专题复习第4课全等三角形与相似三角形(含答案)

第4课 全等三角形与相似三角形

◆考点分析

三角形的全等与相似是解决数学中图形问题的两个重要的工具，也是初中数学的重点内容，因此也是中考的重要考查内容。主要考查以下几方面的内容：1．会运用三角形全等、相似的性质与判定进行有关的计算和推理。2．能运用三角形全等与相似的知识解决相关的实际问题。3．能探索解决一些与三角形全等、相似有关的综合性题型。 ◆典型例题

例1（2006·金华市）如图，△ABC 与△ABD 中， AD 与BC 相交于O 点，∠1=∠2,请你添加一个条件(不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，使AC =BD ,并给出证明.

你添加的条件是: ． 证明:

【解题分析】可以添加的条件有：AD ＝BC ； OC ＝OD ；∠C ＝∠D ；∠CAO ＝∠DBC 等. 以添加条件AD ＝BC 为例证明： ∵ AB=AB ，∠1＝∠2，BC ＝AD ， ∴ △ABC ≌△BAD ． ∴ AC=BD ．

【每题一得】条件或结论的探究性题型或者是组合命题型题型越来越多地出现在各地的中考题中，这样的题型体现了较高的灵活性和开放性，比较全面地考察了全等相关的知识。

【同类变式】（2006·贺州市）如图，AB CD ，相交于E ，现给出如下三个论断： ①A C ∠=∠；②AD CB =；③AE CE =．

请你选择其中两个论断为条件，另外一个论断为结论，构造一个命题． （1）在构成的所有命题中，真命题有 个． （2）在构成的真命题中，请你选择一个加以证明． 你选择的真命题是：__?

???

____（用序号表示）

．

A

D

C

E

B

例 2 (2007南京)如图,在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6AB DC AD ===，60ABC ∠=o ，点E F ，分别在线段AD DC ，上（点E 与点A D ，不重合）

，且120BEF ∠=o

，设AE x =，DF y =．

⑴ 求y 与x 的函数表达式；

⑵ 当x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？

【解题分析】⑴ 由18012060AEB ABE ∴+=-=o o o ∠∠和

18012060AEB DEF ∴+=-=o o o ∠∠得ABE DEF ∴=∠∠．

从而可得ABE DEF ∴△∽△∴y 与x 的函数表达式是2

16

y

x x =-

+ 【每题一得】抓住运动变化过程中的不变量是解决运动变化问题的关键.

【同类变式】(2007

长沙)如图，

□ABCD Y

中，4AB =，3BC =，120BAD =o

∠，E 为BC 上一动点（不与B 重合），作EF AB ⊥于F ，FE ，DC 的延长线交于点G ，设BE x =，DEF △的面积为S ．

（1）求证：BEF CEG △∽△；

（2）求用x 表示S 的函数表达式，并写出x 的取值范围； （3）当E 运动到何处时，S 有最大值，最大值为多少？

例3（2007浙江义鸟）．如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm ，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B 、C 、F 、D 在同一条直线上，且点C 与点F 重合（在图3至图6中统一用F 表示） 小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决。 ⑴ 将图3中的△ABF 沿BD 向右平移到图4的位置，使点B 与点F 重合，请你求出平移的距离；

⑵ 将图3中的△ABF 绕点F 顺时针方向旋转30°到图5的位置，A 1F 交DE 于点G ，请你求出线段FG 的长度；

Ａ Ｅ

Ｄ

Ｆ

Ｃ

Ｂ

A

C

B D

E

F G

图1

图2

图3

图4

图5

图6

⑶ 将图3中的△ABF 沿直线AF 翻折到图6的位置，AB 1交DE 于点H ，请证明：A H ﹦DH.

