电磁感应专题-单杆模型

电磁感应中的“单杆＋电阻（电容，电源）+导轨”类问题(3大模型)

电磁感应“杆＋导轨”模型的实质是不同形式的能量的转化过程，处理这类问题要从功和能的观点入手，弄清导体棒切割磁感线过程中的能量转化关系，从力学、图像、能量三种观点出发，分角度讨论如下：模型一单杆＋电阻＋导轨模型

× × × × × × × × ×× × × ×

× × × × ×× ×

v θ c

d

a

b

M N

l

1、[母题] (2020·淮安模拟)如图所示，相距为L 的两条足够长的光滑平行金属导轨MN 、PQ 与水平面的夹角为θ，N 、Q 两点间接有阻值为R 的电阻。整个装置处于磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下。将质量为m 、阻值也为R 的金属杆cd 垂直放在导轨上，杆cd 由静止释放，下滑距离x 时达到最大速度。重力加速度为g ，导轨电阻不计，杆与导轨接触良好。求： (1) 杆cd 下滑的最大加速度和最大速度； （2）、速度为v （小于最大速度）时的加速度 (3)上述过程中，杆上产生的热量。

（4）[变式] 若已知金属杆与导轨之间的动摩擦因数为μ。现用沿导轨平面向上的恒定外力F 作用在金属杆cd 上，使cd 由静止开始沿导轨向上运动，求cd 的最大加速度和最大速度。

2、如图所示，一对光滑的平行金属导轨固定在同一水平面内，导轨间距l ＝0.5 m ，左端接有阻值R ＝0.3 Ω的电阻。一质量m ＝0.1 kg 、电阻r ＝0.1 Ω的金属棒MN 放置在导轨上，整个装置置于竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B ＝0.4 T 。棒在水平向右的外力作用下由静止开始以a ＝2 m/s 2的加速度做匀加速运动，当棒的位移x ＝9 m 时撤去外力，棒继续运动一段距离后停下来，已知撤去外力前后回路中产生的焦耳热之比Q 1∶Q 2＝2∶1。导轨足够长且电阻不计，棒在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触。求： (1)棒在匀加速运动过程中，通过电阻R 的电荷量q ； (2)撤去外力后回路中产生的焦耳热Q 2； (3)外力做的功W F 。

3.（15安徽卷）如图所示，abcd 为水平放置的平行“

”形光滑金属导轨，间距为l ，导轨间有垂直于导轨

平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，导轨电阻不计。已知金属杆MN 倾斜放置，与导轨成θ角，单位长度的电阻为r ，保持金属杆以速度v 沿平行于cd 的方向滑动（金属杆滑动过程中与导轨接触良好）。则 A ．电路中感应电动势的大小为

θsin Blv

B ．电路中感应电流的大小为r θ

sin Bv

C ．金属杆所受安培力的大小为r θ

sin lv B 2

D ．金属杆的发热功率为θ

sin r lv

B 2

2

模型二单杆＋电容器(或电源)＋导轨四种题型剖析

3、[母题](2020·北京模拟)如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L。一质量为m的导体棒cd垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好。轨道和导体棒的电阻均不计。

(1)如图1所示，若轨道左端M、P间接一阻值为R的电阻，导体棒在拉力F的作用下以速度v沿轨道做匀速运动。请通过公式推导证明：在任意一段时间Δt内，拉力F所做的功与电路获得的电能相等。

(2)如图2所示，若轨道左端接一电动势为E、内阻为r的电源和一阻值未知的电阻，闭合开关S，导体棒从静

止开始运动，经过一段时间后，导体棒达到最大速度v m，求此时电源的输出功率。

(3)如图3所示，若轨道左端接一电容器，电容器的电容为C，导体棒在水平拉力的作用下从静止开始向右运动。电容器两极板间电势差随时间变化的图像如图4所示，已知t1时刻电容器两极板间的电势差为U1。求导体棒运动过程中受到的水平拉力大小。

[应用模型]

