高一数学上学期第三周周测试题

2016-2017学年上致远中学第三周高一数学周测试卷

一、选择题（60分）

1．设集合*{|4}U x N x =∈≤，{}2,1=A ,{}4,2=B ，则()U A B =（ ）

A ．{1,2}

B ．{1,2,3,4}

C ．{3,4}

D ．{2,3,4}

2．若集合{},1≥=x x A 且B B A = ，则集合B 可能是（ ）

A ．{}2,1

B ．{}1≤x x

C ．{}1,0,1-

D ．R

3．若偶函数()f x 在(,1]-∞-上是增函数，则（ ）

A ．3

()(1)(2)2f f f -<-< B ．3

(1)()(2)2f f f -<-<

C ．3

(2)(1)()2f f f <-<- D ．3

(2)()(1)2f f f <-<-

4．设函数f(x)＝()()12

32,2log 1

,2x e x f x x x -?2的解集是（ ）

A ．(1,2)∪(3，＋∞)

B ．(10，＋∞)

C ．(1,2)∪(10，＋∞)

D ．(1,2)

5．函数()2183f x x x =--的最大值为（ ）

A ．10

B ． 32

C ． 12 D. 15

6．已知集合，，则（ ）

A. B. C. D.

7．函数的定义域为（ ）

A ．[﹣2，0）∪（0，2]

B ．（﹣1，0）∪（0，2]

C ．[﹣2，2]

D ．（﹣1，2]

8． 若{}8222<≤∈=-x Z x A ，{}1log 2>∈=x R x B ，则()B C A R 的元素个数为（

）

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)3

9．函数()x x f -=212的大致图象为（）

10．关于x 的方程9(2)340x x

a +-+=有解，则实数a 的取值范围是 （ ）．

A ．(2,)-+∞

B ．(,2]-∞-

C ．(,4)-∞-

D ．[4,)-+∞ 11．设3.021

31)21(,31log ,2log ===c b a ，则c b a ,,大小关系为 （ ）

A ．b c a <<

B ．c b a <<

C ．c a b <<

D ．a c b <<

12．已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），

且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+）

，则(2010)(2011)f f -+的值为 A ． -2 B ． -1 C ． 1

D ． 2

评卷人

得分 二、填空题（20分） 13．用长为18cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2： 1，则长方体的最大体积是 ．

14．设c b a ,,均为正数，且a a 21log 2=，b b 21log 21=??? ??，c c

2log 21=??? ??. 则c b a ,,的大小关系为 。

15．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，2()f x x x =+，则关于x 的不等式()2f x <-的解集是 ．

16．函数3)4lg(--=

x x y 的定义域是 .

评卷人

得分 三、解答题（70分）

17．（本题满分12分）求实数m 的取值范围，使关于x 的方程x 2

－2x ＋m ＋1＝0有两个正根． a

b x f x x ++-=+122)(

()f x

[3,2009]x ∈29()(29)0f x f t t x

++--<

19．已知函数c bx ax x x f +++-=23)(图象上的点)2,1(-P 处的切线方程为13+-=x y ．

（1）若函数)(x f 在2-=x 时有极值，求)(x f 的表达式；

（2）若函数)(x f 在区间]0,2[-上单调递增，求实数b 的取值范围．

20．（本题12分）()()()()

22log 21,log 21,x x f x g x =+=-若关于x 的函数 ()()()F x g x f x m =--在[1,2]上有零点，求m 的范围

21．函数2

()243f x ax x a =+--， a ∈R .

（1）当1a =时，求函数()f x 在[]1,1-上的最大值；

（2）如果函数()f x 在区间[]1,1-上存在零点，求a 的取值范围.

参考答案

1．D

2．A

3．D

4．C

5．C

6. B

7．B

8．C

9．A

10．B

11．A

12．A

13．设长方体的宽为xcm ，则长为2xcm ，高为18849342x x x --=-cm ；它的体积为V=2x ?x ?（932x -）=2396x x -，（其中0＜x ＜32

）；对V 求导，并令V ′（x ）=0，得21818x x -=0，解得x=0，或x=1；当0＜x ＜1时，函数V （x ）单调递增，当1＜x ＜32

时，函数V （x ）单调递减；所以，当x=1时，函数V （x ）有最大值3，此时长为2cm ，宽为1cm ，高为1.5cm ．故答案为3． 14．c b a <<

利用指数函数、对数函数的图象及性质求解

在同一直角坐标系中画出x y x y y y x

x 212log ,log ,)21(,2====的图象，如右图所示，由图可知

c b a <<

15．(2,)+∞

试题分析：当0x ≤时，21

()24f x x x =+≥->-，当0x >时，22()220,02f x x x x x x x =-+<-?-->>?>又

16．()

(),33,4-∞

17．

18．（1）121()22x x f x +-+=+（2）3(,1)(,)2-∞-+∞ （1）a

b x f x x ++-=+122)(是定义域为R 的奇函数，1(0)02b f a -==+，即1b = 112()2x

x f x a +-∴=+

又1

12(1)(1)014f f a a --+=+=++，2a ∴=

所以121()22

x x f x +-+=+ ……5分

另法：因为()f x 是R 上的奇函数，所以()()0f x f x -+=

即 1122022x x x x b b a a

--++-+-++=++

化简得：(2)(22)2(2)0x x b a ab ---+-=

又x R ∈这个等式恒成立,所以2020b a ab -=??

