二次曲线的性质及应用

二次曲线的性质及应用

----研究性学习报告

山东省实验中学2008级23班刘谦益傅明睿陈霖

指导教师：王学红

摘要

二次曲线与我们的生活密切相关，它们的性质在生产、生活中被广泛应用。本小组成员在此次研究性学习活动中对二次曲线的性质进行了一系列探讨，从二次曲线的定义入手，就二次曲线的方程、光学性质及应用等方面展开说明。

Abstract

Conics are closely related to our living. Their characters have been widely applied in the producing and our living. The members of our team carried out a series of discussions with the characters of the conics at the research-based learning activities. Starting with the definition of conics, we illuminated with the equation, the optical properties and the application areas of the conics.

二次曲线的性质及应用

----研究性学习报告

山东省实验中学2008级23班 刘谦益 傅明睿 陈霖

指导教师：王学红

一、绪论

在我们的生活中，二次曲线无处不在。

车轮滚滚，留下一路红尘；烈日炎炎，照亮亘古乾坤。这些都给我们留下圆的形象。构筑了五彩世界的圆，就是最简单的二次曲线——x 2+y 2=r 2

从椭圆方程说起

当我们在纸上钉两个图钉，（它们的间距为2c ），将一根长为l 的绳子分别各系在一个图钉上，用笔绷紧绳子绕一圈，就画出了一个椭圆——因为椭圆上任

意一点到两焦点的距离和相等，而且不难得出这个椭圆长轴a= ,短轴b=

,我们把它放在直角坐标系中，设F 1（c,0），F 2（-c,0），可知椭圆上任意一点p(x,y)满足PF 1+PF 2=l=2a 。因此： 222222222,b a a y b x b a c =+-=

