一次函数与平行四边形综合
一次函数与平行四边形综合
一．解答题（共3小题）
1．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2=0，∠ABO 的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．
（1）求线段AB的长；
（2）求直线CE的解析式；
（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC．
（1）求直线BD的解析式；
（2）求△OFH的面积；
（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．解答题（共3小题）
1．（2015?齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB ﹣6）2=0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y 轴于点E．
（1）求线段AB的长；
（2）求直线CE的解析式；
（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2=0，
∴OA=8，OB=6，
在直角△AOB中，AB===10；
（2）∵BC平分∠ABO，
∴OC=CD，
设OC=x，则AC=8﹣x，CD=x．
∵△ACD和△ABO中，∠CAD=∠BAO，∠ADC=∠AOB=90°，∴△ACD∽△AOB，
∴，即，
解得：x=3．
即OC=3，则C的坐标是（﹣3，0）．
设AB的解析式是y=kx+b，根据题意得
解得：
则直线AB的解析式是y=x+6，
设CD的解析式是y=﹣x+m，则4+m=0，则m=﹣4．
则直线CE的解析式是y=﹣x﹣4；
（3）①当AB为矩形的边时，如图所示矩形AM
1P
1
B，易知BC的直线方程为y=2x+6，
设M
1（m，2m+6），P
1
（x，y），因为A（﹣8，0），B（0，6），则AM
1
2=（m+8）2+
（2m+6）2，=5m2+40m+100，BM
1
2=m2+（2m+6﹣6）2=5m2，AB=10，
根据AB2+AM
12=BM
1
2得100+5m2+40m+100=5m2，m=﹣5，
∴M
1（﹣5，﹣4），BM
1
中点坐标为（﹣，1），
BM
1中点同时也是AP
1
中点，则有，解得P
1
（3，2）
②当AB为矩形的对角线时，此时有AB2=AM
22+BM
2
2，即100=5m2+40m+100+5m2，m=
﹣4或m=0（舍去），
∴M
2
（﹣4，﹣2），AB中点坐标为（﹣4，3），
AB中点同时也是P
2M
2
中点，则有，解得P
2
（﹣4，8）
综上可得，满足条件的P点的坐标为P
1（3，2）或P
2
（﹣4，8）．
2．（2015?黑龙江）如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC．（1）求直线BD的解析式；
（2）求△OFH的面积；
（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：
（1）解方程x2﹣6x+8=0可得x=2或x=4，
∵BC、OC的长是方程x2﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC，
∴BC=2，OC=4，
∴B（﹣2，4），
∵△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，
∴OD=OC=4，DE=BC=2，
∴D（4，0），
设直线BD解析式为y=kx+b，
把B、D坐标代入可得，解得，
∴直线BD的解析式为y=﹣x+；
（2）由（1）可知E（4，2），
设直线OE解析式为y=mx，
把E点坐标代入可求得m=，
∴直线OE解析式为y=x，
令﹣x+=x，解得x=，
∴H点到y轴的距离为，
又由（1）可得F（0，），
∴OF=，
∴S
=××=；
△OFH
（3）∵以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形，
∴△DFM为直角三角形，
①当∠MFD=90°时，则M只能在x轴上，连接FN交MD于点G，如图1，
由（2）可知OF=，OD=4，
则有△MOF∽△FOD，
∴=，即=，解得OM=，
∴M（﹣，0），且D（4，0），
∴G（，0），
设N点坐标为（x，y），则=，=0，
解得x=，y=﹣，此时N点坐标为（，﹣）；
②当∠MDF=90°时，则M只能在y轴上，连接DN交MF于点G，如图2，
则有△FOD∽△DOM，
∴=，即=，解得OM=6，
∴M（0，﹣6），且F（0，），
∴MG=MF=，则OG=OM﹣MG=6﹣=，
∴G（0，﹣），
设N点坐标为（x，y），则=0，=﹣，
解得x=﹣4，y=﹣，此时N（﹣4，﹣）；
③当∠FMD=90°时，则可知M点为O点，如图3，
∵四边形MFND为矩形，
∴NF=OD=4，ND=OF=，
可求得N（4，）；
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，﹣）或（﹣4，﹣）或（4，）．
3．（2015?龙沙区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+8分别交两轴于点A、B，点C为线段AB的中点，点D在线段OA上，且CD的长是方程
的根．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线CD的解析式；
（3）在平面内是否存在这样的点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，不必说明理由．
【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+8分别交两轴于点A、B，∴点A的坐标是（8，0），点B的坐标是（0，8），
∵点C为线段AB的中点，
∴点C的坐标是（4，4），
由，
解得x=5，
∴CD=5，
设点D的坐标是（m，0）（m＞0），
则，
解得m=1或m=7，
∴点D的坐标是（1，0）或（7，0）．
（2）①当点D的坐标是（1，0）时，
设直线CD的解析式是y=ax+b，
则
解得
∴直线CD的解析式是y=x﹣．
②当点D的坐标是（7，0）时，
设直线CD的解析式是y=cx+d，
则
解得
∴直线CD的解析式是y=﹣x．
（3）存在点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形．①当直线CD的解析式是y=x﹣时，
设AF所在的直线的解析式是y=+m，
∵点A的坐标是（8，0），
