2.4过不共线三点作圆
.100
知识点2三角形的外接圆、外心
4 ?三角形的外心是（） 三角形三角平分线交点 三角形三条边的垂直平分线的交点 三角形三条高的交点
三角形三条中线的交点 2.4 过不共线三点作圆
基础题 知识点1过不共线三点作圆
1.下列条件，可以画出唯一一个圆的是 A. B. 已知圆心 已知半径 已知不在同一直线上的三点 已知直径 C. D. 2 .小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示.为配成与原来大小一样的圆形玻璃，小 明带到商店去的玻璃碎片应该是 （） A. B. 第①块 第②块 第③块 第④块 C. D. 3?如图，矩形 ABCD 勺对角线AC 与BD 相交于点0,试说明点B, C , D 在以0为圆心，AO 的长为半径的O
0上. 5.如图，O O 是^ ABC 的外接圆，/ A.
B.
C. D.
A. 40 ° B . 50 °
6 .若三角形的三边长分别为6, 8,
OCB= 40°，则/ A的度数是（8
C . 60° D
10,则此三角形的外接圆半径是
.100
A. 5 B . 4
7.如图，在平面直角坐标系中，点
圆心坐标是（）
C
A，
B，
.3 D
C的坐标分别为（1，
4），
.2
（5，4），（1，- 2），则△ ABC外接
圆的
A. (2 ，
3)
&如图，
B . （3 ，2）
请你作出^ ABC的外接圆（保留作图痕迹
3
)
D . （3 ，1）
），并回答：三角形的外心一定在三角形的外部
吗?
中档题
9.如图, O O是^ ABC的外接圆，/ AOB= 60°, AB= AC= 2,则弦BC的长为（）
?
- 1的网格中，点A，B，C均落在格点上，用一个圆面去覆盖10 ?如图，将△ ABC放在每个小正方形边长为
A^/5 C
B
.
.2 D.
11.点O是^ ABC的外心，若/
A. 40 ° B . 100°
12.已知△ ABC的三条边长分别为
13.已知线段AB和直线l，过A、
（1）当I // AB时，可作几个圆？
，则/ BAC的度数为（
.40° 或140°
4 cm，
5 cm，则这个三角形外接圆的面积是
BOC= 80°
C
f 3 cm，
B两点作圆，并使圆心在I上.
.40° 或100
2
cm.
与AB斜交时，可作几个圆?
垂直于AB且不过AB的中点时，可作几个圆?
是AB的垂直平分线时，可作几个圆?
14 .小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树花坛的边
上.
(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
⑵ 若^ ABC中，AB= 8米，AC= 6米，/ BAC= 90°,试求小明家圆形花坛的面积.
A, B, C,小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在
综合题
15 .如图,
(1)求证：
(2)请判断
ABC外接圆的直径，ADI BC,垂足为点F,/ ABC的平分线交
BD= CD
B, E, C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由.
AD于点E,连接
BD, CD.
参考答案
C 2. B
由矩形的性质得0B= OC= OD= OA故点B, C, D都在以O为圆心，OA为半径的圆上.
B 5. B 6. A 7. D
图略.三角形的外心不一定在三角形的外部.
25
C 10. A 11. C
12.— n
4 13 .⑴可作一个圆.
(2)可作一个圆.
(3)不能作圆.
(4)可作无数个圆.
14. (1)略.
(2) ???/ BAC= 90°, AB= 8 米，AC= 6 米，二BC= 10 米，△ ABC外接圆的半径为5 米. 答：小明家圆形花坛的面积为25 n平方米.
15 .⑴ 证明：??? AD是△ ABC外接圆的直径，ADXBC, ? BD M C D?? BD= CD.
⑵B , E, C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.理由:
由⑴ 知：Bb= CD, ???/ BAD=/ CBD.
?// DBE=/ CBD^/ CBE / DEB=/ BAD^/ ABE / CBE=/ ABE
???/ DBE=/ DEB；. DB= DE；. DB= DE= DC.
??? B, E, C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.
《过不共线三点作圆》教案新部编本
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校
《过不共线三点作圆》教案 教学目标 知识与技能 1.理解、确定圆的条件及外接圆和外心的定义. 2.掌握三角形外接圆的画法. 过程与方法 经过不在同一直线上的三点确定一个圆的探索过程，让我们学会用尺规作不在同一直线上的三点的圆. 情感态度 在探究过不在同一直线上的三点确定一个圆的过程中，进一步培养探究能力和动手能力，提高学习数学的兴趣. 教学重点 确定圆的条件及外接圆和外心的定义. 教学难点 任意三角形的外接圆的作法. 教学过程 一、情境导入，初步认识 如图所示，点A，B，C表示因支援三峡工程建设而移民的某县新建的三个移 民新村.这三个新村地理位置优越，空气清新，环境幽雅.花园式的建筑住宅让人 心旷神怡，但安居后发现一个极大的现实问题:学生就读的学校离家太远，给学生 上学和家长接送学生带来了很大的麻烦. 根据上面的实际情况，政府决定为这三个新村就近新建一所学校，让三个村到学校的距离相等，你能帮助他们为学校选址吗？ 二、思考探究，获取新知 1.确定圆的条件活动1如何过一点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？ 活动2如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？ 【教学说明】以上两个问题要求学生独立动手完成，让学生初步体会，已知一点和已知两点都不能确定一个圆，并帮助学生得出如下结论. (1)过平面内一个点A的圆，是以点A以外的任意一点为圆心，以这点到A的距离为半径的圆，这样的圆有无数个. (2)经过平面内两个点A，B的圆，是以线段AB垂直平分线上的任意一点为圆心，以这一点到A或B的距离为半径的圆.这样的圆有无数个.
