三角形的外角和

三角形的外角和(一)

——三角形外角的性质

教学目标：

1．知识目标：

（1）、掌握三角形外角的两条性质，初步学会数学说理。

（2）、通过例题的解析，会运用外角性质解题和简单说理。

2．能力目标：

（1）、让学生经历观察、思考、猜测、归纳等思维活动过程。

（2）、通过分析问题、解决问题、证实结论，从而通晓数学知识的发生与形成过程。

（3）、培养学生主动探索、勇于发现、敢于实践及合作交流的习惯。

3．情感目标：

通过猜想问题到结论的证实，让学生体验到探索问题成功的喜悦和成就感，让学生

在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满着探索和创造。

教学重点：三角形外角性质的探索

教学难点：灵活运用三角形的外角性质解决问题

教学方法：采用“问题——探究——发现”的研究模式，并采用了拼图和数学说理两种方法得到一个数学结论。

教学准备：实物投影仪一台，多媒体设备。

课前准备：让学生准备好几个三角形及外角，一把剪刀。

教学过程：

一、创设情景，引入新课

1、提出问题

师：同学们，在小学里我们曾经得出“三角形的内角和等于180°”，现在有哪位同学能告诉我，你用什么方法得到这个结论的？能动手给大家演示一下吗？

2、学生做一做。

3、把学生的拼合方法放在投影仪上，让全班学生观察。

4、回忆外角。

二、合作交流，探索新知

1、三角形的外角与相邻的内角的关系

【看一看】∠ACD与∠ACB的位置。（多媒体显示图形）【想一想】∠ACD与∠ACB有什么关系？

【说一说】∠ACD（外角）+∠ACB（相邻的内角）=180°B C

2、三角形的外角与不相邻的内角的关系【看一看】∠ACD 与∠A 、∠B 的位置。

【猜一猜】∠ACD 与∠A 、∠B 的大小会有什么关系？【做一做】让学生把准备好的三角形剪下，进行拼凑，观察会

出现什么结果，再与同伴们交流，结果是否一样？

三、归纳总结，建构体系【说一说】

让学生用文字语言描述外角的性质。

性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。性质2：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。让学生用几何语言描述外角的性质。性质1：∠ACD=∠A+∠B

性质2：∠ACD ＞∠A 、∠ACD ＞∠B 数学说理(一)：

实际上，因为∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，比较以上两个式子可得： ∠CBD= ∠A+∠B 。

数学说理(二)：解：过C 点作CE ∥AB

∵CE ∥AB

∴∠ACE =∠A （？） ∠DCE =∠B （？） ∴∠ACD =∠ACE+∠DCE =∠A+∠B

还有其他做辅助线的方法吗？（教师要注意到学生其它的说理途径）四、实际应用，提高能力【试一试】多媒体显示题目

1、快速抢答，看谁答得又快又准。 ∠1=_________+__________ ∠2=_________+__________

B C

B C A

∠2________∠3, ∠ 2________∠4

2、看图口答，求下列图形中∠1的度数。（书P64练习2）

(1) (2) (3) (4)

3、判断∠1与∠3的大小，并说明理由。

4、例：如图，D 是△ABC 的BC 边上一点，∠B=∠BAD ，∠

ADC=80°，∠BAC=70°，求：（1）∠B 的度数；（2）∠C 的度数。

分析：引导学生从已知条件寻找解决问题的切入点，观察已知

条件中涉及到的角在图形中的位置，发现∠ADC 是△ADC 的内角，也是△ABD 的外角。联想到外角的性质1，结合∠B=∠BAD ，从而求出∠B 的度数。再利用三角形的内角和等于180°求出∠C 的度数。

解：（1）因为∠ADC 是△ABD 的外角，所以

∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝80°. 又 ∠B ＝∠BAD ，所以 ∠B ＝80°×

＝40°. （2）在△ABC 中，因为

∠B ＋∠BAC ＋∠C ＝180°，所以 ∠C ＝180°－∠B －∠BAC

30°

60°

35°

120°

45°

1 50°

C D

30°

15°

＝180°－40°－70°＝70°

五、小结

1．三角形的外角性质：

（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；

（2）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

2．三角形的内角和等于180?，三角形的外角和等于360 ?。

3．在求角的度数时，常可利用三角形的内角和及外角的性质来找数量关系。

六、留下悬念

师：三角形的内角和等于180°，三角形的外角和会等于多少度？

生：360°、720°

师：这个结论是该如何验证，有多少种方法可以得到这个结论，我们下节课再讲解。

七、布置作业：教科书第67页习题9. 1第2，3题。

八．板书设计：

专训1 三角形内角和与外角和的几种常见应用类型(3)

专训1 三角形内角和与外角和的几种常见应用类型名师点金：三角形内角和与外角和有着广泛的应用，利用它们可以解决有关角的很多问题，一般可用于直接计算角度、三角尺或直尺中求角度、与平行线的性质综合求角度、截角或折叠问题中求角度等．直接计算角度 (第1题) 1．如图，在△中，∠A＝60°，∠B＝40°，点D，E分别在，的延长线上，则∠1＝．2．在△中，三个内角∠A，∠B，∠C满足∠B－∠A＝∠C－∠B，则∠B＝．三角尺或直尺中求角度 3．【2015·咸宁】如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2的度数是( ) A．50°B．40°C．30°D．25° (第3题) (第4题) 4．一副三角尺和如图放置(其中∠A＝60°，∠F＝45°)，使点E落在边上，且∥，则∠的度数为． 5．一副三角尺如图所示摆放，以为一边，在△外作∠＝∠，边交的延长线于点F，求∠F的度数． (第5题) 与平行线的性质综合求角度

