与点、线有关的对称问题的求解策略

与点、线有关的对称问题的求解策略

教学目标： 1.了解常见的对称问题，如：点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称等。

2.理解各种对称的实质，并能根据题目条件选择正确的对称方式。

3.能利用对称的知识解决一些实际问题。

教学重点与难点：对称问题的基本解法

关于点、线的对称问题，课本中没有给出系统内容，但是高考考察的热点。所以，就此问题，结合图形，根据对称特点，找出规律给予总结十分必要。下面分类介绍一下常见题型及解题方法。

教学过程：

中心对称

1．点关于点的对称：

实质：该点是两对称点连线段的中点

方法：利用中点坐标公式

说明：（1）点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点的坐标为P？(2a-x,2b-y).

（2）点P(a,b) 关于原点O(0,0)的对称点P？(-a,-b)；

2．直线关于点的对称

实质：两直线平行

方法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程）

方法二：利用平行性质解（求出一个对称点，且斜率相等或设出平行直线系，利用点到直线距离相等）

例1：求直线

1:210

l x y

++=关于点(1,0)的对称的直线

2

l方程。

轴对称

1、点关于直线的对称

实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线

1）当直线斜率存在时

方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点

(x0,y0)关于直线Ax+By+c=0的对称点(x？,y？)，则

'

'

''

00

1

0 22

y y A

x x B

x x y y

A B c

?-??

-=-

?

?-

???

?

++

?++=??

例2：求点A(-1,3)关于直线L：2x-y+3=0的对称点B的坐标

解：设B坐标(a,b)，则线段AB中点坐标

13

(,)

22

a b

-+

，则

3

21

1

13

230

22

{b a a b

-

?=-

+

-+

?-+=

3

5

11

5

{a

b

=

=

?

，即B点坐

标

311 (,) 55

。

思考：当直线斜率不存在呢？（可利用数形结合）

评注：特别地，P(a,b)关于x轴的对称点坐标为(a,-b); 关于y轴的对称点坐标为(-a,b) ；关于直线y=x的对称点坐标为(b,a); 关于直线y= -x 的对称点坐标为(-b,-a);

2． 直线关于直线的对称

1）当1l 与l 相交时

方法：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题 。

例3：求直线1l :2x+y-4=0关于直线l ：3x+4y-1=0的对称直线2l 的方程。

解法1：由

240

3410

{

x y x y +-=+-=，得

32

{

x y ==-，即1l 与l 的交点P 坐标为（3，-2）。

在1l 上取一点A （2，0），设点A 关于l 的对称点B 坐标为(x,y),

03

()12420341022

{

y x x y -?-=--++?+?-=,即 4380

3440{

x y x y --=++=，

解得

4

5

8

5

{

x y =

=-

，即点B 48,55??

-

??

?。因为P ，B 在l 上，可得方程2x+11y+16=0。 二．应用与提高

探究1：(光线反射问题)有一条光线从点A(-2,1)射到直线l:x-y=0上后再反射到点B(3,4),求反射光线所在的直线方程

思维点拨：由物理中光学知识，入射光线和反射光线关于法线对称转化为对称问题。 方法：先求点A 关于直线 l 的对称点A/的坐标，再由点A /和B 确定反射光线的方程 答案：7x-3y-13=0

变式训练：一条光线经过P(2,3)点，射在直线l ：x+y+1=0上，反射后穿过点Q(1,1) （1）求入射光线所在的直线方程 （2）求这条光线从P 到Q 的长度。

探究2：直线2x+3y-6=0交x 、y 轴于A 、B 两点，试在直线y=-x 上求一点P 1，使|P 1A|+|P 1B|最小

评述：注意平面几何的知识在解析几何中的灵活运用。

变式训练：直线2x+3y-6=0交x 、y 轴于A 、B 两点，在y=x 上求一点P 2，使||P 2A|-|P 2B||最大。 【思维点拨】：利用三角形两边之和大于第三边或两边之差小于第三边，解决在直线上求一点到两定点距离之和最小或到两定点距离之差为最大的问题。

三．小结

1．求点、线对称问题的主要题型：

1）求点关于点(直线)对称的点的坐标； 2）求直线关于点(直线)对称的直线方程；

3）对称问题的重点是 “点关于点 ” 和“点关于线” 的对称 ，掌握好这两种对称的解法，对于“直线关于点”，“直线关于直线 ”的对称问题就迎刃而解了 。 2．数型结合的思想要有足够的重视！ 四．连接练习：

1、已知P(-1,2) ，M(1,3), 直线l:y=2x+1， （1）求点P 关于直线l 的对称点R 坐标；

（2）求直线PM 关于直线l 的对称的直线方程；

2、已知A(-3,3) ，B(5,1) ，在x 轴上求一点，使得|AP|+|BP|最小。 参考答案

1、解：（1）设点P 关于直线l 的对称点R 坐标(x,y)，

2121221

{

PR l y x

k k +-+=?+?=-∴ ,得 74

(,)55

R 。 （2）(1,3)M 的坐标满足直线l 的方程，又点P 关于直线l 的对称点为74(,)55

R ，则MR 直线为所求的直线，方程为11x+2y-17=0.

2、解：A(-3,3)关于x 轴对称点为(3,3)A '--，A B '直线方程为;1

1(5)2

y x -=

-, 由

1

1(5)

20

{

y x y -=-=? AB 直线与x 轴交点P(3,0)为所求。