不等式的性质--比较实数大小的方法(教案)
课题:2.1不等式的性质--比较实数大小的方法
教学目的:1.了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用;
2.掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系,学会比较两个代数式的大小.教学重点:比较两实数大小.
教学难点:差值比较法:作差→变形→判断差值的符号
授课类型:新授课
教学过程:
一、引入:
人与人的年龄大小、高矮胖瘦,物与物的形状结构,事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系,这表明现实世界中的量,不等是普遍的、绝对的,而相等则是局部的、相对的研究不等关系,反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系,这种关系是本章内容的基础,也是证明不等式与解不等式的主要依据因此,本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢?
转化为数学问题:a克糖水中含有b克糖(a>b>0),若再加m(m>0)克糖,则糖水更甜了,为什么?
分析:起初的糖水浓度为,加入m克糖后的糖水浓度为,只要证>即
可怎么证呢?引人课题
二、讲解新课:
1.不等式的定义:用不等号连接两个解析式所得的式子,叫做不等式.
2.判断两个实数大小的充要条件
对于任意两个实数a、b,在a>b,a= b,a<b三种关系中有且仅有一种成立.判断两个实数大小的充要条件是:
由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号就可以了.
三、讲解范例:
例1比较与的大小
分析:此题属于两代数式比较大小,实际上是比较它们的值的大小,可以作差,然后展开,合并同类项之后,判断差值正负(注意是指差的符号,至于差的值究竟是多少,在这里无关紧要)并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小把比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题. 本题知识点:整式乘法,去括号法则,合并同类项
解:∵
∴<
例2已知≠0,比较与的大小.
分析:此题与例1基本类似,也属于两个代数式比较大小,但是其中的x有一定的限制,应该在对差值正负判断时引起注意,对于限制条件的应用经常被学生所忽略
本题知识点:乘法公式,去括号法则,合并同类项
解:∵-
∵∴从而>
引伸:在例2中,如果没有x≠0这个条件,那么两式的大小关系如何?
若没有这一条件,则,从而大于或等于
此题意在培养学生分类讨论的数学思想,提醒学生在解决含字母代数式问题时,不要忘记代数式中字母的取值范围,一般情况下,取值范围是实数集的可以省略不写得出结论:例1,例2是用作差比较法来比较两个实数的大小,其一般步骤是:作差——变形——判断符号这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题,至于差本身
是多少,在此无关紧要
例3已知a>b>0,m>0,试比较与的大小
解:
∵a>b>0,m>0,∴a-b>0,a+m>0 ∴∴>
从而揭示“糖水加糖甜更甜”的数学内涵
例4比较与的大小.
解:
说明:“变形”的目的是为了判定符号,“变形”是解题的关键,因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法
四、课堂练习:
1.比较与的大小.
2.如果,比较与的大小.
3.已知,比较与的大小.
五、小结:本节学习了实数的运算性质与大小顺序之间的关系,并以此关系为依据,研究了如何比较两个实数的大小,其具体解题步骤可归纳为:作差——变形——判断符号在某些特殊情况下(如两数均为正,且作商后易于化简)还可考虑运用作商法比较大小它与作差法的区别在于第二步,作商法是判断商值与1的大小关系
六、课后作业:
1.比较与的大小.
提示:∵
∵∴<
2.比较与的大小.