[变式]母题第(3)问变成，图3中导体棒在恒定水平外力F作用下，从静止开始运动，导轨与棒间的动摩擦因数为μ，写出导体棒的速度大小随时间变化的关系式。

练习

1.(多选)如图所示，两条相距为L的光滑平行金属导轨位于水平面（纸面）

内，其左端接一阻值为R的电阻，导轨平面与磁感应强度大小为B的匀

强磁场垂直，导轨电阻不计。金属棒ab垂直导轨放置并接触良好，接入

电路的电阻也为R。若给棒以平行导轨向右的初速度v0，当流过棒截面

的电荷量为q时，棒的速度减为零，此过程中棒发生的位移为x。则在

这一过程中

A.当流过棒的电荷为q

2时，棒的速度为2v0

3

B.当棒发生位移为x

3

时，棒的速度为2v0

3

C.在流过棒的电荷量q

2的过程中，棒释放的热量为3BqLv0

4

D.定值电阻R释放的热量为BqLv0

4

2．如图所示，水平面内有两根足够长的平行导轨L1、L2，其间距d＝0.5 m，左端接有容量C＝2 000 μF的电容。质量m＝20 g的导体棒可在导轨上无摩擦滑动，导体棒和导轨的电阻不计。整个空间存在着垂直导轨所在平面的匀强磁场，磁感应强度B＝2 T。现用一沿导轨方向向右的恒力F1＝0.44 N作用于导体棒，使导体棒从静止开始运动，经t时间后到达B处，速度v＝5 m/s。此时，突然将拉力方向变为沿导轨向左，大小变为F2，又经2t时间后导体棒返回到初始位置A处，整个过程电容器未被击穿。求：

(1)导体棒运动到B处时，电容C上的电量；

(2)t的大小；

(3)F2的大小。

3.如图所示，两根竖直固定的足够长的金属导轨ab和cd相距L＝0.2 m，另外两根水平金属杆MN和PQ的质量均为m＝10 g，可沿导轨无摩擦地滑动，MN杆和PQ杆的电阻均为R＝0.2 Ω(竖直金属导轨电阻不计)，PQ 杆放置在水平绝缘平台上，整个装置处于垂直导轨平面向里的磁场中，g取10 m/s2。

(1)若将PQ杆固定，让MN杆在竖直向上的恒定拉力F＝0.18 N的作用下由静

止开始向上运动，磁感应强度B0＝1.0 T，杆MN的最大速度为多少？

(2)若将MN杆固定，MN和PQ的间距为d＝0.4 m，现使磁感应强度从零开始以

ΔB

Δt＝0.5 T/s的变化率均匀地增大，经过多长时间，杆PQ对地面的压力为零？

4.如图所示，两平行且无限长光滑金属导轨MN、PQ与水平面的夹角为θ＝30°，两导轨之间相距为L＝1 m，两导轨M、P间接入阻值R＝0.2 Ω的电阻，导轨电阻不计。在abdc区域内有一个方向垂直于两导轨平面向下的磁场Ⅰ，磁感应强度为B0＝1 T，磁场的宽度x1＝1 m，在cd连线以下的区域有一个方向也垂直于两导轨平面向下的磁场Ⅱ，磁感应强度为B1＝0.5 T。一个质量为m＝1 kg的金属棒垂直放在金属导轨上，与导轨接触良好，金属棒的电阻r＝0.2 Ω。若将金属棒在离ab连线上端x0处自由释放，则金属棒进入磁场Ⅰ恰好做匀速直线运动。金属棒进入磁场Ⅱ后，经过ef时系统达到稳定状态，cd与ef之间的距离x2＝8 m。(g取10 m/s2)

(1)求金属棒从开始静止到在磁场Ⅱ中达到稳定状态这一过程中电阻R产生的热量；

(2)求金属棒从开始运动到在磁场Ⅱ中达到稳定状态所经过的时间。

5、(2019·浙江杭州联考)如图所示，竖直放置的两根足够长的光滑金属导轨相距为L，导轨的两端分别与电源(串有一滑动变阻器R)、定值电阻、电容器(原来不带电)和开关K相连．整个空间充满了垂直于导轨平面向外的匀强磁场，其磁感应强度的大小为B．一质量为m，电阻不计的金属棒ab横跨在导轨上．已知电源电动势为E，内阻为r，电容器的电容为C，定值电阻的阻值为R0，不计导轨的电阻．