∴，
解得m=﹣，
∴AF所在的直线的解析式是y=﹣．
Ⅰ、如图1，，
设点F的坐标是（p，），
则DF的中点E的坐标是（），
∵点A的坐标是（8，0），点C的坐标是（4，4），
∴AC的中点E的坐标是（6，2），
∴=6，
解得p=11，
∴点F的坐标是（11，4）．
Ⅱ、如图2，，
设点F的坐标是（p，），
则CF的中点G的坐标是（），
∵点A的坐标是（8，0），点D的坐标是（1，0），
∴AD的中点G的坐标是（4.5，0），
∴，
解得p=5，
∴点F的坐标是（5，﹣4）．
Ⅲ、如图3，当CF∥AD时，，设点F的坐标是（p，4），
则AF的中点E的坐标是（，2），
∵点D的坐标是（1，0），点C的坐标是（4，4），
∴CD的中点E的坐标是（2.5，2），
∴=2.5，
解得p=﹣3，
∴点F的坐标是（﹣3，4）．
②当直线CD的解析式是y=﹣x+时，
设AF所在的直线的解析式是y=﹣+n，
∵点A的坐标是（8，0），
∴，
解得n=，
∴AF所在的直线的解析式是y=﹣+．
Ⅰ、如图4，，
设点F的坐标是（p，﹣），
则DF的中点M的坐标是（），
∵点A的坐标是（8，0），点C的坐标是（4，4），∴AC的中点M的坐标是（6，2），
∴=6，
解得p=5，
∴点F的坐标是（5，4）．
Ⅱ、如图5，，
设点F的坐标是（p，﹣），
则CF的中点N的坐标是（，），
∵点A的坐标是（8，0），点D的坐标是（7，0），
∴AD的中点N的坐标是（7.5，0），
∴，
解得p=11，
∴点F的坐标是（11，﹣4）．
Ⅲ、如图6，当CF∥AD时，，设点F的坐标是（p，4），
则AF的中点E的坐标是（，2），
∵点D的坐标是（7，0），点C的坐标是（4，4），
∴CD的中点E的坐标是（5.5，2），
∴=5.5，
解得p=3，
∴点F的坐标是（3，4）．
综上，可得
点F的坐标是（11，4），（5，﹣4），（﹣3，4），（5，4），（11，﹣4）或（3，4）．
二次函数与平行四边形存在性问题
老师 姓名 学生姓名学管师 学科 名称 年级上课时间月日_ _ :00-- __ :00 课题 名称 二次函数与平行四边形的存在问题 教学 重点 教学过程【知识梳理】 1、平行四边形的性质是什么？ 2、在坐标系中，平行四边形又有哪些性质？ 3、解决问题的策略： ①根据要求画出满足要求的图形，然后根据几何性质计算未知量 ②分类讨论，根据对角线“共中点”的性质直接计算。 1.（2011?盘锦）如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过A（1，﹣1）、B（4，0）两点． （1）求这个二次函数解析式； （2）点M为坐标平面内一点，若以点O、A、B、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．
2.（2010?陕西）在平面直角坐标系中，抛物线A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣1）三点． （1）求该抛物线的表达式； （2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标． 3.（2011?阜新）如图，抛物线y=x2+x﹣与x轴相交于A、B两点，顶点为P． （1）求点A、B的坐标； （2）在抛物线是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积，若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由； （3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有符合条件的点F的坐标．
4.（2007?玉溪）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x＋m与该二次函数的 图象交于A、B两点，其中点A的坐标为（3，4），点B在y轴上。 （1）求m的值及这个二次函数的关系式； （2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P点作x轴的垂线交二次函数图象于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）D为直线AB与二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。
平行四边形难题综合训练与一次函数训练
平行四边形难题综合训练与一次函数训练 一、课前回顾 平行四边形的定义：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 平行四边形的定义、性质： （1）平行四边形对边平行且相等。 （2）平行四边形两条对角线互相平分。（菱形和正方形） （3）平行四边形的对角相等，两邻角互补 （4）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论） （5）平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形） （6）平行四边形是旋转对称图形，旋转中心是两条对角线的交点。 （7）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。 （8）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点。 （9）一般的平行四边形不是轴对称图形，菱形是轴对称图形。 （10）平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和（可用余弦定理证明）。 （11）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。 判定： （1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （2）对角线互相平分的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （4）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （6）一组对边平行一组对角线互相平分的四边形是平行四边形； （7）一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形； 知识点一：平行四边形知识点 1如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE．将 △ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．下 列结论：①点G是BC中点；②FG=FC；③S△FGC=9/10．其中正确 的是（） A．①②B．①③ C．②③D．①②③ 5、如图所示，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BEDG，．(1）求证：BEDG． (2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由。
