九年级数学上册期末复习提纲(最新、最全、最精)

提高数学成绩的“五条途径”

1、按部就班数学是环环相扣的一门学科,哪一个环节脱节都会影响整个学习的进程。所以，平时学习不应贪快,要一章一章过关，不要轻易留下自己不明白或者理解不深刻的问题。

２、强调理解概念、定理、公式要在理解的基础上记忆。每新学一个定理,尝试先不看答案，做一次例题,看是否能正确运用新定理;若不行,则对照答案,加深对定理的理解。

3、基本训练学习数学是不能缺少训练的，平时多做一些难度适中的练习，当然莫要陷入死钻难题的误区，要熟悉高考的题型,训练要做到有的放矢。

4、重视平时考试出现的错误。定一个错题本，专门搜集自己的错题,这些往往就是自己的薄弱之处。复习时，这个错题本也就成了宝贵的复习资料。

5、重视课本习题训练。数学的学习有一个循序渐进的过程，妄想一步登天是不现实的。熟记书本内容后将书后习题认真写好,有些同学可能认为书后习题太简单不值得做，这种想法是极不可取的,书后习题的作用不仅帮助你将书本内容记牢,还辅助你将书写格式规范化，从而使自己的解题结构紧密而又严整，公式定理能够运用的恰如其分，以减少考试中无谓的失分。

快速提高数学成绩的“五大攻略”

攻略一：概念记清，基础夯实。数学≠做题,千万不要忽视最基本的概念、公理、定理和公式，特别是“不定项选择题”就要靠清晰的概念来明辨对错,如果概念不清就会感觉模棱两可,最终造成误选。因此，要把已经学过的教科书中的概念整理出来,通过读一读、抄一抄加深印象，特别是容易混淆的概念更要彻底搞清，不留隐患。

攻略二：适当做题,巧做为王。有的同学埋头题海苦苦挣扎，辅导书做掉一大堆却鲜有提高,这就是陷入了做题的误区。数学需要实践，需要大量做题,但要“埋下头去做题,抬起头来想题”，在做题中关注思路、方法、技巧，要“苦做”更要“巧做”。考试中时间最宝贵,掌握了好的思路、方法、技巧,不仅解题速度快，而且也不容易犯错。

攻略三:前后联系,纵横贯通。在做题中要注重发现题与题之间的内在联系，绝不能“傻做”。在做一道与以前相似的题目时，要会通过比较，发现规律，穿透实质，以达到“触类旁通”的境界。特别是几何题中的辅助线添法很有规律性，在做题中要特别记牢。

攻略四:记录错题,避免再犯。俗话说,“一朝被蛇咬，十年怕井绳”,可是同学们常会一次又一次地掉入相似甚至相同的“陷阱”里。因此,建议大家在平时的做题中就要及时记录错题,还要想一想为什么会错、以后要特别注意哪些地方,这样就能避免不必要的失分。毕竟，考试当中是“分分必争”,一分也失不得。

攻略五：集中兵力，攻下弱点。每个人都有自己的“软肋”,如果试题中涉及到你的薄弱环节,一定会成为你的最痛。因此一定要通过短时间的专题学习,集中优势兵力，打一场漂亮的歼灭战,避免变成“瘸腿”。

第2１章 一元二次方程考点

1．一元二次方程的判断标准：

（１)方程是整式方程（２)只有一个未知数——(一元)（３）未知数的最高次数是２——(二次)

三个条件同时满足的方程就是一元二次方程

练习:

1、下面关于x 的方程中：①ax 2

+ｂx+ｃ＝０；②３x 2

－2x=１;③x ＋3＝

1x

;④ｘ2

-ｙ＝0；④（x+1）2

= x 2

-１.一元二次方程的个数是 .

2、若方程kx ２+x ＝3x ２

+1是一元二次方程,则ｋ的取值范围是__＿______． 3、若关于ｘ的方程0512

2

=+-+-x k x k

是一元二次方程,则k 的取值范围是_＿_____＿_．

４、若方程(m －１）x |m ｜+1

-2x=4是一元二次方程，则m=______.

2．一元二次方程一般形式及有关概念

一般地，任何一个关于ｘ的一元二次方程,经过整理,都能化成一元二次方程的一般形式

20 (0)ax bx c a ++=≠ 2ax 是二次项，a 为二次项系数，ｂx 是一次项,b 为一次项系数,c 为常

数项。注意：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号

练习:

1、将一元二次方程3(1)5(2)x x x -=+化成一般形式为_____＿_＿_____,其中二次项系数a ＝______＿＿，一次项系数b ＝__＿＿__＿___,常数项c=__＿_______

3.完全平方式

a 2＋２a

b ＋b ２ a 2-2ab ＋b 2

练习:

１、说明代数式2

241x x --总大于2

24x x --

2、已知1

a a

+

=求1a a -的值.

