第6章 二次型
第六章 二次型
一、二次型的概念及其标准型 （一）二次型及其矩阵表示
含有n 个变量n x x x ,...,,21的二次型齐次多项式（即每项都是二次多项式）=
),...,,(21n x x x f ∑∑==n i n
j j i ij
x x a
11
，
ji ij a a =，称为n 元二次型。令T n x x x x ),...,,(21=；)(ij a A =则二次型可用矩阵乘法表示为
★Ax x x x a x x x f T
n i n
j j i ij n ==∑∑==11
21),...,,(=??
???
?
???????????????
???n nn n n n n n x x x a a a a a a a a a x x x ........................),....,(212
1
2222111211
21★
其中A 是n 阶实对称矩阵)(A A T =，称A 为二次型
),...,,(21n x x x f 的矩阵。矩阵A 的秩)(A r 称为
二次型f 的秩，记作)(f r 。二次型的矩阵是唯一的。由二次型应能立即写出其二次型矩阵（分配坐位置。记得除以2及带上符号）；向量x 是列向量
（二）二次型的标准型
如果二次型中只含有变量的平方项，所有混合项)(j i x x j i ≠的系数全为0，即
),...,,(21n x x x f =Ax x T =2
222211...n
n x d x d x d +++，其中),...,2,1(n i d i =为实数，则称这样的二次型为标准型 在标准型中，正平方项目的个数p 称为二次型的正惯性指数，负平方项的个数q 称为二次型的负惯性指数，
)(f r =)(A r =p +q
任意的n 元二次型Ax x T
都可以通过坐标变换Cy x =（C 是可逆矩阵化为标准型）
★y y Ax x T
Cy
x T
Λ==2
222211...n
n y d y d y d +++=；★其中AC C T
=Λ★ ★特别地，存在正交变换Cy x =（C 是正交矩阵）化Ax x T
为标准型
★Ax x T
=2222211...n
n y y y λλλ+++；★AC C AC C T
1
-==Λ★，这里n λλλ...,21，，是二次型矩阵A 的n 个特征值
★若二次型Ax x T
经过坐标变换Cy x =化成标准型
22112211......q p q p p p p p T y d y d y d y d Ax x ++++---++=；其中0 i d
=??????????????+q p y y y ...21????????
????
???????
?
+q p d d d 1...
............0...100...0121=??
??
??
????????+q p z z z ...21 ?????
???
???
=
==+++q p q p q p z d y z d y z d y 1
(112)
2
211
1注意即使是0，都要设系数为1
向量y =Dz 规范型变换 z y ；是列向量 D ??????
?????????
?
???
?+q p d d d 1...
............0 (100)
...0121对角矩阵于是二次型化作 Ax x T =2
21221......q p p p z z z z ++---++，它成为二次型的规范型；就是将特征符号不变，数字变为1
二次型标准型不是唯一的，它的规范型唯一 CDz x =
（三）惯性定理
对于一个二次型，不论选择怎样的坐标变换使它化为仅含平方项的标准型，其正、负惯性指标与所坐标变换无关
二、正定二次型与正定矩阵
1.正定二次型与正定矩阵的概念
对于二次型Ax x T ，如对任何0≠x ★，恒有Ax x T 大于0，则称二次型Ax x T
是正定二次型
正定二次型的矩阵A 称为正定矩阵
2.二次型正定的充要条件
n 元二次型Ax x T 正定
?Ax x T 的正惯性指数p =n
?A 与E 合同，即有可逆矩阵C ，使得E AC C T =★ 先正交变换，后规范化★ ?A 的所有特征值全大于0 ?A 的顺序主子式全大于0
★?存在可逆矩阵C ，使得C C A T
==EC C T
?0;0 A a ii （正定的必要条件）
三、合同矩阵
1.合同矩阵的概念：两个n 阶实对称矩阵A 和B ，如存在可逆矩阵C ，使得B AC C T
=，则称矩阵A 、B 合同，记作B A ~；任一实对称矩阵必合同与一个对角矩阵
★2.两个矩阵合同的充要条件?二次型Ax x T
与Bx x T
具有相同的正、负惯性指数★
3.两个合同的充分条件(相似)：实对称矩阵B A ?的充分条件是B A ~；实对称矩阵B A ~?B A ~因为若
B A ~，则A 、B 有先共同的特征值，从而二次型Ax x T 与Bx x T 有相同的标准型，即有相同的正、负惯性指
数，从而B A ~；
B A ~的必要条件是)()(B r A r =；★B A ~?)()(B r A r =
题型总结
1.有关二次型基本概念的问题（形式）；
2.化二次型为标准型；
3.判定或证明二次型的正定性（顺序主子式，行列式，特征值，定义对于Ax x x T ,0≠都大于0，配方）
4.合同矩阵（充要条件、充分条件、必要条件）
★设??????=2001A ，?
?