圆辅助线的常用做法
浅谈圆的辅助线作法 在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。下面以几道题目为例加以说明。 1.有弦，可作弦心距 在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。 例1 如图1, ⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ， 且AC=BD 。求证：PO 平分∠APD 。 分析1：由等弦AC=BD 可得出等弧 = 进一步得出 = ，从而可证等弦AB=CD ，由同圆中 等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，易证△OPE≌△OPF，得出PO 平分∠APD 。 证法1：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F AC=BD => = => = => AB=CD => OE=OF ∠OEP=∠OFP=90 ° => △OPE≌△OPF 0OP=OP =>∠OPE=∠OPF => PO 平分∠APD 分析2：如图1-1，欲证 PO 平分∠APD ，即证 ∠OPA=∠OPD ，可把∠OPA 与∠OPD 构造在两个 三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线 即半径OA ，OD ，因此易证△ACP ≌△DBP ，得AP=DP ，从而易证△OP A ≌△OP D 。 证法2：连结OA ，OD 。 ∠CAP=∠BDP ∠APC=∠DPB =>△ACP ≌△DBP AB ( BD ， ( CD ( D 图 1 AC ( AC ( BD ( AB ( CD ( D 图1-1
2019届九年级数学下册第二章2.4过不共线三点作圆练习新版
2.4 过不共线三点作圆 基础题 知识点1 过不共线三点作圆 1．下列条件中，可以画出唯一一个圆的是(C) A．已知圆心 B．已知半径 C．已知不在同一直线上的三点 D．已知直径 2．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示．为配成与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的玻璃碎片应该是(B) A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 3．(教材P63练习T2变式)某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．(不要求写作法，证明和讨论，但要保留作图痕迹) 解：在圆上取两个弦，根据垂径定理，垂直平分弦的直线一定过圆心，所以作出两弦的垂直平分线即可，两条垂直平分线的交点即为圆心．
知识点2 三角形的外接圆、外心 4．三角形的外心是(B) A．三角形三角平分线交点 B．三角形三条边的垂直平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数是(B) A．40° B．50° C．60° D．100° 6．若三角形的三边长分别为6，8，10，则此三角形的外接圆半径是(A) A．5 B．4 C．3 D．2 7．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(1，4)，(5，4)，(1，－2)，则△ABC外接圆的圆心坐标是(D) A．(2，3) B．(3，2) C．(1，3) D．(3，1) 8．如图，分别作出锐角三角形ABC、直角三角形ABC、钝角三角形ABC的外接圆，观察所画外接圆，探究三角形的外接圆的圆心与三角形的形状有什么关系？
初三圆中常见的辅助线的
圆中常见的辅助线的作法1．遇到弦时（解决有关弦的问题时） 常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。作用：①利用垂径定理； ②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； ③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。【例1】如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A=45°，BC=2，求⊙O的面积。 【例2】如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一个动点， 那么OP的长的取值范围是_________． 2．遇到有直径时 常常添加（画）直径所对的圆周角。 作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。 【例3】如图，AB是⊙O的直径，AB=4，弦BC=2, ∠B= 3．遇到90°的圆周角时 常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用：利用圆周角的性质，可得到直径。 【例4】如图，AB、AC是⊙O的的两条弦，∠BAC=90°， AB=6，AC=8，⊙O的半径是
4．遇到弦时 常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 作用：①可得等腰三角形； ②据圆周角的性质可得相等的圆周角。 【例5】如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上， 则∠C的度数是________. 5．遇到有切线时 （1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点） 作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。 【例6】如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB?的延长线于D，求证：AC=CD． （2）常常添加连结圆上一点和切点 作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。 6．遇到证明某一直线是圆的切线时 （1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。 【例7】如图所示，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD⊥L于D，且AC+BD=AB。 求证：直线L与⊙O相切。 （2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。 【例8】如图，△ABO中，OA= OB，以O为圆心的圆经过AB中点C，且分别交OA、OB于点E、F．求证：AB是⊙O切线；
