第六章二次型

第六章二次型

6.1二次型的概念及其标准型 6.1.1二次型的概念

n n

(1)含有n个变量X1,X2,…，X n的二次齐次多项式：f(X1,X2,…，X n )=2送a j X j X j，

7 y

其中a j =aji，则称为n元二次型.

⑵二次型的矩阵形式为f(X1,X2,…，X n )=X T A X，其中X =(X1,X2,…,X n J , A是n阶实对称矩阵.

⑶ 矩阵A的秩r(A称为二次型f的秩，记作r(f ).

6.1.2二次型的标准形

(1)标准形的概念如果二次型中只含有变量的平方项，所有混合项 XjXjU H j)的系数全为零，即:

T 2 2 2

f(X1,X2,…，X n )=x Ax^dx + d2X2 屮…+d n X n，其中 dj(i=O,1,…，n)为实数,

则称这样的二次型为标准形.

(2)标准形的惯性指数在标准形中，正平方项的个数P称为正惯性指数；负平方项的个数q称为负惯性指数.

(3)二次型的标准形转化任意的n元二次型x T Ax都可以通过坐标变换X = Cy ( C 是可逆矩阵)化为标准形，即：X T Ax^=Cy(Cy T A(Cy )= y T(C T AC k = y T A y =4』1+d2y2 中…^皿.

注：特别地，存在正交矩阵C，二次型x T Ax可以通过正交变换x=Cy化为标准形，即：X T A X —(Cy T A(Cy )= yTQ’AC k = y T A y =人％+入2y2 屮"+几Pn，其中2,…入为矩阵A的特征值.

6.1.3惯性定理

实二次型的标准形中，非零平方项的个数是唯一确定的，它等于这个二次型矩阵 的秩；正平方项的个数（正惯性指数）或负平方项的个数（正惯性指数）也是唯一确 定的，即：实二次型的标准形的正负惯性指数与所选取的坐标变换无关 . 【例6.1】寻找适合的旋转变换，将椭圆5洛2

-4x 4X 2 +5X 22 =48化为标准形式■

解：根据题意有二次型矩阵为A =[: ：2 由于"E -A 卜y ；5 、2

J=（几-3皿—7）=0，所以特征值为几1=3，心=7,

2 A — 5 I

所以得到特征向量为 旳=（1,1T ,单位化为必

得到标准形为3y^ + 7y^ =48.

2 2

【例 6.2 】化二次型 f (x 1,x 2,X 3 )=2x 1 +x 2 -472 -4X 2X 3 为标准形. 解：方法1:正交变换法

A 的特征值入 1 =4，S =1，為=-2，相应的单位特征向量为口1二丄心-?」『,

3

“知如宀中

2,2

）

】

对于几=3，由 |3E _Ax=0，|3E -A =|

r-2 I 2

2 1~「-2 I = I -2」〔0 21 0」，

对于入=7，由7E — A X = 0，

7E - A J 2 口 [2 2 2」[0

口 2 21，

■ 0」，

所以得到特征向量为。2=（-1,1T ,单位化为

口

2

?2

「1

令正交矩阵C =（P 1,P 2）=弋

1 72

1

3

,通过坐标变换X = Cy ， 根据题意得到二次型矩阵A= 1 2 -2 -2 1 L 0 -2

0 -

-2，

（5）二次型x T Ax 可正可负, 则称二次型x T

Ax 为不定二次型.

记为A > 0 ；

1

令正交矩阵C i =（01,?2卫3 ） = 3 「2 2 11 -2 1 2，通过正交变换x^Gy ，

I 1 -2 2 得到标准形 g(y i , y 2, y 3 )=4y i 2 +y 22 —2y 32. 方法2:配方法

2 2 f(X 1,X 2,X

3 ) = 2X 1 +X 2 = 2(X 1 —X 2 ； > 2 2

—4X 1X 2 - 4x 2 X 3 = 2(X 1 — X2 ) — X 2 — 4

X 2 X 3

I y 1 = X 1 — X 2 , 令 4y 2 = y 2 —2y 3 ,贝

U:

令可逆矩阵C 2 = 「1 1-21

0 1 -2

L 0 0

1

.

,通过坐标变换x = C 2y,

得到标准形 g(y i , y 2, y 3 )=2%2

-y 22

+4y 32

. 6.2正定二次型与正定矩阵

6.2.1正定二次型与正定矩阵的相关定义 对于二次型x T

Ax （X H 0），恒有:

(1) X T

A X A O ， 则称二次型 X T

A X 为正定二次型，对于的矩阵A 为正定矩阵，记为

A V0 ；

(3) x T

Ax > 0， 则称二次型 则称二次型 x T Ax 为负定二次型，对于的矩阵A 为负定矩阵，记为

x T

Ax 为半正定二次型，对于的矩阵 A 为半正定矩阵,

(4) x T Ax < 0， 则称二次型 x T Ax 为半负定二次型，对于的矩阵 A 为半负定矩阵,

622二次型正定的特性 (1)二次型x T Ax正定的充要条件: ①二次型X T A X的标准形的正惯性指数P = n ；②A与E合同(参见6.3);

③A的顺序主子式全大于零;

(2)二次型x T Ax正定的必要条件: ① an >0 ；证：由于二次型x T Ax正定，所以A 与E合同，即有可逆矩阵C ,使得LAC-E, 所以(CC T A =CEC」=E ,根据可逆矩阵定义得:

A =(CC T f =(C-1T C-1D=C D T D，其中D可逆, 由于D可逆，则D H0，即D的每个列向量d i,d2,…，d n都是非零向量,

T 2

因此 a ii = d i d i = |di| >0 .

② A >0.

证：由于二次型X T A X正定，所以存在可逆矩阵D，使得A= D T D,

因为矩阵D可逆，则D

2 >0.

6.3合同矩阵 6.3.1合同矩阵的概念有两个n阶实对称矩阵A和B，若存在可逆矩阵C，使得C T AC = B ,则称矩阵A 和B合同，记作A~ B .

6.3.1合同矩阵的特征 (1)实对称矩阵A~ B的充要条件：二次型x T Ax和x T Bx有相同的正负惯性指数;

(2)实对称矩阵A~ B的充分条件：A ~ B ；证：因为A - B，所以A和B有相同的特征值，从而二次型X T A X和X T B X有相同的标准形，即有相同的正负惯性指数，从而A~ B.

⑶ 实对称矩阵A~B的充分条件：r（A）=r（B y 证：由于A二B，则存在可逆矩阵C，使得C T AC = B ,

因为矩阵C可逆，所以 C HO,即矩阵C满秩,

又由于任何矩阵乘以满秩矩阵不改变矩阵的秩，故r（A）=r

（

）.

B