????=4003B ，则A 、B 合同不相似，合同的充要条件，相同的惯性指标 ★二次型()()()2
312
322
21321)(x x x x x x x x x f ++-++=，，的正惯性指数为2；负惯性指数为0；（写出出二
次型的矩阵A ，求特征值，判断正负惯性指数的个数）
★设A =)(ij a 是秩为n 的n 阶实对称矩阵，ij A 是A 中元素ij a 的代数余子式，
二次型∑∑
===
n i n
j j i ij n x x A
A x x x f 11
21),...,,(=x A A A A A A A A A A x nn n n n n T
???????????? (12)
1
2222111211
=x A A A A A A A A A A x nn n
n
n n T ?
?
???
?
?
?????...............
(12122212)
12111
?
?
???
???????nn n
n
n n A A A A A A A A A A .....................1212221212111=1-A 为二次型的矩阵形式 ★A 与1-A 合同，具有相同的规范型 ()
111---=A AA A T
★求正交变换化二次型3231212
32222x x x x x x x -+-为标准型，并写出所用的正交变换
先写出二次型的矩阵形式A ，求特征值，若特征值均不相同，则特征向量组成的矩阵单位化即可；若有重根特征值，把特征向量正交化，单位化即可；Cy x =；正交矩阵C 就是由特征向量组成的单位化矩阵；一定要单位化，不单位化不是正交矩阵★
★求方程),...,,(21n x x x f =0，就是在上面的基础上，求出标准型，得出C 、y ；从而根据Cy x =求出x ★求规范型，只需要知道矩阵的特征值的符号即可以，或是正负惯性指标
★用配方法把二次型323121232222x x x x x x x -+-化为标准型，并写出所用坐标变换
()
[]
212132322x x x x x x f --+==()()2
212
21321212x x x x x +-??????-+；?
?
???
+=+-==2
133212112121x x y x x x y x y ；在求逆矩阵，
得出坐标变换，以平方项为入口配方
★用配方法把二次型32212x x x x +化为标准型，并写出满秩线性变换 二次型中不含平方项，故应先作一次坐标变换构造出平方项
??
?
??=-=+=33212211y
x y y x y y x 再按上题方法配方，在做一次左边变换，结合两次的坐标变换得出Cz x = ★判定二次型是否正定：1.配方；2.顺序主子式，二阶；三阶行列式；3.特征向量
★假设2
3212
322
321321)3()32()2()(ax x x x x x ax x x x x f +++++-+=，，正定，求a 的取值，运用定义，确保括号中的都不等于0，有非零解，行列式等于0
★判断n 元二次型
∑=n
i i
x
1
2+
∑≤≤n
j i j
i
x
x 1的正定性；方法1：k 阶顺序主子式k ?；2.特征值法
形如??
???????
???2...
11
............1...211...12要注意到????????????2...
11
............1...211 (1)
2
=)1.....11(1...11，，?????
?
??????+E ；T A αβ=的秩为1，0为（n -1重）另一一个特征用aA A T T ==αβαβ2求得
★A A T
是对称正定矩阵，EA A A A T
T
=，与E 合同，正定
★已知A ，E A -都是n 阶正定矩阵，证明1
--A E 是正定矩阵，通过设特征值证明
★设A ，B 均是n 阶实对称矩阵，其中A 正定，证明存在实数t 使得B tA +是正定矩阵，A 与E 合同，B 可以化为对角矩阵特征值i λ，存在i t λ+即可
★设A 是n m ?矩阵，B =A A E T
+λ，当λ大于0时，B 正定1.先证明B 是实对称矩阵，2.证明Bx x T
大于0 ★设??
??
??=B C C A
D T 为正定矩阵，其中A ，B 分别为m 、n 阶对称矩阵，C 为n m ?矩阵，计算M =DP P T
， 其中P =????
??--n m
E C A E 0
1，M 与D 合同，解得M =??????--C A C B A T 100；令()
??
????T T
Y M Y 00，大于0，
C A C B T 1--正定
★设A 是n 阶正定矩阵，m ααα，，，...21是n 维向量，且0=i T i A αα，则m ααα，，，...21线性无关
m m k k k ααα+++..2211 左乘右乘即可
★设A 是n 阶实对称矩阵，T
BA AB +是正定矩阵，则A 可逆()
()()Ax Bx Bx Ax x BA AB x T
T T T +=+大于0；
对于任意x 不等于0；Ax 不等于0，只有零解，可逆 ★若A 是n 阶正定矩阵，1
-A ，*
A 也是正定矩阵，特征值
★设A 是n m ?矩阵，n A r =)(，则A A T
是正定矩阵，Ax =0，只有零解
★已知A =????
?