九年级数学下册2.4过不共线三点作圆教案(新版)湘教版
2．4 过不共线三点作圆 1．掌握过不共线的三点作圆的方法； 2．认识三角形的外接圆和外心的概念，并会进行运用．(重点) 一、情境导入 如图所示，点A ，B ，C 表示因支援三峡工程建设而移民的某县新建的三个移民新村．这三个新村地理位置优越，空气清新，环境幽雅．花园式的建筑住宅让人心旷神怡，但迁居后发现一个极大的现实问题：学生目前就读的学校离家太远，给学生上学和家长接送学生带来了很大的麻烦． 根据上面的实际情况，政府决定为这三个新村就近新建一所学校，让三个村到学校的距离相等，你能帮助他们为学校选址吗？ 二、合作探究 探究点一：过不共线三点作圆 如图，AB ︵是一座石拱桥的桥拱．请你确定出AB ︵所在圆的圆心． 解析：要作AB ︵所在圆的圆心，就要在AB ︵上确定三点．找与这三点距离都相等的那个点．即 是圆心． 解：作法：1.在AB ︵上任找异于A 、B 的一点C ； 2．连接AC 、BC ； 3．分别作线段AC 、BC 的垂直平分线，两线交于点O ，则点O 即为所求作的AB ︵所在圆的 圆心． 方法总结：确定已知弧所在圆的圆心，只需在弧上任取两条弦，这两条弦的垂直平分线的交点即为圆心． 探究点二：三角形的外接圆及外心的相关计算 【类型一】 与圆的内接三角形有关的角的计算 如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝20°，则∠C 的度数是________． 解析：由OA ＝OB ，知∠OAB ＝∠OBA ＝20°，所以∠AOB ＝140°，根据圆周角定理，得∠C ＝12 ∠AOB ＝70°.故填70°. 方法总结：在圆中求圆周角的度数，可以根据圆周角定理找相等的角实现互换，也可以寻找同弧所对的圆周角与圆心角的关系． 【类型二】 与圆的内接三角形有关线段的计算
专训2 圆中常用的作辅助线的八种方法(3)
专训2 圆中常用的作辅助线的八种方法名师点金：在解决有关圆的计算或证明题时，往往需要添加辅助线，根据题目特点选择恰当的辅助线至关重要．圆中常用的辅助线作法有：作半径，巧用同圆的半径相等；连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等；作直径，巧用直径所对的圆周角是直角；证切线时“连半径，证垂直”以及“作垂直，证半径”等． 作半径，巧用同圆的半径相等 1．如图所示，两正方形彼此相邻，且大正方形的顶点A，D在半圆O上，顶点B，C在半圆O的直径上；小正方形的顶点F在半圆O上，E点在半圆O的直径上，点G在大正方形的边上．若小正方形的边长为4 ，求该半圆的半径． (第1题) 连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等 2．如图，圆内接三角形的外角∠的平分线与圆交于D点，⊥，垂足是P，⊥，垂足为H .求证：＝. (第2题)
作直径，巧用直径所对的圆周角是直角 3．如图，⊙O的半径为R，弦，互相垂直，连接，. (1)求证：2＋2＝4R2； (2)若弦，的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根(>)，求⊙O的半径及点O到的距离． (第3题) 证切线时辅助线作法的应用 4．如图，△内接于⊙O，＝，∥且与的延长线交于点D.判断与⊙O的位置关系，并说明理由． (第4题)
遇弦加弦心距或半径 5．如图所示，在半径为5的⊙O中，，是互相垂直的两条弦，垂足为P，且＝＝8，则的长为( ) A．3 B．4 C．3 D．4 (第5题) (第6题) 6．【中考·贵港】如图所示，是⊙O的弦，⊥于点H，点P是优弧上一点，若＝2，＝1，则∠的度数是．遇直径巧加直径所对的圆周角 7．如图，在△中，＝＝2，以为直径的⊙O分别交，于点D，E，且点D是的中点． (1)求证：△为等边三角形． (2)求的长． (第7题)
圆中常见辅助线的添加口诀及技巧知识交流
圆中常见辅助线的添加口诀及技巧 半径与弦长计算，弦心距来中间站。 圆上若有一切线，切点圆心半径连。 要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。 弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。 还要作个内切圆，内角平分线梦园。 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。 若是添上连心线，切点肯定在上面。 二：圆中常见辅助线的添加： 1、遇到弦时（解决有关弦的问题时） （1)、常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。 作用：①利用垂径定理； ②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 （2）、常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 作用：①可得等腰三角形； ②据圆周角的性质可得相等的圆周角。
2、遇到有直径时 常常添加（画）直径所对的圆周角。 作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形 3、遇到90°的圆周角时 常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用：利用圆周角的性质，可得到直径。 4、遇到有切线时 （1）常常添加过切点的半径（见切点连半径得垂直） 作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。 5、遇到证明某一直线是圆的切线时 （1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。 （2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。 6、遇到三角形的内切圆时
