2016统计物理练习题

2016统计物理练习题

1. 何为刘维定理？简述其物理意义。

2. 何为细致平衡？根据细致平衡证明麦克斯韦分布一旦建立，

碰撞不会使之发生改变。

3. 何为H定理？H函数与熵有何联系？

4. 微正则系综中定义了热力学量(E)

V

E

≡k

S把统计与热

)

ln

,

(Γ

力学联系起来，试证明此量为熵。（参见K. Huang <>2nd edition, p130-134）

5. 设N个杂质原子束缚于固体晶格之上，每个原子只能有两个

状态，能量分别为0和ε，系统的哈密顿量可写作

n}这里N1是激发态原子总数。系统的微观态可用占有数集{

i

n= 1，如果处于基态，来表示，如果第i个原子处于激发态，

i

n= 0。系统的宏观态可用总能E和原子数N来表示。请用系i

综理论求出总能与温度的关系并讨论两能级系统热容的特点。

6. 试利用系综理论推导理想气体方程。

7. 试证明伊星系统的配分函数

可以写作如下形式

这里，),(+++N N g N 代表晶格上具有给定的N +和N ++值的N 个自旋不同的排列方式的数目。

8. 二元合金：一种二元合金（如β-黄铜（β-brass ）,由铜和锌组成的二元合金）由N A 个A 种原子和N B 个B 种原子合成。原子形成简立方晶格，每个原子只与其六个最近邻有相互作用。假定同类原子对A-A 和B-B 间有相互吸引能 –J ( J > 0 ), 异类原子对A-B 间存在排斥能 +J 。

(a) 在绝对零度时，系统的最小能量构形或状态为何？

(b) 假定原子无规分布在N 个格点上；即每个格点被占据的独立概率为p A = N A / N , p B = N B / N , 试估计一下总的相互作用能。

(c) 用相同的近似方法估计一下混合熵，假设N A ，N B >> 1

(d) 利用上面的结果求出自由能函数F(x), 这里 x = (N A -N B )/N 。把F(x)展开到四阶项，证明对F(x)的凹性(0>''F )要求在低于临界温度时不再满足。

9. 磁伊星模型：晶体中一个电子的周围环境有时会迫使其自旋与一个指定的晶格方向保持平行或反平行。作为这类材料的磁模型，我们用单独一个变量1±=i σ（伊星自旋）来表示自旋的方向。自旋位

}的能量由下式给出

形为{

i

J是位于格点i和j的两自旋间的相互作用能。

这里h是外场，

ij

（a）对于N个自旋我们做了一个极端的假设，即所有自旋间的相互

J= -J/N(近邻等价模型)，试证明能量现在可以写作用都是相同的并且

ij

作

这里磁化强度m可写作

（b）证明配分函数

可以写作

这里F(m,h)可以用与问题1相似的办法得到。在本题的余下各问中我们仅利用这个展开到m四次方项的F(m,h)。

（c）利用鞍点积分证明真正的自由能F(h,T) = - k B T ln Z(h,T)由

F(h,T) = min[F(m,h)]m给出。鞍点法何时有效？注意，F(m,h)是解析函数，但当T

（d）当h= 0 时试确定临界温度，低于此温度时会出现自发磁化；计算低温相时的磁化强度。

10. 证明Rushbrooke 不等式 ：22≥++γβα

11. 何为标度假说？利用标度假说证明Rushbrooke 等式 22=++γβα

12. 朗道理论是平均场理论的典型代表。利用朗道理论证明平均场理论给出的临界指数 2/1=β ，3=δ