζζζσζ 于是有： a a a a a K πσζζσπζζζσπζζζ=++?=++?= →→)2()(2lim )2() (2lim 00Ⅰ 5．对图示“无限大”平板Ⅱ型裂纹问题，求应 力强度因子ⅡK 的表达式。 【解】将x 坐标系取在裂纹面上，坐标原点取在 裂纹中心，则上图所示问题的边界条件为： ① 当y = 0，x → ∞时，ττσσ===xy y x ，0； ② 在y = 0，a x <的裂纹自由面上，0,0==xy y τσ；而在a x >时，随a x →，∞→xy τ。 可以验证，完全满足该问题的全部边界条件的解 析函数为 2 2Ⅱ )(a z z z Z -=τ （1） 将坐标原点从裂纹中心移到裂纹右尖端处，则有 z =ζ+a 或ζ= z －a ， 代入（1），可得： ) 2()()(Ⅱa a Z ++=ζζζτζ 于是有： a a a a a K πτζζτπζζζτπζζζ=++?=++?=→→) 2()(2lim )2()(2lim 00Ⅱ 6．对图示“无限大”平板Ⅲ型裂纹问题，求应 力强度因子ⅢK 的表达式。 岩石的断裂力学及损伤力学综述 摘要：论述了国内外断裂力学及损伤力学的学科发展历程，总结了岩体断裂力学损伤力学的研究内容、研究特点以及岩石力学专家们一些年来所取得的主要成果，并简单介绍了断裂力学损伤力学在岩土工程中的实际应用。最后，通过对岩石破坏的断裂-损伤理论的阐述，指出了综合考虑损伤与断裂的破坏理论是能更好地反映岩石实际破坏过程的一种新的理论, 可在以后的理论研究和实际工程中得以更为广泛的应用。 关键词：岩石 断裂力学 损伤力学 应用 1 引 言 岩石的破坏过程总是伴随着损伤(分布缺陷)和裂纹(集中缺陷)的交互扩展, 这种耦合效应使得裂纹尖端附近区域材料必然具有更严重的分布缺陷。岩石的破坏, 如脆性断裂和塑性失稳, 虽然有突然发生的表面现象, 但是, 从材料损伤的发生、发展和演化直到出现宏观的裂纹型缺陷, 伴随着裂纹的稳定扩展或失稳扩展, 是作为过程而展开的。 经典的断裂力学广泛研究的是裂纹及其扩展规律问题。物体中的裂纹被理想化为一光滑的零厚度间断面。在裂纹的前缘存在着应力应变的奇异场,而裂纹尖端附近的材料假定同尖端远处的材料性质并无区别。象裂纹这样的缺陷可称它为奇异缺陷,因此经典断裂力学中物体的缺陷仅仅表现为有奇异缺陷的存在。 而损伤力学所研究的是连续分布的缺陷, 物体中存在着位错、微裂纹与微孔洞等形形色色的缺陷,这些统称为损伤。从宏观来看, 它们遍布于整个物体。这些缺陷的发生与发展表现为材料的变形与破坏。损伤力学就是研究在各种加载条件下, 物体中的损伤随变形而发展并导致破坏的过程和规律。 事实上, 物体中往往同时存在着奇异缺陷和分布缺陷。在裂纹(奇异缺陷)附近区域中的材料必然具有更严重的分布缺陷, 它的力学性质必然不同于距离裂纹尖端远处的材料。因此, 为了更切合实际, 就必须把损伤力学和断裂力学结合起来, 用于研究物体更真实的破坏过程。 2 断裂力学 2.1 断裂力学学科发展 “断裂力学”指的是固体力学的一个重要分支，该学科要在假定裂纹存在的条件下，寻求裂纹长度、材料抗裂纹增长的固有阻力、以及能使裂纹高速扩展从而导致结构失效的应力之间的定量关系[]1。 断裂力学最早是在1920年提出的。当时格里菲斯为了研究玻璃、陶瓷等脆性材料的实际强度比理论强度低的原因，提出了在固体材料中或在材料的运行过程中存在或产生裂纹的设想，计算了当裂纹存在时，板状构件中应变能变化进而得出了一个十分重要的结果：常数≡a c δ。 1949年，奥罗万在分析了金属构件的断裂现象后对格里菲斯的公式提出了修正，他认为产生裂纹所释放的应变能不仅能转化为表面能，也应转化为裂纹前沿 断裂力学与断裂韧性 3.1 概述 断裂是工程构件最危险的一种失效方式，尤其是脆性断裂，它是突然发生的破坏，断裂前没有明显的征兆，这就常常引起灾难性的破坏事故。