(完整版)二次函数与三角形的存在性问题的解法
二次函数与三角形的存在性问题 一、预备知识 1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ） (1)线段对称轴是直线2x 2 1x x += (2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-= 中点公式：已知两点 ()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++222121y y ,x x 。 2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y += 如果这两天两直线互相垂直，则有121-=?k k 3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2 （1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2 （2）当k1≠k2， ，L1与L2相交 （3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直 二、三角形的存在性问题探究： 三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形 （一）三角形的性质和判定： 1、等腰三角形 性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。 判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。 2、直角三角形 性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。 判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形 性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。 判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形 4、等边三角形 性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。 判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
八年级数学下册平行四边形和一次函数复习资料
精品文档人教版八年级数学下册平行四边形和一次函数复习 3分）一、选择题。（每题）1、菱形具有而矩形不具有的性质是（ D.四条边相等四个角相等 C.对角线相等 A.对角相等 B.. ）则与该菱形面积相等的正方形的边长是（2、若一个菱形的两条对角线长分别是5cm和10cm,5cm D.7.5cm A.6cm B.5cm C.3、下列函数中，点（2，－1）在其图像上的是（） 11 A． B． C． D．3?x?1y?xy?5x?xy??1y?2224、已知点（-2，y），（-1，y），（1，y）都在直线y=－3x＋2上，则y，y，y的值的大小关311223系是（） A．y
O，给出下列四组条件：AC、BD相交于点10. 在四边形ABCD中，对角线AO=CO BO=DO AB=CD AD=BC ③∥BC ②AB①∥CD AD. ）∥CD AD=BC 其中一定能判断这个四边形是平行四边形的共有（④AB 组 C.3组 D.4A.1组 B.2组. ）图象大致是下列的（ ,（m,n）在第四象限则直线y=nx+m11.已知点P y
二次函数中三角形存在问题(二)
二次函数中三角形存在性问题（二） 1.相似三角形 2.等腰直角三角形 例一： 1.如图,抛物线经过三点A（1，0）,B（4,0）,C（0，-2） (1)求出抛物线的解析式; (2)P是抛物线上一动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以B,P,M为顶点的三角形与OBC△相似(相似比不为1）？若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由. 2.如图,抛物线与x轴交于A（1,0）、B（-3,0）两点,与y轴交于点C（0,3）,设抛物线的顶点为D. (1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标. (2)试判断△BCD的形状,并说明理由. (3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
y=向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线3.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线2x ()k - =2，所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D。 x y+ h （1）求h、k的值。 （2）判断△ACD的形状，并说明理由。 （3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。 4.如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y 轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，2OB=OD，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M．点P为线段FG上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q． （1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式； （2）是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
一次函数与特殊四边形的存在性问题(培优拓展)
