考研数学切比雪夫不等式证明及题型分析

在考研数学概率论与数理统计中，切比雪夫不等式是一个重要的不等式，利用它可以证明其它一些十分有用的结论或重要的定理，如切比雪夫大数定律等，然而有些同学对这个不等式不是很理解，也不太会利用该不等式去解决相关问题，另外，很多资料上也没有对该不等式进行完整的分析或证明，为此，在这里对比雪夫不等式及其典型例题做些分析总结，供各位2016考研的朋友和其它学习的同学参考。

一、切比雪夫不等式的分析证明

从上面的分析我们看到，利用切比雪夫不等式可以对随机变量在其均值附近的对称区间内取值的概率进行估计，它也说明了方差的基本特性，即随机变量的方差越小，随机变量取值越集中，方差越大，则取值越分散，不论对于什么随机变量，它在区间

内取值的概率基本都是约90%。以上分析希望对大家理解和应用切比雪夫不等式有所帮助，最后预祝各位考生2016考研成功。

(完整版)均值不等式及其证明

1平均值不等式及其证明平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多种方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节介绍和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。 1.1 平均值不等式一般地，假设12,,...,n a a a 为n 个非负实数，它们的算术平均值记为 12...,n n a a a A n +++= 几何平均值记为 112(...)n n n G a a a == 算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。 12...n a a a n +++≥ 即 n n A G ≥，当且仅当12...n a a a ===时，等号成立。上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式。平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵活、广泛，有多种不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。 1.2 平均值不等式的证明证法一（归纳法）（1）当2n =时，已知结论成立。（2）假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 1 1212...(...)k k n a a a a a a k +++≥。那么，当1n k =+时，由于

121 1 (1) k k a a a A k +++++= +，1k G +=，关于121,,...,k a a a +是对称的，任意对调i a 与j a ()i j ≠，1k A +和1k G +的值不改变，因此不妨设{}1121min ,,...,k a a a a +=，{}1121max ,,...,k k a a a a ++= 显然111k k a A a ++≤≤，以及1111()()0k k k a A a A +++--<可得 111111()k k k k A a a A a a +++++-≥. 所以 1111211 1(1)...k k k k k k kA k A A a a a A A k k k +++++++-+++-= == 2111...()k k k a a a a A k ++++++-=≥即12111...()k k k k k A a a a a A +++≥+- 两边乘以1k A +，得 111211112111...()...()k k k k k k k k k k A a a A a a A a a a a G ++++++++≥+-≥=。从而，有11k k A G ++≥ 证法二（归纳法）（1）当2n =时，已知结论成立。（2）假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 12...k a a a +++≥ 那么，当1n k =+时，由于

切比雪夫不等式例题

关于切比雪夫不等式的题目现有一大批种子，其中良种占1/6，现从中任取6000颗种子，请用切比雪夫不等式计算这6000粒种子中良种所占的比例与1/6之差的绝对值不超过0.01的概率。利用切比雪bai夫不等式回答下面du两个问题均值为zhi3,方差为dao4的随机变量X,利用切比雪夫专不等式确定P（-2 < X < 8)的下界属限.2 .均值为3,方差为4的随机变量X,且X的概率分布以均值3为中心对称,利用切比雪夫不等式确定P（X <= 0)的上界限|EX=9 DX=9,EY=9 DY=4E(X-Y)=9-9=0D(X-Y)=DX+DY- 2ρxy(DX*DY)^bai0.5=9+4-2*0.5*(9*4)^0.5=7P(|X?Y|≤du4)=1-P(|X?Y-E(X-Y)|≥4)而由切比zhi雪夫不等dao式P(|X?Y-E(X-Y)|≥4)≤D(X-Y)/4^2=7/16所以P(|X?Y|≤4)≥1-7/16=9/16切切比雪夫不等式：对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε＞0, 恒有 P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2 或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2 在你这题中,X~N（2,4）所以EX=2 ε=3 DX=4 所以P{|X-2|>=3}<=4/(3^2)=4/9方法点拨: 设随机变量X的数学期望和方差都存在，有或 .切比雪夫不等式给出了在随机变量X的分布未知，而只知道和的情况下估计概率的界限。例1已知随机变量的密度函数为偶函数，$D(X)=1$，且用切比雪夫不等式估计得$P\left\{ \left| X