+ =1，当a=b 时方程为圆方程。 类似的，我们也有双曲线——就是到间距为2c 的两交点距离之差为定值2a

的点构成的曲线方程为 ，如图 2l 224c l -22)(c x y ++a

c x y 2)(22=-++22a

x 22

b y 122

22=-b

y a x

这里

是双曲线的虚轴长。我们不难发现，椭圆和双曲线的方程都能写成 的形式（A 、C 至少有一个为正）。

以前我们所熟悉的抛物线 y=kx 2，也是一种二次曲线，它们都是开口向上或

开口向下的，这里我们把它踢倒，让它歪90°，就得到开口向左或向右的抛物

线—— y 2=2px （如图就是一个开口向右的抛物线，但它不是一个函数图像）。

二、二次曲线与二元二次方程

2.1 二次曲线与二元二次方程的关系

二元一次方程表示一次曲线——直线，那么二元二次方程表示什么呢？

有人会说，一定表示二次曲线喽！我们不妨试一试。

我们把圆M ： 经过平移，得到 把它展开后，与一般二元二次方程：

Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0

进行对照，会发现它的限制条件太多了：

首先B 必须为0，而且A 和C 必须相等，且不为0，因为原方程展开后无

xy 项，且x 2和以y 2项系数都为1，无论乘以几都相等，满足这些还不行，D 2+E 2-4AF

必须是正的，否则方程会无解或有唯一解，也就是说方程不表示任何图形，或只

表示一个点（当然“点圆”模型在处理实际问题时也是有用的）……因此，一般二

元二次方程绝不可能只表示圆。

22a c b -=122=+Cy Ax 222r y x =+2

22)()(r n y m x =-+-

我们把刚才得到的二次曲线表达式进行平移改写，椭圆、双曲线

变成 ；抛物线 变成 、

y=kx 2变成 ，把它们展开得到一些方程，都是二元二次方程，

但不是xy 项系数B 等于0，就是x 2 项系数A 或 y 2项系数C 为0，因此一般二

元二次方程也不是只表示上述二次曲线平移后所得的图形。

二元二次方程还有一个重要的东西——准线。

对于椭圆 和双曲线 ，我们作直线l 1：c a x 2=, l 2：c

a x 2

-= ，不难发现椭圆和双曲线上任意一点到焦点的距离与到所作的与焦点同侧的直线距离之比e 都相等，且都等于 ，这时 l 1 和l 2 就是

椭圆和双曲线的准线，e 成为离心率。对于抛物线 也易证抛物线上任意一点到焦点 F 的距离和准线 l ： 的距离相等，即e=1。

这样就有了准线和离心率的定义。这样所有的二次曲线都能表示成为到定点

F 和定直线 距离之比等于e 的所有点构成的曲线。对于椭圆，0

圆就越扁；对于抛物线e=1；对于双曲线e>1。焦点、准线和离心率都确定了，

二次曲线就确定了（圆除外，规定圆e=0,无准线，焦点位于圆心）。

再去看讨论过的二次曲线，不难发现它们的准线都与坐标轴垂直，这就限制

了二次方程系数的取值。我们将二次曲线的准线，焦点和离心率都取任意值，再

试着去求二次曲线的方程：

设二次曲线准线l ：px+qy+s=0，焦点F （m ，n ），离心率为e 。对于二次曲

线上的任意一点P （x ，y ），PF 的长与P 到直线l 的距离之比都是e 。因此：

122=+Cy Ax 1)()(22=-+-n y C m x A px y 22=2)(m x k n y -=-12222=+b y a x 122

22=-b

y a x a c px

y 22=)0,2(p 2p x -=22

2222)()()(e q p s qy px n y m x =+++-+-

展开，整理得：

它的A,B,C 的值都不一定为0.因此它是一般二元二次方程的形式。

因此：一般二元二次方程在有无数多组解时，表示二次曲线。

以下需要说明的是：试着计算一下B 2-4AC ，可以发现：

B 2-4AC=4{(pqe 2)2-[(e 2-1)p 2-q 2][(e 2-1)2q 2-p 2]}

=4(2e 2p 2q 2-2p 2q 2+e 2p 4+e 2q 4-p 4-q 4)

=4(p 2+q 2)2(e 2-1)

由于(p 2+q 2)2一定为正，因此

B 2-4AC>0时，e>1，方程表示双曲线

B 2-4AC=0时，e=1，方程表示抛物线

B 2-4AC<0时，e<1，方程表示圆或椭圆

2.2抛物线方程的部分性质

当B 2-4AC=0时，二元二次方程 Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0 表示的是抛物

线，由于抛物线顶点处切线与对称轴（主光轴）垂直，设顶点处切线为

nx-my+t 2=0，对称轴为mx+ny+t 1=0。由于抛物线上的点到对称轴的距离的平方

与到顶点处切线的距离成正比，因此：

因此将方程配成 的形式，即可得出抛物线的对称轴 ，顶点处的切线为 ，顶点到焦点距离为 当k=0时，曲线退化成两条重合的直线 。还有一种情况，就是方程能配成 时，二次曲线退化成两条平行的直线

01=++t ny mx 和

2.3 双曲线方程的部分性质

2

2222222)())(())(s qy px e n y q p m x q p ++=-++-+（0

])1[(2])1[(222222222=+++--++--F Ey Dx y p q e xy pqe x q p e )

()221t my nx k t ny mx +-=++（0

)()221=+--++t my nx k t ny mx （01=++t ny mx 02=+-t my nx )

(422n m k +01

=++t ny mx 0)(21=++++t ny mx t ny mx ）（0

2=++t ny mx

以任意双曲线对称中心为原点O ‘，开口方向为x ’轴建立坐标系，易证双曲

线上任意一点到两渐近线距离乘积为定值。因此，当双曲线渐近线分别为

m 1x+n 1y+t 1=0 ,m 2x+n 2y+t 2=0时，双曲线可表示成

( m 1x+n 1y+t 1)(m 2x+n 2y+t 2)=k 。

因此二元二次方程

Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0

中B 2-4AC>0时，将它配成( m 1x+n 1y+t 1)(m 2x+n 2y+t 2)=k

的形式，则双曲线渐近线为m 1x+n 1y+t 1=0 , m 2x+n 2y+t 2=0。双曲线上任意 一点到两渐近线距离乘积为 ，当k=0时，曲线退化成 两条相交直线m 1x+n 1y+t 1=0 , m 2x+n 2y+t 2=0。

2.4 椭圆方程的部分性质

我们作x 轴的平行线，去截椭圆Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0,那么直线和椭圆

可能有两个，一个或没有公共点。将椭圆方程看做关于x 的方程：

Ax 2+(By+D)x+(Cy 2+Ey+F)=0

Δ=(By+D)2-4A (Cy 2+Ey+F)

=(B 2-4AC)y 2+(2BD-4AE)y+(D 2-4AF)