6．如图，∥，∠＝60°，∠D＝50°，求∠E的度数． (第6题) 截角和折叠综合求角度 7．如图，在△中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2等于( ) (第7题) A．360° B．250° C．180° D．140° 8．如图，将△沿着翻折，使B点与B′点重合，若∠1＋∠2＝80°，求∠B的度数． (第8题) 答案

1．80° 2.60°3 4.15° 5．解：因为∠＝90°，∠＝30°，所以∠＝180°－∠－∠＝180°－90°－30°＝60°. 因为∠＝∠＝30°，所以∠F＝180°－∠－∠＝180°－30°－60°＝90°. 6．解：因为∥，所以∠＝∠＝60°. 因为∠D＝50°，所以∠E＝∠－∠D＝60°－50°＝10°. 7．B 8．解：由折叠知∠1＋∠2＋2(∠＋∠)＝360°，即80°＋2(∠＋∠)＝360°，所以∠＋∠＝140°，所以∠B＝180°－(∠＋∠)＝180°－140°＝40°.

关于三角形有关角度的计算(本训练重视基础和能力)

关于三角形有关角度的计算（本训练重视基础和能力）【题1】等腰三角形ABC ，AB=AC ，在边AB 上有一点D ，AD=BC ，角A=20度，求角BDC 的度数。【题2】等腰三角形ABC ，顶角C=20°，D 、E 分别在CA 和CB 上，∠EAB=70°，∠DBA ＝60°，求∠DEA 度数。【题3】已知AB=AC ，∠A=20°，∠ABD=10°，∠BDE=20°，求∠ACE 的度数。【题4】等腰三角形ABC 中，顶角B=20°，分别在BC 和AB 上取点D 、E ，使角DAC=60°，角ECA=50°，求角ADE 的度数。【题5】在三角形ABC 中，AB ＝AC ，角A ＝20度。AB 的中垂线交AC 于E ，点D 在AB 上，且BD ＝BC 。求角DEB 的度数。【题6】等腰三角形，顶角为80度，从一个底角引出与底边夹角成10度的线，从另一个底角引出与底边夹角成20度线，两线相交的交点与该等腰三角形顶点的连线与等腰三角形的腰的夹角是多少？【题7】已知：在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=80°，P 为三角形内一点，若∠PBC=10°, ∠PCB=30°,求∠PAB 的度数。 P C A B

【题8】等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=80°。三角形ABC内有一点P，∠PBC=40°，∠PCB=30°，求∠APC。【题9】等腰三角形ABC中，AB=BC，∠B=80°。三角形ABC内有一点P，∠PAC=40°，∠PCA=30°，求∠BPC。【题10】在等腰梯形ABCD中，AB＝CD，E是腰AB上一点，已知BC＝BE，∠ABC＝80°， ∠BDC=40°。∠ADE等于多少度【题11】已知：?ABC，AB=AC,∠ABP=30?，∠CBP=40?，∠ACP=50?, ∠BCP=20?，求：∠CAP的度数。【题12】已知：?ABC，AB=AC,∠ABP=30?，∠CBP=40?，∠ACP=50?, ∠BCP=20?，求证：AP=BP+PC。

(完整版)三角形的内角和与外角和关系(基础)知识讲解

三角形的内角和与外角和关系（基础）知识讲解【学习目标】 1．理解三角形内角和定理的证明方法； 2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质； 3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题. 【要点梳理】要点一、三角形的内角和 1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 2.结论：直角三角形的两个锐角互余. 要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系．要点二、三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是 △ABC的一个外角. 要点诠释：（1）外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理、证明经常使用的理论依据．另外，在证明角的不等关系时也常想到外角的性质． 3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°. 要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．【典型例题】类型一、三角形的内角和 1．证明：三角形的内角和为180°. 【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.

三角形外角定理.doc

北师大版八上第七章第五节《三角形内角和定理2》教学设计郑州市第七十五中学郑红莉

《三角形内角和定理2》教学设计郑州市第七十五中学郑红莉一课标要求掌握三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，证明三角形任意两边之和大于第三边。二基于对教材的理解本节课是北师大版八年级上册第七章第五节《三角形内角和定理》第2 课时的内容，学生在前一节课中已经学习了三角形内角和定理的证明和应用，因此本节课是对三角形知识学习的延伸，主要涉及三角形的外角定义，三角形两个外角定理及应用，同时进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧。三基于对考试要求的分析能利用三角形内角和定理推论进行角度计算和角度数量关系证明。四基于对学情的分析 1、学生已有知识基础。学生对于平行线相关知识以及三角形内角和定理的灵活运用已经有了深入的了解，为今天的学习奠定了知识基础，并且他们已经具有初步的几何意识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力。 2、已有的活动经验具备一定的学习能力，包括自学和交流，具备有条理的思考分析和表达能力，思维正逐步由具体走向抽象，当然依然倾向于通过形象

