南开大学2005硕士研究生入学高等代数考试试题及参考答案

南开大学2005硕士研究生入学高等代数考试试题及参考答案

注：本解答所需知识均参照高教社出版的由北大代数小组主编由王萼芳、石生明修订的《高等代数》！

一、计算下列行列式

2n ?,x x x x x x x x x x x x 1x 1x 1

x 1112n n

1n n 2n 21n 22n 11n 1n

2n 2

221

2

1n 21≥=+++++++++------

解 由行列式性质，

2n n

1n n 2n 21n 22n 11n 1n

2n 2

221

212

n n

1n n 2n 21n 22

n 1

1n 1n

2n 2

221

21n 21

2

n n 1n n 2n 21n 22

n 1

1n 1n

2n 2

221

21n 21x x x x x x x x x x x x 1111

1

1

x x x x x x x x x x x x x x x 11

1

x x x x x x x x x x x x 1x 1x 1

x 11

1

------------------+++++++

++++++=

+++++++++

显然，第二式为0，连续运用此性质得

()∏≤<≤----------=

=+++++++++n

i j 1j i

1n n

1n 21n 12n 22

2

1

n 21

2n n 1n n 2n 21n 22n 11n 1n

2n 2

221

2

1n 21a a

x x x x x x x x x 111x x x x x x x x x x x x 1x 1x 1

x 111

二、设齐次线形方程组

??????

?=-+=-+=++-=++0

ex dx bx 0ex cx ax 0dx cx x 0bx ax x 3214214

31432 的一般解以43x ,x 为自由未知量，

（1）求 a,b,c,d,e 满足的条件； （2）求齐次线形方程组的基础解系。

解 有自由变量数为2，可知，方程组系数矩阵的秩为2，即

??

??????????---0e d b e 0c a d c 01b a 10

的秩为2，又易得系数矩阵变形?

?

???

??

?????--0e d b

e 0c a b a 10d -c -01

故，可通过初等变换得到?

?

???

?

???

???0000

0000b a 10

d -c -01 即，0cb )d (a

e 0ac )c (a 0=----=---及,也即ad -bc e =

(2)结合上面的讨论，易知基础解系为????

?

???????-????????????-10b d ,01a c 及

三、（1）已知???

??

??---=????? ??---=0152095038B ,125231135A 且B XA =，求X=?

(2)已知???

?

?

??=????? ??---=2a a 2b 1B ,211121112A ，且矩阵方程B AX =有解，求a,b,X.

解 （1）令???

?

?

??=3332

31

232221

131211

a a a a a a a a a X 由B 的第三列均为0知333132232122131112a a 2a ,a a 2a ,a a 2a +=+=+= 不妨令111311121112d a a ,d a a ,a a +=+==

则有矩阵乘法法则，知()()()()()()???=+++-+=+-+++32d a 2d a 33a -8

2d a 5d a 5a 1111111111

解得1d ,1a 11==

同理1d ,4a 22==， 1d ,7a 33==

即????

? ??=987654321X

（2）将B AX =看成两个方程组11b AX =和22b AX =， 其中()21b b B =，

()21X X X =

显然11b AX =有解，即????? ??--a 2112121111

2-与???

?? ??---211121112有相同的秩，

也即，在????

? ??--a 21121211112-经过变形得到的矩阵???

?? ??--++a 21121

21a 2100

0中 有0a 21=++， 得 -3a =

同理，22b AX =中有 0b a 2=++，即1b =，

对11b AX =中有，基础解系????????

??--132

31

对22b AX =有基础解系???????

? ??138

34

综上，有R k ,k ,k k 38k 32k

-34k 3k X 212121

21∈????

???

?

??-=. 四、设()AX X x ,,x ,x f n 21'= 和()BY Y y ,,y ,y g n 21'= 均为实数域上n 元二次型，且存在实数域上n 阶方阵C 和D 使得AC C B BD,D A '='=，证明：

()n 21x ,,x ,x f 和()n 21y ,,y ,y g 具有相同的规范形。

证明 由乘积的秩不超过各因子的秩，及AC C B BD,D A '='=得，

()()B r A r ≤,及()()A r B r ≤，从而()()B r A r =，

不妨设M 00

E E M A p

r p

????????????

?

???-'=- ，N 00

E E N B q

r q

??

???

??

?

??

?????

?-'=- ，若p q ≠不妨设q p <

则由AC C B BD,D A '='=，得，

ND 00

E E N D M 00

E E M q

r q

p r p

??

???

??

?

??

?????

?-''=???????????????

?-'-- ，即，

()

1q

r q

11q

r q

1

p

r p

NDM 00

E E NDM NDM 00

E E N D M 00

E E -------??

???

??

?

???????

?-'=??

???

??

?

??

???

???-'''=???????????????

?-

记??

???

????