３、若x 2

+mx ＋9是一个完全平方式，则m= ，

若ｘ２+６x ＋m 2

是一个完全平方式,则m 的值是 。若942++kx x 是完全平方式,则k = 。

4．整体运算

思路：把一个代数式看成一个整体来求值，然后代入去求另一个代数式的值。

练习:

1、已知ｘ2

＋3x+5的值为１1，则代数式3ｘ２

＋9x ＋1２的值为

2、已知实数x 满足210x x +-=则代数式2337x x ++的值为_______＿____

方程的解

练习：

１、已知关于ｘ的方程x 2

+3x+k 2

=０的一个根是ｘ=-１，则ｋ=_ ＿_. 2、求以12x 1x 3=-=-，为两根的关于ｘ的一元二次方程 。

6．方程的解法

⑴ 方法:

①接开方法；②因式分解法;③配方法；④公式法;⑤十字相乘法; ⑵关键点：降次

练习：

1、直接开方解法方程

(ｘ-6)2

-3=0 21

(3)22

x -= ２、用配方法解方程

2210x x +-= 2430x x -+=

３、用公式法解方程

03722=+-x x 210x x --=

4、用因式分解法解方程

3(2)24x x x -=- 22(24)(5)x x -=+

５、用十字相乘法解方程

2900x x --= 22100x x +-=

7．一元二次方程根的判别式:2

b 4a

c ?=-

练习:

1、 关于x 的一元二次方程012)2(2=-+++m x m x . 求证：方程有两个不相等的实数根

2、若关于x 的方程0122

=-+x k x 有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是 。

3、关于x 的方程()0212

=++-m mx x m 有实数根,则m 的取值范围是

1212,b c x x x x a a

+=-=(a ≠0, Δ=b 2

－4a ｃ≥０)

使用的前提：（1）不是一般式的要先化成一般式；

（2）定理成立的条件0?≥

1、 已知方程2

5x mx 6=0+-的一个根为x=3,求它的另一个根及m 的值。 2、 已知2

2x 4x 30+-=的两根是ｘ１ ,x 2 ，利用根于系数的关系求下列各式的值

12

11x x + 22

12

x x + 12(1)(1)x x ++ 212()x x - 3、已知关于x 的一元二次方程ｘ2

－(ｍ+２）ｘ+

14

m 2

-２=0.(1)当m 为何值时,这个方程有两个的实数根．（２）如果这个方程的两个实数根ｘ1,ｘ2满足x 12

+x 22

=18,求m 的值．

9．一元二次方程与实际问题

1、 病毒传播问题

2、 树干问题

3、 握手问题(单循环问题）

4、 贺卡问题(双循环问题）

5、 围栏问题

6、 几何图形（道路、做水箱）

7、 增长率、折旧、降价率问题

8、 利润问题(注意减少库存、让顾客受惠等字样） 9、 数字问题 10、折扣问题

第２2章二次函数考点

1、二次函数的定义

定义： y=aｘ2+ bｘ＋ c （ a 、 b 、ｃ是常数， a ≠0 ）

定义要点:①ａ≠0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式

练习：

1、y=－ｘ2,y＝2x2-2/x，ｙ=100-5 x2，y＝３ｘ2－2x3+５,其中是二次函数的有＿___个。

2．当m_＿__＿＿＿时，函数y=(m+１)χ- 2χ+1 是二次函数？

考点2、二次函数的图像及性质

表达式、对称轴、顶点坐标、位置、增减性、最值、

练习：

1、已知二次函数

（1)求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。

（2)设抛物线与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点，求C,A，B的坐标。

(３）ｘ为何值时，y随的增大而减少,x为何值时，y有最大(小）值,这个最大（小）值是多少? （4）ｘ为何值时，y<０?x为何值时，y>0？

2、直线y=ax+ｃ与抛物线y＝ａx2＋bx+c在同一坐标系内大致的图象是……（)

考点3、求抛物线解析式的三种方法

1、一般式:已知抛物线上的三点，通常设解析式y=ax2+bx＋c(a≠0)

２,顶点式：已知抛物线顶点坐标(h, k),通常设抛物线解析式y=a（x－ｈ)２+k(a≠０）

3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、（ｘ2,0)，通常设解析式y=ａ(x-ｘ1)(ｘ-ｘ2) (a≠0)