?????3332
31
232211131211
a a a a a a a a a 是正定矩阵，则?=33
3223
22
a a a a 大于0，令B AC C T
=，21C C C =，主子式大于0
线性代数第六章二次型试的题目及问题详解
第六章 二次型 一、基本概念 n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为 f(x 1,x 2, …,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+ …+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2 =21 2n ii i ij i j i i j a x a x x =≠+∑∑. 它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A ???? ?? ? ????????? ??==∑∑==n nn n n n n n n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f M ΛM M M Λ Λ ΛΛ212 122221112112111 21),,(),,( 记[]T x x x X Λ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X T AX 称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩. 注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T =，此时二次 型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此， 也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。 实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化范围也限定 为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型. 标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2 222211n n x d x d x d f +++=Λ 称为二次型的标准型。 规范二次型 形如2 21221q p p p x x x x ++--+ΛΛ的二次型，即平方项的系数只 1，-1，0，称为二次型的规范型。 二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系 对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数 ?? ???? ?+++=+++=+++=n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x ΛM ΛΛ22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵 c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … … c n1 c n2 … c nn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可 逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =
中级计量经济学讲义_第二章第一节数学基础 (Mathematics)第一节 矩阵(Matrix)及其二次型(Quadratic Forms)
上课材料之二： 第二章 数学基础 (Mathematics) 第一节 矩阵(Matrix)及其二次型(Quadratic Forms) 第二节 分布函数(Distribution Function)，数学期望(Expectation)及方差(Variance) 第三节 数理统计（Mathematical Statistics ） 第一节 矩阵及其二次型(Matrix and its Quadratic Forms) 2.1 矩阵的基本概念与运算 一个m ×n 矩阵可表示为： v a a a a a a a a a a A mn m m n n ij ? ???? ???????== 2122221 11211][ 矩阵的加法较为简单，若C=A +B ，c ij =a ij +b ij 但矩阵的乘法的定义比较特殊，若A 是一个m ×n 1的矩阵，B 是一个n 1×n 的矩阵，则C =AB 是一个m ×n 的矩阵，而且∑==n k kj ik ij b a c 1 ，一般来讲，AB ≠BA ，但如下运算是成立 的： ● 结合律（Associative Law ） (AB )C =A （BC ） ● 分配律（Distributive Law ） A (B +C )=AB +AC 问题：(A+B)2=A 2+2AB+B 2是否成立？ 向量（Vector ）是一个有序的数组，既可以按行，也可以按列排列。 行向量(row ve ctor)是只有一行的向量，列向量(column vector)只有一列的向量。 如果α是一个标量，则αA =[αa ij ]。 矩阵A 的转置矩阵(transpose matrix)记为A '，是通过把A 的行向量变成相应的列向量而得到。 显然(A ')′=A ，而且（A +B ）′=A '+B '， ● 乘积的转置（Transpose of ａ production ） A B AB ''=')(，A B C ABC '''=')(。 ● 可逆矩阵（inverse matrix ），如果n 级方阵(square matrix)A 和B ，满足AB=BA=I 。 则称A 、B 是可逆矩阵，显然1 -=B A ，1 -=A B 。如下结果是成立的：
东北大学线性代数_第六章课后习题详解二次型
教学基本要求： 1.掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念. 2.了解合同变换和合同矩阵的概念. 3.了解实二次型的标准形和规范形，掌握化二次型为标准形的方法. 4.了解惯性定理. 5.了解正定二次型、正定矩阵的概念及其判别方法. 第六章二次型 本章所研究的二次型是一类函数，因为它可以用矩阵表示，且与对称矩阵一一对应，所以就通过研究对称矩阵来研究二次型. “研究”包括：二次型是“什么形状”的函数？如何通过研究对称矩阵来研究二次型？ 二次型是“什么形状”的函数涉及二次型的分类. 通过对称矩阵研究二次型将涉及矩阵的“合同变换”、二次型的“标准形”、通过正交变换化二次型为标准形、惯性定理、正定二次型等. 一、二次型与合同变换 1. 二次型 n个变量x1,x2,…,x n的二次齐次函数 f(x1,x2,…,x n)=a11x12+a22x22+…+a nn x n2 +2a12x1x2+…+2a1n x1x n+…+…+2a n-1 n x n-1x n (6.1) 称为一个n元二次型.当系数a ij均为实数时，称为n元实二次型. (P131定义6.1) 以下仅考虑n元实二次型. 设 11121n1 12222n2 1n2n nn n a a a x a a a x A,x a a a x ???? ? ? ? ? == ? ? ? ? ???? L L v M M M M L ，那么 f(x1,x2,…,x n)=x T A x. (6.2) 式(6.2)称为n元二次型的矩阵表示.
例6.1(例6.1 P 132) 二次型f 与对称矩阵A 一一对应，故称A 是二次型f 的矩阵，f 是对称矩阵A 的二次型，且称A 的秩R(A)为二次型f 的秩. (定义6.2 P 132) 由于二次型与对称矩阵是一一对应的，所以从某种意义上讲，研究二次型就是研究对称矩阵. 定义6.2 仅含平方项的二次型 f(x 1,x 2,…,x n )=a 11x 12+a 22x 22+…+a nn x n 2 (6.3) 称为标准形.系数a 11,a 22,…,a nn 仅取-1,0,1的标准形称为规范形. (定义6.3 P 132) 标准形的矩阵是对角矩阵. 二次型有下面的结论： 定理6.1 线性变换下，二次型仍变为二次型.可逆线性变换下，二次型的秩不变. (定理6.1 P 133) 这是因为 T T x Cy B C AC T T A B C AC C 0 R (A)R (B) f x Ax f y By ==?=≠=?== ? v v v v v v . 2. 合同变换 在可逆线性变换下，研究前后的二次型就是研究它们的矩阵的关系. 定义6.3 设A,B 是同阶方阵，如果存在可逆矩阵C ，使B=C T AC ，则称A 与B 是合同的，或称矩阵B 是A 的合同矩阵.对A 做运算C T AC 称为对A 进行合同变换，并称C 是把A 变为B 的合同变换矩阵. (定义6.4 P 133) 矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性.