(1)当K接1时，金属棒ab在磁场中恰好保持静止，则滑动变阻器接入电路的阻值R多大？

(2)当K接2后，金属棒ab从静止开始下落，下落距离s时达到稳定速度，则此稳定速度的大小为多大？下落s的过程中所需的时间为多少？

(3)若在将ab棒由静止释放的同时，将电键K接到3.试通过推导说明ab棒此

后的运动性质如何？求ab下落距离s时，电容器储存的电能是多少？(设电容器

不漏电，此时电容器还没有被击穿)

6、图中固定的水平光滑金属导轨间距为L,左端接有阻值为R 的电阻而处于方向竖直强度为B 的匀强磁场中，质量为m 的导体棒与固定弹簧相连放在导轨上，导轨与导体棒的电阻均不计；初始时刻弹簧处于自然长度，导体棒具有水平向右的初速度vo;在沿导轨往复运动的过程中导体棒始终与导轨垂直，求: (1) )初始时刻导体棒受到的安培力?

(2 )若导体棒从初始时刻到速度第一次为0时，弹簧的弹性势能为Ep ，则这一过程中安培力所做的功W1及电阻R 上产生的焦耳热Q1各多少? (3)导体棒往复运动中最终将静止于何处?从导体棒开始运动直到最终静止的过程中电阻R 上产生的焦耳热Q 为多少？

(4)若弹簧劲度系数为k 、棒与轨道间的动摩擦因数为μ、棒的电阻为

4

R

且棒最终静止时恰好不向左运动，在棒从开始运动到静止的过程中R 上放出的焦耳热为Q'，求棒经过的路程为多少?(弹簧弹性势能)

,2

1(E 2

为形变量x kx p

7、 如图所示，两平行且无限长光滑金属导轨MN 、PQ 竖直放置，两导轨之间的距离为L=1m ，两导轨M 、P 之间接入电阻R=0.2Ω，导轨电阻不计，在abcd 区域内有一个方向垂直于两导轨平面向里的磁场Ⅰ，磁感应强度B 0=1T ．磁场的宽度x 1=1m ，在cd 连线以下区域有一个方向也垂直于导轨平面向里的磁场Ⅱ，磁感应强度B 1=0.5T 。一个质量为m=1kg 的金属棒垂直放在金属导轨上，与导轨接触良好，金属棒的电阻r=0.2Ω，若金属棒在离ab 连线上端x 0处自由释放，则金属棒进入磁场Ⅰ恰好做匀速直线运动．金属棒进入磁场Ⅱ后，经过ef 时系统达到稳定状态，cd 与ef 之间的距离x 2=15m ．（g 取10m/s 2） （1）金属棒进入磁场Ⅰ时的速度大小

（2）金属棒从开始静止到磁场Ⅱ中达到稳定状态这段时间中电阻R 产生的热量． （3）求金属棒从开始静止到在磁场Ⅱ中达到稳定状态所经过的时间．

8．(2019年天津卷)如图所示，固定在水平面上间距为l的两条平行光滑金属导轨，垂直于导轨放置的两根金属棒MN和PQ长度也为l、电阻均为R，两棒与导轨始终接触良好．MN两端通过开关S与电阻为R的单匝金属线圈相连，线圈内存在竖直向下均匀增加的磁场，磁通量变化率为常量k.图中虚线右侧有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B.PQ的质量为m，金属导轨足够长，电阻忽略不计．

(1)闭合S，若使PQ保持静止，需在其上加多大的水平恒力F，并指出其方向；

(2)断开S，PQ在上述恒力作用下，由静止开始到速度大小为v的加速过程中，流过PQ的电荷量为q，求该过程安培力做的功W.