练习：

1、根据下列条件，求二次函数的解析式。

(1)、图象经过(０,0)，(１，－2) , (2，3) 三点；

（2)、图象的顶点（2，3)，且经过点(3,1) ;

(3)、图象经过(０,0)，（１2,0） ,且最高点的纵坐标是3 。

２、已知二次函数ｙ=ax2＋bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+１上，并且图象经过点（３,-６）。求a、b、ｃ。

4、a，ｂ,c符号的确定

m

m-

2

2

3

2

1

2-

+

=x

x

y

（１）a的符号:上正下负（２）ｂ的符号：左同右异(3）Ｃ的符号:上正下负原点零(4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定

（5)a+b+ｃ的符号:因为x=1时,y=a+b+c,所以a+ｂ+c的符号由x=１时，对应的y值决定。

(6)ａ-b+c的符号:因为ｘ=-1时,y=a-b+ｃ，所以a-b+c的符号由ｘ＝-1时，对应的y值决定。

(7)4ａ+2ｂ+c的符号:因为ｘ=２时,ｙ=4ａ+2b+c,所以4a＋２b+c的符号由x＝2时，对应的y值

决定。

(８)４a-2ｂ+c的符号:因为x=－２时,ｙ=4a－2b+c,所以4a-2b＋c的符号由ｘ=-1时，对应的ｙ

值决定。

以此类推.

练习：

１、二次函数y=ax2+bｘ+c（a≠0)的图象如图所示，则ａ、ｂ、c的符号为（ )

Ａ、ａ<0，b>0，c＞0 B、a<0,b>０,c<0

Ｃ、a<0，b<0,c>０ D、a<０,ｂ＜0,ｃ＜０

２、二次函数y=ax2+bｘ＋c(a≠0)的图象如图所示,则a、b、c的符号为( )

A、a>0,b>0,c=０

B、a<0，b＞0,ｃ＝0

C、a<0,ｂ＜0，c＜0

D、ａ>0，b<0,c=0

3、二次函数ｙ=ax２＋bｘ+ｃ(a≠0)的图象如图所示,则a、b、c 、△的符号为( )

A、a>0，b=0,c＞0，△>０Ｂ、ａ<0,ｂ>0,c<0,△=０

C、a>0,b＝0，ｃ<0，△>0

D、a<0，b=0,ｃ＜０,△<0

要点:熟练掌握a,b, c，△与抛物线图象的关系(上正、下负）（左同、右异)

4.抛物线y=ａx2+bx+ｃ(a≠0)的图象经过原点和二、三、四象限，

判断a、b、c的符号情况：a 0,ｂ 0,c 0.

5.抛物线y=ａｘ2+bｘ+c(a≠0)的图象经过原点,且它的顶点在第三象限,

则a、b、c满足的条件是：ａ 0,ｂ 0,c 0．

６.二次函数ｙ＝ax2+ｂx+c中，如果a>０,b<０,c<0，那么这个二次函数

图象的顶点必在第象限

要点:先根据题目的要求画出函数的草图，再根据图象以及性质确定结果(数形结合的思想）

7.已知二次函数的图像如图所示,下列结论。⑴a+ｂ＋c=０⑵a-b+c﹥0 ⑶ａbc ﹥0

⑷ｂ=2a

其中正确的结论的个数是( )

Ａ 1个Ｂ 2个 C ３个 D ４个

要点:寻求思路时,要着重观察抛物线的开口方向，对称轴，顶点的位置，抛物线

5、抛物线的平移

左加右减，上加下减；左右平移看自变量,上下平移看常数项。

练习:

⑴二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到ｙ=２x2-3的图象; 二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y ＝２（x-3)2的图象。

⑵二次函数ｙ=2x2的图象先向 平移 个单位,再向 平移 个单位可得到函数y ＝2(x+1)2＋2的图象。

引申：y=2(x ＋３ ｙ=2(ｘ+１)2+２

（３)由二次函数y ＝x2的图象经过如何平移可以得到函数ｙ=x2－5x ＋６的图象．

y=x2-５x+6

6二次函数与一元二次方程的关系

1、一元二次方程根的情况与b 2-4ａc 的关系

我们知道:代数式ｂ2-４ac 对于方程的根起着关键的作用.

