数形结合例题选集

数形结合

一、在一些命题证明中的应用举例： 1、证明勾股定理：

2222

c b a b a 0.5ab 4=+=-+?）（）（

解析：上图中，四个小三角形（阴影部分）的面积加上中间小正方形的面积等于大正方形的面积，化简后得到勾股定理222c b a =+。 2、证明乘法公式（平方差与完全平方）：

））（（b a b a b a 22-+=- 2ab b a b a 222

++=+）（

解析：在上图中，利用正方形和小正方形面积的转化，能更进一步理解平方差公式与完全平方公式的运算过程以及公式的本质问题。 3、证明基本不等式：

解析：如上图所示，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，长度为

a +，根据直角三角形的相似关系，可以得到直角三角形斜边上的高的长度为a

b ，显然在直角三角形中，斜边上的中线的长度会大于等于高，利用这样简洁明了的几何图解，对基本不等式的理解也就更加简单了。 4、证明正（余）弦定理：

解析：

（1）如上图所示，csinB bsinC bsinC a 2

h a 21S ABC =??=?=

?的面积；即sinC

c sinB b sinA a sinC c sinB b ===，同理可得；根据圆的性质（等弧对等角）2R sinA

2R a sinD sinA D A ===∠=∠，即，；

综上，得正弦定理：2R sinC c

sinB b sinA a ===。

（2）根据勾股定理2

2222222cosB c a b cosB c c CE AC BE AB ）（）（，即?--=?--=-；

整理可得余弦定理：2ac

b c a cosB 2

22-+=；同理得出cosA 、cosC 的余弦定理。

5、证明结论），（，2

0x sinx x x tan π

∈>>

解析：如上图所示，根据y=tanx 、y=x 、y=sinx 在）

，（20x π

∈上的图像可看出tanx>x>sinx ，）

，（20x π

∈。当然，实际考试作图不可能如此精确，那么转化到右图的单位圆中，当）

，（2

0x π

∈时，角的终边始终在第一象限内，根据三角函数线可知，蓝线表示正弦线，红线表示正切线，再根据弧长公式x 1x R =?==θl ，即图中黑色弧线的长度表示x ，显而易见。红线长度>弧线长度>蓝线长度，即tanx>x>sinx ，）

，（2

0x π

∈。 6、证明两角差的余弦公式：

解析：如上图所示，根据三角比的定义及单位圆的定义可知单位圆上的点的坐标

表示。左图中，2

22sin sin cos cos AB ）（）（βαβα-+-=，将B 点旋转至（1，0）处（右

图所示）。此时，222][sin ]1[cos AB ）（）

（βαβα-+--=，因为线段AB 的长度没有发生变化，即

2sin sin cos cos ）（）（βαβα-+-22][sin ]1[cos ）（）（βαβα-+--=，化简：βαβαβαsin sin cos cos cos +=-）（。当然也可以用向量的方法证明，利用向量数量积定义，证明更加简洁。如左图，11sin cos sin cos OB

OA cos ??=

-）

，（），（）（ββααβα βαβαsin sin cos cos +=。

二、在考试中的具体应用：

1、与函数的综合运用，主要体现在求零点、交点、解的个数及参数范围等方面：例1 （14奉贤）已知定义在R 上的函数y=f （x ）对任意x 都满足f （x+2）=-f （x ），

当，若函数）（时，3x x f 1x 1-=<≤x log x f x g a -=）（）（只有四个零点，则a

的取值范围是

答案：）

，（），（533

51? 解析：根据已知条件，f （x ）的周期为4，先画f （x ）一个周期图像，当1≤x<3

时，2

22x -x f x -f 2x 2x f ）

（）（），（）（）（-==-=-，由此画出[-1，3）的图像，此为一个周期，图像如下，x log x f x g a -=）（）（只有四个零点即f （x ）与y=x log a 只有四个交点，需分类讨论：

（1）当0

此时5个交点，代入点（-5，-1），解得a=5

此时3个交点，代入点（3，-1），解得a=3

（2）当a>1时，也有两个界值，如下图所示：

此时3个交点，代入（-3，1），解得a=3。

评注：数形结合体型，一定要结合图像分析，并且一些用于定位的特殊点要善于把握；另一方面，必须熟悉初等函数的所有性质及函数图像的变换。

例2 （14闵行）?