线性代数知识点总结(第6章)
线性代数知识点总结（第6章） （一）二次型及其标准形 1、二次型： （1）一般形式 （2）矩阵形式（常用） 2、标准形： 如果二次型只含平方项，即f（x1，x2，…，x n）=d1x12+d2x22+…+d n x n2 这样的二次型称为标准形（对角线） 3、二次型化为标准形的方法： （1）配方法： 通过可逆线性变换x=Cy（C可逆），将二次型化为标准形。其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。 ★（2）正交变换法： 通过正交变换x=Qy，将二次型化为标准形λ1y12+λ2y22+…+λn y n2 其中，λ1，λ2，…，λn是A的n个特征值，Q为A的正交矩阵 注:正交矩阵Q不唯一，γi与λi对应即可。 （二）惯性定理及规范形 4、定义： 正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p； 负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q； 规范形：f=z12+…z p2-z p+12-…-z p+q2称为二次型的规范形。 5、惯性定理： 二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。 注：（1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。 （2）p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r（A）（三）合同矩阵 6、定义： A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得B=C T AC，称A与B合同
△7、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系 （1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值 （2）A、B合同（B=C T AC）←→相同的正负惯性指数←→相同的正负特征值的个数 （3）A、B等价（B=PAQ）←→r（A）=r（B） 注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价 （四）正定二次型与正定矩阵 8、正定的定义 二次型x T Ax，如果任意x≠0，恒有x T Ax＞0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。 9、n元二次型x T Ax正定充要条件： （1）A的正惯性指数为n （2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=C T C或C T AC=E （3）A的特征值均大于0 （4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式）10、n元二次型x T Ax正定必要条件： （1）a ii＞0 （2）|A|＞0 11、总结：二次型x T Ax正定判定（大题） （1）A为数字：顺序主子式均大于0 （2）A为抽象：①证A为实对称矩阵：A T=A；②再由定义或特征值判定 12、重要结论： （1）若A是正定矩阵，则kA（k＞0），A k，A T，A-1，A*正定 （2）若A、B均为正定矩阵，则A+B正定
第六章二次型总结
第六章二次型总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
第六章 二次型（一般无大题） 基本概念 1. 二次型: n 个变量12,, ,n x x x 的二次齐次函数 212111121213131122222 232322(,, ,)222222n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x =+++ ++++ ++ + 称为n 元二次型,简称二次型. 其中ij ji a a =,则 ()2 1211112121313112 21212222323222 11223311121121 22221 2 1 2 (,, ,)2n n n n n n n n n n n nn n n n n n n nn n T f x x x a x a x x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x x a x x a x a a a x a a a x x x x a a a x x Ax =+++ +++++ ++ +++++???? ??? ? ??= ??? ??????? = 因此，二次型也记AX X f T =,A 称为二次型f 的矩阵,二次型矩阵均为对称矩阵,且二次型与对称矩阵一一对应,并把矩阵A 例题：写出下列二次型的矩阵：（p 书126例6.1） 2.合同矩阵的定义及性质 2.1合同矩阵定义 设,A B 均为n 阶方阵，若存在可逆矩阵C ，使得T C AC B =，则称矩阵A 与B 合同，记A B ?.实对称矩阵A 与B 合同的充要条件是二次型T x Ax 与 T x Bx 有相同的正,负惯性指数.(A 的正, 负惯性指数：A 的特征值的个数) 合同是矩阵之间的另一种关系，它满足 （1）反身性，即T A E AE =； （2）对称性，即若T B C AC =，则有()11T A C BC --=； （3）传递性，若111T A C AC =和2212T A C AC =，则有()()21212T A C C A C C = 因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的. 在数域P 中要使两个二次型等价，充分必要条件就是它们的矩阵合同.