2、二次函数y ＝a ｘ2＋b ｘ＋c 的图象和x 轴交点的横坐标,便是对应的一元二次方程ax 2+bx ＋c=0的解。

3、二次函数y=ａx2+bx ＋c 的图象和x 轴交点有三种情况: ( b2 – ４ac ＞ 0 ( ｂ2 – 4ac= 0 (– 4ａc< 0

若抛物线y ＝ax2+bx+c 与x b2 – 4a ｃ ≥0

练习：

(1)如果关于x 的一元二次方程 x2-２x+ｍ＝0有两个相等的实数根,则m=_＿__,此时抛物线 y=x ２-2x+m 与ｘ轴有____个交点.

(2）已知抛物线 y ＝ｘ2 – ８x +c 的顶点在 x 轴上,则c=＿__＿.

(3）一元二次方程 ３ x2+x －10=0的两个根是ｘ1= －2 ,ｘ２＝5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x －1０与x 轴的交点坐标是___＿．

(4)已知函数ｙ=x 2－(2ｍ＋４）x ＋ｍ2-10与x 轴的两个交点间的距离为22,则m =_______＿___. （5)若函数y =kx ２

+2（ｋ＋１)x +k －１与ｘ 轴只有一个交点,求k 的值． 4

1)2

5(2

--=x y=x

41

)25(2--=x y ()有两个不相等的实数根方程时当00,0422

≠=++>-a c bx ax ac b ():00,0422有两个相等的实数根方程时当≠=++=-a c bx ax ac b ()没有实数根方程时当00,0422≠=++<-a c bx ax ac b

例题：已知抛物线ｙ=a ｘ2＋b ｘ+c 与抛物线ｙ=-x2-3x+7的形状相同，顶点在直线x ＝１上，且顶点到x 轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式． 解：Θ抛物线y=ax2＋ｂx+ｃ与抛物线y=－x ２-3x+７的形状相同 ∴ a ＝1或-1

又Θ顶点在直线x ＝1上，且顶点到x 轴的距离为５, ∴ 顶点为（1,5)或(1,-5) 所以其解析式为：

(1） ｙ＝(ｘ-1)2+5 (2） y ＝（x-1）2-5 (３) y=－(ｘ－1)2+５ (4) ｙ=-(x －１)2－5 展开成一般式即可.

练习：

１.直线y ＝3 x －１与y ＝x -k 的交点在第四象限,则k 的范围是………………( ）

(A ）k <

3

1 (B ）

3

1

＜k <1 (C)ｋ>1 （D)k >１或k ＜１

2、若ａ+ｂ+c ＝0,a ≠0,把抛物线y=ax2+bx+c 向下平移 4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是（-２，0),求原抛物线的解析式. 分析：

(1)由a+b+c ＝０可知,原抛物线的图象经过（1，0) （2) 新抛物线向右平移5个单位,

再向上平移4个单位即得原抛物线 3、已知二次函数y ＝ax ２

+bx ＋ｃ 的图象抛物线G 经过(－5，０)，(０，

2

5），（1，6）三点，直线l 的解析式为y ＝2 ｘ－3．(1)求抛物线G 的函数解析式; (2)求证抛物线G 与直线l 无公共点；

(3）若与l 平行的直线ｙ=2 ｘ＋m 与抛物线Ｇ 只有一个公共点P ，求P 点的坐标． 【分析】(１）略；

(2)要证抛物线G 与直线l 无公共点,就是要证G 与l 的解析式组成的方程无实数解；

(3)直线y ＝２ x +ｍ 与抛物线G 只有一个公共点，就是由它们的解析式组成的二元二次方程组有一个解，求出这组解，就得P 点的坐标．

第23章 旋转考点

1.

旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转,这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度

练习:

1、如图,D 是等腰R ｔ△A ＢC 内一点，ＢC 是斜边，如果将△ABD 绕点Ａ按逆时针方向旋转到△ＡＣＤ′的位置,回答下列问题:（1）旋转中心为 ,旋转角度为 度（2）△A Ｄ D ′的形状是 。

2、16：5０的时候，时针和分针的夹角是 度

：

1、图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；

2、每一对对应点到旋转中心的距离相等;

3、每一对对应点与旋转中心的连线所成的夹角为旋转角;

4、旋转只改变图形的位置,旋转前后的图形全等;

练习:

１、如图，9030AOB B ∠=∠=°，°，A OB ''△可以看作是由AOB △绕点O 顺时针旋转α角度得到的.若点A '在AB 上。（1）求旋转角大小；

(2）判断OB 与A B ''的位置关系，并说明理由。

2、将直角边长为5c ｍ的等腰直角△ＡBC 绕点A 逆时针旋转15后得到AB C ''△，则图中阴影部分的面积是多少?