由于B 2-4AC<0因此Δ有最大值。当Δmax 为正时，方程才有无数多组解，

方程表示椭圆。当Δmax=0时，方程有唯一解，表示一个点。

Δmax 的符号由Δ表达式的判别式Δ2决定。

Δ2=(BD-2AE)2-(B 2-4AC)(D 2-4AF)

=4A 2E 2+4ACD 2+4AFB 2-4AEBD-16A 2CF

Δ2>0时，方程表示椭圆

Δ2=0时，方程表示一个点。

Δ2<0时，方程无解，不表示任何图形。

由椭圆的对称性还可得出：当y 的取值介于y 的最大值和最小值之间时，该

平行于x 轴的直线过椭圆中心， 即椭圆中心的横纵坐标使Δ的值最大。因此椭

圆中心纵坐标：

)

)((22222121n m n m k ++BD

AE y M 2-=

由于方程中x 和y 是齐次对称，因此将x 和y 的系数对换，即可得椭

圆中心的横坐标：

其实，双曲线的中心也可以用这个公式求出。

2.5 小结

至此，我们可以把二元二次方程

表示的图形做一个小结了：

当042<-AC B 时：

A ） Δ2<0，方程无解，不表示任何图形。

B ） Δ2=0，方程有唯一解，表示一个点。

C ） Δ2>0，方程有无数多组解，表示圆或椭圆。

当B 2-4AC=0时：

a ）能配成(mx+ny+t 1)(mx+ny+t 2)=0时，表示两平行直线mx+ny+t 1=0和

mx+ny+t 2=0

b)能配成(mx+ny+t)2=0时，表示两重合直线mx+ny+t=0

c)不能配成上述两种形式时，将它配成(mx+ny+t)2-k(nx-my+p)=0,方程表

示以mx+ny+t=0为对

称轴，顶点切线为nx-my+p=0,焦距为

的抛物线。抛物线开口由k 的符号确定。

当B 2-4AC>0时：

将它配成(m 1x+n 1y+t 1) (m 2x+n 2y+t 2)=k

a)k=0时，表示两相交直线m 1x+n 1y+t 1=0和m 2x+n 2y+t 2=0

b)k 不等于0时，表示以m 1x+n 1y+t 1=0和m 2x+n 2y+t 2=0为渐近线的双曲

线，双曲线的位置分别由k 的符号和大小决定。

AC

B BE

CD x M 422--=0

22=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax )

(422n m k +

三、二次曲线的光学性质

我们把汽车的镜前灯砸开，会发现它是一个抛物面。那么抛物线等二次曲线

有什么光学性质呢？

3.1 抛物线的光学性质

如图，设抛物线焦距为f ，焦点F （f ，0）。那么易得抛物线方

程为y 2=4fx 。设从焦点F 发出的光线与抛物线交于P （ ，2m ）， 不妨设m>0，则y P

= 。由导数公式算出P 处切线斜率

根据光的反射定律，反射面切线平分入射光线与反射光线的夹角。当PF 斜率不存在时，P （f ，2f ），P 处切线斜率为1，因此反射光线斜率为0，即反射光线平行于x 轴。当PF 斜率存在时，（设为k 1），则

因为 因此 ，即PF 仰角为P 处切线仰角的两倍，因此反射光线PQ 与

x 轴平行。

因此二次曲线的一条重要光学性质：

从抛物线焦点处发出的光线，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线主光

轴。

f

m 2P fx 2m f f

m f fx f y k P P P ====)(222'222122f m mf f f m m k -=-=2222122tan f m mf m f m f P -=-=θ12tan k P =θ

由于光路可逆，因此：平行于抛物线的主光轴光线经过抛物线反射后，反射

光线所在的直线会聚于焦点。

根据这个性质，可以制作抛物线形状的镜子——凹面镜和凸面镜。

如图，当物体A 、B 位于主光轴附近时，可近似的认为PO 垂直于OA.