的材料来理解相关知识和概念。 3、学习本节可能出现的难点学生仅具备初步的利用定理推理证明的能力，但如何证明几何中的不等关系可能存在困难，另外证明的方法、技巧有待提高。 4、学生座次表 A C A C A B B D B D B D A C A C A C B D B D B D A C A C A C 前后四人为一组，A 为组长，每一组课堂表现有积分累计 B D B D B D AB 层通过预习能描述判断三角形外角，并能推理证明三角形外角有关定理及进行有关应用， CD层通过自学及与同桌交流能说出三角形外角定义，并能结合图形会描述三角形外角的两个定理及简单的应用。五学习目标 1.通过视频引入活动一，会判断和作出三角形的外角； 2.通过猜想、同桌交流，能描述有关三角形外角的两个定理及推理验证过程； 3.通过小组合作，会运用三角形内角和定理的两个推论解决相关问题【学习重点】三角形有关外角的两个定理的应用【学习难点】会用三角形的内角和定理的两个推论解决几何证明和几

沪科版数学八年级上册专题：三角形的有关计算与证明

专题：三角形的有关计算与证明三角形的有关计算和证明是中考的必考内容之一，这类试题解法比较灵活，通常以全等三角形、等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质和判定为考查重点，以计算题、证明题的形式出现，解答这类问题时，不仅要熟练掌握有关的公式定理，更要注意它们之间的相互联系. 例如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB 交BE的延长线于点D.CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG. 求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE. 【思路点拨】(1)要证明AF＝CG，可以利用“ASA”证明△ACF≌△CBG来得到； (2)要证明CF＝2DE，由(1)得CF=BG，则只要证明BG=2DE，又利用△AED≌△CEG可得DG=2DE，故证明DG=BG即可. 【解答】证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC. ∴∠BCG＝∠CAB＝45°. 又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC， ∴△ACF≌△CBG(ASA), ∴CF＝BG，AF＝CG. (2)延长CG交AB于点H. ∵AC＝BC，CG平分∠ACB， ∴CH⊥AB，H为AB中点. 又∵AD⊥AB，∴CH∥AD, ∴G为BD中点，∠D＝∠EGC. ∵E为AC中点，∴AE＝EC. 又∵∠AED＝∠CEG， ∴△AED≌△CEG(AAS), ∴DE＝EG,∴DG＝2DE,∴BG＝DG＝2DE. 由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE. 方法归纳：解答与线段或角相等的有关问题时，通常将它转化为全等三角形问题来求解. 1.如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O.

三角形的外角练习题及标准答案

7．2．2 三角形的外角基础过关作业 1．若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是________三角形． 2．△ABC中，若∠C-∠B=∠A，则△ABC的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 3．如图1，x=______． (1) (2) (3) 4．如图2，△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是_________． 5．如图3，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，求∠AEB的度数．6．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高，H是BD、?CE的交点，求∠BHC的度数．综合创新作业 7．如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=60°，则∠EDC=______． 8．一个零件的形状如图7-2-2-6所示，按规定∠A 应等于90°，∠B、∠D应分别是30°和20°，李叔叔量得∠BCD=142°，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？

9．（1）如图7-2-2-7（1），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；（2）如图7-2-2-7（2），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数． 10．（易错题）三角形的三个外角中最多有_______个锐角．培优作业 11．（探究题）（1）如图，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠CBE、∠BCF?的平分线，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系．（2）如图，BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC的外角∠ACE的平分线，它们相交于点D，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系．

三角形的外角及外角和

9.1.2三角形的外角与外角和教学目标： 1、理解三角形外角及外角和定义。 2、探索三角形的外角性质及外角和。 3、能运用三角形内角、外角知识解决问题。 4、体会图形在解决问题中的重要性。重点：掌握三角形内角外角知识，解决实际问题。难点：探索三角形的外角性质和外角和。教学过程：一、知识回顾： 1、三角形三个内角的和等于多少度？ 2、在ABC中：（1）∠C=90°，∠A=30 °，则∠B= ；（2）∠A=50 °，∠B=∠C，则∠B= . 3、在△ＡＢＣ中， ∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝２：３：４则∠Ａ＝，∠Ｂ＝，∠Ｃ＝二、探索新知：【一】自主探究： 1、外角定义：三角形的（）与（）的延长线组成的角，叫做三角形的外角．说一说下列∠1是哪个三角形的外角？画图并思考：画一个△ABC ，你能画出它的所有外角来吗？请动手试一试．同时想一想△ABC的外角共有几个呢？归纳：1、每一个三角形都有（）个外角． 2、每一个顶点相对应的外角都有（）个． 3、每个外角与相应的内角是（）．

2、外角性质：请同学们找出三角形的外角与内角关系？位置关系：数量关系：如图，已知AD是△BDC的边BA的延长线，试说明：∠1= ∠B+ ∠ C 结论：三角形的外角性质： 1.三角形的一个外角（）与它不相邻的两个内角的（）； 2.三角形的一个外角（）任何一个与它不相邻的内角。【二】、合作探究：三角形的外角和 1、外角和定义：从与每个内角相邻的两个（）中分别取（）相加，得到的和称为三角形的外角和。 2、外角和：如图，已知∠1，∠2，∠3是△ABC的外角，试说明：∠1+∠2+∠3=？议一议：∠1＋∠2＋∠3＝?还可以从哪些途径探究这个结果? 结论:三角形的外角和360°. 【三】、检测： 1、求下列各图中∠1的度数。