9、如图所示，两根相距L1的平行粗糙金属导轨固定在水平面上，导轨上分布着n 个宽度为d、间距为2d的匀强磁场区域，磁场方向竖直向上。在导轨左端连接一个阻值为R的电阻，导轨的左端距离第一个磁场区域L2的位置放有一根质量为m、长为L1、阻值为r的金属棒，导轨电阻及金属棒与导轨间的接触电阻均不计。某时刻起，金属棒在一水平向右的已知恒力F作用下由静止开始向右运动，已知金属棒与导轨间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。

（1）若金属棒能匀速通过每个匀强磁场区域，求其离开第2个匀强磁场区域时的速度v2的大小。

（2）在满足（1）的条件时，求第n个匀强磁场区域的磁感应强度B n的大小。

（3）现保持恒力F不变，使每个磁场区域的磁感应强度均相同，发现金属棒通过每个磁场区域时电路中的电流变化规律相同，求金属棒从开始运动到通过第n个磁场区域的整个过程中左端电阻R上产生的焦耳热Q。

1、【解析】 (1)设杆cd 下滑到某位置时速度为v ， 则杆产生的感应电动势E ＝BLv ， 回路中的感应电流I ＝E R ＋R

杆所受的安培力F ＝BIL

根据牛顿第二定律有 mg sin θ－B 2L 2v

2R

＝ma

当速度v ＝0时，杆的加速度最大，最大加速度a ＝g sin θ，方向沿导轨平面向下 当杆的加速度a ＝0时，速度最大，最大速度v m ＝

2mgR sin θ

B 2L 2

，方向沿导轨平面向下。

(2)杆cd 从开始运动到达到最大速度过程中， 根据能量守恒定律得mgx sin θ＝Q 总＋1

2mv m 2

又Q 杆＝12Q 总，所以Q 杆＝12mgx sin θ－m 3g 2R 2sin 2θ

B 4L 4

。

（4）分析金属杆运动时的受力情况可知，金属杆受重力、导轨平面的支持力、拉力、摩擦力和安培力五个力的作用，沿斜面方向由牛顿第二定律有 F －mg sin θ－F 安－f ＝ma 又F 安＝BIL ，I ＝E 2R ＝BLv 2R ，所以F 安＝BIL ＝B 2L 2v

2R f ＝μN ＝μmg cos θ

故F －mg sin θ－B 2L 2v

2R

－μmg cos θ＝ma

当速度v ＝0时，杆的加速度最大，最大加速度a m ＝F

m －g sin θ－μg cos θ，方向沿导轨平面向上

当杆的加速度a ＝0时，速度最大， v m ＝

(F －mg sin θ－μmg cos θ)·2R

B 2L 2

。

2、 【解析】(1)设金属棒做匀加速运动的时间为Δt ， 回路中磁通量的变化量为ΔΦ， 回路中产生的平均感应电动势为E ，

则由法拉第电磁感应定律得E ＝ΔΦ

Δt ， 其中ΔΦ＝Blx

设回路中的平均电流为I ， 则由闭合电路欧姆定律得I ＝

E

R ＋r ， 通过电阻R 的电荷量q ＝I Δt 联立以上各式，代入数据解得q ＝4.5 C 。 (2)设撤去外力时棒的速度为v ，在棒做匀加速运动的过程中，由运动学公式得v 2＝2ax 设棒在撤去外力后的运动过程中安培力做的功为W ， 由动能定理得W ＝0－1