而 ， ，因此

因此面镜成像与透镜有相似的性质：（v<0为虚像，凹面镜f<0）。

（u ：物距，v ：像距）。

凸面镜与凹透镜相似，总能形成正立、缩小的虚像（因为f<0）；凹面镜成

像与凸透镜相似，当u

倒立、放大的实像，u=2f 时成倒立等大的实像,u>2f 时成倒立、缩小的实像。

抛物线的光学性质非常有用，前面提到的汽车前灯，就是将灯泡装在抛物面

的焦点处，用平行光线照亮路面。太阳能热水灶的原理就是利用巨大的抛物面聚

集日光来加热水。将光线通过红宝石激光器可得激光，这通常需要大量红宝石，

而如果用凹面镜把光线聚集起来，则可大大减少红宝石的用量。

公元前215年，当罗马的战船逼近叙拉古城的时候，阿基米德从容地指挥岛

上的居民用镜子排成一个巨大的抛物线，把反射的阳光聚在敌军的船帆上，不一

会儿敌人就全被烧成烤鸭了。

科学，是最厉害的武器。

3.2 椭圆、双曲线的光学性质

抛物线，有奇特的光学性质，同样椭圆、双曲线也有一些光学性质：

从椭圆或双曲线的一个焦点发射的光线，经反射后，

反射光线所在的直线过

f v f FA OF B A PO B A AB -==='''''v u B A AB =''v u f v f =-v

u f 111+=

另一焦点

如图，设双曲线方程为 ，取它x 轴以上的部分，则它是一个函

数图像

，焦点 , 取双曲线上任意一点P （P 不在y 轴上），设 P(m,n) ，则P 点处切线斜率：

PF 1斜率:

PF 2斜率：

因此可以求出PF 1与PF 2仰角之和（设为α）的正切值：

也可以求出P 点处切线仰角 的二倍角的正切值： 12

222=-a x b y 22

1a x b y +=),0(221b

a F +),0(222

b a F +-2

22222m a a bm m a m a b k P +=+=am

b a a m a b x x y y k F P F P 2222111+-+=--=am

b a a m a b x x y y k F P F P 2222222+++=--=22422222

22222222

221212)()(121tan m b a m a m a abm m a b a a m a b am m a b k k k k -++=+-+-+=-+=αP θ

因此 ，即 因此P 点处切线平分PF 1与PF 2的夹角，即从一个焦点处发出的光线经双曲

线反射后，反射光线所在直线过另一焦点。

同样也能证明：从椭圆一个焦点发出的光线经椭圆反射后，反射光线经过另

一焦点。

四、极坐标系下的二次曲线

4.1 抛物线的极坐标方程

我们将抛物线的焦点作为原点O ，以开口方向为x 轴，则解析式为

,即y 2-2px-p 2=0

转化到极坐标下，y= ，x= ,.则： ∴ ①， 取加号，化简得

由①式还可推出抛物线过交点的弦长公式：

4.2 椭圆，双曲线的极坐标方程

由 ,即可得，中心在极点、准线与极轴垂直的椭

圆方程为

2

242222222222222)(12122tan m b a m a m a abm m a a m b m a a bm

k k P P P -++=+-+=-=θP θα2tan tan =P

θα2=)2(22p x p y +=θρsin θρcos 0

cos 2sin 222=--p p θρθρθθρ2cos 1cos -±=p p θρcos

1-=p θ

θρρ2221sin 2cos 12p p l =-=-=θρθρsin ,cos ==y x

双曲线方程为

我们试着将椭圆左焦点移至原点，则 ，由于b 2=a 2-c 2,

,因此： 化简得：

由于 ,化简得

∵ 表示焦点到准线距离p ，因此： 同理，也可推出双曲线也能写成 的形式。

因此，焦点在极点、准线垂直于极轴且到极点距离为p 的二次曲线极坐标方

程为 。

五、有关二次曲线的补充内容

以上就是我们主要研究的内容，我把从资料上获得的内容写在下面，作为补充。

5.1二次曲线的参数方程

椭圆参数方程：由 得：当 时：

，因此椭圆参1)sin cos (2

2222=+b a θθρ1)sin cos (2

2222=-b a θθρ1)(2

222=+-b y a c x θρθρsin ,cos ==y x 01cos 2sin cos 2

222222222=-+--+a c a c c a a θρθρθρ0)(cos )(2)cos (22222222=-+---c a c a c c a θρθρa c e =θρcos 122e a c a --=c c a 22-θρcos 1e ep

