第六章 力系的简化与平衡

第六章 力系的简化与平衡

一、目的要求

1．平面汇交力系（多个力）简化与平衡的几何法和解析法，并能应用平衡条件求解平面汇交力系的平衡问题。

2.力偶系的简化与平衡。

3、了解空间力系向一点简化的方法，明确空间力系合成的四种结果。

4．深入理解平面力系的平衡条件及平衡方程的三种形式。

5．能熟练地计算在平面任意力系作用下单个刚体和物体系统平衡问题。

6.理解简单桁架的简化假设，掌握计算其杆件内力的节点法和截面法及其综合作用。

7、会应用各种形式的空间力系平衡方程求解简单空间平衡问题。

8、对平行力系中心和重心应有清晰的概念，能熟练地应用坐标公式求物体的重心。

9. 牢固掌握滑动摩擦的性质，深刻理解库仑摩擦定律的内涵，熟练求解考虑滑动摩擦时的平衡问题（解析法、几何法）。了解全反力、摩擦角、自锁等概念，了解滚动摩擦现象。

二、基本内容

1．平面汇交力系的简化

平面汇交力系可合成为通过汇交点的合力，其大小和方向等于各分力的矢量和。即

∑==+++=n

i i 11F F F F F n 2R Λ

合力R F 的大小和方向可用力三角形法则或力多边形法则得到。作出图示首尾相接的开口的力多边形abcde ，封闭边矢量ae 即所求的合力。通过力多边形

求合力的方法称为几何法。

平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系的合力等于零。

其矢量表达式为 ∑==0F F R

力系平衡的几何条件是：力系的力多边形自行封闭。

合力投影定理：合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个坐标轴上的投影的代数和分别为零。即

00x y F

F

?=??=??∑∑ 两个独立的平衡方程，可解两个未知量。

2.力偶系的简化与平衡条件 （1）力偶系的简化

力偶系可简化为一合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即

i M M ∑=

力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各力偶矩的和等于零，即 ∑=0M 或∑∑∑===000z y x M M M

3. 空间力系的简化与合成的最终结果

1）空间力系向已知点O 简化

力的平移定理：可以把作用在刚体上点A 的力F 平行移到任一点B ，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶矩等于原来的力F 对新作用点B 的矩。

空间力系向已知点O 简化的一般结果为一个作用在O 点的力和一个力偶，该力矢量等于此力系的主矢。该力偶的力偶矩矢量等于力系对简化中心O 的主矩。主矢与简化中心的选取无关。一般情况下，主矩与简化中心的选取有关。

2）空间力系合成的最终结果

空间力系的最终合成结果有四种可能：一个合力、一个合力偶、一个力螺旋和平衡，这四种结果可由力系的主矢和力系对任意一点的主矩来判断。具体归纳如下：

4．空间力系的平衡条件和平衡方程

空间力系平衡的充分与必要条件为：该力系的主矢和对任意点的主矩同时为零。其基本形式的平衡方程为：

ΣX=0 ΣM x(F)=0

ΣY=0 ΣM y(F)=0

ΣZ=0 ΣM z(F)=0

须指出，空间一般力系有六个独立的平衡方程可以求解六个未知量。具体应用时，不一定使3个投影轴或矩轴互相垂直，也没有必要使矩轴和投影轴重合，而可以选取适宜轴线为投影轴或矩轴，使每一个平衡方程中所含未知量最少，以简化计算。此外，还可以将投影方程用适当的力矩方程取代，得到四矩式、五矩式以至六矩式的平衡方程。使计算更为简便。

几种特殊力系的平衡方程

（a）空间汇交力系

ΣX=0 ΣY=0 ΣZ=0

（b）空间力偶系

ΣM x(F)=0 ΣM y(F)=0 ΣM z(F)=0

（c）空间平行力系（若各力//z轴）

ΣZ=0 ΣM x(F)=0 ΣM y(F)=0

5．平面力系的平衡条件和平衡方程

平面力系平衡的充分必要条件是该力系的主矢和对作用面内任意一点的主矩同时为零。其解析表达式有三种形式，称为平衡方程。

1）基本形式

?????=∑=∑=∑0)(0

00F M Y X

2）二矩式

?????=∑=∑=∑0)(0

)(0F F B A M M X 附加条件为：A 、B 两点连线不垂直于x 轴

3）三矩式

?????=∑=∑=∑0)(0

)(0)(F F F C B A M M M 附加条件为：A 、B 、C 三点不共线

特殊力系的平衡方程

1）共线力系：0=∑i F

2）平面汇交力系：???=∑=∑00Y X

4）平面平行力系： )//( 0)(0轴y M Y i o F F ???=∑=∑

6．平面力系平衡方程的应用

应用平衡方程式求解平衡问题的方法称为解析法。它是求解平衡问题的主要方法。这种解题方法包含以下步骤：

①根据求解的问题，恰当的选取研究对象：所谓研究对象，是指为了解决问题而选择的分析主体。选取研究对象的原则是，要使所取物体上既包含已知条件，又包含待求的未知量。

②对选取的研究对象进行受力分析，正确地画出受力图：在正确画出研究对象受力图的基础上，应注意适当地运用简单力系的平衡条件如二力平衡、三力平衡汇交定理、力偶等效定理等确定未知反力的方位，以简化求解过程。