3.已知,比较与的大小
解: =……=∴≥
七、板书设计(略)
实数比较大小的基本方法与技巧
实数比较大小的基本方法与技巧 山西耿京娟 在现实生活与生产实际中,我们经常会遇到比较两个或几个数的大小。怎样比较实数与实数之间的大小呢?比较两个实数的大小通常有以下几种方法: 一、求差法 求差法——设a,b为任意两个实数,先求出a与b的差,再根据“当a-b<0时,a0时,a>b.”来比较a与b的大小. 3,113例1.比较大小:(1)与;(2)1-2与1- 55 3,13,13,211解:(1)?,=<0, ?<. 55555 333 (2) ?(1-2)-(1-)=-2>0, ?1-2>1- 二、求商法 aa求商法——设a,b为任意正两个实数,先求出a与b的商,再根据“当<1时,a1时,a>b.”来比较a与b的大小. b 3,11 例2(比较大小:(1)与; 55 3,13,1113解:(1) ??=-1<1,?<. 5555 三、倒数法 1111倒数法——设a,b为任意两个正实数,先分别求出a与b的倒数,再根据“当<时,a>b;当>abab时,a 112004,20032005,2004?<,?>. 2004,20032005,2004 四、估算法 估算法——设a,b为任意两个正实数,先估算出a, b两数或两数中某部份的取值范围,再进行比较. 13,31例4(比较大小:(1)与 ;(2) ,23+3与4,47 88 13,311313解:(1)?3<<4, ?-3<1, ?<. 88 (2) ?-4<,23<-5, ?-1<,23+3<-2; 又?-6<,47<-7, ?-2<4,47<-3. ,23,47?+3>4. 五、平方法 平方法——比较含有无理数的式子的大小时,先将要比较的两个数分别平方,再根据“在a,0,b,0 22时,可由a,b得到a,b”比较大小.也就是说,两个正数比较大小时,如果一个数的平方比另一个数的平方大,则这个数大于另一个数。 3553例5.比较与的大小. 2235533553解:?()=45 ,()=75 , 又?45<75, ?<. 六、移动因式法 abcd移动因式法——当a>0, b>0时,若要比较形如与的两数的大小,可先把根号外的正因数a与c平方后移入根号内,再根据被开方数的大小进行比较。 3553例6.比较与的大小. 22354553753553解:?==,== , 又?45<75,?<. 3,55,3 七、近似值法 《不等式的基本性质》教案 教学目标 1、经历不等式基本性质的探索过程,初步体会不等式与等式的异同. 2、掌握不等式的基本性质. 教学重难点 不等式的基本性质的掌握与应用. 教学过程 一、比较归纳,产生新知 我们知道,在等式的两边都加上或都减去同一个数或整式,等式不变. 请问:如果在不等式的两边都加上或都减去同一个整式,那么结果会怎样?请举几例试一试,并与同伴交流. 类比等式的基本性质得出猜想:不等式的结果不变.试举几例验证猜想. 如3<7,3+1=4,7+1=8,4<8,所以3+1<7+1;3-5=-2,7-5=2,-2<2,所以3-5<7-5;3+a<7+a;3<7,3-a<7-a等.都能说明猜想的正确性. 二、探索交流,概括性质 完成下列填空. 2<3,2×5______3×5; 2<3,2×(-1)______3×(-1); 2<3,2×(-5)______3×(-5); 你发现了什么?请再举几例试试,与同伴交流. 通过计算结果不难发现:第一个空填“<”,后三个空填“>”. 得出不等式的基本性质: 不等式的基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变.不等式的基本性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.不等式的基本性质3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.(通过自我探索与具体的例子使学生加深对不等式性质的印象) 三、例题解析 将下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式: (1)x-5>-1;(2)-2x>3. 