【解题分析】⑴ 图形平移的距离就是线段BC 的长

又∵在R t △ABC 中，斜边长为10cm ，∠BAC=30，∴BC=5cm ， ∴平移的距离为5cm ． ⑵ 解Rt △EFD 即可 ⑶ 证明△AHE ≌△1DHB

【每题一得】掌握图形的平移、旋转、翻折等图形变换规律是解决此类问题的关键。 【同类变式】（2007济宁）如图，先把一矩形ABCD 纸片对折，设折痕为MN ，再把B 点叠在折痕线上，得到△ABE 。过B 点折纸片使D 点叠在直线AD 上，得折痕PQ 。

⑴ 求证：△PBE ∽△QAB ；

⑵ 你认为△PBE 和△BAE 相似吗？如果相似给出证明，如补相似请说明理由； ⑶ 如果直线EB 折叠纸片，点A 是否能叠在直线EC 上？为什么？ ◆当堂反馈

1．（2007福州）如图1，点D E ，分别在线段AB AC ，上，BE CD ，相交于点

O AE AD ，，要使ABE ACD △≌△，需添加一个条件是

（只要写一

个条件）．

(1) (2) (3)

A

D

C

B

N M A

D

C

B Q

E P

N

2．某学生想利用树影测量校园内的树高，他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因为大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上，经过测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么，这棵大树高为 米.

3．（2007怀化）如图2：111A B C ，，分别是BC AC AB ，，的中点，2A ，2B ，2C 分别是

11B C ，11A C ，11A B 的中点L 这样延续下去．已知ABC △的周长是1，111A B C △的周

长是1L ，222A B C △的周长是2n n n L A B C L 的周长是n L ，则n L =

．

4．（2007年芜湖市）如图3， 在△ABC 中AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，已知EH =EB=3、AE =4，则CH 的长是 ( ) A ． 1

B ． 2

C ． 3

D ．4

5．（2007南充）如图2，已知BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，且BE ＝CF ．请你判断AD 是△ABC 的中线还是角平分线？请说明你判断的理由．

6．(2007乐山)如图，在矩形ABCD 中，4AB =，10AD =．直角尺的直角顶点P 在AD 上滑动时（点P 与A D ，不重合），一直角边经过点C ，另一直角边AB 交于点E ．我们知道，结论“Rt Rt AEP DPC △∽△”成立． ⑴当30CPD =o

∠时，求AE 的长；

⑵是否存在这样的点P ，使DPC △的周长等于AEP △周长的2倍？若存在，求出

DP 的长；若不存在，请说明理由．

A

B

C

D

F

E

(4)

A (5)

B

C

D

F

E ◆配套练习

1．（2006·陕西省）如图4，△ABC 是不等边三角形DE ＝BC ，以D 、E 为两个顶点作位置不．．．同．的三角形，使所作三角形与△ABC 全等，这样的三角形可以画出 （ ） A ．2个

B ．4个

C ．6个

D ．8个

2．(2007陕西)如图5,在矩形ABCD 中,E 为CD 的中点,连接AE

并延长交BC 的延长线于点F,则图中全等的直角三角形共有( ) A ．3对

B ．4对

C ．5对

D ．6对

3．（2007潜江仙桃）小华在距离路灯6米的地方，发现自己在地面上的影长是2米，如果小华的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度是 米.

4.（2007年青岛）如图6是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB 的高度为36cm ，那么它在暗盒中所成的像CD 的高度应为 cm.

5．（2007乐山）如图，在等边ABC △中，点D E ，分别在边BC AB ，上，且BD AE =，

AD 与CE 交于点F ．

⑴ 求证：AD CE =；⑵ 求DFC ∠的度数．

7

O

46532145cm

20cm

D

C

A

B O

y

(6)

A E

5F

B

6．（2006绍兴）我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？ ⑴ 阅读与证明：

对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等。 对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等(证明略) 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：

已知：△ABC 、△111A B C 均为锐角三角形，AB=11A B ，BC=11B C ，∠C=∠1C ，

证明：△ABC ≌△111A B C .(请你将下列证明过程补充完整)

证明：分别过点B 、1B ，作BD ⊥CA 于D ，1111B D C A ⊥于1D ， 则∠BDC=111B D C ∠=90o，∵BC=11B C ，∠C=∠1C ∴△BCD ≌△111B C D ∴BD=11B D

⑵ 归纳与叙述：由(1)可得到一个正确结论，请你写出这个结论。

7．（2007年滨州）如图，在ABC △和DEF △中，90A D ==o ∠∠，3AB DE ==，

24AC DF ==．

⑴ 判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？

⑵ 能否分别过A D ，在这两个三角形中各作一条辅助线，使ABC △分割成的两个三角形与DEF △分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．