自从四五十年代之后，脆性断裂的事故明显地增加。例如，大家非常熟悉的巨型豪华客轮－泰坦尼克号，就是在航行中遭遇到冰山撞击，船体发生突然断裂造成了旷世悲剧！ 按照传统力学设计，只要求工作应力σ小于许用应力[σ]，即σ<[σ], 就被认为是安全的了。而[σ]，对塑性材料[σ]=σ s /n，对脆性材料[σ]=σ b /n， 其中n为安全系数。经典的强度理论无法解释为什么工作应力远低于材料屈服强度时会发生所谓低应力脆断的现象。原来，传统力学是把材料看成均匀的，没有缺陷的，没有裂纹的理想固体，但是实际的工程材料，在制备、加工及使用过程中，都会产生各种宏观缺陷乃至宏观裂纹。 人们在随后的研究中发现低应力脆断总是和材料内部含有一定尺寸的裂纹相联系的，当裂纹在给定的作用应力下扩展到一临界尺寸时，就会突然破裂。因为传统力学或经典的强度理论解决不了带裂纹构件的断裂问题，断裂力学就应运而生。可以说断裂力学就是研究带裂纹体的力学，它给出了含裂纹体的断裂判据，并提出一个材料固有性能的指标——断裂韧性，用它来比较各种材料的抗断能力。 3.2 格里菲斯(Griffith)断裂理论 3.2.1 理论断裂强度 金属的理论断裂强度可由原子间结合力的图形算出，如图3-1。图中纵坐标表示原子间结合力，纵轴上方 为吸引力下方为斥力，当两原子间 距为a即点阵常数时，原子处于平 衡位置，原子间的作用力为零。如 金属受拉伸离开平衡位置，位移越 大需克服的引力越大，引力和位移 的关系如以正弦函数关系表示，当 位移达到X m 时吸力最大以σ c 表示， 拉力超过此值以后，引力逐渐减小， 在位移达到正弦周期之半时，原子间的作用力为零，即原子的键合已完全破坏， 达到完全分离的程度。可见理论断裂强度即相当于克服最大引力σ c 。该力和位移的关系为 图中正弦曲线下所包围的面积代表使金属原子完全分离所需的能量。分离后形成两个新表面，表面能为。 可得出。 若以=，=代入，可算出。 3.2.2 格里菲斯(Griffith)断裂理论 金属的实际断裂强度要比理论计算的断裂强度低得多，粗略言之，至少 低一个数量级，即 。 陶瓷、玻璃的实际断裂强度则更低。 断裂力学学习报告 姓名：zx 学号：xxxxxxxx 一、绪论 （1）传统强度理论是在假定材料无缺陷、无裂纹的情况下建立起来的，认为只要满足r []σσ≤，材料将处于安全状态。 其中： []σ——用安全系数除失效应力得到的许用应力; r σ——为相当应力，它是三个主力学按照一定顺序组合而成的，按照从第一强度理论 到第四强度强度理论的顺序，相应的应力分别为 11 2123313 4() r r r r σσσσμσσσσσσ==-+=-=但是许多事实表明，材料受应力远小于设计应力，材料仍然被破坏。使许多力学工作者迷惑不解，于是投入对其研究，最终发现所有材料并不是理想的，材料中含有大大小小、种类各异的裂纹，于是产生了对裂纹地研究。断裂力学从客观存在裂纹出发，把构件看成连续和和间断的统一体，从而形成了这门新兴的强度学科。 （2）断裂力学的任务是： 1. 研究裂纹体的应力场、应变场与位移场，，寻找控制材料开裂的物理参量; 2. 研究材料抵抗裂纹扩展的能力——韧性指标的变化规律，确定其数值与及测定方法; 3. 建立裂纹扩展的临界条件——断裂准则; 4. 含裂纹的各种几何构件在不同荷载作用下，控制材料开裂的物理参量的计算。 （3）断裂力学的研究方法是：假设裂纹已经存在，从弹性力学或弹塑性力学的基本方程出发，把裂纹当作边界条件，考察裂纹顶端的应力场、应变场和位移场，设法建立这些场与控制断裂的物理参量的关系和裂纹尖端附近的局部断裂条件。 （4）断裂力学的几个基本概念： 根据裂纹受力情况，裂纹可以分为三种基本类型： 1. 