一次函数与特殊四边形的存在性问题 （培优专题） 1．（2015春?通州区校级期中）如图，在直角坐标系中，A（0，1），B（0，3），P是x轴上一动点，在直线y=x上是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，画出所有满足情况的平行四边形，并求出对应的P、Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2015春?北京校级期中）已知直线y=x+3分别交x轴、y轴于点A、B． （1）求∠BAO的平分线的函数关系式；（写出自变量x的取值范围） （2）点M在已知直线上，点N在坐标平面内，是否存在以点M、N、A、O 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．
3．（2010秋?吴江市校级期中）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在AD 边上，AE＞DE，BE=BC，点O是线段CE的中点． （1）试说明CE平分∠BED； （2）在直线AD上是否存在点F，使得以B、C、F、E为顶点的四边形是菱形？如果存在，试画出点F的位置，并作适当说明；如果不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系xOy，直线y=x+1与y=﹣2x+4交于点A，两直线与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上的一个动点，直线AB上是否存在点E，使得以E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，点A的坐标是（2，1），点B的坐标是（5，1），过点A的直线l 的表达式为y=2x+b，点C在直线l上运动，在直线OA上是否存在一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2012春?雨花区校级期末）如图，已知等边△ABC的边长为2，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动． （1）当OA=时，求点C的坐标． （2）在（1）的条件下，求四边形AOBC的面积． （3）是否存在一点C，使线段OC的长有最大值？若存在，请求出此时点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
平行四边形与一次函数测验题
平行四边形与一次函数测验题 一．选择题（每题3分，共33分） 1．下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ） A ．y=2x - B ．y=12 x - C ．y=24x - D ．y=2x +·2x - 2．下面哪个点在函数y =12 x+1的图象上（ ） A ．（2，1） B ．（-2，1） C ．（2，0） D ．（-2，0） 3．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ） A ．y =2x-1 B ．y =3 x C ．y =2x 2 D ．y =-2x+1 4．若一次函数y =（3-k ）x-k 的图象经过第二、三、四象限，则k 的取值范围是（ ） A ．k>3 B ．0 【例1】 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线3 64 y x =-+与x 轴、y 轴的交点分 别为A B 、， 将OBA ∠对折，使点O 的对应点H 落在直线AB 上，折痕交x 轴于点.C （1）直接写出点C 的坐标，并求过A B C 、、三点的抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为D ，在直线BC 上是否存在点P ，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由； （3）设抛物线的对称轴与直线BC 的交点为T Q ， 为线段BT 上一点，直接写出QA QO -的取值范围. 【例2】 如图，点O 是坐标原点，点(0)A n ，是x 轴上一动点(0)n <.以AO 为一边作矩形AOBC ，点C 在第二象限，且2OB OA =．矩形AOBC 绕点A 逆时针旋转90?得矩形AGDE ．过点A 的直线y kx m =+(0)k ≠交y 轴于点F ，FB FA =．抛物线2y ax bx c =++过点E 、F 、G 且和直线AF 交于点H ，过点H 作HM x ⊥轴，垂足为点M ． ⑴ 求k 的值； ⑵ 点A 位置改变时，AMH ?的面积和矩形AOBC 的面积的比值是否改变？说明你的理由． 【例3】 如图1，Rt ABC ?中，90A ∠=?，3 tan 4 B = ，点P 在线段AB 上运动，点Q 、R 分别在线段BC 、AC 上，且使得四边形APQR 是矩形．设AP 的长为x ，矩形APQR 的面积为y ，已知y 是x 的函数，其图 象是过点()1236，的抛物线的一部分（如图2所示）． （1）求AB 的长； （2）当AP 为何值时，矩形APQR 的面积最大，并求出最大值． R Q B C A 二次函数与平行四边形综合 二次函数与三角形的存在性问题 一、预备知识 1、坐标系中或抛物线上有两个点为P（ x1，y），Q（x2，y） x 1x 2 x 2 (1) 线段对称轴是直线 (2)AB 两点之间距离公式：PQ(x1x2 ) 2( y1 y2 )2 中点公式：已知两点P x 1 , y 1 x1 x 2 , y 1y2 ,Q x2 ,y 2，则线段 PQ的中点 M为22。 Q P G O 2 、两直线的解析式为y k 1 x b 1 与y k 2 x b2 如果这两天两直线互相垂直，则有k1k21 3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1L2 ：y=k2x+b2 （1）当 k1=k2， b1≠b2，L1∥ L2 （2）当 k1≠ k2，，L1 与 L2 相交 （3）K1×k2= -1时，L1 与L2垂直 二、三角形的存在性问题探究： 三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形 （一）三角形的性质和判定： 1、等腰三角形 性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。 判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。2、直角三角形 性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。 