解:(1)根据不等式的基本性质1,两边都加5,得 x>-1+5 即 x >4 (2)根据不等式的基本性质3,两边都除以-2,得 32 <-x 四、练习巩固,促进迁移 1、用“>”号或“<”号填空,并简说理由. ① 6+2 ______ -3+2; ② 6×(-2)______ -3×(-2); ③ 6÷2______ -3÷2; ④ 6÷(-2)______ -3÷(-2) 2、利用不等式的基本性质,填“>”或“<”. (1)若a >b ,则2a +1 _____ 2b +1; (2)若a <b ,且c >0,则ac +c ______ bc +c ; (3)若a >0,b <0, c <0,(a -b )c ______ 0. 3、巩固应用,拓展研究. 按照下列条件,写出仍能成立的不等式,并说明根据. (1)a >b 两边都加上-4; (2)-3a <b 两边都除以-3; (3)a ≥3b 两边都乘以2; (4)a ≤2b 两边都加上c . 五、课堂小结 不等式的基本性质: 不等式的基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变. 不等式的基本性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. 不等式的基本性质3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 实数大小比较的常用方法【初二数学】 添加时间:2012年11月23日浏览:53次 顿悟教育数学培优训练营来自:顿悟教育网 实数的大小比较是中考及数学竞赛中的常见题型,不少同学感到困难。“实数”是初中数学的重要内容之一,也是学好其他知识的基础。为帮助同学们掌握好这部分知识,本讲介绍几种比较实数大小的常用方法。 一【差值比较法】差值比较法的基本思路是设a,b为任意两个实数,先求出a与b的差,再根据当a-b﹥0时,得到a﹥b。当a-b﹤0时,得到a﹤b。当a-b=0,得到a=b。 例1:(1)比较与的大小。(2)比较1-与1-的大小。 解∵-=<0 ,∴<。 解∵(1-)-(1-)=>0 ,∴1->1-。 二【商值比较法】商值比较法的基本思路是设a,b为任意两个正实数,先求出a与b得商。当<1时,a<b;当>1时,a>b;当=1时,a=b。来比较a与b的大小。 例2:比较与的大小。 解:∵÷=<1 ∴< 三【倒数法】倒数法的基本思路是设a,b为任意两个正实数,先分别求出a与b的倒数,再根据当>时,a<b。来比较a与b的大小。 例3:比较-与-的大小。 解∵=+,=+ 又∵+<+ ∴->- 四【平方法】平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方,再根据a>0,b>0时,可由>得到a>b来比较大小,这种方法常用于比较无理数的大小。 例5:比较与的大小 解:,=8+2。 又∵8+2<8+2∴<。 五【估算法】 估算法的基本是思路是设a,b为任意两个正实数,先估算出a,b两数或两数中某部分的取值范围,再进行比较。 例4:比较与的大小 解:∵3<<4 ∴-3<1 ∴< 六【移动因式法】(穿墙术) 移动因式法的基本是思路是,当a>0,b>0,若要比较形如a的大小,可先把根号外的因数a与c平方后移入根号内,再根据被开方数的大小进行比较。 比较实数大小的八种方法 生活中,我们经常会遇到下面的问题:比较一个企业不同季度的产值,国家去年与前年的国民生产总值等实际问题的大小,转化成数学问题,就是比较两个或多个实数的大小,比较实数大小的方法比较多,也比较灵活,现采撷几种常用的方法供大家参考。 一、法则法 比较实数大小的法则是:正数都大于零,零大于一切负数,两个负数相比较,绝对值大的反而小。 例1 比较与的大小。 析解:由于,且,所以。 说明:利用法则比较实数的大小是最基本的方法,对于两个负数的大小比较,可将它转化成正数进行比较。 二、平方法 用平方法比较实数大小的依据是:对任意正实数a、b有:。 例2 比较与的大小。 析解:由于,而,所以。 说明:本题也可以把外面的因数移到根号内,通过比较被开方数大小来比较原数的大小,目的是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。 三、数形结合方法 用数形结合法比较实数大小的理论依据是:在同一数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 例3 若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示,试比较a、-a、b、-b、c、-c的大小。 