(人教版初中数学)三角形外角应用练习题

三角形外角应用例 1. （ 2005年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是55°和 65°,这个三角形的外角不可能是（） A. 115° B. 120° C. 125° D. 130° 例 2. （宁波市中考）如图,AB//CD,∠B=23°,∠D=42°,则∠E=（） A. 23° B. 42° C. 65° D. 19° 例3. （2006年重庆市中考）,AB=AC,∠BAD=α,且 AE=AD,则∠EDC=（） A. α2 1 B. α3 1 C. α4 1 D. α3 2 例4. （2003年成都市中考）已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角,那么这个三角形是（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上三种情况都有可能例5. （2004年荆州市中考）在等边三角形中,P 为BC 上一点,D 为AC 上一点,且∠APD=60°,BP=1,3 2CD =,则△ABC 的边长为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 例 6. （2002年福建省龙岩市中考）如图,在△ABC 中,AB=AC,D 、E 分别在BC 、AC 边上,且∠ADE=∠B,AD=DE.求证：△ADB ≌△DEC.

例7. 已知,如图,在△ABC 中,D 是三角形内一点,求证：∠BDC>∠BAC. 例8. 已知：如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD ⊥BC 于D,E 是AD 上一点,求证：∠DEC>∠ABC. 例9. 如图,已知：在△ABC 中,AB>AC,∠AEF=∠AFE,延长EF 与BC 的延长线交于G ,求证：)B ACB (2 1 G ∠-∠=∠. 例10. 如图,求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. 练习： 1. （1996年昆明市中考）如图,α、β、γ分别是△ABC 的外角,且4:3:2::=γβα,则∠ACB 等于（） A. 20° B. 30° C. 40° D. 80° 2. （2004年陕西省中考）如图,在锐角三角形中,CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高,且CD 、BE 交

初二数学三角形中相关角度的计算规律及应用专题重要

B A O C 1 2 例1 初二数学三角形中相关角度的计算规律及应用（理解性记忆并能熟练运用考试必考）一、三角形内角和定理与角平分线规律及应用例1：在△ABC 中，BO 与CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，且相交于点O ，探究∠O 与∠A 是否有关系？若有关系，试分析有怎样的关系？研究分析：∠O =180°- (∠1+∠2) 而∠1+∠2= 12 (180°-∠A) =90°- 1 2 ∠A ∴∠O=180°- (90°- 12 ∠A) =90°+ 1 2 ∠A 由例1总结出重要规律：三角形的两个内角平分线交于一点，所形成角的度数等于90°加上第三角的一半，即为∠O = 90°+ 1 2 ∠A 。例2:已知如图：在△ABC 中，BO 、CO 分别平分∠CBE 和∠BCF ，且交于点O ，则∠O 与 ∠A 的关系又如何呢? 分析：∠O = 180°-（∠1+∠2）而∠1+∠2 = 1 2 (180°+ ∠A) ∴∠O =180°- [ 1 2 (180°+ ∠A)] = 180°- 90°- 1 2 ∠A = 90°- 1 2 ∠A 由例2总结出重要规律：三角形的两个外角平分线交于一点，所形成角的度数等于90°减去第三角的一半。即为 ∠O = 90°- 1 2 ∠A 。例3：已知如图：PB 与PC 分别为内角∠ABC 和外角∠ACD 的平分线，且交于点P ，探究：∠A 与∠P 的关系。分析：∠P=∠2-∠1， ∠2= 1 2 (∠A+∠ABC) ∠1= 1 2 (180°-∠A - ∠BCA ） ∴∠P= 12 (∠A+∠ABC ）- 12 (180°-∠A - ∠BCA ） = 12 ∠A + 12 ∠ABC - 90°+ 12 ∠A+ 12 ∠BCA =∠A - 90°- 12 (180°-∠A) = 1 2 ∠A 由例3总结出重要规律：三角形的一个内角平分线与一个外角平分线交于一点，所形成角的度数等于第三角的一半。即为∠P = 1 2 ∠A 。规律的应用 1、如图，在△ABC 中，外角∠CAE 和∠ACD 的平分线AP 与CP 交于点P ，且∠B=57°，则∠APC= 。 2、如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线相交于点E ，且∠A=110°，求∠E= 。 3、如图：在△ABC 中,∠A=90°,∠B =32°,OA 、OB 、OC 分别平分∠A 、∠B 、∠C ，例2 2 1 A B O E C F 例3 C P B A D 1 2

三角形外角的性质及应用

三角形外角的性质及应用角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。本文谈谈三角形外角的性质及应用。一.三角形外角的概念及特征如图1像/ ACD 那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。图1 外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如/ ACD 的顶点C 是厶ABC 的一个顶点; （2）一条边是三角形的一边，如/ ACD 的一条边 AC 正好是△ ABC 的一条边；（3）另一条边是三角形某条边的延长线如/ ACD 的边CD 是厶ABC 的BC 边的延长线。二.性质 1. 三角形的外角与它相邻的内角互补。 2. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 4. 三角形的外角和等于 360 °。三?应用 1. 求角的度数例1. （ 2005年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是 55°和65°,这个三角形的外角不可能是（） A. 115 ° B.120 ° C.125 ° D. 130 ° 解析：如图2，/ A 的外角为：180° 55 =125 °。 / B 的外角为：180° - 65° =115° / ACB 的外角为：55° +65 ° =120° 所以选D 。