连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。 作用：利用内心的性质，可得： （1）内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分 线；（2）内心到三角形三条边的距离相等 7、遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点 作用：外心到三角形各顶点的距离相等。 例题1、如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A=45°，BC=2，求⊙O的面积。 例题2、如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上， 则∠C的度数是 ________. 例题3、如图，AB是⊙O的直径，AB=4，弦BC=2,∠ B= 例题4、如图，AB、AC是⊙O的的两条弦，∠BAC=90°， AB=6，AC=8，⊙O的半径 是
2.4_过不共线三点作圆
2．4过不共线三点作圆
1．掌握过不共线的三点作圆的方法； 2．认识三角形的外接圆和外心的概念，并会进行运用．(重点) 一、情境导入 如图所示，点A ，B ，C 表示因支援三峡工程建设而移民的某县新建的三个移民新村．这三个新村地理位置优越，空气清新，环境幽雅．花园式的建筑住宅让人心旷神怡，但迁居后发现一个极大的现实问题：学生目前就读的学校离家太远，给学生上学和家长接送学生带来了很大的麻烦． 根据上面的实际情况，政府决定为这三个新村就近新建一所学校，让三个村到学校的距离相等，你能帮助他们为学校选址吗？ 二、合作探究 探究点一：过不共线三点作圆 如图，AB ︵ 是一座石拱桥的桥拱．请你确定出AB ︵ 所在圆的圆心． 解析：要作AB ︵所在圆的圆心，就要在AB ︵ 上确定三点．找与这三点距离都相等的那个点．即是圆心． 解：作法：1.在AB ︵ 上任找异于A 、B 的一点C ； 2．连接AC 、BC ； 3．分别作线段AC 、BC 的垂直平分线，两线 交于点O ，则点O 即为所求作的AB ︵ 所在圆的圆心． 方法总结：确定已知弧所在圆的圆心，只需在弧上任取两条弦，这两条弦的垂直平分线的交点即为圆心． 探究点二：三角形的外接圆及外心的相关计算 【类型一】 与圆的内接三角形有关的角的计算 如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝ 20°，则∠C 的度数是________． 解析：由OA ＝OB ，知∠OAB ＝∠OBA ＝20°， 所以∠AOB ＝140°，根据圆周角定理，得∠C ＝ 1 2 ∠AOB ＝70°.故填70°. 方法总结：在圆中求圆周角的度数，可以根据圆周角定理找相等的角实现互换，也可以寻找同弧所对的圆周角与圆心角的关系． 【类型二】 与圆的内接三角形有关线段的计算 如图，在△ABC 中，O 是它的外心，BC ＝24cm ，O 到BC 的距离是5cm ，求△ABC 的外接圆的半径． 解：连接OB ，过点O 作OD ⊥BC 于D ，则OD ＝5cm ，BD ＝1 2 BC ＝12cm.在Rt △OBD 中，OB ＝ OD 2＋BD 2＝52＋122＝13(cm)．即△ABC 的外接圆的半径为13cm. 方法总结：由外心的定义可知外接圆的半径等于OB ，过点O 作OD ⊥BC ，易得BD ＝12cm.由此可求它的外接圆的半径． 三、板书设计 教学过程中，强调三角形的外接圆的圆心到三 角形三个顶点的距离相离，它是三角形三边垂直平分线的交点．在圆中充分利用这一点可解决相关的计算问题．
2020年中考数学复习： 圆中常见辅助线的作法 专题练习题
圆中常见辅助线的作法 1.如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝72°，则∠BCO的度数为( ) A.15° B.18° C.20° D.28° 2.如图所示，AB是⊙O的弦，OH⊥AB于点H，点P是优弧上一点，若AB＝23，OH＝1，则∠APB的度数是( ) A.60° B.50° C.40° D.30° 3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为( ) A.10 B.8 C.5 D.3 4.如图所示，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长是( ) A.2 5 B. 5 C.213 D.13 5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为( )
A．10 B．8 C．5 D．3 6. 如图所示，已知：AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ABC＝50°，则∠D 为( ) A.50° B.45° C.40° D.30° 7.如图，半圆O的直径AB＝10，弦AC＝6，AD平分∠BAC，则AD的长为( ) A．8 B．5 5 C．5 D．45 8. 如图所示，在半径为5的⊙O中，AB,CD是互相垂直的两条弦，垂足为P,且AB=CD=8，则OP的长为( ) A．3 B．4 C．3 2 D．42 9.如图，AB是⊙O的弦，AB＝6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°.若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN长的最大值是 . 10.如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O 的切线，切点为F.若∠ACF＝65°，则∠E＝ . 11. 已知：AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝50°，则∠D＝ .