\right|<\varepsilon \right\}\ge 0.96$，则常数$\varepsilon =\_\_\_\_\_.$ 【答案】5 例2设随机变量和的数学期望分别-2和2，方差分别1和4，而相关系数为-0.5，则根据切比雪夫不等式有____ 【答案】^$的均bai值=10000*3/4=7500方差=10000*3/4*（1-3/4）=1625根据切比du雪夫不zhi等式P{0.74< $/10000 <0.76}=( P{|$/10000-0.75 |<0.01}>=1-(1625/10000^dao2)/0.01^2 =0.837519世纪俄国数学家bai切比雪夫研究统计规律中，du论证并用标准差表达zhi了一个不等式，这个不等式具有普遍的dao意义，被称作切比雪夫定理chebyshev's theorem 其大意是：任意一个数据集中，位于其平均数m个标准差范围内的比例（或部分）总是至少为1-1/㎡，其中m 为大于1的任意正数。对于m=2，m=3和m=5有如下结果：所有数据中，至少有3/4（或75%）的数据位于平均数2个标准差范围内。所有数据中，至少有8/9（或88.9%）的数据位于平均数3个标准差范围内。所有数据中，至少有24/25（或96%)的数据位于平均数5个标准差范围内。其计算公式通常表示为：μ为X的均值，sigma为X的标准差。若和则有它是由排序不等式而来。切比雪夫不等式的积分形式如下:若f 和g 是区间[0,1]上的可积的实函数，并且两者都是递增（或递减）的，则有上式可推广到任意区间。

利用均值不等式证明不等式

1，利用均值不等式证明不等式（1）均值不等式：设12,,...,n a a a 是n 个正实数，记 12111n n n H a a a = ++???+ n G = 12n n a a a A n ++???= n Q =它们分别称为n 个正数的调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数。有如下关系： n n n n H G A Q ≤≤≤.等号成立的充要条件是12n a a a ==???=。先证n A n =当n=k+1n a ≤≤ 1 111= i k i k a A +==+ +∑∑ 111 111(1)(11).1k i i i i k i i i i k k k a a a a k k a A a k k k k ====++? ? ? ? ? ? ?=+-+-==+ ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ∑ 1111 1.1k k k k k k k k k A G a n k A G +++++∴≥==+所以对时亦成立。原不等式成立。 . n n A G ≥证法二：用反向数学归纳法证明：

20,n n n n n A G A G =-=≥≥当时，成立。 ++k N ∈k k 1假设：n=2（）时成立，当n=2时： ++++1 +1 1 ++ = =.i i i i i i a a a A G ===≥ ≥=∑∑∑k 1 k k 1 k k 1k 12222k k 2k 1 222 2 2 2 +,k N ?∈k 即，对当n=2时，结论成立。假设1 t t tA G t ++证法三：0.k b = >令： 111)k k k k k k b b b ----+ +≥11 k k k k b b --即：k kb 且：11112211[(1)]n n n k n n k k k n k k k k k A b b b kb k b a G b --===-==≥--== 12n ===.n n G A a a a ∴≤等号成立当且仅当: 上述不等式在数学竞赛中应用极为广泛，好的、难的不等式问题往往只需用它们即可解决，而无需过分追求所谓更“高级”的不等式，这是应该引起我们注意的。例1：求证下列不等式：（1） ()1 3a a b b + ≥-，(0)a b >>

利用切比雪夫不等式证明_切比雪夫不等式证明

利用切比雪夫不等式证明_切比雪夫不等式证明一、试利用切比雪夫不等式证明：能以大小0.97的概率断言，将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面的次数在400到600之间。分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此 1000次试验中出现正面H的次数服从二项分布. 解:设X表示1000次试验中出现正面H的次数,则X是一个随机变量,且 ~XB1000,1/2.因此 500 2 1 1000=×==npEX, 250 2 答题完毕，祝你开心! 1 1 2 1 10001= ××= =pnpDX, 而所求的概率为 }500600500400{}600400{ << =< }100100{< < =EXXP }100{< =EXXP 975.0 100