③建立平衡方程式，求解未知量：为顺利地建立平衡方程式求解未知量，应注意如下几点：

(a)根据所研究的力系选择平衡方程式的类别（如汇交力系、平行力系、任意力系等）和形式（如基本式、二矩式、三矩式等等）。

(b)建立投影方程时，投影轴的选取原则上是任意的，并非一定取水平或铅垂方向，应根据具体问题从解题方便入手去考虑。

c)建立力矩方程时，矩心的选取也应从解题方便的角度加以考虑。

d)求解未知量。由于所列平衡方程一般是一组线性方程组，这说明一个静力学题经过上述力学分析后将归结于一个线性方程组的求解问题。从理论上讲，只要所建立的平衡方程组具有完整的定解条件（独立方程个数和未知量个数相等），则求解并不困难，若要解的方程组相互联立，则计算（指手算）耗时费力。为免去这种麻烦，就要求在列平衡方程式时要运用一些技巧，尽可能做到每个方程只含有一个（或较少）的未知量，以便手算求解。

7．平面简单桁架内力的计算

1）桁架：是由若干直杆在端点用铰连接而成的几何形状不变的结构。若所有杆件都在同一平面内称其为平面桁架。

2）在工程中的桁架满足四点假设。称其为理想桁架，这样桁架的各杆都可以称为两端受力作用的二力杆件。

3）桁架的坚固性条件和静定条件：2n=m+3

4）求平面静定桁架各杆内力的两种方法。

①节点法：逐个考虑桁架中所有节点的平衡，应用平面汇交力系的平衡方程求出各杆的内力。

②截面法：截断待求内力的杆件，将桁架截断为两部分，取其中的一部分为研究对象，应用平面任意力系的平衡方程求出被截断各杆件的内力。

8．平行力系中心及物体的重心

1）平行力系中心

只要平行力系中各力的大小及作用点的位置确定，无论平衡力系中力的方向如何，其合力作用线必定通过确定的一点，该点称为平行力系中心。其坐标公式为

i i i c i i i c i i i c F z F z F y F y F x F x ∑∑=∑∑=∑∑= , ,

2）物体的重心

物体的重心是该重力的合力始终通过的一点。均质物体的重心与中心重合。物体的重心在物体内占有确定的位置，与物体在空间的位置无关。物体重心的坐标公式为

i i

i c i i i c i i i c P z P z P y P y P x P x ∑∑=∑∑=∑∑= , ,

9．摩擦

1）摩擦现象：按照接触物体之间可能会相对滑动或相对滚动，可分为滑动

摩擦和滚动摩擦。

2）库仑摩擦定律：

①滑动摩擦力是在两个物体相互接触的表面之间有相对滑动趋势或有相对滑动时出现的切向阻力。前者称为静滑动摩擦力，后者称为动滑动摩擦力。

②静摩擦力的方向与接触面间相对滑动趋势的方向相反，它的大小随主动力改变，应根据平衡方程确定。静摩擦力F s 变化的范围在零与最大值F max 之间，即

0≤F s ≤F max

当物体处于平衡的临界状态时，静摩擦力达到最大值F max ，其大小由库仑静摩擦定律决定，即

F max =f s F N

f s 称为静滑动摩擦因数，与接触面的性质有关，用实验方法测定。

当物体发生滑动时的摩擦力称为动滑动摩擦力，其方向与相对运动方向相反，大小为

F d =fF N

其中f 称为动滑摩擦因数，一般有f

③摩擦角与自锁现象

摩擦角?为全约束反力与法线间夹角的最大值，且有

tan ?=f s

当作用于物体的主动力的合力的作用线与支承面的法线所夹的锐角α小于摩

擦角?时，无论这个力有多大，物体总能保持平衡状态的现象。称为自锁。即自锁现象发生时总有

0≤α≤? 其中：

N s

F F =αtan ④滚动摩阻力偶与滚动摩阻系数

两个相互接触的物体有相对滚动或滚动趋势时，支承面给物体的作用中除了可能存在的摩擦力F 之外，还有一个阻碍滚动的力偶M 作用于物体，该力偶称为滚动摩阻力偶。其方向与相对滚动趋势相反，大小由平衡条件决定，并且有