BCD 例2. （2005年浙江省宁波市中考）如图3, AB//CD，/ B=23。，/ D=42 °，则/ E= （）因为AB//CD 所以/仁/ B=23 ° / BED是厶EDF的外角则/ BED= / 1 + / D=23 ° +42° =65 故选Co A. 23 例3. （2006年重庆市中考）如图4, AB=AC , / BAD= ,且AE=AD ,贝EDC=( A. B. C. D. 解析：延长

三角形中相关角度的计算规律及应用

1 三角形中相关角度的计算规律及应用淮南市谢家集区杨公中学夏明海三角形是最简单的多边形，初中几何教学中常通过对角线或添加辅助线把复杂的图形转化为三角形来研究和讨论，使问题简化后得以解决，可见三角形是初中几何的最基础的内容，在几何教学中尤显重要。三角形内角和定理与角平分线、高线是探索和研究三角形问题的重要知识点。在教学实践中把他们巧妙的结合起来，使得解决问题更为方便。以素质教育为标准的新课标，对教材内容的深度、广度和难度都做了适当的调整，目前形势下，众多的教辅材料进入了学生的书包。其深度和难度明显超出了新课标的要求，如果学生不能很好的灵活应用基础知识，是很难完成作业的。为此对教师的课堂教学提出了新的要求。除要使学生对基础内容理解和掌握外，还要求教师把基本知识进行升华，教会学生准确、灵活的运用所学知识解决相应问题，同时要把基本内容进行归纳总结，抽象出规律性的东西。同时也培养了学生的综合分析能力和逻辑思维能力。由于我在课堂教学中摸索出点滴的教学经验——三角形中相关角度的计算规律及其应用。愿和同行们进行交流，共同分享这份快乐，共同进步。一、三角形内角和定理与角平分线规律及应用例1：在△ABC 中，BO 与CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，且相交于点O ，探究∠O 与∠A 是否有关系？若有关系，试分析有怎样的关系？研究分析：∠O =180°- (∠1+∠2) 而∠1+∠2= 1 2 (180°-∠A) =90°- 1 2 ∠A ∴∠O=180°- (90°- 1 2 ∠A) =90°+ 1 2 ∠A 由例1总结出规律：三角形的两个内角平分线交于一点，所形成角的度数等于90°加上第三角的一半，即为∠O = 90°+ 1 2 ∠A 。例2:已知如图：在△ABC 中，BO 、CO 分别平分∠CBE 和∠BCF ，且交于点O ，则∠O 与 ∠A 的关系又如何呢? 分析：∠O = 180°-（∠1+∠2）而∠1+∠2 = 1 2 (180°+ ∠A) ∴∠O =180°- [ 1 2 (180°+ ∠A)] = 180°- 90°- 1 2 ∠A = 90°- 1 2 ∠A B A O C 1 2 例1 E F

三角形的内角和与外角和

§9.1.2三角形内角和与外角和内江六中饶莹一、教学目标：知识与技能目标：学会演绎推理“三角形内角和等于0 180”与“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，并运用相关结论进行有关的推理和计算，初步掌握演绎推理的证明格式；过程与方法目标：在学生学习过程中，使学生学会探索数学问题的归纳和实验法等研究方法；情感、态度与价值观：通过小组讨论与自主学习相结合的方法，让学生融入课堂，成为课堂的主宰，并感受数学中演绎推理的魅力。二、教学重难点：教学重点：学会演绎推理“三角形内角和等于0 180”与“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，并进行有关的推理和计算；教学难点：三角形内角和定理的证明过程的引导与掌握。情景引入： 1、通过PPT 展示生活中三角形的应用 2、提问：三角形内角和等于多少度？ 3、谁能上台用图片直观的给同学们演示三角形三个角之和等于0 180？ 4、通过PPT 动态演示撕一撕，拼一拼的过程自主探究一：问题3：如何演绎证明三角形内角和等于0 180？已知ABC ?，分别用321∠∠∠、、表示ABC ?的三个内角，证明：0 180321=∠+∠+∠。结论1：三角形的内角和等于0 180。简单提示三角形的内角和等于180°的其他常见方法：

例1、说出下列三角形中未知内角的度数。结论2：直角三角形的两个锐角互余。自主探究二：三角形的一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角，如图：思考：三角形的一个外角与它内角的等量关系结论3：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；的度数。例2、说出下列各图中1

直角三角形的有关计算

(2019年1月最新最细）2019全国中考真题解析考点汇编☆直角三角形的有关计算一、选择题 1.（2019湖北荆州，8，3分）在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（） A、 5714 B、 35 C、 217 D、 2114 考点：解直角三角形．专题：几何图形问题．分析：根据∠A=120°，得出∠DAC=60°，∠ACD=30°，得出AD=1，CD= 3，再根据BC=2 7，利用解直角三角形求出．解答：解：延长BA做CD⊥BD， ∵∠A=120°，AB=4，AC=2， ∴∠DAC=60°，∠ACD=30°， ∴2AD=AC=2， ∴AD=1，CD= 3， ∴BD=5， ∴BC=2 7， ∴sinB= 327= 2114，故选：D．点评：此题主要考查了解直角三角形以及勾股定理的应用，根据题意得出∠DAC=60°，∠ACD=30°是解决问题的关键． 2.（2019山东滨州，9，3分）在△ABC中,∠C=90°, ∠C=72°,AB=10,则边AC的长约为(精确到0.1) ，