1 2 = ≥ DX . 二、切比雪夫Chebyshev不等式对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε>0, 恒有P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2 或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2 切比雪夫不等式说明，DX越小，则 P{|X-EX|>=ε} 越小，P{|X-EX|<ε}越大，也就是说，随机变量X取值基本上集中在EX附近，这进一步说明了方差的意义。同时当EX和DX已知时，切比雪夫不等式给出了概率P{|X-EX|>=ε}的一个上界，该上界并不涉及随机变量X的具体概率分布，而只与其方差DX和ε有关，因此，切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数超过K倍标准差的数据占的比例至多是1/K^2。在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均。这个不等式以数量化这方式来描述，究竟「几乎所有」是多少，「接近」又有多接近：与平均相差2个标准差的值，数目不多于1/4 与平均相差3个标准差的值，数目不多于1/9 与平均相差4个标准差的值，数目不多于1/16 …… 与平均相差k个标准差的值，数目不多于1/K^2 举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是80分，标准差是10分，我们便可得出结论：少于50分与平均相差3个标准差以上的人，数目不多于4个=36*1/9。

证明n元均值不等式

学习好资料欢迎下载证明n 元均值不等式 1212n n n a a a n a a a +++≥证明：首先证明，23n 2,222当，，，，时，不等式成立。显然，12122a a a a +≥，又因为412341234123412342+2222=4a a a a a a a a a a a a a a a a +++≥≥?，同理可以证明得到n 2也成立。再证明，当k k+1n 22∈（，）也成立。 k k n=2+i 1i 2-1≤≤不妨设，其中，则有k k k k 21212 222a a a a a a ++ +≥， k+1k+1k+1k+121212 222a a a a a a ++ +≥ 则k k k 121222+12+i =++ +n a a a a a a a a +++++ +（）， k k k k k k k k k k k k k k k k+1212 22k 2+i 1212 22+12+i 1222+1k 2+i 12 22+1 2++1 2+i i 2+2-i =++++2-i 2i i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++ ?+≥? （则（）（）） k k k k k k k k k 2+i 12 22+1 2+i k 2+i 12 22+1 2+i 2-2i i -a a a a a a a a a a 其中可以看成是（）个相（）加所得。 k k k k k k k k k k k k 2+i 12 22+12+i k 2+i 1212 22+12+i 22+1 2+i 2-i ++ +2+i a a a a a a a a a a a a a a a ?++ +≥（）最后，在式两边同时减去就得到了（）（） 1212 n n n a a a n a a a ++ +≥即：得证。

重要不等式汇总(例题答案)

其他不等式综合问题例1：（第26届美国数学奥题之一）设a、b、c∈R+，求证：（1）分析；最初，某刊物给出了一种通分去分母的较为复杂的证法，这里试从分析不等式的结构出发，导出该不等式的编拟过程，同时，揭示证明此类问题的真谛，并探索其推广命题成功的可能性。思考方向：（1）的左边较为复杂，而右边较为简单，所以，证明的思想应该从左至右进行, 思考方法：（1）从左至右是一个由简单到复杂的逐步放大过程，所以，一个简单的想法就是将各分母设法缩小，但考虑到各分母结构的相似性，故只要对其中之一做恰倒好处的变形，并构造出右边之需要即便大功告成. 实施步骤；联想到高中课本上熟知的不等式： x3+y3≥x2y+xy2=xy(x+y) (x、y∈R+)（*）知（1）的左端这一证明是极其简单的，它仅依赖高中数学课本上的基础知识，由此可见，中学课本上的知识也能用来攻克高层次的数学竞赛题，看来，我们要好好守住课本这快阵地。（1）刻画了3个变量的情形，左端的三个分式分母具有如下特征：三个字母中取两个的三次方与这三个变量的乘积之和，那么，对于更多个变量会有怎样的结论？

以下为行文方便，记（1）的左端为，表示对a、b、c轮换求和，以下其它的类似处理，不再赘述, 为了搞清多个变量时（1）的演变，首先从4个变量时的情形入手, 推广1：设a、b、c、d∈R+，求证：。（2）分析：注意到上面的（*），要证（2），需要证 x4+y4+z4≥xyz(x+y+z)（**）（**）是（*）的发展，它的由来得益于证明（1）时用到的（*），这是一条有用的思维发展轨道。事实上，由高中数学课本上熟知的不等式x2+y2+z2≥xy+yz+zx易知 x4+y4+z4≥x2y2+y2z2+z2x2≥xy·yz+yz·zx+zx·xy=xyz(x+y+z),这样（**）得证, 从而（2）便可仿（1）不难证明，略, 推广2：设ai∈R+(i=1、2、3，…，n),求证：。（3）有了前面的推广1的证明，这里的推广2的证明容易多了，联想（**），只要能证明

(完整版)均值不等式常考题型

均值不等式及其应用一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当 b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

