曲线方程及圆锥曲线典型例题解析

曲线方程及圆锥曲线典型例题解析

一．知识要点

1．曲线方程

步骤含义说明

1、“建”：建立坐标系；“设”：设动点坐标。建立适当的直角坐标

系，用(x,y)表示曲线上任

意一点M的坐标。

(1)所研究的问题已给出坐标系，即可直接

设点。

(2)没有给出坐标系，首先要选取适当的坐

标系。

2、现(限)：由限制条件，列出几何等式。写出适合条件P的点M

的集合P={M|P(M)}

这是求曲线方程的重要一步，应仔细分析

题意，使写出的条件简明正确。

3、“代”：代换用坐标法表示条件

P(M)，列出方程f(x,y)=0

常常用到一些公式。

4、“化”：化简化方程f(x,y)=0为最简

形式。

要注意同解变形。

5、证明证明化简以后的方程的

解为坐标的点都是曲线

上的点。化简的过程若是方程的同解变形，可以不要证明，变形过程中产生不增根或失根，应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围)。

（2）求曲线方程的常见方法：

直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。

转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。

几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。

参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y 联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。

2．圆锥曲线综合问题

（1）圆锥曲线中的最值问题、范围问题

通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。

圆锥曲线的弦长求法：

设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：

若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|．

在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围。

（2）对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题

它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。

（3）实际应用题

数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等。

涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是：

实际问题

模型的解

数学模型方程 讨论方程的解

翻译回去

建立坐标系 转化成数学问题

（4）知识交汇题

圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强区分度的综合题。 二．典例解析 题型1：求轨迹方程

例1．（1）一动圆与圆2

2

650x y x +++=外切，同时与圆2

2

6910x y x +--=内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。

（2）双曲线2

219

x y -=有动点P ，12,F F 是曲线的两个焦点，求12PF F ?的重心M 的轨迹方程。

解析：（1）（法一）设动圆圆心为(,)M x y ，半径为R ，设已知圆的圆心分别为1O 、2O ，

将圆方程分别配方得：2

2

(3)4x y ++=，2

2

(3)100x y -+=， 当M e 与1O e 相切时，有1||2O M R =+ ① 当M e 与2O e 相切时，有2||10O M R =- ② 将①②两式的两边分别相加，得21||||12O M O M +=， 即2

2

2

2(3)(3)12x y x y +++-+= ③ 移项再两边分别平方得：

222(3)12x y x ++=+ ④

两边再平方得：2

2

341080x y +-=，

整理得

22

13627

x y +=， 所以，动圆圆心的轨迹方程是

22

13627

x y +=，轨迹是椭圆。 （法二）由解法一可得方程2

2

2

2

(3)(3)12x y x y +++-+=，

x

y

1O

2O

P

由以上方程知，动圆圆心(,)M x y 到点1(3,0)O -和2(3,0)O 的距离和是常数12，所以点M 的轨迹是焦点为1(3,0)O -、2(3,0)O ，长轴长等于12的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，

∴26c =，212a =，∴3c =，6a =，

∴2

36927b =-=，

∴圆心轨迹方程为

22

13627

x y +=。 （2）如图，设,P M 点坐标各为11(,),(,)P x y M x y ，∴在已知双曲线方程中3,1a b ==，

∴c =

=

∴已知双曲线两焦点为12(F F ， ∵12PF F ?存在，∴10y ≠

由三角形重心坐标公式有11(300

3x x y y ?++=???++?=??

，即1133x x y y =??=? 。

∵10y ≠，∴0y ≠。

已知点P 在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有2

2(3)(3)1(0)9

x y y -=≠ 即所求重心M 的轨迹方程为：2

2

91(0)x y y -=≠。

点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法。

例2．（2001上海，3）设P 为双曲线-4

2x y 2

＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是 。

解析：（1）答案：x 2－4y 2＝1 设P （x 0，y 0） ∴M （x ，y ）

∴2

,200y

y x x ==

∴2x ＝x 0，2y ＝y 0 ∴4

42

x －4y 2＝1?x 2－4y 2＝1

点评：利用中间变量法（转移法）是求轨迹问题的重要方法之一。 题型2：圆锥曲线中最值和范围问题

例3．（1）设AB 是过椭圆x a y b a b 222

210+=>>()中心的弦，椭圆的左焦点为

F c 10()-，，则△F 1AB 的面积最大为（ ）

A. bc

B. ab

C. ac

D. b 2

（2）已知双曲线x a y b

a b 222

2100-=>>()，的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线

的右支上，且||||PF PF 124=，则此双曲线的离心率的最大值是（ ） A.