0≤M ≤M max

其中M max =δ F N 为滚动摩阻力偶的最大值，δ 称为滚动摩阻系数，具有长度量纲。

三、重点和难点

重点：1. 平面任意力系平衡的解析条件及平衡方程的各种形式。

2.物体及物体系平衡问题的解法。

3.空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡方程及其应用；

4．各种常见的空间约束及约束反力画法；

5．重心的坐标公式。

6. 滑动摩擦力和临界滑动摩擦力，滑动摩擦定律。

7．考虑滑动摩擦时物体的平衡问题的求解方法。

难点：1、主矢与主矩的概念。

2、利用特殊力系的特点画出某些约束反力，选择恰当的平衡方程求

解未知量。

3、物体系平衡问题中正确选取研究对象及平衡方程。

4．空间结构的几何关系与立体图；

5．解空间力系平衡问题时力矩轴的选取；

6．求组合体的形心坐标。

7. 正确区分不同类型的含摩擦平衡问题；正确判断摩擦力的方向及

正确应用

库仑摩擦定律。

四、学习建议

①对平面力系的简化方法及简化结果应阐述透彻。特别指出：主矢和主矩是在对一个力系进行简化时，为了准确描述力系的特征而引入的重要概念。主矢不是合力，合力有大小，方向与作用点三个要素，而主矢只具有大小和方向两个特征，力系的主矢与简化中心无关。一般而言，主矩的大小、转向与简化中心的选取有关，但是在主矢为零的情况下，主矩与简化中心无关。注意对不同的简化中心的简化结果表面上看互不相同，但它们互为等效力系。

②对物体系统平衡问题中如何选取恰当的研究对象和平衡方程，通过典型例题着重了解，并进行归纳总结。特别指出如下要点：

其一，求解物系的平衡问题的关键在于选取研究对象，它需要一定的分析判断能力，也需要经验的积累。在选取研究对象时，有两种极端情况：（a）只选取整体为研究对象，在此要注意受力图中只画外力，不画内力，本质问题是由外力构成的力系平衡问题，因此，无法求解系统内力，且当未知数多于三个时，也无法求解全部未知量；(b)将系统中所有刚体相互隔离，取每个刚体单独作为研究对象，由于是静定问题，则全部内外反力借助全部的平衡方程均可解出，虽思路简单，但由于求出多个不需求的未知力，使求解工作量增加，且过程繁琐。因此，一般而言，应根据题目的具体要求，灵活选取研究对象，尽量以最少的研究对象求解系统的平衡问题。

其二：在开始求解平衡方程时，如果独立平衡方程式的个数少于未知量的个数，可能出现两种情况：(a)该问题是静不定问题；(b)该问题为刚体系统的平衡问题，需再次选择研究对象。应注意的是，此种情形下，虽然不能依据这些平衡方程式求出全部未知量，但有可能求出其中的一个或两个未知量。

③简单桁架的内力计算实际上是平衡方程的工程应用，当桁架结构比较复杂，杆件总数和节点数都比较大的情形下，则无论采用节点法或截面法，计算量都可能较大。若采用计算机分析方法，则会简单得多。目前一些工程力学应用软件中，都包含有分析静定和超静定桁架内力的程序。

④通过与平面任意力系对照和比较的方法，来理解空间任意力系向一点简化的方法、主矢和主矩的概念，简化结果、平衡条件及平衡方程，重点介绍力矩轴与投影轴选取原则与方法，简单系统的空间平衡问题。

⑤在计算重心坐标时要讲清坐标选取原则，利用对称均质物体的对称性求重心，对组合法求重心要求熟练应用，积分法、查表法、实验法等只作一般介绍。

⑥讲清摩擦力与运动状态之间的关系，通过实例说明物体处于不同状态下摩擦力的大小和方向的确定方法。

滑动摩擦和滚动摩擦都是接触面对物体的约束作用。滑动摩擦显示为一个力，滚动摩擦则显示为一个力偶，二者性质不同。一般有滚动摩擦的场合，总会有滑动摩擦存在，但是，不一定是最大值，对又滑又滚的临界平衡问题，两者都是最大值，而只滚不滑（纯滚动）的情况，一般仅滚动摩阻力偶矩达到最大值。

⑦通过例题总结考虑含摩擦平衡问题的类型题及解题要点，值得强调，在分析求解考虑摩擦的平衡问题时，首先需要对物体所处的状态作出判断，其次是要判断物体的运动趋势，以便正确分析摩擦力和滚动摩阻力偶。物体平衡时，既要满足平衡条件又要满足接触面的物理性质给出的限制条件。要注意只有物体处于临界平衡状态时才能使用关系式

F max=f s F N M max= F N

有时利用几何平衡条件和摩擦角的概念求解考虑摩擦的平衡问题（夹具或机构的自锁等）较为方便，此时三力平衡汇交定理和二力构件的概念十分有用