-=?，即2211

a a

b b ?==-???==-??或 但当2,1a b =-=-时，21()2(21)

x x f x +=--，0x ≠，即()f x 的定义域不是R ，所以，

2,1a b ==，121()22x x f x +-+=+ …… 5分

（2）

12111()22212

x x x f x +-+==-++ ()f x ∴在R 上是减函数（证明略）。 … 6分 又()f x ∴是奇函数，由29()(29)0f x f t t x

++--<得

229()(29)(29)f x f t t f t t x

+<---=-++ ……9分 2929x t t x

∴+

>-++ 这个不等式对于实数[3,2009]x ∈恒成立 ……11分

因为函数9y x x

=+在区间[3,2009]上是增函数，所以当3x =时y 最小6=，从而2629t t >-++，即2230t t --> 所以，312t t <->

或

故t 的取值范围是3(,1)

(,)2

-∞-+∞。 …… 14分 19．（1）342)(23-+--=x x x x f （2）),4[+∞

（1）对函数f （x ）求导，由题意点P （1，-2）处的切线方程为y=-3x+1，可得f ′（1）=-3，再根据f （1）=-1，又由f ′（-2）=0联立方程求出a ，b ，c ，从而求出f （x ）的表达式．（2）由题意函数f （x ）在区间[-2，0]上单调递增，对其求导可得f ′（x ）在区间[-2，0]大于或等于0，从而求出b 的范围

试题解析：b ax x x f ++-=23)(2'，

因为函数)(x f 在1=x 处的切线斜率为-3，

所以323)1('-=++-=b a f ，即02=+b a ，

又21)1(-=+++-=c b a f 得1-=++c b a ．

（1）因为函数)(x f 在2-=x 时有极值，所以0412)2('=+--=-b a f ， 解得3,4,2-==-=c b a ，

所以342)(23-+--=x x x x f ．

（2）因为函数)(x f 在区间]0,2[-上单调递增，所以导函数b bx x x f +--=2'3)(在区间]0,2[-上的值恒大于或等于零，

由03)(2'≥+--=b bx x x f 在区间]0,2[-上恒成立，得132--≥x x b 在区间]0,2[-上恒成立，

只需max 2

)13(--≥x x b 令)(x g 132

--=x x ，则)('x g =2)

1()2(3--

-x x x ．当02≤≤-x 时，0)('≤x g 恒成立． 所以)(x g 在区间单]0,2[-单调递减，4)2()(max =-=g x g

所以实数b 的取值范围为),4[+∞

20．221335

m ≤≤㏒㏒

21．（1）()(1)2max f x f ==；（2）实数a 的取值范围是1a ≥-或2a ≤-.

（1）当1a =时，2()244f x x x =+-222(2)42(1)6x x x =+-=+-．结合抛物线的图象可知

1x =时，()f x 最大.（2）显然0a =时，()43f x x =-在[]1,1-上有零点； 当0a ≠时，()f x 为二次函数.根据二次函数的特征，结合判别式及抛物线的对称轴的位置，可确定a 为何值时()f x 在区间[]1,1-上存在零点.

（1）当1a =时，则2()244f x x x =+-

222(2)42(1)6x x x =+-=+-．

因为[]1,1x ∈-，所以1x =时，()(1)2max f x f ==． 3分

（2）当0a =时，()43f x x =- ,显然在[]1,1-上有零点, 所以0a =时成立. 4分

当0a ≠时，令168(3)8(1)(2)0a a a a ?=++=++=,

解得1,a =-2a =-． 5分

（1） 当1a =-时, 22()2422(1)f x x x x =-+-=--

由()0f x =，得1[1,1]x =∈-；

当 2a =-时,221()4414()2f x x x x =-+-=--．

由()0f x =，得1

[1,1]2x =∈-，

所以当 0,1,2a =--时, ()y f x =均恰有一个零点在[]1,1-上. 7分

（2）当(1)(1)(7)(1)0f f a a -=-+≤，即17a -≤≤时，

()y f x =在[]1,1-上必有零点. 9分

（3）若()y f x =在[]1,1-上有两个零点, 则

0,8(1)(2)0,111,(1)0,(1)0a a a a f f >???=++>??-<-

8(1)(2)0,

111,(1)0,

(1)0.

a a a a

f f ?

?-<-

解得7a ≥或2a <-．

综上所述，函数()f x 在区间[]1,1-上存在极值点，实数a 的取值范围是

a≤-. 14分a≥-或2

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