-=θρcos 1e ep -=θρcos 1e ep -=12222=+b

y a x θcos =a x θsin =b y

数方程为 {θθcos sin a x b y ==，平移后有{

θ

θcos sin a m x b n y +=+=（ θ为参数）。 抛物线参数方程：由y 2=2px 得：y=2pt 时：x=2pt 2

因此 {2

22pt x pt y == （t 为参数）为抛物线参数方程。

双曲线参数方程：由 得： 当 时：

因此双曲线参数方程为：{

θθsec tan a x b y ==

平移后得：{θ

θsec tan a m x b n y +=+= 5.2 常见二次曲线系

同圆系一样，具有某一共同性质的二次曲线也能用二次曲线系表示，以下是常见的几种二次曲线系

（ λ，μ 表示参数， ）

1.当三角形三边方程为 （i=1，2，3）时，过三角形三个顶点的二次曲线系为

2.当四边形四条边方程顺次为 （i=1，2，3，4） 时，过四边形四个顶点的二次曲线系为

3.切已知两直线 f 1=0, f 2=0,于已知点M ，N 的二次曲线系为 f 3=0为过M ，N 的直线方程

4.过两直线f 1=0, f 2=0,与二次曲线F(x,y)=0的四个交点的二次曲线系：

5.过两二次曲线F 1(x,y)=0, F 2(x,y)=0 的交点的二次曲线系

（F 2(x,y)=0 除外）： 122

22=-b y a x θsec =a x θtan =b y i i i i C y B x A f ++=0=i f 0

133221=++f f f f f f μλ0=i f 0

4231=+f f f f λ0

3321=+f f f f λ0

),(21=+f f y x F λ0

),(),(21=+y x F y x F λ

6.共交点有心二次曲线（椭圆和双曲线）系：

其中半焦距 7.共顶点二次曲线系：

8.共离心率椭圆系：

9.共渐近线（共离心率）双曲线系：

六、二次曲线性质的应用

二次曲线的性质，具有非常广泛的应用。 例如：我们非常熟悉的“对勾函数” 稍微变形一下就成

了： ，是二元二次方程,

因此它的图像为双曲线。

至于它的增减区间、值域等问题，一求导数 全部OK 。 二次曲线的性质还可以用来解决一些看似与它本身毫不相关的问题。 例如：统计学中经常要处理一些散点数据 为了画出一条直线 y=ax+b ，使这些点尽量分布在这条直线附近，即使

12222=-+-λλn y m x 2

2n m c -=1222=+λ

y a x λ=+2222b y a x λ=-2

222b y a x x b ax y +=02=+-b xy ax 0142>=-AC B 2

'x b a y -=()()()

n n y x y x y x ,,,2211??、

最小，设 ，则

将Q 看成关于a,b 的方程，则它是一个二元二次方程，由二次曲线的性质 很容易得出当AC 同号时位于二次曲线中心处的点的坐标使 Q 取得最值，这里为最小值，因此使Q 最小的a,b 值

即为著名的最小二乘法。

当然二次曲线性质的应用还有n 项，这里也不可能一一列举

That ’s all ，thanks

致谢：

指导教师：王学红老师

以及帮助我们的杨睿智等08级23班全体同胞

参考资料：

百度知道：https://www.360docs.net/doc/f32712975.html,/

《奥数教程》

()∑=--n i i i b ax y 12()∑=--=n

i i

i b ax y Q 12

()∑=--+++=n i i i i i i i y ax by abx b x a y Q 12222222∑∑∑===+-?-++=n

i n i i

i i n i i y b y n a y x nb ab x n a x 112122222221211222122444442x n x y x n y x x n x n y x n y x n AC B BE CD a n i i n i i i n i i n i i i --=--=--=∑∑∑∑====x a y AC

B BD AE b -=--=422

研究性学习心得

通过此次研究性学习，我们体会了学习的辛苦，也深入体会了探讨的乐趣，感受到知识的无穷魅力，对数学这门学科有了新的认识。

同时，我们也感受到学习时，要利用集体的智慧，发扬团结协作的精神，共同进步。同时设计方案时要充分考虑方案是否可行，研究时必须求实，不能凭空编造。

总之，此次活动中，我们受益匪浅。

但是此次活动中我们也有一些遗憾：一个遗憾是我们英文水平还不够，词汇太少，无法写出英文的版本。还有我们对计算机熟悉程度还不够，造成假期无法进行交流，整理资料时颇为困难。

指导教师评语：该小组的三位同学，对于二次曲线的方程、图像与性质、应用等方面运用初等的方法进行了系统的探究，形成了比较完整的体系，并能够运用几何画板数学软件进行辅助作图，直观准确。如果能够列举几个具体的事例加以运用，就会更加完美！