2mv 2

撤去外力后回路中产生的焦耳热Q 2＝－W 代入数据解得Q 2＝1.8 J 。

(3)由题意知，撤去外力前后回路中产生的焦耳热之比 Q 1∶Q 2＝2∶1， 可得Q 1＝3.6 J

在棒运动的整个过程中，由功能关系可知 W F ＝Q 1＋Q 2＝5.4 J 。

3、【答案】B 【解析】金属棒的有效切割长度为l ，电路中感应电动势的大小E Blv =，选项A 错误；金属棒的电阻sin rl R θ=

，根据欧姆定律电路中感应电流的大小sin E Bv I R r

θ

==，选项B 正确；金属杆所受安培力的大小2sin l B lv F BI r θ==，选项C 错误；根据焦耳定律，金属杆的发热功率为222

sin B lv P I R r

θ==，选项D 错误．答案为B ．

3、 【解析】 (1)导体棒切割磁感线，E ＝BLv 导体棒做匀速运动，F ＝F 安 又F 安＝BIL ，其中I ＝E

R

在任意一段时间Δt 内，拉力F 所做的功W ＝Fv Δt ＝F 安v Δt ＝B 2L 2v 2

R Δt

电路获得的电能ΔE ＝qE ＝EI Δt ＝B 2L 2v 2

R

Δt

可见，在任意一段时间Δt 内，拉力F 所做的功与电路获得的电能相等。 (2)导体棒达到最大速度v m 时，棒中没有电流，电源的路端电压U ＝BLv m

电源与电阻所在回路的电流I ＝E －U r 电源的输出功率P ＝UI ＝EBLv m －B 2L 2v m 2

r 。

(3)感应电动势与电容器两极板间的电势差相等，BLv ＝U 由电容器的U -t 图可知U ＝U 1

t 1t

导体棒的速度随时间变化的关系为v ＝U 1

BLt 1

t

可知导体棒做匀加速直线运动，其加速度a ＝U 1

BLt 1

由C ＝Q U 和I ＝Q t ，得I ＝CU t ＝CU 1

t 1

由牛顿第二定律有F －BIL ＝ma 可得F ＝BLCU 1t 1＋mU 1

BLt 1

。

变式： 【解析】导体棒由静止开始做加速运动，电容器所带电荷量不断增加，电路中将形成充电电流，设某时刻棒的速度为v ， 则感应电动势为E ＝BLv 电容器所带电荷量为Q ＝CE ＝CBLv

再经过很短一段时间Δt ，电容器两端电压的增量和电荷量的增量分别为 ΔU ＝ΔE ＝BL Δv ΔQ ＝C ΔU ＝CBL Δv 流过导体棒的电流 I ＝ΔQ Δt ＝CBL Δv

Δt

＝CBLa

导体棒受到的安培力f 1＝BIL ＝CB 2L 2a 导体棒所受到的摩擦力f 2＝μmg

由牛顿第二定律得F－f1－f2＝ma 联立以上各式解得a＝F－μmg

m＋CB2L2

显然导体棒做匀加速直线运动，所以导体棒的速度大小随时间变化的关系式为v＝

F－μmg

m＋CB2L2

t。

练习：

1 （BD）【解析】A．棒的速度减为零，当流过棒截面的电荷量为q=NΔΦ

2R =BLx

2R

当流过棒的电荷为q

2时，棒发生的位移为x1=x

2

，根据牛顿运动定律可得棒运动的加速度为

a=F

安

m

=B2L2v

2mR

设棒运动的时间为Δt，则有aΔt=B 2L2v

2mR Δt 所以有∑aΔt=∑B2L2v

2mR

Δt即∑Δv=∑B2L2

2mR

Δx

当流过棒的电荷为q

2时，则有v0?v1=B2L2

2mR

·x

2

当流过棒的电荷为q时，则有v0=B2L2

2mR ·x解得：v1=v0

2

，m=qBL

v0

；

B．当棒发生位移为x

3时，则有v0?v2=B2L2

2mR

·x

3

解得棒的速度为v2=2

3

v0

C．当流过棒的电荷为q

2

的过程中，由能量守恒可得棒释放的热量为

Q1=1

2ΔE k=1

2

×(1

2

mv02?1

2

mv12)=3

16

×qBL

v0

×v02=3qBLv0

16

；

D．棒的速度减为零的过程中，定值电阻R释放的热量为

Q R=1

2

ΔE k′=

1

2

×

1

2

mv02=

1

4

×

qBL

v0

×v02=

qBLv0

4

2 【解析】(1)当导体棒运动到B处时，电容器两端电压为U＝Bdv＝2×0.5×5 V＝5 V 此时电容器的带电量q＝CU＝2 000×10－6×5 C＝1×10－2 C。