均值不等式的证明方法

柯西证明均值不等式的方法 by zhangyuong （数学之家）本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。一般的均值不等式我们通常考虑的是n n G A ≥: 一些大家都知道的条件我就不写了 n n n x x x n x x x ......2121≥ +++ 我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出： 8444844)()(: 4422)()(abcdefgh efgh abcd h g f e d c b a abcd abcd cd ab d c b a d c b a ≥+≥+++++++=≥+≥+++=+++八维时二维已证，四维时：这样的步骤重复n 次之后将会得到 n n n x x x x x x n 2 221221 (2) ...≥ +++ 令A n x x x x x x x x x x n n n n n n =+++= =====++......;,...,2122111 由这个不等式有 n n n n n n n n n n A x x x A x x x A n nA A 2 121 212 221)..(..2 )2(- -=≥ -+= 即得到 n n n x x x n x x x ......2121≥ +++ 这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子：例1： 1 1 12101(1,2,...,)11(...)n i i i n n n a i n a a a a =<<=≥ --∑ 若证明例2：

1 1 1211(1,2,...,)1 1(...)n i i i n n n r i n r r r r =≥=≥ ++∑ 若证明这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法：给出例1的证明： 12121 2 212 2 123 4 211(1)2(1)(1) 11,(1)(2)2(1) 22(1)2(1)2211111111n a a a a a a p a q a q p p q p q pq q p q q q p q a a a a =+ ≥ ?- --≥----=+= ?--≥-+?-+≥?+≥+?≥+ + + ≥+ ----≥ 当时设，而这是元均值不等式因此此过程进行下去因2 1 1 2 1221 1212221 12 2 1 1 2 11(...)...(...)112 2 (2) 1111() 111n n n n n n n n i i n n n n n n n n n i i n n i i a a a a a a a a a a G n a G G G G n a G =++-==≥ --=====+-≥ = ----≥ --∑ ∑ ∑ 此令有即例3： 1 115,,,,1(1),,111,,11( )( ) 1 1 n n i i i i i i i i i n n n i i i i i i n n i i i i i i i i i i i n r s t u v i n R r S s n n T t U u V v n n n r s t u v R ST U V r s t u v R ST U V =>≤≤== = = = ++≥--∑∑∑∑∑∏ 已知个实数都记，求证下述不等式成立：要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式

经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式

几个经典不等式的关系一几个经典不等式（1）均值不等式设12,,0n a a a >L 是实数其中0,1,2,i a i n >=L .当且仅当12n a a a ===L 时，等号成立. （2）柯西不等式设1212,,,,,n n a a a b b b L L 是实数，则当且仅当0(1,2,,)i b i n ==L 或存在实数k ，使得(1,2,,)i i a kb i n ==L 时，等号成立. （3）排序不等式设12n a a a ≥≥≥L ，12n b b b ≥≥≥L 为两个数组，12n c c c L ，，，是12n b b b L ，,，的任一排列，则当且仅当12n a a a ===L 或12n b b b ===L 时，等号成立. （4）切比晓夫不等式对于两个数组：12n a a a ≥≥≥L ，12n b b b ≥≥≥L ，有当且仅当12n a a a ===L 或12n b b b ===L 时，等号成立. 二相关证明（1）用排序不等式证明切比晓夫不等式证明：由而根据“顺序和≥乱序和”（在1n -个部分同时使用），可得即得同理，根据“乱序和≥反序和”，可得综合即证（2）用排序不等式证明“几何—算数平均不等式”12n a a a n +++≤ L 证明：构造两个数列：其中 c =因为两个数列中相应项互为倒数，故无论大小如何，乘积的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．和：．．总是两数组的反序和．．．．．．．．． .于是由“乱序和≥反序和”，总有于是即即证（3）用切比晓夫不等式证明“算数—开方平均不等式”： 12n a a a n +++≤ L 证明：不妨设12n a a a ≥≥≥L ，

(完整版)常用均值不等式及证明证明

2 常用均值不等式及证明证明 Hn n 概念： 1、调和平均数： 1 1 1 a 1 a 2 a n 2、几何平均数： Gn a 1 a 2 1 a n n 3 、算术平均数： An a 〔 a ? a n n 4 、平方平均数： Qn 2 2 a 1 a 2 2 a n n 这四种平均数满足 Hn Gn An Qn 1 r 0 时)； D x a i a ； a n n (当 r 0 时)(即 i D 0 a i a ； a n n 则有：当 r=-1、1、0、2 注意到 Hn w Gn< An w Qn 仅是上述不等式的特殊情形，即 D(-1) w D(0) w D(1) w D(2) 由以上简化，有一个简单结论，中学常用 2 、ab 1 1 a b 均值不等式的变形： (1)对实数a,b ，有a 2 b 2 2ab (当且仅当a=b 时取“=”号),a 2,b 2 0 2ab 对非负实数a,b ，有a a 1> a 2、、a n R ，当且仅当 a 1 a 2 a n 时取“=”号均值不等式的一般形式：设函数 D x a i r a ； a n a b a 2 b 2 2 \ 2