圆中常见的辅助线
圆中常见的辅助线 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】
圆中常见辅助线的做法 一．遇到弦时（解决有关弦的问题时） 1.常常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。作用：①利用垂径定理； ②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； ③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 例：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D二点.求证：AC = BD 证明:过O作OE⊥AB于E ∵O为圆心，OE⊥AB ∴AE = BE CE = DE ∴AC = BD 练习：如图，AB为⊙O的弦，P是AB上的一点，AB = 10cm，PA = 4cm.求⊙O的半径. 2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角. 例：如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB,DN⊥AB,求证：AC BD = 证明：（一）连结OC、OD ∵M、N分别是AO、BO的中点 ∴OM = 1 2 AO、ON = 1 2 BO ∵OA = OB ∴OM = ON ∵CM⊥OA、DN⊥OB、OC = OD ∴Rt△COM≌Rt△DON ∴∠COA = ∠DOB ∴AC BD = （二）连结AC、OC、OD、BD ∵M、N分别是AO、BO的中点 ∴AC = OC BD = OD ∵OC = OD ∴AC = BD ∴AC BD = 3.有弦中点时常连弦心距 例：如图，已知M、N分别是⊙O 的弦AB、CD的中点,AB = CD，求证：∠AMN = ∠CNM 证明：连结OM、ON ∵O为圆心，M、N分别是弦AB、CD的中点 ∴OM⊥AB ON⊥CD ∵AB = CD ∴OM = ON ∴∠OMN = ∠ONM
湘教版初中数学九年级下册2.4 过不共线三点作圆 2
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2.4 过不共线三点作圆 学习目标 1． 了解不共线三点确定一个圆的方法，三角形的外接圆及外心等概念； 2． 经历不共线三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力． 重点难点 重点：掌握过不共线三点作圆的方法，了解三角形的外接圆及外心等概念． 难点：怎么样去确定过不在同一条直线上的三点的圆的圆心. 学习过程： 一、课前抽测： A B 1．怎样作线段的垂直平分线？ 已知线段AB ，求作：线段AB 的垂直平分线L 2．三角形两边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离是否相等？ 若在△ABC 中，边AB 与边BC 的垂直平分线交于点P ， 则PA= = ，为什么？ 3．位置和大小确定一个圆.决定圆的大小的是圆的 ， 决定圆的位置的是 . 二、自主学习：阅读教材，回答下列问题. 1．（１）经过一个已知点Ａ画圆； ·A 想一想：经过已知点A 可以画多少个圆？ （2）经过两个已知点C 、B 画圆. 想一想：①经过两个已知点可以画多少个圆？ C· · B ②圆心在哪儿？半径怎么确定？ 2．设三点A,B,C 不在同一直线上. ⑴过三点A,B,C 的圆的圆心在哪儿?怎么确定？ A· ·B C· ⑵过不在同一直线上的三点A,B,C 如何作圆? 已知:不在同一直线上的三点A,B,C ，求作:圆O,使它经过点A,B,C. 作法: ①连结AB,作线段AB 的 ； ②连结BC,作线段BC 的 ； ③以 和 的交点O 为圆心,以 为半径作圆，则圆O 就是所求作的圆． ⑶过不在同一直线上的三点A,B,C 能作多少个圆?为什么？ ⑷过同一直线上的三点A,B,C 能作一个圆吗?为什么？ 定理：不在同一直线上的三个点 . 强调：（１）过同一直线上三点不行； （２）“确定”一词应理解成“有且只有”. 3．三角形的外接圆： . B C A P
九年级数学圆中常见辅助线作法
九年级数学圆中常见辅助线作法
圆中常见辅助线的作法 典型例题： 例题1、如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 切于A 、B ，C 是 弧AB 上 任意一点，过C 作⊙O 的切线分别交PA 、PB 于D 、E ，若△PDE 的周长为12，则PA 长为______________ 例题2、如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，AC ⊥L 于C ，BD ⊥L 于D ，且AC+BD=AB 。 求证：直线L 与⊙O 相切。 例题3、如图，AB 是⊙O 的直径，弦AC 与AB 成30°角，CD 与⊙O 切于C ， 交AB?的延长线于D ，求证：AC=CD ． A B C D E O
例题4、如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一个动点，那么OP的长的取值范围是_________． 1．遇到弦时（解决有关弦的问题时） 1)、常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。 作用：①利用垂径定理； ②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； ③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。O C B A
O C B A O C B A 2）、常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 作用：①可得等腰三角形； ②据圆周角的性质可得相等的圆周角。 2．遇到有直径时 常常添加（画）直径所对的圆周角。 作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形 3．遇到90°的圆周角时 常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用：利用圆周角的性质，可得到直径。 4．遇到有切线时 （1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点 作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。（2）常常添加连结圆上一点和切点 作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。 5．遇到证明某一直线是圆的切线时 （1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。 （2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），