第六章习题与复习题(二次型)----高等代数
习题6.1 1．写出下列二次型的矩阵. （1）222 123123121323(,,)f x x x x x x x x x x x x =+++++ （2）12341223(,,,)f x x x x x x x x =- （3）1234135(,,,)246785T f x x x x X X ?? ?= ? ??? 2．将二次型 222 1231231223(,,)32810f x x x x x x x x x x =+-+- 表成矩阵形式，并求该二次型的秩. 3．设 A = ??? ? ? ? ?3210 000 00a a a ，B = ???? ? ? ?132 00000a a a 证明A 与B 合同，并求可逆矩阵C ，使得B =T C A C ． 4．如果n 阶实对称矩阵A 与B 合同，C 与D 合同，证明A O B O O C O D ???? ? ????? 与合同. 习题6.2 1．用正交变换法化下列实二次型为标准形，并求出所用的正交变换. （1）222 12312323(,,)2334f x x x x x x x x =+++ 2．已知二次型2221231231223(,,)222f x x x x x x cx x x x =++++的秩为2. (1) 求c; (2) 求一正交变换化二次型为标准形. 3．已知二次型22 12323121323(,,)43248f x x x x x ax x x x x x =-+-+经正交变换化为标准形
222 1236,,f y y by a b =++求的值与所用正交变换. 22224. 222444,,. x x ay z bxy xy yz y Q z a b Q ξηζηζ???? ? ? +++++== ? ? ? ????? +=2已知二次曲面方程可经正交变换化为椭圆柱面 方程求的值与正交矩阵 5．用配方法化下列二次型为标准形，并求出所用的可逆线性变换. （1）222 123123121323(,,)25228f x x x x x x x x x x x x =+++++ 6．在二次型f （x 1，x 2，x 3 ）=213232221)()()(x x x x x x -+-+-中，令 ??? ??-=-=-=133 3222 11x x y x x y x x y 得f =2 3 2221y y y ++可否由此认定上式为原二次型f 的标准形且原二次型的秩为3 ？为什么？若结论是否定的，请你将f 化为标准形并确定f 的秩. 7．判断矩阵01111213A B ???? == ? ????? 与是否合同. 习题6.3 1．判定下列实二次型的正定性. （1）222 1231231223(,,)23442f x x x x x x x x x x =++-- （2）222123123121323(,,)23222f x x x x x x x x x x x x =---+-+ （3）123121323(,,)5f x x x x x x x x x =+- （4）∑∑≤<≤=+ n j i j i n i i x x x 11 2 2． a 为何值时，实二次型222123123121323(,,)(2)22f x x x x a x ax x x x x x x =++++--是正定 的.
二次型的矩阵表示
§1 二次型的矩阵表示 一、二次型的定义 1.问题的引入 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 ax 2+2bxy+cy 2=f （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方向转轴） ? ?????+=-=θθθθcos sin sin cos ' '''y x y y x x （2） 把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 (1)的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含有平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且在数学的其它分支以及物理、力学中也常常会碰到。这一章就是来介绍它的一些最基本的性质。 2．n 元二次型 设P 是一数域，一个系数在数域P 中的x 1,x 2,…,x n 的二次齐次多项式 f (x 1,x 2,…,x n ) = a 1121x +2a 12x 1x 2+…+2a 1n x 1x n +a 222 2x +… +2a 2n x 2x n +…+a nn x 2n （3）
称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型。例如 x 21+x 1x 2+3x 1x 2+2x +4x 2x 3+3x 2 3 就是有理数域上的一个三元二次型。为了以后讨论上的方便，在（3）中，x i x j （i 第五章 二次型 在解析几何中，为了便于研究二次曲线 122=++cy bxy ax 的几何性质，可以选择适当的坐标旋转变换 ? ??'+'='-'=θθθ θcos sin sin cos y x y y x x 把方程化为标准形式 122='+'y c x m . 这类问题具有普遍性，在许多理论问题和实际问题中常会遇到，本章将把这类问题一般化，讨论n 个变量的二次多项式的化简问题. 第一节 二次型及其矩阵 分布图示 ★ 引言 ★ 二次型的定义 ★ 例1 ★ 二次型的矩阵形式 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 线性变换 ★ 例6 ★ 矩阵的合同 ★ 内容小结 ★ 习题5-1 内容要点 一、二次型的概念 定义1 含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数 n n n n n n n n n nn n x x a x x a x x a x x a x x a x a x a x a x x x f 1,12232231121122 222221112122222),,,(--+++++++++++= 称为二次型. 当ij a 为复数时，f 称为复二次型；当ij a 为实数时，f 称为实二次型.在本章中只讨论实二次型. 只含有平方项的二次型 2222211n n y k y k y k f +++= 称为二次型的标准型 (或法式). 二、二次型的矩阵 取ij ji a a =,则,2i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=于是 ∑== ++++++++++++=n j i j i ij n nn n n n n n n n n n x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x x f 1 ,22211222 22212211121122 11121),,,( ) ()()(22112222121212121111n nn n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ++++++++++++= . ),,,(),,,(212 122221 112 1121221122 22121121211121AX X x x x a a a a a a a a a x x x x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x T n nn n n n n n n nn n n n n n n n =??? ? ? ? ? ????????? ??