析解:如图2,利用相反数及对称性,先在数轴上把数a、-a、b、-b、c、-c表示的点 画出来,容易得到结论: 四、估算法 用估算法比较实数的大小的基本思路是:对任意两个正实数a、b,先估算出a、b两数的取值范围,再进行比较。 例4 比较与的大小。 析解:由于,故,所以 五、倒数法 用倒数法比较实数的大小的依据是:对任意正实数a、b有: 例5 比较与的大小 析解:因为, 又因为, 所以 所以 说明:对于两个形如(,且k是常数)的实数,常采用倒数法来比较它们的大小。 六、作差法 用作差法比较实数的大小的依据是:对任意实数a、b有: 例6 比较与的大小。 析解:设, 学习目标 1、掌握不等式的基本性质。 2、会应用不等式的基本性质对不等式进行化简。 3、知道等式与不等式性质的联系与区别。 重点难点 重难点:不等式的性质及其应用。 学习过程 一、课前预习 1、不等式的性质1: 字母表示为:如果a>b,那么 2、不等式的性质2: 字母表示为:如果a>0,c>0,那么 3、不等式的性质3: 字母表示为:如果a>0,c<0,那么 二、课堂研讨 (一)重点研讨 4、将下列不等式化成“χ>a”或“χ<a”的形式。 (1)χ+12>6 (2)2χ<-2 (3)χ-2>0.9 (4)-3χ<-6 5、思考:等式的性质和不等式的性质有什么异同? 相同点:不同点: (二)拓展训练 6、解不等式2x—1﹤5x-5并在数轴上表示解集。 7、已知a﹥b,ac一定大于bc吗? (三)达标测试 8、填写不等号或变形依据。 (1)∵0<1∴a a+1,依据; (2)若2x>-6,两边同除以2,得,依据;(3)若-12 x f,两边同乘以-3,得,依据。 3 9、若x>y,判断下列不等式变形是否正确,并说出你的理由。(1)x-6 (3)-2x<-2y (4)2x+1>2y+1 (5)ax>ay 三、课后巩固 10、填空 (1)∵ 2a > 3a ∴ a 是 数 (2)∵ 32 a a p ∴ a 是 数 (3)∵ax < a 且 x > 1 ∴ a 是 数 11、根据下列已知条件,说出a 与b 的不等关系,并说明是根据不等式哪一条性质。 (1)a -3 > b -3 (2) 33a b f (3)-4a > -4b 12、设m >n ,用“<”或“>”填空 ⑴m -5 n -5 ⑵m+4 n+4 ⑶6m 6n ⑷-31 m - 31 n 13、利用不等式的性质解下列不等式,并将解集在数轴上表示出来。 ⑴ x -7>26 ⑵ 3x <2x+1 《 等式性质与不等式性质》 1、知识与技能 (1)能用不等式 (组)表示实际问题的不等关系; (2)初步学会作差法比较两实数的大小; (3)掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题. 2、过程与方法 使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系;以问题方式代替例题,学习如何利用不等式研究及表示不等式,利用不等式的有关基本性质研究不等关系. 3、情感态度与价值观 通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度,注重问题情境、实际背景的设置,通过学生对问题的探究思考,广泛参与,改变学生学习方式,提高学习质量. 【教学重点】 能用不等式(组)表示实际问题的不等关系, 会作差法比较两实数的大小 ,通过类比法,掌握不等式的基本性质. 【教学难点】 运用不等式性质解决有关问题. (一)新课导入 用不等式(组)表示不等关系 中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v )不小于第一宇宙速度(记作2v ),且小于第二宇宙速度(记 1v ). 12v v v ≤< (二)新课讲授 问题1:你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗 (1)某路段限速40km /h ; (2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于%,蛋白质的含量p 应不少于%; (3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边; (4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短. 