中考数学压轴题常见辅助线整理
一、添辅助线有二种情况： 1、按定义添辅助线： 如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。 2、按基本图形添辅助线： 每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：（1）平行线是个基本图形： 当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线 （2）等腰三角形是个简单的基本图形： 当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。 （3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形： 出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形 出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。 （5）三角形中位线基本图形 几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。 （6）全等三角形： 全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线 （7）相似三角形： 相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似
2.4 过不共线三点作圆 (1)
2.4 过不共线三点作圆 【教学目标】 1.理解、确定圆的条件及外接圆和外心的定义；掌握三角形外接圆的画法. 2.经过不在同一直线上的三点确定一个圆的探索过程,让我们学会用尺规作不在同一直线上的三点的圆. 3、在探究过不在同一直线上的三点确定一个圆的过程中,进一步培养探究能力和动手能力,提高学习数学的兴趣. 【教学重点】确定圆的条件及外接圆和外心的定义. 【教学难点】任意三角形的外接圆的作法. 【教学过程】一、情境导入，初步认识 如图所示,点A,B,C表示因支援三峡工程建设而移民的某县新建的三个移民新村.这三个新村地理位置优越,空气清新,环境幽雅.花园式的建筑住宅让人心旷神怡,但安居后发现一个极大的现实问题:学生就读的学校离家太远,给学生上学和家长接送学生带来了很大的麻烦.根据上面的实际情况,政府决定为这三个新村就近新建一所学校,让三个村到学校的距离相等,你能帮助他们为学校选址吗? 二、思考探究，获取新知 1.确定圆的条件活动1如何过一点A作一个圆?过点A可以作多少个圆? 活动2如何过两点A、B作一个圆?过两点可以作多少个圆? 【教学说明】以上两个问题要求学生独立动手完成,让学生初步体会,已知一点和已知两点都不能确定一个圆,并帮助学生得出如下结论. (1)过平面内一个点A的圆,是以点A以外的任意一点为圆心,以这点到A的距离为半径的圆,这样的圆有无数个. (2)经过平面内两个点A,B的圆,是以线段AB垂直平分线上的任意一点为圆心,以这一点到A或B的距离为半径的圆.这样的圆有无数个. 活动3如图,已知平面上不共线三点A、B、C,能否作一个圆,使它刚好都经过A,B,C三点. 【教学说明】假设经过A、B、C三点的圆存在,圆心为O,则点O到A、B、C三点的距离相等,即OA=OB=OC,则点O位置如何确定?是否唯一确定?教师提示到此,让学生动手画圆,最后教师归纳出. (3)经过不在同一直线上的三个点A,B,C的圆,是以AB,BC,CA的垂直平分线的交点为圆心,以这一点到点A,点B或点C的距离为半径的圆,这样的圆只有一个. 2.三角形的外接圆，三角形的外心. 活动4经过△ABC的三个顶点可以作一个圆吗?请动手画一画. 【教学说明】因为△ABC的三个顶点不在同一条直线上,所以过这三个顶点可以作一个圆,并且只可以作一个圆,并且得出如下结论. 1.三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，它的圆心叫做三角形的外心，是三角形三边垂直平分线的交点. 2.三角形的外心到三角形三顶点的距离相等.强调:任意一个三角形都有唯一的一个外接圆,但对于一个圆来说,它却有无数个内接三角形. 教学延伸：经过不在同一直线上的任意四点能确定一个圆吗?什么样的特殊四边形能确定一个圆? 【教学说明】提示:不一定.对角互补的四边形一定可以确定一个圆. 例2小明家的房前有一块矩形的空地,空地上有三棵树A,B,C,小明想建一个圆形花坛,使三棵树都在花坛的边上.
圆中常见辅助线的作法
C 圆中常见辅助线的作法 1． 遇到弦时（解决有关弦的问题时） 1)、常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。 2）、常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 2 ，遇到有直径时 3．4．常常添加过切点的半径（连结圆心和切点 5． 遇到证明某一直线是圆的切线时 （1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。 （2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）， 再 证其与直线垂直。 6． 遇到两相交切线时（切线长） 常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。 7． 遇到三角形的内切圆时 连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。 8． 遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点 C B P
，E，F，求Rt△ABC的内心I ，若CF垂直于AD，AB=2，求CD 上一个动点，
8、已知：□ABCD的对角线AC、BD交于O点，BC切⊙O于E点.求证：AD也和⊙O相切. 9、如图，学校A附近有一公路MN，一拖拉机从P点出发向PN方向行驶，已知∠NPA=30°，AP=160米，假使拖拉机行使时，A周围100米以内受到噪音影响，问：当拖拉机向PN方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？请说明理由.如果拖拉机速度为18千米∕小时，则受噪音影响的时间是多少秒？ 10、如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，求阴影部分的面积. 11、如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E,BF⊥CD，垂足为 F.求证：DE=CF.