A

B

C D

E

F

8．（2007年连云港市）如图1，点C 将线段AB 分成两．

部分，如果AC BC

AB AC

=

，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．

某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S ，

2S ，如果

12

1

S S S S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线． （1）研究小组猜想：在ABC △中，若点D 为AB 边上的黄金分割点（如图2），则直线CD 是ABC △的黄金分割线．你认为对吗？为什么？

（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？

（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线DF CE ∥，交AC 于点F ，连接EF （如图3），则直线EF 也是ABC △的黄金分割线．请你说明理由．

（4）如图4，点E 是□ABCD Y 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF AD ∥，交DC 于点F ，显然直线EF 是□ABCD Y 的黄金分割线．请你画一条□ABCD Y 的黄金分割线，使它不经过□ABCD Y 各边黄金分割点．

A

Ｃ

Ｂ

图1 D 图2

C

D 图

3

C

F

E 图4

答案: ◆典型例题

例1可以添加的条件有：AD ＝BC ；OC ＝OD ；∠C ＝∠D ；∠CAO ＝∠DBC 等. 以添加条件AD ＝BC 为例证明： ∵ AB=AB ，∠1＝∠2，BC ＝AD ， ∴ △ABC ≌△BAD ． ∴ AC=BD ． 【同类变式】（1）2;

（2）你选择的真命题是：????

①－：③②

证明：在ADE △和CBE △中，

A C AED CE

B AD CB ∠=∠∠=∠=Q ，，，

ADE CBE ∴△≌△． AE CE ∴=．

选择命题二：?

???