⑶ 对负实数a,b ，有 a b -^ ab 0 ⑷ 对实数a,b ，有 a a - b b a - b 2 2 ⑸ 对非负实数a,b ，有 a b 2ab 0 均值不等式的证明: 方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。引理：设 A >0, B >0,则 A B n A n nA n-i B 注：引理的正确性较明显，条件 A > 0, B > 0可以弱化为 A > 0, A+B> 0 （用数学归纳法）。当n=2时易证; 假设当n=k 时命题成立，即 ⑹ 2 . 2 对实数a,b ，有a b a b 2 2 ⑺ 2 对实数a,b,c ，有a b 2 2 c (8) 2 对实数a,b,c ，有 a b 2 c 2 (9) 2 对非负数a,b ，有a ab b 2 a b c (i0) 对实数a,b,c ，有 3 2ab abc 2 ab bc ac 3a b 2 3 abc 原题等价于: n a n a i a 2 a n k a k a i a 2 a k 那么当n=k+i 时，不妨设 a k i 是a i , a 2, ,a k i 中最大者，则 ka k i a k 1 设 s a i a 2 a k

不等式的若干证明方法

2016届本科毕业论文(设计) 题目：不等式的若干证明方法学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学12-1班学生姓名：高春指导教师：马昌秀答辩日期：2016年5 月3日新疆师范大学教务处

目录 1.引言 (1) 2.证明不等式的常用方法 (2) 2.1比较法 (2) 2.1.1 作差法 (2) 2.1.2作商法 (2) 2.2 分析法 (3) 2.3 综合法 (3) 2.4 反证法 (4) 2.5 放缩法 (5) 2.6 数学归纳法 (5) 2.7换元法 (6) 2.7.1增量换元法.. (6) 2.7.2三角换元法 (6) 2.7.3 比值换元法 (7) 2.8 标准化法 (7) 2.9 公式法 (8) 2.10 分解法 (8) 2.11 构造法 (9) 2.11.1 构造对偶式模型 (9) 2.11.2 构造函数模型 (9) 2.12 借助几何法 (10) 3.利用函数证明不等式 (10) 3.1 极值法 (10) 4.利用著名不等式 (11) 4.1 均值不等式 (11) 4.2 柯西-施瓦茨不等式 (12) 4.3 拉格朗日中值定理 (12) 4.4 赫尔德不等式 (13) 4.5 詹森不等式 (13) 4.6 闵可夫斯基不等式 (14) 4.7 伯努利不等式 (15)

4.8 切比雪夫不等式 (15) 4.9 琴生不等式 (16) 4.10 艾尔多斯—莫迪尔不等式 (16) 4.11 排序不等式定理 (16) 5.小结 ..................................................... 错误！未定义书签。参考文献 . (18) 谢辞 ..................................................... 错误！未定义书签。

均值不等式的证明

平均值不等式及其证明平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。 1.1平均值不等式一般地，假设，，，为n个非负实数，他们的算术平均值记为几何平均值记为算术平均值和几何平均值之间有如下的关系。即，当且仅当时，等号成立。上述不等式成为平均值不等式，或简称为均值不等式。平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和使用非常灵活、广泛，有多重不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。 1.2平均值不等式的证明证法一（归纳法）（1）当n=2时，已知结论成立。（2）假设对n=k（正整数k）时命题成立，即对，，，，有。那么，当n=k+1时，由于

，关于，，，是对称的，任意对调和，和的值不改变，因此不妨设，，，，，，，显然，以及（）（）可得（）所以（）（）即（）两边乘以，得从而，有证法二（归纳法）（1）当n=2时，已知结论成立。（2）假设对n=k（正整数k）时命题成立，即对，，，，有。那么，当n=k+1时，由于从而，有证法三（利用排序不等式）