九年级数学圆中常见辅助线作法
圆中常见辅助线的作法 典型例题： 例题1、如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 切于A 、B ，C 是 弧AB 上 任意一点，过C 作⊙O 的切线分别交PA 、PB 于D 、E ，若△PDE 的周长为12，则PA 长为______________ 例题2、如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，AC ⊥L 于C ，BD ⊥L 于D ，且AC+BD=AB 。 求证：直线L 与⊙O 相切。 例题3、如图，AB 是⊙O 的直径，弦AC 与AB 成30°角，CD 与⊙O 切于C ， 交AB?的延长线于D ，求证：AC=CD ． 例题4、如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是弦AB 上一个动点， 那么OP 的长的取值范围是_________． A B C D E P O
O C B A O C B A 1．遇到弦时（解决有关弦的问题时） 1)、常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。 作用：①利用垂径定理； ②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； ③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 2）、常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周 上一点和弦的两个端点。 作用：①可得等腰三角形； ②据圆周角的性质可得相等的圆周角。 2．遇到有直径时 常常添加（画）直径所对的圆周角。 作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形 3．遇到90°的圆周角时 常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用：利用圆周角的性质，可得到直径。 4．遇到有切线时 （1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点 作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。（2）常常添加连结圆上一点和切点 作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。 5．遇到证明某一直线是圆的切线时 （1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。 （2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）， 再证其与直线垂直。 O C B A
九年级数学下册 2_4 过不共线三点作圆学案2(新版)湘教版
2.4 过不共线三点作圆 学习目标 1． 了解不共线三点确定一个圆的方法，三角形的外接圆及外心等概念； 2． 经历不共线三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力． 重点难点 重点：掌握过不共线三点作圆的方法，了解三角形的外接圆及外心等概念． 难点：怎么样去确定过不在同一条直线上的三点的圆的圆心. 学习过程： 一、课前抽测： A B 1．怎样作线段的垂直平分线？ 已知线段AB ，求作：线段AB 的垂直平分线L 2．三角形两边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离是否相等？ 若在△ABC 中，边AB 与边BC 的垂直平分线交于点P ， 则PA= = ，为什么？ 3．位置和大小确定一个圆.决定圆的大小的是圆的 ， 决定圆的位置的是 . 二、自主学习：阅读教材，回答下列问题. 1．（１）经过一个已知点Ａ画圆； ·A 想一想：经过已知点A 可以画多少个圆？ （2）经过两个已知点C 、B 画圆. 想一想：①经过两个已知点可以画多少个圆？ C · · B ②圆心在哪儿？半径怎么确定？ B C A P
2．设三点A,B,C不在同一直线上. ⑴过三点A,B,C的圆的圆心在哪儿?怎么确定？ A··B C· ⑵过不在同一直线上的三点A,B,C如何作圆? 已知:不在同一直线上的三点A,B,C，求作:圆O,使它经过点A,B,C. 作法: ①连结AB,作线段AB的； ②连结BC,作线段BC的； ③以和的交点O为圆心,以为半径作圆，则圆O就是所求作的圆． ⑶过不在同一直线上的三点A,B,C能作多少个圆?为什么？ ⑷过同一直线上的三点A,B,C能作一个圆吗?为什么？ 定理：不在同一直线上的三个点 . 强调：（１）过同一直线上三点不行；（２）“确定”一词应理解成“有且只有”. 3．三角形的外接圆： . 圆的内接三角形：. 外心： . 三、合作探究： 例1：作出下列三角形的外接圆（只要作图痕迹，不要求作法）
九年级数学下册 2_4 过不共线三点作圆学案 (新版)湘教版
2.4 过不共线三点作圆 1.了解不共线三点确定一个圆的方法，三角形的外接圆及外心等概念； 2.经历不共线三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力． 自学指导阅读课本P61~62，完成下列问题. 知识探究 1．（1）经过一个已知点Ａ画圆；·A 想一想：经过已知点A可以画多少个圆？ 解：无数个. （2）经过两个已知点C、B画圆. 想一想：①经过两个已知点可以画多少个圆？ C··B 解：无数个. ②圆心在哪儿？半径怎么确定？ 解：圆心选取线段B C的垂直平分线上任意一点.半径取这一点与点B（C）的距离. 2．设三点A,B,C不在同一直线上. ⑴过三点A,B,C的圆的圆心在哪儿?怎么确定？ A··B C· 解：圆心为线段AB,BC垂直平分线的交点. ⑵过不在同一直线上的三点A,B,C如何作圆? 已知:不在同一直线上的三点A,B,C，求作:圆O,使它经过点A,B,C. 作法: ①连结AB,作线段AB的垂直平分线EF； ②连结BC,作线段BC的垂直平分线MN；
③以EF和MN的交点O为圆心,以OA（或OB或OC）为半径作圆，则圆O就是所求作的圆． ⑶过不在同一直线上的三点A,B,C能作多少个圆?为什么？ 解：1个. ⑷过同一直线上的三点A,B,C能作一个圆吗?为什么？ 解：不能. 定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆. 强调：（１）过同一直线上三点不行；（２）“确定”一词应理解成“有且只有”. 3.经过三角形各顶点的圆叫作这个三角形的外接圆,外接圆的圆心叫作这个三角形的外心,这个三角形叫作这个圆的内接三角形，三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点. 自学反馈 1.下列说法错误的是( C ) A．过一点有无数多个圆 B．过两点有无数多个圆 C．过三点只能确定一个圆 D．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆 2.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（B ） A.点P B.点Q C.点R D.点M
圆中常见的辅助线的作法分类大全