???=-4443

42

41

3433323124232221141312111

Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q NDM ，其中， ()()()()q r q r Q ,p q p q Q ,p p Q 332211-?--?-?为为为

则有，,Q E Q E 11p 11p '= ()()33q r 33q -r 22p q 22p q Q E Q E -,Q E Q E ----'

=-'=，从而 对 ()22p q 22p q Q E Q E ---'=得2222p q Q Q E '

=--，等式右边 2222Q Q '得到一个半正定

矩阵，而左边为一负定矩阵.产生矛盾.从而q p =，故,这样A 与B 有共同的秩,且具有相同的正惯性指数,即, A 与B 合同，

也即，它们合同于同一个形为??

?????

?

????

?

??

?--00

E E p

r p

的对角矩阵.从而，它们具有相同的规范形.也即，()n 21x ,,x ,x f 和

()n 21y ,,y ,y g 具有相同的规范形.

五、设 为数域.已知4P 上两组向量组

()

()()()

()

()()()

??????

?====??????

?-=-=-==6,1,2,33,0,0,12,0,1,11,1,1,16,5,2,23,3,1,12,1,1,01,1,0,1432

14321ββββαααα 试问是否存在4P 上的线形变换A 使

()4,3,2,1i ,

i i ==βαA

解 由题显然有32143214,ββββαααα++=++=，且321,,ααα线性无关，

321,,βββ也线性无关. 故可添加一个向量γ，

η使得γααα,,,321， ηβββ,,,321均线形无关。可以把γααα,,,321作为一组基，则存在4P 上的线性变换A 使 ()()ηγβα===A A ,3,2,1i ,

i i , ，则由线性变换定义，

()()()()()43213213214ββββααααααα=++=++=++=A A A A A 此线性变换满足()4,3,2,1i ,

i i ==βαA

故存在4P 上的线形变换A 使 ()4,3,2,1i ,

i i ==βαA

六、设V 为数域 上n 维线形空间，A 为V 上线形变换.已知2

23A A A A ≠=但试问是否存在V 的一组基使A 在这组基下的矩阵为对角矩阵？

解 不妨设存在这样的一组基，设为n 21,,,ααα ，A 在这组基下的矩阵为A ，

且???

???

???

?

?????

????

?=00A r

1

λλ()0,,r 1均不为

λλ 由284页定理2及223A A A A ≠=但，知，223A A ,A A ≠=

对前式，有???

??????

?

????

?

??

?

?

?==???

????????????

???

?

?=00A 00A 2r 2

123r

3

13 λλλλ

故1r 1==λλ ，此时，r i 1,2

i i ≤≤=λλ

从而有2A A =，这与题意矛盾从而不存在V 的一组基使A 在这组基下的矩阵为对角矩阵.

七、设A 为n 阶正定实对称矩阵，βααα,,,,n 21 为n 维欧式空间n R （标准度量）中的n+1个向量.若已知

()()()()()()

n 21i 3;n ,1,2,j i,j,i 0A 2;

n ,1,2,i 01i j i i ，，，正交与 ==≠='=≠αβααα 证明：0=β

证明 定义一组基n 1,,εε ，满足欧式空间的所有条件，且满足内积条件，

()ij

j

i

a

,=εε，ij a 是A 中的元素，并且，设

n i 1i i n

1

x x εεα++=

由（

2

），

()()0,x x ,x x a A j i k m

j i m k k

m

j i km j i m

k m

k

===='∑∑∑∑ααεεαα

从而，n 1,,αα ，两两正交，为一正交向量组，也有它们线形无关，

()0,,de t j 1≠αα

又,()0,,n 1=βαα ,从而β=0，问题得证.

八、设V 为数域 上n 维线形空间（n ≥1）.证明：必存在V 中一个无穷的向量序列{}∞

=1i i α使得{}∞

=1i i α中任何n 个向量都是V 的一组基.

证明 采用构造法,取n 维线形空间的一组基

()()()1,0,,0,,0,,0,1,0,0,,0,1n 21 ===εεε

取另一向量n 11n εεε++=+

则显然有从以上n+1向量中选出n 个均可作为n 维线形空间的一组基. 同样，依次取向量 ,,3n 2n ++εε使得m n 2m 1m m n ++++++=εεεε 这样得到一个无穷的向量序列{}∞

=1i i ε.

下证，从中任选n 个，它们均线形无关 从构造中易得

()()()m hn k ,1m h 1m h 1h h n m 21k +=-+++-+++++=εεεεε

从而不妨任选n 21i i i ,,,ε

εε ，t t t m n h i +=. 令0x x n 1i n i 1=++εε

得

()()()[]0

1m h x 1m h x h x h x n n n n 1111n n 11=-+++-++++εε

从而0h x h x n n 11=+ ,

…， （*）

()()01m h x 1m h x n n n 111=-+++-+ 又

()()()()

1

n 1n 1n n 1

11n n n 1

1

22n

21n n 22111121n 21h 1m h h h 1m h h -1m h 0

h 1h h 1h 0h h h 1

m h 1m h 1m h 1

m h 1

h 1h h h h ----+---+-++-+=

-+-+-+-+++

可以证明，对角线上的元素均不为零，从而行列式不为零 也即，方程组（*）仅有平凡解，即0x x n 1=== 从而它们均线形无关，故问题得证.