(2)棒在F1作用下有F1－BId＝ma1，又I＝Δq

Δt＝

CBdΔv

Δt，a1＝

Δv

Δt

联立解得：a1＝F1

m＋CB2d2＝20 m/s2 则t＝

v

a1＝0.25 s。

在F2作用下做类平抛运动，由运动学及位移关系有：])2(2

1

2[2

1

2

2

2

1

t a t v t

a -

-=

得 a=25m/s 2 F2=0.55N

3 【解析】(1)MN 杆切割磁感线产生的感应电动势为E 1＝B 0Lv 由闭合电路欧姆定律， 得I 1＝E 1

2R

MN 杆所受安培力大小为 F 安＝B 0I 1L

对MN 杆应用牛顿第二定律， 得F －mg －F 安＝ma 当MN 杆速度最大时，MN 杆的加速度为零，

联立解得，MN 杆的最大速度为 v m ＝2(F －mg )R B 02L 2＝2×(0.18－10－2×10)×0.2

12×0.22 m/s ＝0.8 m/s 。

(2)回路中的感应电动势为 E 2＝ΔΦΔt ＝ΔBLd

Δt

由闭合电路欧姆定律得 I 2＝

E 22R

t 时刻的磁感应强度为 B ＝ΔB

Δt

t

PQ 杆对地面的压力恰好为零时，由平衡条件， 有mg ＝BI 2L 联立解得t ＝2mgR

???

?ΔB Δt 2L 2d

＝2×10－2×10×0.2(0.5)2×(0.2)2×0.4 s ＝10 s 。

4\【解析】(1)金属棒进入磁场Ⅰ区域匀速运动， 则I ＝B 0Lv 1

R ＋r

mg sin 30°＝B 0IL 解得v 1＝2 m/s

金属棒在未进入磁场前做初速度为0的匀加速直线运动，则mg sin 30°＝ma 解得a ＝5 m/s 2 由运动学公式，有2ax 0＝v 12 解得x 0＝0.4 m

金属棒在通过磁场Ⅱ区域达到稳定状态时，重力沿轨道斜向下的分力与安培力相等。 I ′＝B 1Lv 2R ＋r

mg sin 30°＝B 1I ′L 解得v 2＝8 m/s

金属棒从开始运动到在磁场Ⅱ区域中达到稳定状态过程中，根据动能定理，有

mg (x 0＋x 1＋x 2)sin 30°＋W 安＝1

2

mv 22－0

产生的热量Q ＝－W 安＝15 J Q R ＝1

2Q ＝7.5 J 。

(2)v 1＝at 1，t 1＝0.4 s x 1＝v 1t 2，t 2＝0.5 s

金属棒在磁场Ⅱ中达到稳定状态前的过程中取任意微小过程，设这一微小过程的时间为Δt i ，速度为v i ，速度的变化量为Δv i ， 则由牛顿第二定律，有 mg sin 30°－B 12L 2v i R ＋r

＝m Δv i

Δt i

mg sin 30°Δt i －B 12L 2v i Δt i

R ＋r

＝m Δv i

金属棒从进入磁场Ⅱ到在磁场Ⅱ中达到稳定状态的过程中，有 mg sin 30°∑Δt i －B 12L 2∑v i Δt i

R ＋r ＝m ∑Δv i

mg sin 30°t 3－B 12L 2x 2

R ＋r

＝m (v 2－v 1)