判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形 性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于 45°。判定： 具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三 角形 性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。 判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是 60°的等腰三角形是等 边三角形。 总结：（ 1）已知 A、B 两点，通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求 的点（不与 A、B 点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上 （2）已知 A、B 两点，通过“两线一圆” 可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A、B 点重合）即在圆上以及在两条与直径 AB垂直的直线上。 （二）关于等腰三角形找点（作点）和求点的不同， 1、等腰三角形找点（作点）方法：以已知边为边长，作等腰三角形，运用两园一线法，在图 上找出存在点的个数，只找不求。 2、等腰三角形求点方法：以已知边为边长，在抛物线或坐标轴或对称轴上找点，与已知点构 成等腰三角形，先设所求点的坐标，然后根据两点间的距离公式求出三点间的线段长度，然后分 顶点进行讨论， 如：已知两点 A、B，在抛物线上求一点 C，使得三角形 ABC 为等腰三角形 解法：这是求点法：先运用两点间的距离公式分别求出线段AB BC AC的长度， 第二步，作假设，（1）以点 A 为顶点的两条腰相等，即AB=AC（2）以点B为顶点的两条腰相等，即 BA=BC （ 3）以点 C为顶点的两条腰相等，即CA=CB 第三步，根据以上等量关系，求出所求点的坐标 第四步进行检验，这一步是非常重要的，因为求出的有些点是不符合要求的。 如：已知两点 A、 B，在抛物线上求一点C，使得三角形 ABC 为等腰三角形 解法：这是求点法：先运用两点间的距离公式分别求出线段AB BC AC的长度， 第二步，作假设，（1）以点 A 为顶点的两条腰相等，即 AB=AC （2）以点 B 为顶点的两条腰相等，即 BA=BC （3）以点 C 为顶点的两条腰相等，即CA=CB 第三步，根据以上等量关系，求出所求点的坐标 第四步，进行检验，这一步是非常重要的，因为求出的有些点是不符合要求的。 （三）关于直角三角形找点和求点的方法 1、直角三角形找点（作点）方法：以已知边为边长，作直角三角形，运用两线一园法，在图 上找出存在点的个数，只找不求。所谓的两线就是指以已知边为直角边，过已知边的两个端点分 别作垂线与抛物线或坐标轴或对称轴的交点，就是所求的点；一圆就是以已知边为直径，以已知 边的中点作圆，与抛物线或坐标轴或对称轴的交点即为所求的点。 2、具体方法 （ 1） k1 k21； （2）三角形全等（注意寻找特殊角，如 30°、 60°、 45°、 90 °） （3）三角形相似；经常利用一线三等角模型 （4）勾股定理； 当题目中出现了特殊角时，优先考虑全等法三、二 次函数的应用： 二次函数平行四边形存在性问题例题 一．解答题（共9小题） 1．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．（1）求抛物线的解析式及点B坐标； （2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值； （3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． 3．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x 轴于点C． （1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若（1）中抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）若把（1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N（点F 在点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C． （1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA﹣QO|的取值范围． 5．如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠ 一次函数压轴题研究（六）特殊平行四边形存在性（讲义及答案）?课前预习 1.一般情况下我们如何处理存在性问题？ （1）研究背景图形 坐标系背景下研究____________、____________；几何图形研究____________、____________、____________． （2）根据不变特征，确定分类标准 研究定点，动点，定线段，确定分类标准 不变特征举例： ①等腰三角形（两定一动） 以定线段作为_________或者___________来分类，利用 _______________确定点的位置． ②等腰直角三角形（两定一动） 以________________来分类，然后借助_________或者 ___________确定点的位置． （3）分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解 （4）结果验证 2.用铅笔做讲义第1，2题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知识点睛，再做题，思路受阻时（某个 点做了2~3分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听． ?知识点睛 1.存在性问题处理框架： ①研究背景图形． ②根据不变特征，确定分类标准． ③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解． ④结果验证． 2.特殊平行四边形存在性问题不变特征举例： ①菱形存在性问题（两定两动） 转化为等腰三角形存在性问题； 以定线段作为底边或者腰确定分类标准，利用两圆一线确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标． ②正方形存在性问题（两定两动） 转化为等腰直角三角形存在性问题； 根据直角顶点确定分类标准，利用两腰相等或者45°角确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标． ?