设两个实数组，，，和，，，满足；，则（同序乘积之和）（乱序乘积之和）（反序乘积之和）其中，，，是，，的一个排列，并且等号同时成立的充分必要条件是或成立。证明：切比雪夫不等式（利用排序不等式证明）杨森不等式（Young）设，，，则对，有等号成立的充分必要条件是。琴生不等式（Jensen）设，（，）为上凸（或下凸）函数，则对任意，（，，），我们都有或其中，，习题一 1.设，求证：对一切正整数n，有（） 2.设，，，求证（）（）（）（ 3.设，，为正实数，证明：

均值不等式的证明

均值不等式的证明设a1,a2,a3...an是n个正实数，求证(a1+a2+a3+...+an)/n≥n次√(a1*a2*a3*...*an).要简单的详细过程，谢谢!!!! 你会用到均值不等式推广的证明，估计是搞竞赛的把对n做反向数学归纳法首先归纳n=2^k的情况 k=1 。。。 k成立 k+1 。。。这些都很简单的用a+b>=√(ab) 可以证明得到关键是下面的反向数学归纳法如果n成立对n-1，你令an=(n-1)次√(a1a2...a(n-1) 然后代到已经成立的n的式子里，整理下就可以得到n-1也成立。所以得证 n=2^k中k是什么范围 k是正整数第一步先去归纳2，4，8，16，32 ... 这种2的k次方的数一般的数学归纳法是知道n成立时，去证明比n大的时候也成立。而反向数学归纳法是在知道n成立的前提下，对比n小的数进行归纳，指“平方平均”大于“算术平均”大于“几何平均”大于“调和平均” 我记得好像有两种几何证法，一种三角证法，一种代数证法。请赐教! sqrt{[(a1)^2+(a2)^2+..(an)^2/n]}≥(a1+a2+..an)/n≥n次根号(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an) 证明： 1.sqrt(((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)/n)≥(a1+a2+..an)/n 两边平方,即证 ((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)≥(a1+a2+..an)^2/n (1) 如果你知道柯西不等式的一个变式，直接代入就可以了：柯西不等式变式： a1^2/b1 + a2^2/b2 +...an^2/bn ≥(a1+a2+...an)^2/(b1+b2...+bn) 当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn是等号成立只要令b1=b2=...=bn=1，代入即可 (2)柯西不等式 (a1^2 + a2^2 +...an^2)*(b1+b2...+bn)≥(a1b1+a2b2+...anbn)^2 [竞赛书上都有证明：空间向量法;二次函数法;是赫尔德不等式的特例] 2.(a1+a2+..an)/n≥n次根号(a1a2a 3..an) (1)琴生不等式: 若f(x)在定义域内是凸函数，则nf((x1+x2+...xn)/n)≥f(x1)+f(x2)+...f(xn) 令f(x)=lgx 显然，lgx在定义域内是凸函数[判断凸函数的方法是二阶导数<0,或从图象上直接观察] nf((x1+x2+...xn)/n)=nlg[(a1+a2+..an)/n]≥ f(x1)+f(x2)+...f(xn)=lga1+lga2+lga3...lgan=lga1*a2..an 也即lg[(a1+a2+..an)/n]≥1/n(lga1a2a3...an)=lg(a1a2a...an)^(1/n)=lgn次根号(a1a2..an)

经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式

几个经典不等式的关系一几个经典不等式（1）均值不等式设12,,0n a a a > 是实数 1212111+n n a a a n n a a a +++≤≤≤ ++ 其中0,1,2,i a i n >= .当且仅当12n a a a === 时，等号成立. （2）柯西不等式设1212,,,,,n n a a a b b b 是实数，则 ()()()2 2222221 2121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ 当且仅当0(1,2,,)i b i n == 或存在实数k ，使得(1,2,,)i i a kb i n == 时，等号成立. （3）排序不等式设12n a a a ≥≥≥ ，12n b b b ≥≥≥ 为两个数组，12n c c c ，，，是12n b b b ，,，的任一排列，则 112211221211n n n n n n n a b a b a b a c a c a c a b a b a b -+++≥+++≥+++ 当且仅当12n a a a === 或12n b b b === 时，等号成立. （4）切比晓夫不等式对于两个数组：12n a a a ≥≥≥ ，12n b b b ≥≥≥ ，有 112212121211 n n n n n n n a b a b a b a a a b b b a b a b a b n n n n -++++++++++++????≥≥ ??????? 当且仅当12n a a a === 或12n b b b === 时，等号成立. 二相关证明（1）用排序不等式证明切比晓夫不等式证明：由 ()()()1122121211221212n n n n n n n n a b a b a b a a a b b b n n n n a b a b a b a a a b b b +++++++++???? ≥ ??? ?????+++≥++++++ 而 ()()121211221223113242142531122 1211 n n n n n n n n n n n n n n a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ---++++++=++++++++++++++++++++++++ 根据“顺序和≥乱序和”（在1n -个部分同时使用），可得 ()()()11221212n n n n n a b a b a b a a a b b b +++≥++++++ 即得