=? ?????? ??+++++++++= 其中 ?? ? ? ? ? ? ??=???? ?? ? ??=nn n n n n n a a a a a a a a a A x x x X 2 122221 1121121, . 称AX X x f T =)(为二次型的矩阵形式. 其中实对称矩阵A 称为该二次型的矩 阵.二次型f 称为实对称矩阵A 的二次型. 实对称矩阵A 的秩称为二次型的秩. 于是，二次型f 与其实对称矩阵A 之间有一一对应关系. 三、线性变换 定义2 关系式 ????? ??+++=+++=+++=n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 21122212121121111 称为由变量n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的线性变换. 矩阵 ?? ? ? ? ? ? ??=nn n n n n c c c c c c c c c C 2 1222 21112 11 称为线性变换矩阵. 当0||≠C 时，称该线性变换为可逆线性变换. 对于一般二次型AX X X f T =)(,我们的问题是：寻求可逆的线性变换CY X =将二次型化为标准型，将其代入得 第六章 二次型 一、基本概念 n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为 f(x 1,x 2,…,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+ …+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2 =21 2n ii i ij i j i i j a x a x x =≠+∑∑. 它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A ???? ?? ? ????????? ??==∑∑==n nn n n n n n n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f M ΛM M M Λ Λ ΛΛ212 122221112112111 21),,(),,( 记[]T x x x X Λ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X T AX 称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩. 注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T =，此时二次 型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此，也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。 实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型. 标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2 222211n n x d x d x d f +++=Λ 称为二次型的标准型。 规二次型 形如2 21221q p p p x x x x ++--+ΛΛ的二次型，即平方项的系数只 1，-1，0，称为二次型的规型。 二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系 对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数 ?? ???? ?+++=+++=+++=n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x ΛM ΛΛ22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵 c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … … 12 …n 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X = Y AC C Y CY A CY AX X f T T T T )()()(=== 第六章 二 次 型 I 考试大纲要求 1、考试内容：二次型及其矩阵；标准二次型和规范二次型；二次型的秩；矩阵的合同变换和合同等价；惯性定理；用正交变换和配方法把二次型化为标准二次型；正定二次型和正定矩阵。 2、考试要求：1）掌握二次型及其矩阵，了解二次型的秩的概念，了解二次型 的标准化和规范化的概念以及惯性定理。了解矩阵的合同变换和合同等价。 2）掌握用正交变换和配方法把二次型化为标准二次型的方法。 3）了解正定二次型和正定矩阵及其性质和判别法。 II 重要知识点 一、二次型及其矩阵表示 1、二次型的定义：以数域P 中的数为系数，关于n x x x ,,,21 的二次齐次多项式 n n n n n n n nn n x x a x x a x x a x x a x a x a x a x x x f 1132231121122 22222111212222),,,( 称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型。 2、二次型的矩阵表示 设n 阶对称矩阵 nn n n n n a a a a a a a a a A 2122212 112 11 则n 元二次型可表示为下列矩阵形式： AX X x x x a a a a a a a a a x x x x x x f T n nn n n n n n n 212122212 112 11 2121),,,(),,,( 其中T n x x x X ),,,(21 。对称矩阵A 称为二次型的系数矩阵，简称为二次型的矩阵。矩阵A 的秩称为二次型),,,(21n x x x f 的秩。 二次型与非零对称矩阵一一对应。即，给定一个二次型，则确定了一个非零的对称矩阵作为其系数矩阵；反之，给定一个非零的对称矩阵，则确定了一个二次型以给定的对称矩阵为其系数矩阵。 3、线性变换 设n x x x ,,,21 和n y y y ,,,21 为两组变量，关系式 n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 其中),,2,1,(n j i c ij 为实数域R (或复数域C )中的数，称为由n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 线性变换，简称线性变换。 线性变换的矩阵表示，设n 阶矩阵 nn n n n n c c c c c c c c c C 21 22221 112 11 ，则从n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 线性变换可表示为下列矩阵形式：CY X ，其中T n x x x X ),,,(21 ， T n y y y Y ),,,(21 ，C 称为线性变换的系数矩阵。 