对于(1),设在该路段行驶的汽车的速度为vkm /h ,“限速40km /h ”就是v 的大小不能超过40,于是0<v ≤40. 对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于%,蛋白质的含量p 应不少于%. 2.5%2.3% f p ≥??≥? 对于(3),设△ABC 的三条边为a ,b ,c ,则a +b >c ,a -b <c . 对于(4),如图,设C 是线段AB 外的任意一点,CD 垂直于AB ,垂足 为D ,E 是线段AB 上不同于D 的任意一点,则CD <CE . 以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式图接着, 就可以用不等式研究相应的问题了 问题2:某种杂志原以每本元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,杂志的单价每提高元,销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元 解:提价后销售的总收入为错误!x 万元,那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 实数练习题 二、解答题 13、已知2a ﹣1的平方根是±3,3a+2b+4的立方根是3,求a+b 的平方根. 14、已知:x ﹣2的平方根是±2,2x+y+7的立方根是3,求x 2+y 2 的算术平方根. 15、求下列各式中的x : (1)4x 2﹣25=0; (2)(x ﹣1)3=64. 16、求下列各式中x 的值: ①(x ﹣2)2=25; ②﹣8(1﹣x )3=27. 17、求下列式子中x 的值. (1)x 2﹣25=0; (2)64(x+1)3=27. 一、运用方根定义法 例1、 比较5-m 和34m -的大小 二、添加根号法 3 三、取近似值法 例3、 比较3.23和15+的大小 四、放缩法 例4、 比较26+和257-的大小 五、作差法 例5、 比较21 5-和21 的大小 六、比较倒数法 例6、设32,23,52a b c =-=-=-,则,,a b c 的大小关系是: ( ) (A)a b c >> (B)a c b >> (C)c b a >> (D)b c a >> 七、平方法 例7、比较517-和715-的大小 1、比较m -3和35-m 的大小. 3 3、比较4.17和110+的大小. 4、比较25+和259-的大小. 5、比较5-3与3+3大小. 6、比较67-和32-的大小. 7、比较73+与25+ 的大小. 答案:1、m -3>35-m .2、314<19.3、4.17>110+.4、25+<259-. 5、5-3<3+3.6、67-<32-.7、73+>25+ . §2.1.1比较实数大小的方法 【教学目标】 知识目标: 1、教学目的: (1).了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用; (2).掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系,学会比较两个代数式的大小. 2、教学重点:比较两实数大小. 3、教学难点:差值比较法:作差→变形→判断差值的符号 4、授课类型:新授课 能力目标: 通过不等关系的学习与探究,培养数学思维能力. 情感目标: (1)经历比较实数大小及证明不等关系的过程,关注逻辑判断与推理; (2)感受生活中的不等关系模型,体会数学知识的应用. 【教学设计】 (1)以实例引入知识内容,提升学生的求知欲; (2)抓住解不等式的知识载体,复习与新知识学习相结合; (3)加强知识的巩固与练习,培养学生的思维能力. 【教学备品】 教学课件. 【课时安排】 1 课时.(45 分钟) 【教学过程】 教学过程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间 *知识回顾揭示课题 问题: 实数与数轴上的点是如何对应的?质疑思考 在数轴上表示出与实数-2、-1、0、2、4 对应的点. 解答 直观 1 2 【教学板书】 2.1.1 比较实数大小的方法 1、数轴对应点位置比较法: 实数和数轴上的点一一对应; 数轴上的任意两点中,右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大。 