精讲精练 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：24 =-与x轴交于点A，与y轴交于点B． y x （1）求点A，B的坐标． x=-上的一动点，则在坐标平面内是否存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四（2）若P是直线2 边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 二次函数中的三角形 一．与三角形面积 例1：如图，已知在同一坐标系中，直线22 k y kx =+- 与y 轴交于点P ，抛物线k x k x y 4)1(22 ++-=与x 轴交于)0,(),0,(21x B x A 两点。C 是抛物线的顶点。 （1）求二次函数的最小值（用含k 的代数式表示）； （2）若点A 在点B 的左侧，且021 一次函数与特殊平行四边形专题 1、如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（4，0），B（0，3）．点C的坐标为（0，m），其中m＜2，过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴的一动点，且满足OD=2OC，连结DE，以DE，DA为边作?DEFA． （1）图中AB= ；BE= （用m的代数式表示）．（2）若?DEFA为矩形，求m的值； （3）是否存在m的值，使得?DEFA为菱形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 2、在平面直角坐标系中，一张矩形纸片OBCD按图1所示放置，已知OB=10，BC=6，将这张纸片折叠，使点O落在边CD上，记作点A，折痕与边OD（含端点）交于点E，与边OB （含端点）或其延长线交于点F．请回答： （1）如图1，若点E的坐标为（0，4），求点A的坐标； （2）将矩形沿直线y=- 1 x/2+n折叠，求点A的坐标； （3）将矩形沿直线y=kx+n折叠，点F在边OB上（含端点），直接写出k的取值范围． 3、如图，在平面直角坐标系中，直线y=- 3 x/4+b分别与x轴、y轴交于点A、B，且 点A的坐标为（4，0），四边形ABCD是正方形． （1）填空：b= ； （2）求点D的坐标； （3）点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外），试探索在x上方是否存在 另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理 由；若存在，请求出点N的坐标． 4、如图，将矩形OABC放置在平面直角坐标系中，点D在边0C上，点E在边OA上，把矩形沿直线DE翻折，使点O落在边AB上的点F处，且AF/AE=4/3．若线段OA=8，又2AB=30A．请解答下 一．解答题（共3小题） 1．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2=0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求线段AB的长； （2）求直线CE的解析式； （3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O 顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC． （1）求直线BD的解析式； （2）求△OFH的面积； （3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+8分别交两轴于点A、B，点C为线段AB的中点，点D在线段OA上，且CD的长是方程的根． （1）求点D的坐标； （2）求直线CD的解析式； （3）在平面内是否存在这样的点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，不必说明理由． 参考答案与试题解析 一．解答题（共3小题） 1．（2015?齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB ﹣6）2=0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E． （1）求线段AB的长； （2）求直线CE的解析式； （3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2=0， ∴OA=8，OB=6， 在直角△AOB中，AB===10； （2）∵BC平分∠ABO， ∴OC=CD， 设OC=x，则AC=8﹣x，CD=x． ∵△ACD和△ABO中，∠CAD=∠BAO，∠ADC=∠AOB=90°， ∴△ACD∽△AOB， ∴，即， 解得：x=3． 即OC=3，则C的坐标是（﹣3，0）． 学习好资料欢迎下载 二次函数与平行四边形2，3），与y轴交于点C（0，﹣）【例1】（2011湛江）如图，抛物线y=x+bx+c的顶点为D（﹣1，﹣4 ．B，两点（点A在点B的左侧）与x轴交于A ）求抛物线的解析式；（1 AD，试证明△ACD为直角三角形；，（2）连接ACCD，为顶点的的四边形FE，A3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以，B，（F的坐标；若不存在，请说明理由．为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点 17521xx???y?与【例y轴交于A点，过点2011】2（广东）如图，抛物线A的直线与抛物线 44． 学习好资料欢迎下载 交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0). （1）求直线AB的函数关系式； （2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N. 设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t 的函数关系式，并写出t的取值范围； （3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时， . 请说明理由值，平行四边形BCMN是否菱形？