张开型(I 型) 裂纹受垂直于裂纹面的拉应力作用,裂纹上下两表面相对张开,如上图a 所示; 2. 滑开型(II 型),又称平面内剪切型 裂纹受平行于裂纹面而垂直于裂纹前缘OO ’的剪应力作用,裂纹上下两表面沿x 轴 相对滑开,如上图b 所示; 3. 撕开型(III 型),又称出平面剪切型或反平面剪切型 裂纹受既平行于裂纹面又平行于裂纹前缘的剪应力作用,裂纹上下两表面沿z 轴相对错开,如上图c 所示. 上述三种裂纹中I 型最为危险.而我们主要也是研究I 型裂纹,因为只要确定了I 型裂纹是安全的,则其它两种裂纹也是安全的。 二、线弹性断裂力学 线弹性断裂力学认为，材料和构件在断裂以前基本上处于弹性范围内，可以把物体视为带有裂纹的弹性体。研究裂纹扩展有两种观点：一种是能量观点，认为如果当裂扩展一增量，使得释放的弹性能多于产生新裂纹表面所需要的能量则发生裂纹的失稳扩展，如Griffith 理论；一种是应力场强度的观点，认为裂纹扩展的临界状态是裂纹尖端的应力场强度达到材料的临界值，如Irwin 理论。 （一） 应力强度因子理论 （1）应力强度因子 把物体断裂归结为带裂纹物体的线弹性力学分析。解弹性力学平面问题，选取应力函数 U(x,y)使其满足双调和方程220U ??=。 解此方程可以得到相应的应力场和位移场，三种类型裂纹尖端的应力场与位移场公式有相似之处，可以写成如下的形式： ()()σ?()N N ij ij θ= ()()()N N i N i u K θ= 式中σij （i,j=1,2,3）为应力分量，i u 为位移分量，N=I,II,III 为裂纹的类型，()ij f θ和()i g θ是 1.断裂与损伤力学的发展过程以及要解决的问题。 2.材料疲劳损伤机理以及断裂力学基本分析方法。 3.新材料复合材料的损伤以及断裂破坏基础理论。 1、 断裂与损伤力学的发展过程以及要解决的问题 1.1 断裂力学的发展简史及要解决的问题 断裂力学理论最早是在1920年提出。当时Griffith 为了研究玻璃、陶瓷等脆性材料的实际强度比理论强度低的原因，提出了在固体材料中或在材料的运行过程中存在或产生裂纹的设想，其内容是：结构体系内裂纹扩展，体系内总能量降低，降低的能量用于裂纹增加新自由表面的表面能，裂纹扩展的临界条件是裂纹扩展力(即应变能释放率)等于扩展阻力(裂纹扩展，要增加自由表面能而引起的阻力)。很好地解释了玻璃的低应力脆断现象。计算了当裂纹存在时，板状构件中应变能的变化进而得出了一个十分重要的结果：=a c δ常数。 其中，c δ是裂纹扩展的临界应力；a 为裂纹半长度。他成功的解释了玻璃等脆性材料的开裂现象但是应用于金属材料时却并不成功。 1944年泽纳(Zener)和霍洛蒙(Hollmon)又首先把Griffith 理论用于金属材料的脆性断裂。不久欧文(Irwin)指出，Griffith 的能量平衡应该是体系内储存的应变能与表面能、塑性变形所做的功之间的能量平衡，并且还指出，对于延性大的材料，表面能与塑性功相比一般是很小的。同时把G 定义为“能量释放率”或“裂纹驱动力”，即裂纹扩展过程中增加单位长度时系统所提供的能量，或裂纹扩展单位面积系统能量的下降率。 1949年Orowam E 在分析了金属构件的断裂现象后对Griffith 的公式提出了修正，他认为产生裂纹所释放的应变能不仅能转化为表面能，也应转化为裂纹前沿的塑性应变功，而且由于塑性应变功比表面能大得多以至于可以不考虑表面能的影响，其提出的公式为 =a c δ=2/1)/2(λEU 常数 该公式虽然有所进步，但仍未超出经典的Griffith 公式范围，而且同表面能断裂力学基础(学习笔记)
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