2、作差比较法: 对于两个任意的实数a 和b,有: a - b > 0 ?a >b ; a - b = 0 ?a =b ; a - b < 0 ?a 【教学反思】 本节课授课对象为17 级汽修1 班,该班级普遍数学水平比较薄弱,因此,在课堂上应多结合生活中的有趣现象、实例,通过游戏等方式引导学生学习,把抽象的数学概念和理论演变成通俗易懂的生活实例,这样学生比较容易理解和接受新的知识,课堂气氛也会比较活跃。同时,要重视讲练结合与强化练习,在练习的过程中多走到学生去查看他们的答题情况,多引导和鼓励。课堂上多提问学生,从而能发现学生在学习新知识中碰到的问题,并引导学生一起解决问题,培养学生学习数学的兴趣。 4 “不等式的性质”的教学设计 07990201 侯志静 综合理科072班 一、课标分析 数学新课程标准提到:要注重提高学生的数学思维能力,即“在学生学习数学运用数学解决问题时,应经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程”。笔者在认真学习领会新课程标准的基础上,在《不等式的性质》教学设计中大胆探索归纳式学习方法、勇于实践探究式教学方法,以取得更好的教学效果。二、教材分析 (1)本节内容是七年级下第九章《不等式和不等式组》中的重点部分,是不等式的第一节课,由于学生是第一次接触不等式,故此节课应该是在加深对不等式的认识的基础上,着重探究不等式的性质,了解一般不等式的解与解集以及解不等式的概念。 (2)不等式的性质是后继深入学习一元一次不等式组以及解决与不等式有关问题的基础和依据。教材中列举了不等式的三条基本性质定理,这三条性质不等式的最基本、也是最重要的性质,不仅要掌握它们的内容、理解掌握它们成立的条件、把握它们之间的联系,还要对这些性质进行拓展探究。 (3)不等式的性质是培养学生数学能力的良好题材,学习不等式,要经常用到观察、分析、归纳、猜想、迭代的思想,还要综合运用前面的知识解决不等式中的一些问题,这些都有助于学生数学能力的提高。本节内容安排上难度和强度不高,适合学生讨论,可以充分开展合作学习,培养学生的合作精神和团队竞争的意识。 (4)本章的知识定位与传统教材有些不同,在这套教材中,前面已经介绍了一元一次方程、一次函数及二元一次方程组的内容,现在再学习一元一次不等式和一元一次不等式组已是顺理成章的了,但是知识体系的变化会引起对不等式整个内容的理解与把握上的不同,相应问题的难度与函数、方程的综合程度会有所加大,并且突出由一些具体的实际问题抽象为不等关系模型的过程,让学生体会 优质课教案 喻敏 课题:§2.1.1 比较实数的大小 课型:新授课 教学目标: 知识目标:1.了解作差法比较实数的大小; 2.会用作差法比较分数的大小; 3.能用作差法比较代数式的大小。 能力目标:1.通过观看视频获取数据信息,提高学生收集信息的能力; 2.通过讨论问题,培养学生团结协作的能力。 情感目标:学生分组讨论到得出结果这个过程,使学生感受集体的力量,进而培养她们热爱自己的班集体。 教学重点:用作差法比较实数的大小 教学难点:用作差法比较代数式的大小 教法:举例法、提问法、讲授法 学法:分组讨论法、归纳法、练习法 课时数:1课时 教学过程: 一、观看视频、引入新课 1.请同学们听经典儿歌《数鸭子》,通过这首歌,让你们体会一下儿童的乐趣。而我们本 节课的内容也和数有关,那就是-----比较实数的大小。 2.请同学们观看视频:(刘翔打破世界纪录的视频)然后回答下面的问题: 3. 问题1:同学们根据视频可以得到哪些信息? 根据视频可以得到如下信息:刘翔跑得最快、刘翔跑的时间为12秒88、世界纪录为12秒91、刘翔比美国选手快0.03秒、…… 4.问题2:你怎么知道刘翔跑得最快? 方法1:刘翔最先到达终点 方法2:在12.88秒内刘翔跑的距离最多 方法3:刘翔跑的速度最快 5.问题3:怎么比较12.88和12.91这两个数的大小? 方法1:比较它们的差与零的大小 方法2:比较它们的商与1的打小 二、比较两个实数大小的方法 方法1:作差法 b a b a b a b a b a b a <-=?=->?>-000 方法2:作商法(注意:a,b 不能为0) b a b a b a b a b a b a <=?=>?>111 三、运用新知 的大小。