4

3

B.

53

C. 2

D.

72

（3）已知A （3，2）、B （－4，0），P 是椭圆

x y 22

259

1+=上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为（ ） A. 10

B. 105-

C. 105+

D. 1025+

解析：（1）如图，由椭圆对称性知道O 为AB 的中点，则△F 1OB 的面积为△F 1AB 面积的一半。又||OF c 1=，△F 1OB 边OF 1上的高为y B ，而y B 的最大值是b ，所以△F 1OB 的面积最大值为

1

2

cb 。所以△F 1AB 的面积最大值为cb 。

点评：抓住△F 1AB 中||OF c 1=为定值，以及椭圆是中心对称图形。 （2）解析：由双曲线的定义， 得：||||PF PF a 122-=，

又||||PF PF 124=，所以322||PF a =，从而||PF a 223

= 由双曲线的第二定义可得

||PF x a

c

c

a 22

-

=， 所以x a c =532。又x a a c a ≥≥，即

532，从而e c a =≤5

3

。故选B 。 点评：“点P 在双曲线的右支上”是衔接两个定义的关键，也是不等关系532

a c

a ≥成立的条件。利用这个结论得出关于a 、c 的不等式，从而得出e 的取值范围。

（3）解析：易知A （3，2）在椭圆内，B （－4，0）是椭圆的左焦点（如图），则右焦点为F （4，0）。连PB ，PF 。由椭圆的定义知：

||||PB PF +=10，

所以||||||||||||(||||)PB PF PA PB PA PF PA PF =-+=+-=+-101010，所以。 由平面几何知识，

||||||||PA PF AF -≤，即(||||)||min PA PB AF +=+10，

而||()()AF =

-+-=3420522，

所以(||||)min PA PB +=+105。

点评：由△PAF 成立的条件||||||||PA PF AF -<，再延伸到特殊情形P 、A 、F 共线，从而得出||||||||PA PF AF -≤这一关键结论。

例4．（1）（06全国1文，21）设P 是椭圆()22

211x y a a

+=>短轴的一个端点，Q 为椭

圆上的一个动点，求PQ 的最大值。

（2）（06上海文，21）已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，

左焦点为(3,0)F ,右顶点为(2,0)D ,设点11,2A ?? ???

.

①求该椭圆的标准方程；

②若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程； ③过原点O 的直线交椭圆于点,B C ，求ABC ?面积的最大值。

（3）（06山东文，21）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l 。

(Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)直线l 过点P(0,2)且与椭圆相交于A 、B 两点，当ΔAOB 面积取得最大值时，求直线l 的方程。

解析：（1）依题意可设P(0,1)，Q(x,y),则 |PQ|=x 2+(y －1)2 ，又因为Q 在椭圆上， 所以，x 2=a 2(1－y 2)， |PQ|2= a 2(1－y 2)+y 2－2y+1=(1－a 2)y 2－2y+1+a 2， =(1－a 2)(y －11－a 2 )2－11－a

2+1+a 2

。 因为|y|≤1,a>1, 若a ≥2, 则|11－a 2|≤1, 当y=1

1－a 2时, |PQ|取最大值a 2a 2－1a 2－1 ，

若1

（2）①由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=3,则半短轴b=1，

又椭圆的焦点在x 轴上, ∴椭圆的标准方程为14

22

=+y x 。 ②设线段PA 的中点为M(x,y) ,点P 的坐标是(x 0,y 0)，

由

x=2

1

0+x 得

x 0=

2x －1 y=

2

210+

y y 0=2y －

2

1 由,点P 在椭圆上,得

1)2

1

2(4)12(22=-+-y x ， ∴线段PA 中点M 的轨迹方程是1)4

1(4)21

(2

2

=-+-y x 。

③当直线BC 垂直于x 轴时,BC=2,因此△ABC 的面积S △ABC =1。

当直线BC 不垂直于x 轴时,说该直线方程为y=kx,代入14

22

=+y x , 解得B(

1

422

+k ,

1

422

+k k ),C (－

1

422

+k ,－

1

422

+k k )，

则2

24114

k

k BC ++=,又点A 到直线BC 的距离d=

2

12

1k

k +-

，

∴△ABC 的面积S △ABC =2411221

k

k d AB +-=?。

于是S △ABC =1

441141442

22+-=++-k k

k k k 。