3. （2019?德州，7，3分）一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a 1，a 2，a 3，a 4，则下列关系中正确的是（） A 、a 4＞a 2＞a 1 B 、a 4＞a 3＞a 2 C 、a 1＞a 2＞a 3 D 、a 2＞a 3＞a 4 考点：正多边形和圆；等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角；平行四边形的判定与性质。专题：计算题。分析：设等边三角形的边长是a ，求出等边三角形的周长，即可求出等边三角形的周率a 1；设正方形的边长是x ，根据勾股定理求出对角线的长，即可求出周率；设正六边形的边长是b ，过F 作FQ ∥AB 交BE 于Q ，根据等边三角形的性质和平行四边形的性质求出直径，即可求出正六边形的周率a 3；求出圆的周长和直径即可求出圆的周率，比较即可得到答案．解答：解：设等边三角形的边长是a ，则等边三角形的周率a 1= 3a a =3 设正方形的边长是x ，由勾股定理得：对角线是x ，则正方形的周率是 a 2 错误！未找到引用源。≈2.828，设正六边形的边长是b ，过F 作FQ ∥AB 交BE 于Q ，得到平行四边形ABQF 和等边三角形EFQ ，直径是b+b=2b ， ∴正六边形的周率是a 3=62b b =3，圆的周率是422r a r ππ==， ∴a 4＞a 3＞a 2．故选B ．点评：本题主要考查对正多边形与圆，多边形的内角和定理，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，理解题意并能根据性质进行计算是解此题的关键．

解三角形中有关图形的计算

解三角形的有关计算：方法归纳：对于解三角形图形的相关问题，是涉及到2个或多个三角形的解三角形问题，关键是找到这些三角形之间的具有特殊关系的量，作为把不同三角形中的条件联系在一起的“桥梁”“纽带”，从而达到解三角形的综合问题。一、解三角形有关图形的计算： 1、如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形， 90ACB = ∠，BD 交AC 于E ，2AB =．（Ⅰ）求cos CAE ∠的值；（Ⅱ）求AE ． 2、在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于1 3BC ，则cos A ＝( ) A ．310 10 B ．1010 C ．－ 1010 D ．－31010 3、如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°. (1)若PB ＝1 2 ，求P A ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA . 4、如图，ABC ?中，2,3 3 2sin ==∠AB ABC ，点D 在线段AC 上，且3 34,2= =BD DC AD . (1)求BC 的长；（2）求DBC ?的面积. 5、如图，△ABC 中，AB=AC=2 ，BC= D 在BC 边上，∠ADC=45°，则AD 的长度等于______。 6、在ΔABC 中， AD AB ⊥，BC = BD ，1AD = ，则AC AD ? = 7、ABC ?中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5 sin 13B = ，3cos 5 ADC ∠=，求AD ． 8、在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长. 9、如图所示，在△ ABC ，已知AB = ,cos B = ，AC 边上的中线BD =求：（1）BC 的长度；（2）sin A 的值。 B A C D E A D C B

四年级下册数学《三角形的外角和》

《三角形的外角和》教学设计一、教学背景本节内容之前，学生已经对三角形的表示、分类、内角等有关知识有了初步的认识。本节主要内容是：外角的概念及求外角和。它是三角形知识的延伸部分，在以后学习与角有关的计算中占据重要的地位；是今后学习三角形、四边形等有关图形的基础，起着承上启下的作用。二、教学目标知识与能力 1、能在图形中准确识别三角形的内角和外角。 2、使学生通过实际操作，探究三角形的外角和，并能进行简单的几何推导。 3、能利用三角形的外角性质和定理进行简单的计算。过程与方法教学过程中，启发学生根据习题间的联系进行分组讨论，引导学生进行思考，由浅到深，由易到难，让学生在已有的知识水平上经历探究、思索的过程，诱导他们正确解题、运用多种方法解题，拓展他们的思维，提高想象能力。情感、态度与价值观 1、在实际探究中，培养学生主动参与的意识，增强学生间的合作能力。 2、通过运用所学知识探索三角形外角及求三角形的外角和的方法，体验数学研究和发现的过程，逐渐培养学生数学说理的习惯。教学重点与难点重点：找三角形外角、三角形外角和的探究难点：三角形外角和的探究学习方法：自主学习（知识准备）——合作探究（知识形成）——应用测评（知

识应用）教师准备：三角形尺、普通三角形、等边三角形、等腰直角三角形。学生准备：剪刀、直尺、量角器。三、教学过程（一）复习提问 1、在第五单元，我们学习了《三角形》，关于三角形的内角，你知道哪些知识？生：三角形有3个内角，三角形的内角和为180°。 2、回忆一下，我们是怎样推算出三角形的内角和的？生：量一量、剪拼、折一折。 3、既然三角形有内角，那么也可能有——外角。猜猜看，三角形的外角在哪儿？（生自由猜测。） 4、把三角形的一条边延长，这条延长线与三角形的另一条边形成的角，叫作三角形的外角。（板书本段文字，以及课题：三角形的外角） 5、谁能根据定义，到黑板上画出三角形的一个外角？学生先画一个正确的，老师问学生有没有不同意见，在同一点上，产生两个外角， 6、辨析：由于在A点，可以画两条延长线，就产生了两个外角，这两个外角大小相等，所以任取其中一个（师把另外一个擦掉），这样一个内角对应一个外角。 7、想一想，三角形有几个外角？生：3个你能画出来吗？请同桌合作，画出第1个图形的3个外角。（二）探究三角形的内角与外角的关系

