排列组合(ABC级).学生版

一、排列问题

在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关． 一般地，从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．

根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．

排列的基本问题是计算排列的总个数．

从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做m n P ．

根据排列的定义，做一个m 元素的排列由m 个步骤完成：

步骤1：从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n 种方法；

步骤2：从剩下的(1n -)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n -)种方法；

……

步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有11n m n m -

-=-+（）(种)方法；

由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ?-?-??-+ （）（）（），即

121m n P n n n n m =---+ （）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘．

二、排列数

一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =?-?-???? （

）（）． 表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，知识结构

排列组合

记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =?-?-???? （）（）　．

在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算．

三、组合问题

日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．

一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．

从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．

从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元

素的组合数．记作m n C ．

一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步：

第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；

第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m P 种排法．

根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =?． 因此，组合数12)112321

m

m n n m m P n n n n m C m m m P ?-?-??-+==?-?-???? （）（（）（）（）． 这个公式就是组合数公式．

四、组合数的重要性质

一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n

C C -=(m n ≤) 这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n m n C -表示从

n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．

例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255

C C =． 规定1n n C =，01n C =．

五、插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①

所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1

个物体，不能有没分到物体的组出现．

在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．

六、使用插板法一般有如下三种类型：

⑴ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的

(1)n -个空隙中放上(1)m -个插板，所以分法的数目为11m n C --．

⑵ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有a 个．这个时候，我们先发给每个人(1)a -个，还剩下

[(1)]n m a --个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为1(1)1m n m a C ----．

⑶m 个人分n 个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来m 个东西，每个人多发1个，这样

就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了()n m +个，因此分法的数目为11m n m C -+-．

【例 1】 4个男生2个女生6人站成一排合影留念，有多少种排法？如果要求2个女生紧挨着排在正中间

有多少种不同的排法？

【巩固】 4男2女6个人站成一排合影留念，要求2个女的紧挨着有多少种不同的排法？

【例 2】 将A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 七位同学在操场排成一列，其中学生B 与C 必须相邻．请问共有多

少种不同的排列方法？

例题精讲

【巩固】6名小朋友、、、、、

A B两人必须相邻，一共有多少种不同的站法？

A B C D E F站成一排，若，

若、

A B两人不能相邻，一共有多少种不同的站法？

【例 3】书架上有4本不同的漫画书，5本不同的童话书，3本不同的故事书，全部竖起排成一排，如果同类型的书不要分开，一共有多少种排法？如果只要求童话书和漫画书不要分开有多少种排

法？

【巩固】四年级三班举行六一儿童节联欢活动．整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成．请问：如果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序？

【例 4】8人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，有几种坐法？

【巩固】a，b，c，d，e五个人排成一排，a与b不相邻，共有多少种不同的排法？

【例 5】一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目．求：

⑴当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？

⑵当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？

【巩固】由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种？

【例 6】有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？

【巩固】小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法？

【巩固】有12块糖，小光要6天吃完，每天至少要吃一块，问共有种吃法．

【例 7】10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着．请问一共有多少种不同的放法？

【巩固】将13个相同的苹果放到3个不同的盘子里，允许有盘子空着。一共有种不同的放法。

【例 8】把20个苹果分给3个小朋友，每人最少分3个，可以有多少种不同的分法？

【巩固】三所学校组织一次联欢晚会，共演出14个节目，如果每校至少演出3个节目，那么这三所学校演出节目数的不同情况共有多少种？

【例 9】(1)小明有10块糖，每天至少吃1块，8天吃完，共有多少种不同吃法?

(2)小明有10块糖，每天至少吃1块，8天或8天之内吃完，共有多少种吃法?

【巩固】有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完为止，共有多少种不同的吃法？

【例 10】马路上有编号为1，2，3，…，10的十只路灯，为节约用电又能看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但又不能同时关掉相邻的两只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯

方法有多少种？

MSDC 模块化分级讲义体系 五年级奥数.计数综合. 排列组合（ABC 级）.学生版 Page7 of 9

【巩固】 学校新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中2盏

灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的2盏灯，那么熄灯的方法共有多少种？

【例 11】 在四位数中，各位数字之和是4的四位数有多少？

【巩固】 大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有多少个？

【例 12】 所有三位数中，与456相加产生进位的数有多少个？

【巩固】 从1到2004这2004个正整数中，共有几个数与四位数8866相加时，至少发生一次进位？

课堂检测

【随练1】 某小组有12个同学，其中男少先队员有3人，女少先队员有4人，全组同学站成一排，要求女

少先队员都排一起，而男少先队员不排在一起，这样的排法有多少种？

【随练2】 把7支完全相同的铅笔分给甲、乙、丙3个人，每人至少1支，问有多少种方法？

【随练3】 在三位数中，至少出现一个6的偶数有多少个？

【作业1】 将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排，要求三盆红花互不相邻，共有种不同的放法。

【作业2】 学校合唱团要从6个班中补充8名同学，每个班至少1名，共有多少种抽调方法？

【作业3】 能被3整除且至少有一个数字是6的四位数有个。

家庭作业

【作业4】学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生．某次比赛后他们站成一排照相，请问：

（1）如果要求男生不能相邻，一共有多少不同的站法？

（2）如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法？

【作业5】由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数中，百位不是2的奇数有个．

【作业6】停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，一共有多少种不同的停车方案?