经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式

经典不等式及其证明第1页几个经典不等式的关系一几个经典不等式（1）均值不等式设12,,0n a a a > 是实数 1212111+n n a a a n n a a a +++≤≤≤ ++ 其中0,1,2,i a i n >= .当且仅当12n a a a === 时，等号成立. （2）柯西不等式设1212,,,,,n n a a a b b b 是实数，则 ()()()2 2222221 2121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ 当且仅当0(1,2,,)i b i n == 或存在实数k ，使得(1,2,,)i i a kb i n == 时，等号成立. （3）排序不等式设12n a a a ≥≥≥ ，12n b b b ≥≥≥ 为两个数组，12n c c c ，，，是12n b b b ，,，的任一排列，则 112211221211n n n n n n n a b a b a b a c a c a c a b a b a b -+++≥+++≥+++ 当且仅当12n a a a === 或12n b b b === 时，等号成立. （4）切比晓夫不等式对于两个数组：12n a a a ≥≥≥ ，12n b b b ≥≥≥ ，有 112212121211 n n n n n n n a b a b a b a a a b b b a b a b a b n n n n -++++++++++++????≥≥ ??????? 当且仅当12n a a a === 或12n b b b === 时，等号成立. 二相关证明（1）用排序不等式证明切比晓夫不等式证明：由 ()()()1122121211221212n n n n n n n n a b a b a b a a a b b b n n n n a b a b a b a a a b b b +++++++++???? ≥ ??? ?????+++≥++++++ 而 ()()121211221223113242142531122 1211 n n n n n n n n n n n n n n a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ---++++++=++++++++++++++++++++++++ 根据“顺序和≥乱序和”（在1n -个部分同时使用），可得 ()()()11221212n n n n n a b a b a b a a a b b b +++≥++++++ 即得

切比雪夫不等式的一个推广形式

切比雪夫不等式的一个推广形式斜靠在墙上,梯子的顶端A距地面8米,如果A以a米/秒速度下滑,猜猜,底端B也以相同的速度滑动吗?并计算当A=1时B滑动的速度 . (图7) 分析:该题实际上是求二次函数的顶点和 (图6) 函数值的问题,由题意得A(-4,0),B(4,0),C(3,0),可得二次函数解析式 y=-4Π7x+64Π7.可知校门最大高度为64Π7, 2 分析:该题涉及数学基础知识是勾股定理和一元二次方程解的运用,不妨设B滑动的速度为x米/秒,即可得方程 (8-a)2+(x+6)2=102 化简得:x+12x+a-16a=0 当a=1时x2+12x-15=0得x≈1.4.可见,底端B下滑的速度比A端下滑的速度快. 【例7】某大学校门是一抛物线水泥建筑物,大门地面宽度为8米,两侧距地面4米高处各有一个挂校名匾额用的铁环,铁环之间水平距离为6米,以校门地面宽度中点为原点,建立直角坐标平面,(1)求校门的最大高度;(2)该大学将近几年教研成果装在汽车上到校外展示厅展示,汽车宽度为7米,那么汽车与成果共高小于多少米,汽车方能通过校门?(精确到0.1米 ) 2 2 然后把x=7Π2代入解析式,即可求得. 总之,数学问题解决的一条基本思路是“将未知的问题转化为已知问题,并将复杂的问题转化为简单的问题.多年的教学经验也清楚地告诉我:由于未知(复杂)问题与已知(简单)问题之间,数与形之间问题,实际问题与数学问题之间往往没有明显联系,因此需要我们教