初中数学三角形外角的性质及应用专题辅导

初中数学三角形外角的性质及应用角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。本文谈谈三角形外角的性质及应用。一. 三角形外角的概念及特征如图1，像∠ACD那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。图1 外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点；（2）一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；（3）另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。二. 性质 1. 三角形的外角与它相邻的内角互补。 2. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 4. 三角形的外角和等于360°。三. 应用 1. 求角的度数例1. （2005年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是55°和65°，这个三角形的外角不可能是（） A. 115° B. 120° C. 125° D. 130° -55=125°。解析：如图2，∠A的外角为：180°? ∠B的外角为：180°－65°=115° ∠ACB的外角为：55°+65°=120° 所以选D。图2 例2. （2005年浙江省宁波市中考）如图3，AB//CD，∠B=23°，∠D=42°，则∠E=（） A. 23° B. 42° C. 65° D. 19°

图3 解析：延长BE 交CD 于F 因为AB//CD 所以∠1=∠B=23° ∠BED 是△EDF 的外角则∠BED=∠1+∠D=23°+42°=65° 故选C 。例3. （2006年重庆市中考）如图4，AB=AC ，∠BAD=α，且AE=AD ，则∠EDC=（） A. α2 1 B. α3 1 C. α4 1 D. α3 2 图4 解析：设∠EDC=x ° 因为∠ADC 是△ABD 的外角所以∠ADC=∠ABC+∠BAD 即∠ADE+x=∠ABC+α （1）因为AB=AC ，AD=AE 所以∠B=∠C ，∠ADE=∠AED 而∠AED 是△DEC 的外角所以∠AED=∠EDC+∠C 即∠AED=x+∠C （2）将（2）代入（1）得： α+∠=+∠+ABC x C x 所以α= 2 1x 所以选A 。 2. 判定三角形的形状例4. （2003年成都市中考）已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形

三角形中有关角度的计算

三角形中有关角度的计算一.直接求角度 1.如图，在锐角△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 上的高，? 且CD 、BE 交于一点P ，若∠A=50°，求∠BPC 的度数。 2.所示，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，∠ACB 的平分线交AD 于E ，?交AB 于F ，请猜测∠AEF 与∠AFE 之间有怎样的数量关系，并说明理由． 3.把一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角α=_______度． 4.如图，在△ABC 中，∠B=66°，∠C=54°，AD 是∠BAC 的平分线，DE 平分∠ADC 交AC 于E ，则∠BDE=_________． 5.如图,△ABC 中,∠ABC=∠C=72°,BD 平分∠ABC,求∠ADB 的度数. C B 45 α 30 D C B A

6.如图,△ABC 中,∠A=80°,∠B 、∠C 的角平分线相交于点O,∠ACD=30°,?求∠ DOB 的度数. 7.△ABC 的两条高AD ，CE 相交于点M ，已知∠A=30°，∠C=75°，求∠AMC 8.（1）在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=100°，ME 和NF 分别垂直平分AB 和AC ，求∠MAN?的度数．（2）在（1）中，若无AB=AC 的条件，你还能求出∠MAN 的度数吗？若能，请求出；?若不能，请说明理由． 9.如图，在△ABC 中，∠ABC 的角平分线BE 和 ∠ACD 的角平分线CE 相交于点E ， (1)如果∠A =60°，∠ABC =50°，求∠E 的大小． (2)如果∠A =70°，∠ABC =40°，求∠E 的大小． (3)根据（1）和（2）的结论，试猜测一般情况下，∠E 和∠A 的大小关系，并简要说明理由． O D C B A C A E C B A

三角形的外角和定理

《三角形的外角和定理》教案思林中学张太宗一、教学目标： 1、知识与技能：了解三角形的外角概念和三角形外角的性质，初步学会数学说理。 2、数学思考：能剪剪拼拼，动手操作，探索发现有关结论。 3、解决问题：通过小组学习等活动经历得出三角形的外角概念和三角形的外角性质。学会运用简单的说理来计算三角形相关的角。 4、情感与态度目标：通过观察和动手操作，体会探索过程，学会推理的数学思想方法，培养主动探索、勇于发现，敢于实践及合作交流的习惯。二、教学重点与难点：重点：三角形的外角及其性质难点：运用三角形外角性质进行有关计算时能准确地表达推理的过程和方法。五、教学准备：学生：三角尺、铅画纸、小剪刀六、教学过程设计

[活动2] 问题1：图中那个角是三角形的外角？（多媒体显示图形）问题2：三角形的外角有什么特点？根据这些特点，谁能说说什么叫做三角形的外角？学生观察图形找出三角形的外角引出本节课题。学生仔细观察图形和学生间交流，师生共同得出： 1、三角形外角的特点： ①顶点在三角形的一个顶点上。 ②一条边是三角形的一条边。 ③另一条边是三角形的某条边的延长线。 2、三角形的外角的概念：本次活动中，教师应重点关注： 1、学生能否主动参与数学学习活动。 2、学生是否敢于发表个人观点。培养学生仔细观察能力，和语言表达能力。