①②③

证明：在ADE △和CBE △中，

A C ∠=∠Q ，AE CE AED CE

B =∠=∠，，

ADE CBE ∴△≌△． AD CB ∴=．

例2解：（1）在梯形ABCD 中，AD BC ∥，

6AB DC AD ===，60ABC =o ∠，

120A D ∴==o ∠∠，

18012060AEB ABE ∴+=-=o o o ∠∠． 120BEF =o Q ∠，

18012060AEB DEF ∴+=-=o o o ∠∠，

ABE DEF ∴=∠∠． ABE DEF ∴△∽△．

AE AB

DF DE

∴

=

． AE x =Q ，DF y =，

66x y x

∴

=-． ∴y 与x 的函数表达式是

211

(6)66

y x x x x =-=-+g ；

（2）2

16

y x x =-

+ 213(3)62

x =--+．

∴当3x =时，y 有最大值，最大值为

32

． 【同类变式】（1）证明略；

（2）由（1）DG 为DEF △中EF 边上的高，

在Rt BFE △中，60B =o

∠，sin 2

EF BE B x ==

， 在Rt CEG △中，3CE x =-，3(3)cos602

x

CG x -=-=

o

， 112

x

DG DC CG -∴=+=，

212S EF DG x x ∴=

=+g ， 其中03x <≤．

（3）08a =-

2

x =，∴当03x <≤时，S 随x 的增大而增大， ∴当3x =，即E 与C 重合时，S 有最大值．

S =最大

例3⑴ 图形平移的距离就是线段BC 的长

又∵在R t △ABC 中，斜边长为10cm ，∠BAC=30，∴BC=5cm ，

∴平移的距离为5cm ．

⑵ ∵∠1A FA ＝30°，∴∠60GFD =o

，∠D=30°．∴∠90FGD =o

． 在RtEFD 中，ED=10 cm ，∵FD=53， ∵53

FC =

cm ． ⑶ △AHE 与△1DHB 中，∵130FAB EDF ∠=∠=o

，

∵FD ＝FA ，所以EF ＝FB ＝FB 1，∴1FD FB FA FE -=-，即AE ＝D 1B ． 又∵1AHE DHB ∠=∠，∴△AHE ≌△1DHB （AAS ），∴AH DH =． 【同类变式】

◆当堂反馈

1．B C ∠=∠，AEB ADC ∠=∠，CEO BDO ∠=∠，AB AC BD CE ==，（任选一个即可） 2．9.4 3．

12

n 4．A

5．解：AD 是△ABC 的中线．

理由如下：在Rt △BDE 和Rt △CDF 中， ∵ BE ＝CF ，∠BDE ＝∠CDF ，

∴ Rt △BDE ≌Rt △CDF ． ∴ BD ＝CD ．

故AD 是△ABC 的中线．

6．解（1）在Rt PCD △中，由tan CD

CPD PD

=

∠，

得4

tan tan 30

CD PD CPD =

==o

∠

10AP AD PD ∴=-=-

由AEP DPC △∽△知

AE AP

PD CD =，12AP PD

AE CD

∴==g ．

（2）假设存在满足条件的点P ，设DP x =，则10AP x =- 由AEP DPC △∽△知

2CD

AP

=， 4

210x

∴

=-，解得8x =，

此时2AP =，4AE =符合题意． ◆配套练习 1．B 2．B 3．6.4 4.16

5．（1）证明：ABC Q △是等边三角形，

60BAC B ∴==o ∠∠，AB AC =

又AE BD =Q

(SAS)AEC BDA ∴△≌△，

AD CE ∴=．

（2）解由（1）AEC BDA △≌△，得ACE BAD =∠∠

DFC FAC ACE ∴=+∠∠∠60FAC BAD =+=o ∠∠

6．解：（1）又∵AB ＝A 1B 1，∠ADB ＝∠A 1D 1B 1＝90°

∴△ADB ≌△A 1D 1B 1 ∠A ＝∠A 1，

又∵∠C ＝∠C 1，BC ＝B 1C 1。 ∴△ABC ≌△A 1B 1C 1。

(2）若△ABC 与△A 1B 1C 1均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，AB=A 1B 1，BC=B 1C l ，∠C=∠C l ．则△ABC ≌△A 1B 1C 1． 7．解：（1）不相似．

∵在Rt BAC △中，90A ∠=°，34AB AC ==，；

在Rt EDF △中，90D ∠=°，32DE DF ==，，

12AB AC

DE DF ==∴，． AB AC

DE DF

≠

∴

． Rt BAC ∴△与Rt EDF △不相似．

（2）能作如图所示的辅助线进行分割．

具体作法：作BAM E ∠=∠，交BC 于M ；作NDE B ∠=∠，交EF 于N ． 由作法和已知条件可知BAM DEN △≌△．

BAM E ∠=∠∵，NDE B ∠=∠，

AMC BAM B ∠=∠+∠，FND E NDE ∠=∠+∠， AMC FND ∠=∠∴．

90FDN NDE ∠=-∠∵°， 90C B ∠=-∠°， FDN C ∠=∠∴．

∴AMC FND △∽△．

M

C

8．（1）直线CD 是ABC △的黄金分割线．理由如下： 设ABC △的边AB 上的高为h ． 所以，

ADC ABC S AD S AB =△△，BDC ADC S BD

S AD

=△△．

又因为点D 为边AB 的黄金分割点，所以有AD BD

AB AD

=

．因此ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△． 所以，直线CD 是ABC △的黄金分割线．

（2）因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时121

2

s s s ==

，即 12

1

s s s s ≠，所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线． （3）因为DF CE ∥，所以DEC △和FCE △的公共边CE 上的高也相等， 所以有DEC FCE S S =△△．

设直线EF 与CD 交于点G ．所以DGE FGC S S =△△． 所以ADC FGC AFGD S S S =+△△四边形

DGE AEF AFGD S S S =+=△△四边形，BDC BEFC S S =△四边形．

又因为ADC BDC

ABC ADC

S S S S =△△△△，所以BEFC AEF ABC AEF S S S S =四边形△△△．

因此，直线EF 也是ABC △的黄金分割线． （4）画法不惟一，现提供两种画法；

画法一：如答图1，取EF 的中点G ，再过点G 作一条直线分别交AB ，DC 于M ，

N 点，则直线MN 就是□ABCD Y

的黄金分割线． 画法二：如答图2，在DF 上取一点N ，连接EN ，再过点F 作FM NE ∥交AB 于点M ，连接MN ，则直线MN 就是□ABCD Y

的黄金分割线．

E M （第8题答图1）

E M （第8题答图2）