四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t yy xx轴C中，正方形OCBA的顶点A、分别在【例3】（2010茂名）如图，在直角坐标系O 轴、2c??bxaxy?1?3ab??，坐标为（上，点B66BA经过点），抛物线、两点，且．cab的值；，，）求1（． 学习好资料欢迎下载 （2）如果动点E、F同时分别从点A、点B出发，分别沿A→B、B→C运动，速度都是每秒1个?EBFt的面、F随之停止运动．设运动时间为秒，E单位长度，当点到达终点B时，点E积 为S． t之间的函数关系式，并求出S的最大值；S与①试求出②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理 一次函数与平行四边形 1.线段中点公式 平面直角坐标系中，点A 坐标为(x 1，y 1)，点B 坐标为(x 2，y 2)， 则线段AB 的中点P 的坐标为 （2,22121y y x x ++） 例：如图，已知点A (-2，1)，B (4，3)，则线段AB 的中点P 的坐标是________. 2.线段的平移 平面内，线段AB 平移得到线段A'B' ，则①AB ∥A'B' ，AB =A'B' ；②AA'∥BB'，AA'= BB'. 如图，线段AB 平移得到线段A'B' ，已知点A (-2，2)，B (-3，-1)， B' (3，1)，则点A'的坐标是________. 例：如图，在平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点坐标分别为A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)、C (x 3,y 3)、D (x 4,y 4)，已知其中3个顶点的坐标，如何确定第4个顶点的坐标？ 例：如图，已知□ABCD 中A (-2，2)，B (-3，-1)， C (3，1)，则点D 的坐标是________. 方法一：利用线段平移 总结：x 1-x 2= x 4-x 3，y 1-y 2= y 4-y 3 或者 x 4-x 1= x 3-x 2，y 4-y 1= y 3-y 2 等 方法二：利用中点公式 总结：x 1+x 3= x 2+x 4，y 1+y 3= y 2+y 4 类型一：三定一动 例1 、如图，平面直角坐标中，已知中A (-1，0)，B (1，-2)，C (3，1)，点D是平面内一动点，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是_________________________________. 总结：三定一动问题，可以通过构造中点三角形得以解决. 说明：若题中四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标只有一个结果________ 琢玉教育个性化辅导讲义 教师姓名学科上课时间年月日学生姓名年级讲义序号 课题名称 教学目标1.会根据题目条件求解相关点的坐标和线段的长度； 2.掌握用待定系数法求解二次函数的解析式； 3.能根据题目中的条件，画出与题目相关的图形，继而帮助解题； 教学重点难点1.体会利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法； 2.会应用分类讨论的数学思想和动态数学思维解决相关问题。 课前检查上次作业完成情况：优□良□中□差□建议_______________________________ 教学内容知识结构： 一.二次函数知识点梳理：下图中0 a≠二.特殊的二次函数：下图中0 a≠ 3 4 y x =与BC边交于D点． （1）求D点的坐标； （2）若抛物线2 y ax bx =+经过A、D两点，求此抛物线的表达式； （3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P是对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求出符合条件的点P． 方法总结： 1.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数c bx x y+ + - =2 3 1 的图像经过点 A（－1，1）和点B（2，2），该函数图像的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点D．二次函数背景下相似三角形的解题方法和策略： 1.根据题意，先求解相关点的坐标和相关线段的长度； 2.待定系数法求解相关函数的解析式； 3.相似三角形中，注意寻找不变的量和相等的量（角和线段）； 4.当三角形的三边不能用题目中的未知量表示时，注意利用相似三角形的转化求解； 5.根据题目条件，注意快速、正确画图，用好数形结合思想； 6.注意利用好二次函数的对称性； 7.利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解都是常用方法。 1．若等腰梯形两底之差的一半等于它的高，则此梯形的一个底角是…………………（ ） A ． 30 B ． 45 C ． 60 D ． 75 2.四边形ABCD 中，∠A:∠B:∠C:∠D=2:1:1:2,则四边形ABCD 的形状（ ） A.菱形 B.矩形 C.等腰梯形 D.平行四边形 3.若等腰梯形的三边长分别为3、4、11，则这个等腰梯形的周长为（ ） A ．21 B ．29 C ．21或29 D ．21或22或29 4.已知等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，60B ∠= ，28AD BC ==，，则此等腰梯形的周长为（ ） Ａ．19 Ｂ．20 Ｃ．21 Ｄ．22 5．梯形ABCD 中，AD ∥BC,AC 与BD 相交于点O,且AC ⊥BD,AC=4 cm,BD=3.5 cm,那么梯形ABCD 的面积为 。 6．在梯形ABCD 中，AD ∥BC,AD=8,BC=18,∠B=50,∠C=80，则CD 的长为 。 7．梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD,AC 与BD 相交于点O,且AC ⊥BD,高DH=42cm,那么 AC= cm,AD+BC= cm. 8.如图2-3，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C ′的位置上，已知AB=?4，BC=8，重合部分△EBD 的面积为________． 第8题图 第9题图 第10题图 9．如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥BC ，GH ∥AB ，EF 、GH 的交点P 在BD 上，图中面积相等的四边形共有（ ） A ．