O C B A 1． 遇到弦时（解决有关弦的问题时） 常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。或者连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 作用：1、利用垂径定理； 2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； 3、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 4、可得等腰三角形； 5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。 例：如图，ＡＢ是⊙O 的直径,PO ⊥AB 交⊙O 于P 点，弦PN 与AB 相交于点M ， 求证：PM ?PN=2PO 2 . 分析：要证明PM ?PN=2PO 2 ，即证明PM ?PC =PO 2 ， 过O 点作OC ⊥PN 于C ，根据垂经定理 NC=PC ，只需证明 PM ?PC=PO 2 ，要证明PM ?PC=PO 2 只需证明Rt △POC ∽Rt △PMO. 证明: 过圆心O 作OC ⊥PN 于C ，∴PC= 2 1PN ∵PO ⊥AB, OC ⊥PN ，∴∠MOP=∠OCP=90°. 又∵∠OPC=∠MPO ，∴Rt △POC ∽Rt △PMO. ∴ PO PC PM PO 即∴PO 2= PM ?PC. ∴PO 2= PM ?2 1PN ，∴PM ?PN=2PO 2 . 【例1】如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A=45°，BC=2，求⊙O 的面积。 【例2】如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是弦AB 上一个动点， 那么OP 的长的取值范围是_________． 【例3】如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在弧AMB 上，
圆中常见的辅助线的作法分类大全
1． 遇到弦时（解决有关弦的问题时） 常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。或者连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 作用：1、利用垂径定理； 2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； 3、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 4、可得等腰三角形； 5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。 例：如图，ＡＢ是⊙O 的直径,PO ⊥AB 交⊙O 于P 点，弦PN 与AB 相交于点M ， 求证：PMPN=2PO 2. 分析：要证明PMPN=2PO 2，即证明PMPC =PO 2， 过O 点作OC ⊥PN 于C ，根据垂经定理 NC=PC ，只需证明 PMPC=PO 2，要证明PMPC=PO 2只需证明Rt △POC ∽Rt △PMO. 证明: 过圆心O 作OC ⊥PN 于C ，∴PC= 2 1 PN ∵PO ⊥AB, OC ⊥PN ，∴∠MOP=∠OCP=90°. 又∵∠OPC=∠MPO ，∴Rt △POC ∽Rt △PMO.
O C B A ∴ PO PC PM PO 即∴PO 2= PMPC. ∴PO 2= PM 2 1PN ，∴PMPN=2PO 2 . 【例1】如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A=45°，BC=2，求⊙O 的面积。 【例2】如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是弦AB 上一个动点， 那么OP 的长的取值范围是_________． 【例3】如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在弧AMB 上， 则∠C 的度数是________. 2． 遇到有直径时 常常添加（画）直径所对的圆周角。 作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。 例 如图，在△ABC 中，∠C=90°，以BC 上一点O 为圆心，以OB 为半径的圆交AB 于点M ，交BC 于点N ． （1） 求证：BA ·BM=BC ·BN ； （2） 如果CM 是⊙O 的切线，N 为OC 的中点，当AC=3时，求AB 的值． 分析：要证BA ·BM=BC ·BN ，需证△ACB ∽△NMB ，而∠C=90°，所以需要△NMB 中有个直角，而BN 是圆O 的直径，所以连结MN 可得∠BMN=90°。 （1） 证明：连结MN ，则∠BMN=90°=∠ACB ∴△ACB ∽△NMB
九年级数学下册 2_4 过不共线三点作圆习题 (新版)湘教版
2.4过不共线三点作圆 基础题 知识点1过不共线三点作圆 1．下列条件，可以画出唯一一个圆的是() A．已知圆心 B．已知半径 C．已知不在同一直线上的三点 D．已知直径 2．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示．为配成与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的玻璃碎片应该是() A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 3．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，试说明点B，C，D在以O为圆心，AO的长为半径的⊙O上． 知识点2三角形的外接圆、外心 4．三角形的外心是() A．三角形三角平分线交点 B．三角形三条边的垂直平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 5．(普洱中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数是() A．40°B．50°C．60°D．100° 6．若三角形的三边长分别为6，8，10，则此三角形的外接圆半径是() A．5B．4C．3D．2 7．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(1，4)，(5，4)，(1，－△2)，则ABC外接圆的圆心坐标是()
2 A．(2，3)B．(3，2)C．(1，3)D．(3，1) 8．如图，请你作出△ABC的外接圆(保留作图痕迹)，并回答：三角形的外心一定在三角形的外部吗？ 中档题 9．(内江中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为() A.3B．3C．23D．4 10．(婺城区模拟△)如图，将ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B，C均落在格点上，用一个圆面去覆盖ABC，能够完全覆盖这个三个角的最小圆半径是错误!) 5 A.5 B.6C．2 D. 11．(襄阳中考)点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为() A．40°B．100°C．40°或140°D．40°或100° 12．已知△ABC的三条边长分别为3cm，4cm，5cm，则这个三角形外接圆的面积是____________cm2. 13．已知线段AB和直线l，过A、B两点作圆，并使圆心在l上． (1)当l∥AB时，可作几个圆？ (2)当l与AB斜交时，可作几个圆？ (3)当l垂直于AB且不过AB的中点时，可作几个圆？