3、如图,在△ABC 中,

70=∠CAB . 在同一平面内, 将△ABC 绕点A 旋转到△/

/C AB 的位置, 使得AB CC ///

, 求/

BAB ∠ 的度数。 A O

B A 'B ' A

C B

B '

C '

4、如图6，四边形ABCD 是边长为1的正方形,点E 、F 分别在边AB 和BC 上，DCM ?是由ADE ? 逆时针旋转得到的图形。

(1)旋转中心是点_____＿___＿；

（2）旋转角是＿_＿＿___＿度，EDM ∠＝__＿＿____＿度；

(2）若45EDF ∠=?，求证EDF MDF ??≌.并求此时BEF ?的周长.

５、△AB Ｃ中，∠BA Ｃ＝９0°,P 是△ＡBC 内一点,将△AB Ｐ绕点A 逆时针旋转一定角度后能与△A ＣＱ重合，A Ｐ=3.(１）求△AP Ｑ的面积；（2）判断B Ｑ与C Ｑ的位置关系，并说明理由。

6、如图，将正方形ABC Ｄ中的△ABD 绕对称中心O 旋转至△GEF 的位置，ＥF 交ＡB 于M,GF 交ＢD 于N.请猜想B Ｍ与FN 有怎样的数量关系？并证明你的结论.

7、如图，在Rt △AB Ｃ 中,AB AC =，D 、E 是斜边BC 上 两点，且∠DA Ｅ=４5°,将△ADC 绕点A 顺时针旋转90?后,得到△AFB ,连接 EF ,证明①△AED ≌△AEF ②222BE DC DE +=

８、如图(1)，点O 是线段AD 的中点，分别以A Ｏ和ＤO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点Ｅ,连结B Ｃ． （1）求∠A ＥB 的大小;

（2)如图（2),ΔO ＡB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变,将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOC Ｄ不能重叠)，求∠AE Ｂ的大小.

图

6

一个平面图形绕着某一定点旋转一定角度(小于周角)后能与自身重合，这样

的图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转中心。

练习:

1、如图,五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形(图

中的阴影部分)绕中心O至少经过___________＿次旋转而得到, 每一次旋转____＿__度．

２、如图,点O是正六边形AＢＣDEＦ的中心，问此正六边形绕正六边形的中心

O旋转__＿___度能与自身重合。

3、如图的图形旋转一定角度后能与自身重合,则旋转的角度可能是__

4.中心对称和中心对称图形

中心对称图形:把一个图形绕某一个点旋转18０°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

练习:

1、如图,下列４个数字有（)个是中心对称图形．

A.1 B．2 C.3Ｄ.4

2.下列图形中不是中心对称图形的是( )

Ａ、①③ Ｂ、②④ C、②③D、①④

5．作图

１、网格旋转９0°（注意旋转的方向）,中心对称，关于原点对称。结合直角坐标系写出对称后坐标

2、找出旋转对称中心(两条对应线段垂直平分线的交点)，中心对称中心(两组对应点连线的交点)

练习:

1、已知A(－１,-1）,Ｂ（-4,－３）C（-4,－1)

(1)作△Ａ1Ｂ１Ｃ1，使它与△ＡBC关于原点O中心对称；

写出A1 ,Ｂ１, C1点坐标;

（３)将△ABC绕原点Ｏ逆时针旋转９0o后得到△A3Ｂ3C３，画出△A3

2、如图，网格中有一个四边形和两个三角形．

（1)请你画出三个图形关于点Ｏ的中心对称图形；

(2）将(1）中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形的对称轴有 条；

这个整体图形至少旋转 度与自身重合

练习:

如图,四边形ＡBCD 中，∠BAD=∠C=9０o，A Ｂ=A Ｄ，ＡE⊥BＣ于E ，若线段A Ｅ=5，求ABCD S 四边形（提示:将四边形AB ＣD 割补为正方形）

7．关于对称

1、两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P （x,y)关于原点的对称点为P ’（－x ，-y)

2、两个点关于ｘ轴对称时，它们的坐标中,x 相等,y 的符号相反,即点P （x,y ）关于x 轴的对称点为Ｐ’（x,-y)

3、两个点关于y 轴对称时，它们的坐标中，y 相等，x 的符号相反,即点P （x ，ｙ）关于y 轴的对称点为Ｐ’(－x ，y)

练习:

填空:⑴点A(-2，１)关于x 轴的对称点为A ′( ， ）; ⑵点B （1,－３)与点B(1,3)关于 的对称。 ⑶C （-４,-2)关于y 轴的对称点为C ′（ , ）； ⑷点D （5,0)关于原点的对称点为Ｄ′( , ）。

E

D

C

B

A