解得t 3＝2.2 s 所以t ＝t 1＋t 2＋t 3＝3.1 s 。

5\ 解析 (1)金属棒ab 在磁场中恰好保持静止，由BIL ＝mg

I ＝E R ＋r

得R ＝EBL

mg －r

(2)由mg ＝B 2L 2v R 0 得v ＝mgR 0

B 2L

2

由动量定理，得mgt －B I －Lt ＝m v 其中q ＝I －t ＝BLs

R 0 得t ＝B 4L 4s ＋m 2gR 20mgR 0B 2L

2

(3) K 接3后的充电电流 I ＝Δq Δt ＝C ΔU Δt ＝CBL Δv

Δt ＝CBL Δv Δt ＝CBLa

mg －BIL ＝ma

得a ＝mg

m ＋CB 2L 2

＝常数

所以ab 棒的运动性质是“匀加速直线运动”，电流是恒定的． v 2＝2as

根据能量转化与守恒得ΔE ＝mgs －E K 解得：ΔE ＝mgsCB 2L 2

m ＋cB 2L 2

6

7、 （1）设棒在到达磁场边界ab 时的速度为v ．导体棒切割磁感线产生的感应电动势为：E=B 0Lv 电路中的感应电流为：

r

R E I +=

导体棒做匀速直线运动，由平衡条件得： ，解得：v =4m/s ；

（2）设棒在到达磁场边界e f 时的速度为v ′．导体棒切割磁感线产生的感应电动势为：

电路中的感应电流为：I ′=E ’/R+r

导体棒做匀速直线运动，由平衡条件得：

， 解得： =16m/s ；

由运动学得x0=0.8m 全过程位移d=x0+x1+x2

设整个电路产生的焦耳热是Q ，由能量守恒定律可得：mg?d=Q+2

'2

1

mv ，

在棒通过磁场区的过程中R 产生的焦耳热 Q R =Q/2， 解得：Q R =20 J

（3）金属棒在磁场上方运动的时间：

棒在磁场Ⅰ中运动的时间：

棒刚进入磁场Ⅱ时的速度为：v="4" m/s

设棒在磁场中运动速度为v 时加速度为a ，则由于：mg ﹣B 1IL=ma

又 ， 可得：mg ﹣= m

变形得 ：mg △t ﹣△t =m △v 两边求和得： ∑mg △t ﹣∑△t =∑m △v

得：mgt 2﹣=m （v ′﹣v ） 代入解得：t 2="2.1375" s

金属棒运动的总时间：t=t 0+t 1+t 2=0.4+0.25+2.1375=2.7875s

8 【解析】(1)设线圈中的感应电动势为E ，由法拉第电磁感应定律E ＝ΔΦ

Δt ＝k ① 设PQ 与MN 并联的电阻为R 并，有 R 并＝R

2 ②

闭合S 时，设线圈中的电流为I ，根据闭合电路欧姆定律得I ＝E

R 并＋R ③

设PQ 中的电流为I PQ ，有 I PQ ＝1

2I ④ 设PQ 受到的安培力为F 安，有 F 安＝BI PQ l ⑤ 保持PQ 静止，由受力平衡，有 F ＝F 安 ⑥

联立①②③④⑤⑥式得 F ＝Bkl

3R ⑦ 方向水平向右．

(2)设PQ 由静止开始到速度大小为v 的加速过程中，PQ 运动的位移为x ，所用时间为Δt ，回路中的磁通

量变化量为ΔΦ ，平均感应电动势为E －，有 E －＝ΔΦ

Δt ⑧

其中ΔΦ＝Blx ⑨ 设PQ 中的平均电流为I －，有 I －＝E

－

2R ⑩ 根据电流的定义得 I －＝q

Δt (11) 由动能定理，有 Fx ＋W ＝1

2mv 2－0 (12) 联立⑦⑧⑨⑩(11) (12)式得 W ＝12mv 2－2

3kq. (13) 9、（1）金属棒在磁场外做匀加速运动，有F mg ma μ-=

金属棒进入第2个匀强磁场时的速度也为v 2，且2

222(2)v a L d =+

解得2v =

（2）金属棒进入第n 个匀强磁场区域前，匀加速运动的总位移22(1)x L d n =+-

金属棒进入第n 个匀强磁场的速度2

2n v ax =

金属棒在第n 个匀强磁场中匀速运动，则有A 0F mg F μ--=

安培力22

1A 1n n

n B L v F B IL R r

==

+

解得n B =（3）金属棒进入每个磁场时的速度v 0和离开每个磁场时的速度v 均相同

由运动学公式有2022v aL =， 22

022v v a d -=?

金属棒从开始运动到通过第n 个磁场区域的过程中，由能量守恒有

21

()()2

F mg x nd Q mv μ-+=+总 解得3()Q nd F mg μ=-总

电阻R 上产生的焦耳热3()

ndR F mg Q R r

μ-=

+、