[活动3] 问题1：如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ ABC的一个外角，能由∠A、∠B 求出∠ACD吗？如果能，∠ACD 与∠A、∠B有什么关系？问题2：任意一个△ABC的一个外角∠ACD与∠A、∠B的大小会有什么关系呢？学生先独立思考每个问题再分组讨论、交流。并解决问题。教师深入小组参与活动，及时了解学生情况，同时引导学生说出推理过程：因为∠ACB+∠ACD=180° ∠ACB+∠A+∠B=180° 比较两个式子可得∠ACD=∠A+ ∠B 师生共同归纳三角形外角的性质。本次活动中，教师应重点关注： ①学生能否在小组活动中与他人交流思考过程。 ②学生能否积极地参加小组探究活动。 ③学生能否采用不同方法解决问题。培养学生仔细观察的能力，并进行大胆猜想，再操作确认，培养学生勤于动手，乐于探究的良好习惯。在交流与合作的过程中，感受合作的重要性。教师引导学生说出推理过程，让学生体验证明的必要性，初步学会说理。 [活动4] 问题：你能运用三角形的外角性质解决课后练习吗？学生独立思考解决问题，教师总结结论。本次活动中，教师应重点关注： ①学生能否运用三角形外角性质解决问题。 ②学生能否有条理地表达自己的思考过程。了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生以获得成功体验的空间，激发学习的积极性，建立学好数学的自信心。

三角形相关计算与证明练习题

三角形相关计算与证明练习题姓名： ☆1、如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是正方形．若DE=2cm，则 AC的长为（） A． B．4cm C ．D． ☆2、如图，EF是△ABC的中位线，将△AEF沿AB方向平移到△EBD的位置，点D在BC 上，已知△AEF的面积为5，则图中阴影部分的面积为． 1题2题3题 ☆3、如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，BC=6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在C′处，连接BC′，那么BC′的长为． ☆☆4、如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE=DC； ②∠BOD=60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是． 4题5题6题 ☆5、如图，在Rt△ABC中，∠ABC = 900, AB = 8cm , BC = 6cm , 分别以A,C为圆心，以 AC 2 的长为半径作圆, 将Rt△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为 cm2（结果保留π） 6、在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，若点P在边AC上移动，则BP 的最小值是 . 7、如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD =3，则EF的长是 7题8题 8、如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE是∠BCD的平分线，且CE⊥AB，E为垂足， BE=2AE，若四边形AECD的面积为1，则梯形ABCD的面积为． 9、如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC 的延长线上，且∠CBF= 1 2 ∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（ 2）若AB=5，sin∠BC和BF的长． 10、如图（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD 于点E，交CB于点F （1 ）求证：CE=CF． A D E O

三角形的内角和与外角的性质(含答案)

1、（2011?昭通）将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（） A、45° B、60° C、75° D、85° 2、（2011?义乌市）如图，已知AB∥CD，∠A=60°，∠C=25°，则∠E等于（） A、60° B、25° C、35° D、45° 3、（2011?台湾）如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（）

A、∠2=∠4+∠7 B、∠3=∠1+∠6 C、∠1+∠4+∠6=180° D、∠2+∠3+∠5=360° 4、（2011?台湾）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B的外角度数为何（） A、36 B、72 C、108 D、144 5、（2011?台湾）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数？（） A、37 B、57 C、77 D、97 6、（2011?宁波）如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C=20°，则∠EAB的度数为（）

A、57° B、60° C、63° D、123° 7、直角三角形中两锐角平分线所交成的角的度数是（） A、45° B、135° C、45°或135° D、都不对 8、（2009?荆门）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（） A、40° B、30° C、20° D、10° 9、关于三角形的内角，下列判断不正确的是（） A、至少有两个锐角 B、最多有一个直角 C、必有一个角大于60° D、至少有一个角不小于60°

各种三角形边长的计算公式

各种三角形边长的计算公式解三角形解直角三角形（斜三角形特殊情况）：勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”）a^2+b^2=c^2, 其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如：3，4，5。他们分别是3，4和5的倍数。常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；5,12,13;10,24,26;等等. 解斜三角形：在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c. 则有（1）正弦定理a/SinA=b/SinB= c/SinC=2R (R为三角形外接圆半径) （2）余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB c^2=a^2+b^2-2ab*CosC 注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。（3）余弦定理变形公式cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab 斜三角形的解法：已知条件定理应用一般解法一边和两角（如a、B、C）正弦定理由A+B+C=180˙，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时有一解。两边和夹角(如a、b、c) 余弦定理由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180˙求出另一角，在有

解时有一解。三边(如a、b、c) 余弦定理由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180˙，求出角C 在有解时只有一解。两边和其中一边的对角(如a、b、A) 正弦定理由正弦定理求出角B，由A+B+C=180˙求出角C，在利用正弦定理求出C边，可有两解、一解或无解。勾股定理（毕达哥拉斯定理）内容：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。几何语言：若△ABC满足∠ABC=90°，则AB2+BC2=AC2勾股定理的逆定理也成立，即两条边长的平方之和等于第三边长的平方，则这个三角形是直角三角形几何语言：若△ABC 满足，则∠ABC=90°。 [3]射影定理（欧几里得定理）内容：在任何一个直角三角形中，作出斜边上的高，则斜边上的高的平方等于高所在斜边上的点到不是两直角边垂足的另外两顶点的线段长度的乘积。几何语言：若△ABC满足∠ABC=90°，作BD ⊥AC，则BD2＝AD×DC 射影定理的拓展：若△ABC满足∠ABC=90°，作BD⊥AC，(1)AB2=BD·BC (2)AC2;=CD·BC (3)ABXAC=BCXAD 正弦定理