2对； B ．3对； C ．4对； D ．5对． 10.如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于E,AF ⊥CD 于F. （1）若∠ABC=75,则∠EAF 的度数是 ； （2）AE=4,AF=6, 在平行四边形ABCD 的周长是40，则在平行四边形ABCD 的面积S= . 11．（08温州）如图，方格纸中有三个点A ，B ，C ，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上． （1）在图甲中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形； （2）在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形； （3）在图丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形． 图-甲 图-乙 图-丙 （第11题图） （第11题图） （第11题图） E F G H D E C B A P 我们先思考三个问题： 1.已知A、B、C三点，以A、B、C、D为顶点的平行四边形有几个，怎么画？ 2.在坐标平面，如何理解平行四边形ABCD的对边AB与DC平行且相等？ 3.在坐标平面，如何理解平行四边形ABCD的对角线互相平分？ 如图1，过△ABC的每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生三个D。 如图2，已知点A（0,3），B（-2,0），C（3,1），如果四边形ABCD是平行四边形，怎样求点D的坐标呢？ 点B先向右平移两个单位，再向上平移3个单位与点A重合，因为BA与CD平行且相等，所以点C先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点D（5,4）。 如图3，如果平行四边形ABCD的对角线交于点G，那么过点G画任意一条直线（一般与坐标轴垂直）。点A、C到这条直线的距离相等，点B、D到这条直线的距离相等。 关系式和有时候用起来很方便。 1.(倒一)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4，OC=3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F，点D，E的坐标分别为（3，0），（0，1）．（1）求抛物线的解析式； （2）猜想△EDB的形状并加以证明； （3）点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问是否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2.（倒二）在同一直角坐标系中，抛物线C1:y=ax2-2x-3与抛物线C2:y=x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧． （1）求抛物线C1，C2的函数表达式； （2）求A、B两点的坐标； （3）在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 3.（宿迁倒一）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC、BC． （1）求曲线N所在抛物线相应的函数表达式； （2）求△ABC外接圆的半径； （3）点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标． 4.（倒一）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．（1）求抛物线的解析式； （2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标； 二次函数与三角形周长，面积最值问题 【新授课】 考点1：线段、周长问题 例 1.(2018·宜宾)在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1）， 如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 拓展：在l上是否存在一点P，使PB-PA取得最大值？若存在，求出点P的坐标。 练习 1、如图，已知二次函数24 y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和点B（0，-5）．（1）求该二次函数的解析式； （2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐 2、如图，抛物线y =ax 2-5ax +4（a ＜0）经过△ABC 的三个顶点，已知BC ∥x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC =BC ． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使|MA -MB |最大？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 例2. (2018?莱芜)如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）三点，D 为直线BC 上方抛物线上一动点，DE ⊥BC 于E ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，求线段DE 长度的最大值； B x A y O C x O A B y 练习 1、如图，抛物线y = 2 1x 2 +bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论； ⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值． （4）过点F 作FG 垂直X 轴，并与直线BC 交于点H ，求FH 的最大值。 2、 如图，在平面直角坐标系中，直线3342y x = -与抛物线21 4 y x bx c =-++交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的横坐标为-8． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作二次函数与平行四边形综合.
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