师通过探究型的教,才能全面提高学生基础学力、探究型学力、拓展型学力.同时需要设置一些过程性变化在两者之间进行适当铺垫,架起两者之间无数桥梁,逐步培养学生掌握数学转化的思想方法,全面地提高学生分析问题和解决问题的能力. 专题研究切比雪夫不等式的一个推广形式上海师范大学数理信息学院(200234) 许庆祥切比雪夫不等式是一个重要的不等式,它 44 在中学数学竞赛中有一些很重要的应用,它的一个初等的证明见文献[1]第236页.本文用全新的方法给出切比雪夫不等式的一个推广形式.值得指出的是,文献[1]的方法已不再适用于证明下述不等式: 推广的切比雪夫不等式: 设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn, n i=1 n n n 则∑aibn+1-it1≤(∑aiti)(∑biti)i=1i=1i=1 n ≤i∑aibiti.=1 注:若所有的t1i=n ,上述不等式即为切比雪夫不等式. 为证明所述的不等式,我们转而证明下述更为广泛的积分不等式;

均值不等式及证明

一、均值不等式（一）概念： 1、调和平均数：n a a a n /1.../1/1H 21n +++= 2、几何平均数：n n a a a 1 21n )...(G ???= 3、算数平均数：n a a a n +++= ...A 21n 4、平方平均数：n a a a n 2 2 22 1...Qn ++= 这四种平均数满足 n n n n Q A G H ≤≤≤ + ∈R a n ,...,a ,a 21，当且仅当n 21a ...a a ===时取得“=”号。均值不等式的一般形式：（1）r r n r r n a a a 1 21)...( r D +++=）（（当r 不等于0时）；（2）n n a 1 21)...a (a D(r)???=（当r 等于0时），即n n a 1 21(0))...a (a D ???= 其中 n n n n Q A G H ≤≤≤仅是上述不等式的特殊情形，即：）（）（）（）（2101D D D D ≤≤≤- 由以上简化，有一个简单结论，中学常用 2 2 )(1a 122 2 b a b a ab b +≤ +≤≤+ （二）证明【1】（用排序不等式证明均值不等式）: 设整数,...,,,21n a a a 记, ...B n n 21a a a ???= 令 ()n i B a b i i ,...,2,1== ，则 n 2121...n n a a a n a a a ????≥ +++n ≥+???++?n 21b b b 其中1b b b n 21=????。不妨引入新的未知数+ ∈???R x x x n ,,,21，

常用均值不等式及证明证明

常用均值不等式及证明证明概念： 1、调和平均数： ? ??? ??+++= n a a a n Hn 11121 2、几何平均数： () n n a a a Gn 1 21 = 3、算术平均数： () n a a a A n +++= 21n 4、平方平均数： n a a a Q n 22221n +++= 这四种平均数满足Qn An Gn H ≤≤ ≤n +∈R n a a a 21、、、，当且仅当n a a a 21=== 时取“=”号均值不等式的一般形式：设函数()r r n r r n a a a x D 1 21?? ?? ??+++= (当 r ≠时); ()() n n D 1 21a a a x =(当 =r 时）（即 ()() n n D 1 21a a a 0 =则有：当r=-1、1、0、2注意到Hn ≤Gn ≤An ≤Qn 仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2) 由以上简化，有一个简单结论，中学常用 22112 2 2b a b a ab b a +≤ +≤≤??? ??+ 均值不等式的变形： (1)对实数a,b ，有ab 2b a 22 ≥+ (当且仅当a=b 时取“=”号)， ab 20b ,a 2 2>> (2)对非负实数a,b ，有02≥≥+ab b a ，即 ()02 a ≥≥ +ab b

(3)对负实数a,b ，有 02-<<+ab b a (4)对实数a,b ，有 ()()b a b b a --a ≥ (5)对非负实数a,b ，有 02a 22≥≥+ab b (6)对实数a,b ，有ab b a b 22 a 2 2 2 ≥+≥+ (7)对实数a,b,c ，有3 c b a 2 2 22c b a ++≥ ++ (8)对实数a,b,c ，有 ac bc ab c b a 222++≥++ (9)对非负数a,b ，有 ()4 3a 2 2 2b a b ab +≥++ (10)对实数a,b,c ，有 3 3 a abc c b ≥++ 均值不等式的证明：方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。引理：设A ≥0，B ≥0，则()()B n n nA A B A 1-n +≥+ 注：引理的正确性较明显，条件A ≥0，B ≥0可以弱化为A ≥0，A+B ≥0 (用数学归纳法)。原题等价于： n n n a a a n 2121a a a ≥?? ? ??+++ 当n=2时易证；假设当n=k 时命题成立，即 k k a a a k 21k 21a a a ≥?? ? ??+++ 那么当n=k+1时，不妨设1a +k 是121a ,,a ,a +k 中最大者，则 1211k ka +++++≥k a a a 设 k a a a +++= 21s