1) 当0 C 时，线性变换CY X 称为可逆或非退化的线性变换。 2) 当C 是正交矩阵时，称CY X 为正交线性变换，简称正交变换。 3) 线性变换的乘法。 设Y C X 1 是由n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的非退化的线性变换，而Z C Y 2 是 n y y y ,,,21 到n z z z ,,,21 的非退化的线性变换，则由n x x x ,,,21 到n z z z ,,,21 的非退化的 线性变换为：Z C C X )(21 。 二次型AX X x x x f T n ),,,(21 经过非退化的线性变换CY X 化为 BY Y x x x f T n ),,,(21 (其中AC C B T ) 是一个关于变量n y y y ,,,21 的二次型。同时称 二次型AX X x x x f T n ),,,(21 和二次型BY Y y y y g T n ),,,(21 等价。 第六章 二次型（一般无大题） 基本概念 1. 二次型: n 个变量12,, ,n x x x 的二次齐次函数 212111121213131122222 232322(,, ,)222222n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x =+++ ++++ ++ + 称为n 元二次型,简称二次型. 其中ij ji a a =,则 ()2 1211112121313112 21212222323222 11223311121121 22221 2 1 2 (,, ,)2n n n n n n n n n n n nn n n n n n n nn n T f x x x a x a x x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x x a x x a x a a a x a a a x x x x a a a x x Ax =+++ +++++ ++ +++++???? ??? ? ??= ??? ??????? = 因此，二次型也记AX X f T =,A 称为二次型f 的矩阵,二次型矩阵均为对称矩阵,且二次型与对称矩阵一一对应,并把矩阵A 的秩称为二次型的秩，记作R （f ）=R （A ）. 例题：写出下列二次型的矩阵：（p 书126例6.1） 2.合同矩阵的定义及性质 2.1合同矩阵定义 设,A B 均为n 阶方阵，若存在可逆矩阵C ，使得T C AC B =，则称 矩阵A 与B 合同，记A B ?.实对称矩阵A 与B 合同的充要条件是二次型T x Ax 与T x Bx 有相同的 正,负惯性指数.(A 的正, 负惯性指数：A 的特征值的个数) 合同是矩阵之间的另一种关系，它满足 （1）反身性，即T A E AE =； （2）对称性，即若T B C AC =，则有()11T A C BC --=； （3）传递性，若111T A C AC =和2212T A C AC =，则有()()21212T A C C A C C = 因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的. 在数域P 中要使两个二次型等价，充分必要条件就是它们的矩阵合同. 2.2 合同矩阵的性质 第六章 二次型 第一讲 二次型及其矩阵表示、标准形 教 学 目 的：通过本节的学习，使学生了解并掌握二次型的基本概念及其矩 阵表示方法. 教学重点与难点：二次型的矩阵表示 教学计划时数：2课时 教 学 过 程： 一、二次型的概念 定义1：含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数 22 2 121112221212112323221,1(,, ,)22222n nn n n n n n n n n n f x x x a x a x a x a x x a x x a x x a x x a x x --=+++++ ++++++ （1） 称为二次型. 附：1、当ij a 为复数时,f 称为复二次型；当ij a 为实数时,f 称为实二次型； 2、ij a 可以等于0，即（1）式中的各项都存在. 例1 ()2 2 2 12312313,,2454f x x x x x x x x =++-；()123121323,,f x x x x x x x x x =++ 都为实二次型； 二、二次线性与对称矩阵 在（1）式中,取ij ji a a =,则,2i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=令12(,,,)T n x x x x =，则（1） 式可化为 11121121 222212121 2 (,,,)(,, ,).n n T n n n n nn n a a a x a a a x f x x x x x x x Ax a a a x ???? ??? ??? == ??? ??????? 称12(,, ,)T n f x x x x Ax =为二次型的矩阵形式，记为()T f x x Ax =，其中实对称矩阵A 称 为该二次型的矩阵.二次型f 称为实对称矩阵A 的二次型.实对称矩阵A 的秩称为二次型f 的秩，即()()R A R f =. 第六章 二 次 型 内容提要 一、基本概念 1.二次型 含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次多项式 n n n x x a x x a x x a x a x x x f 11311321122 11121222),,,(+++= n n x x a x x a x a 223223222222++++ ++ 2n nn x a 称为一个(n 元)二次型.本章只讨论实二次型,即系数全是实数的二次型. 由于i j j i x x x x =,具有对称性,若令ij ji a a =,j i <,则 i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2,j i <. 于是可以写成对称形式 n n n x x a x x a x x a x a x x x f 1131132112211121),,,(++++= n n x x a x x a x a x x a 22322322221221+++++ + 2332211n nn n n n n n n x a x x a x x a x x a +++++ ∑∑===n i n j j i ij x x a 1 1 . 记 ?? ???? ??= nn n n n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211, ????? ? ??=n x x x X 21, 则二次型可以用矩阵形式表示为 AX X x x x f T n =),,,(21 . 我们把A 称为二次型对应的矩阵,A 是一个对称矩阵.事实上,由一个实对称矩阵也可构造唯一的实二次型,也就是说,实二次型与实对称矩阵是互相唯一确定的,所以,研究二次型的性质可以转化为研究A 所具有的性质. 2.二次型的标准形和规范形 标准形 2222222121n n y b y b y b f +++= , 第六章 二次型(一般无大题) 基本概念 1. 