与:比较例85 32 1.1 生活中,我们经常会遇到下面的问题:比较一个企业不同季度的产值,国家去年与前年的国民生产总值等实际问题的大小,转化成数学问题,就是比较两个或多个实数的大小,比较实数大小的方法比较多,也比较灵活,现采撷几种常用的方法供大家参考。 一、法则法 比较实数大小的法则是:正数都大于零,零大于一切负数,两个负数相比较,绝对值大的反而小。 例1 比较与的大小。 析解:由于,且,所以。 说明:利用法则比较实数的大小是最基本的方法,对于两个负数的大小比较,可将它转化成正数进行比较。 二、平方法 用平方法比较实数大小的依据是:对任意正实数a、b有:。 例2 比较与的大小。 析解:由于,而,所以。 说明:本题也可以把外面的因数移到根号内,通过比较被开方数大小来比较原数的大小,目的是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。 三、数形结合方法 用数形结合法比较实数大小的理论依据是:在同一数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 例3 若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示,试比较a、-a、b、-b、c、-c的大小。 析解:如图2,利用相反数及对称性,先在数轴上把数a、-a、b、-b、c、-c 表示的点画出来,容易得到结论: 四、估算法 用估算法比较实数的大小的基本思路是:对任意两个正实数a、b,先估算出a、b两数的取值范围,再进行比较。 例4 比较与的大小。 析解:由于,故,所以 五、倒数法 用倒数法比较实数的大小的依据是:对任意正实数a、b有: 例5 比较与的大小 析解:因为, 又因为, 所以 所以 说明:对于两个形如(,且k是常数)的实数,常采用倒数法来比较它们的大小。 六、作差法 用作差法比较实数的大小的依据是:对任意实数a、b有: 例6 比较与的大小。 析解:设, 则 所以 七、作商法 用作商法比较实数的大小的依据是:对任意正数a、b有: 例7 比较与的大小。 析解:设, ,则 即 八、放缩法 用放缩法比较实数的大小的基本思想方法是:把要比较的两个数进行适当的放大或缩小,使复杂的问题得以简化,来达到比较两个实数的大小的目的。 例8 比较与198的大小。 析解:由于 所以 取n=2,3,4…10000代入上式,并将所得的不等式相加得: 即 所以 两个实数大小的比较,方法多种多样,在实际操作时,根据要比较的数的特点来选择适当的方法进行比较,才能方便快捷地取得准确的结果。 9.1.2 不等式的性质 三维目标知识与技能 1、理解掌握不等式的性质; 2、会解决简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集。 过程与方法 经历通过类比、猜测、验证发现不等式性质的探索过程,初步体会 不等式与等式的异同,初步掌握类比的思想方法。 情感与态度通过创设问题情境和实验探究活动,积极引导学生参与数学活动,提高学习数学的兴趣,增进学习数学的信心,体会在解决问题的过 程中与他人交流合作的重要性。 教学重点:理解并掌握不等式的性质及运用; 教学难点:不等式性质3的探索及正确运用不等式的性质; 教学方法与手段:启发、讨论、探究 教学过程: 一、情境创设 复习回顾: 等式有哪些性质? 导入新课: ①给不平衡的天平两边同时加入相同质量的砝码,天平会有什么变化? ②不平衡的天平两边同时拿掉相同质量的砝码,天平会有什么变化? ③如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数,天平会平衡吗?缩小相同的倍数呢? 二、自主探究 探究活动一 (一)探究不等式的性质 问题1 用“>”或“<”填空. ①-1 < 3 -1+2 3+2,-1-3 3-3 ②5 >3 5+a 3+a ,5-a 3-a ③ 6 > 2 6×5 2×5 ,6×(-5) 2×(-5) ④-2 < 3 (-2)×6 3×6 (-2)×(-6) 3×(一6) ⑤-4 >-6 (-4)÷2 (-6)÷2 (-4)÷(-2)(-6)÷(-2)鲁教版七年级数学下册 不等式的基本性质教案
实数大小比较的常用方法
比较实数大小的八种方法
不等式的性质教案1
人教A版新课标高中数学必修一教案-《等式性质与不等式性质》
实数大小比较
2.1.1比较实数大小的方法教案(可编辑修改word版)
不等式的性质的教学设计
中职数学:比较实数的大小教案
比较实数大小的八种方法
人教初中数学七下不等式的性质教案