二次型: 个变量得二次齐次函数 212111121213131122222232322(,,,)222222n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x =++++++++++L L L L 称为元二次型,简称二次型、 其中,则 ()21211112121313112212122223232221122331112112122221212(,,,)2n n n n n n n n n n n nn n n n n n n nn n T f x x x a x a x x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x x a x x a x a a a x a a a x x x x a a a x x Ax =+++++++++++++++???? ??? ???= ??? ??????? =L L L L L L L L L L L L L M L 因此,二次型也记,称为二次型f 得矩阵,二次型矩阵均为对称矩阵,且二次型与对称矩阵一一对应,并把矩阵得秩称为二次型得秩,记作R(f)=R(A)、 例题:写出下列二次型得矩阵:(p 书126例6、1) 2、合同矩阵得定义及性质 2、1合同矩阵定义 设均为阶方阵,若存在可逆矩阵,使得,则称矩阵与合同,记、实对称矩阵与合同得充要条件就是二次型与有相同得正,负惯性指数、(A 得正, 负惯性指数:A 得特征值得个数) 合同就是矩阵之间得另一种关系,它满足 (1)反身性,即; (2)对称性,即若,则有; (3)传递性,若与,则有 因此,经过非退化得线性替换,新二次型得矩阵与原二次型得矩阵就是合同得、 在数域中要使两个二次型等价,充分必要条件就就是它们得矩阵合同、 2、2 合同矩阵得性质 性质1 合同得两矩阵有相同得二次型标准型、 性质2 在数域上,任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵、 性质3 矩阵合同与数域有关、 例2 设均为数域上得阶矩阵,若合同,则,反之,若,问在上就是否合同？ 证 若与合同,即存在可逆矩阵,使、由于任何矩阵乘满秩矩阵不改变矩阵得秩,故与有相同得秩、 第六章 二次型 一、二次型的概念及其标准型 （一）二次型及其矩阵表示 含有n 个变量n x x x ,...,,21的二次型齐次多项式（即每项都是二次多项式）= ),...,,(21n x x x f ∑∑==n i n j j i ij x x a 11 ， ji ij a a =，称为n 元二次型。令T n x x x x ),...,,(21=；)(ij a A =则二次型可用矩阵乘法表示为 ★Ax x x x a x x x f T n i n j j i ij n ==∑∑==11 21),...,,(=?? ??? ? ??????????????? ???n nn n n n n n x x x a a a a a a a a a x x x ........................),....,(212 1 2222111211 21★ 其中A 是n 阶实对称矩阵)(A A T =，称A 为二次型 ),...,,(21n x x x f 的矩阵。矩阵A 的秩)(A r 称为 二次型f 的秩，记作)(f r 。二次型的矩阵是唯一的。由二次型应能立即写出其二次型矩阵（分配坐位置。记得除以2及带上符号）；向量x 是列向量 （二）二次型的标准型 如果二次型中只含有变量的平方项，所有混合项)(j i x x j i ≠的系数全为0，即 ),...,,(21n x x x f =Ax x T =2 222211...n n x d x d x d +++，其中),...,2,1(n i d i =为实数，则称这样的二次型为标准型 在标准型中，正平方项目的个数p 称为二次型的正惯性指数，负平方项的个数q 称为二次型的负惯性指数， )(f r =)(A r =p +q 任意的n 元二次型Ax x T 都可以通过坐标变换Cy x =（C 是可逆矩阵化为标准型） ★y y Ax x T Cy x T Λ==2 222211...n n y d y d y d +++=；★其中AC C T =Λ★ ★特别地，存在正交变换Cy x =（C 是正交矩阵）化Ax x T 为标准型 ★Ax x T =2222211...n n y y y λλλ+++；★AC C AC C T 1 -==Λ★，这里n λλλ...,21，，是二次型矩阵A 的n 个特征值 ★若二次型Ax x T 经过坐标变换Cy x =化成标准型 22112211......q p q p p p p p T y d y d y d y d Ax x ++++---++=；其中0 i d =??????????????+q p y y y ...21???????? ???? ??????? ? +q p d d d 1... ............0...100...0121=?? ?? ?? ????????+q p z z z ...21 ????? ??? ??? = ==+++q p q p q p z d y z d y z d y 1 (112) 2 211 1注意即使是0，都要设系数为1 第六章二次型齐一次线性函数 一、基本概念 n个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数，一般形式为 2 2 f(X1,X2,…，Xi)= a ii x i +2a i2X l X2+2a i3X l X3 +…+2ai n X l X n+ a22X2 +2a23X l X3+ n 2 2 …+2a in X l X n+ …+a n X n =送a ii X i+2送a ij XX j. i 3 iuj 它可以用矩阵乘积的形式写出：构造对称矩阵A 也盹… am ' f X1 \ n n*21 a?2 a?n X2 f(X1,X2，…X n) a j X i X j =(X1,X2，…X n)* * a i=1 j =1 0n1 a n2 a nn 丿 帆 记X 二X i，X2，…X T，贝y f(X 1 ,X2,…，X)= X T AX 称对称阵A为二次型f的矩阵，称对称阵A的秩为二次型f的秩. 注意：一个二次型f的矩阵A必须是对称矩阵且满足f二X T AX，此时二次 型的矩阵是唯一的，即二次型f和它的矩阵A (A为对称阵)是对应的，因此, 也把二次型f称为对称阵A的二次型。 实二次型如果二次型的系数都是实数，并且变量X1,X 2,…,X n的变化范围也限定为实数，则称为实二次型?大纲的要求限于实二次型? 标准二次型只含平方项的二次型，即形如 f = d1X12d2X f d n X2 称为二次型的标准型。 规范二次型形如X；?…Xp -X： 1 -…X：.q的二次型，即平方项的系数只 1, -1 , 0，称为二次型的规范型。二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系 对二次型f(x1,x2,…,x)引进新的变量y1,y2,…,y,并且把X1,X2,…,x)表示为它们的其中二次型及其矩阵
线性代数第六章二次型试题(卷)与答案解析
第六章 二次型
第六章 二次型总结
二次型及其矩阵表示
第六章二次型
第六章 二次型总结
第6章 二次型
线性代数第六章二次型试题及答案