??>+-<<=4

x 370

8x x 324x 0x log x f 22，，）（，若a 、b 、c 、d 互不相同，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=f （d ），则abcd 的取值范围是

答案：（32，35）

解析：根据题意，如下图所示，ab=1，abcd=cd=2c 12c 12c -=-）（

，4

评注：这类题出现很多，典型的数形结合题型，要让学生熟悉各类函数图像及相关性质，尤其是对称性和周期性；在草稿纸上作图时，虽说是草图，但有必要做出一些特殊点进行定位；写区间时，务必考虑区间的开闭情况。

变式已知函数f （x ）=||x-1|-1|，若关于x 的方程f （x ）=t （t ∈R ）恰有四个互不相等的实数根432143214321x x x x x x x x x x x x ?++<<<），则（、、、的取值范围是答案：（3，4）

解析：根据题意，如下图所示，）（，3343432121x 4x x x x x x x 0x x -?=?=?++=+

=），（，21x x 4x 32

33∈-。

例3 （14杨浦）定义一种新运算：???<≥=?b a a b

a b b a ，，。已知函数f （x ）=（1+

x log x

2?），若函数

g （x ）=f （x ）-k 恰有两个零点，则k 的取值范围是（）

A.（1，2]；

B.（1，2）；

C.（0，2）；

D.（0，1）答案：B

解析：?????≤<>+=???????+<+≥+=?+=4x 0x log 4

x x 41x

41x log x log x 41x log x 4

1x log x 41x f 22222，，，，）（）（，如下图

所示：

令g （x ）=f （x ）-k=0，问题转化为函数y=f （x ）与函数y=k 有两个交点，则k ∈（1，

2）。

评注：本题考查分段函数表达式求法，函数零点问题转化成两函数交点问题，数形结合很容易求解，可以作适当的延伸，比如，有一个零点，求k 的取值范围等。例4 （14宝山）关于函数f （x ）=

x x -，给出下列四个命题：

①当x>0时，y=f （x ）单调递减且无最值； ②方程f （x ）=kx+b （k ≠0）一定有解；

③如果方程f （x ）=k 有解，则解的个数一定是偶数； ④y=f （x ）是偶函数且有最小值。则其中真命题是答案：②、④

解析：含绝对值、分类讨论。先画x>1和0

①明显错误；③k=0时，解的个数为1；②、④正确。

评注：含绝对值的数形结合题型，根据绝对值内的情况，进行分类讨论，画出函数图像，再结合函数性质，一般是对称性或奇偶性，然后根据函数图像对各项进行分析筛选。

例5 （14奉贤）定义在）

，（∞+0上的函数f （x ）满足： ①当），3[1x ∈时，??

?<<-≤≤-=3x 2x 32x 11x x f ，，）（； ②f （3x ）=3f （x ）。

设关于x 的函数F （x ）=f （x ）-1的零点从小到大依次记为54321x x x x x 、、、、、 ……，则=++++54321x x x x x 答案：50

解析：结合已知条件，分析函数性质，画出函数图像，如下图所示，

4321x x x x +++ =+5x 2+4+8+10+26=50

评注：数学结合最直观，或根据函数的对称性，找到对称关系，图像就画出来了，答案也就呼之欲出，这就是数形结合在直观呈现方面的快捷。 2、与三角函数的综合运用：

例1 （14十三校联考）已知f （x ）=asin2x+bcos2x （a 、b 为常数），若对于任意

内的解为，在区间）（），则方程（）（都有][00x f 12

5f x f R x ππ

=≥∈ 答案：x=

2x 6

ππ

或解析：根据“若对于任意）（

）（都有125f x f R x π≥∈”可知，当x=12

5π

时，函数图像取最低点，再结合函数解析式可知函数周期为π，因为函数的最值横坐标与相

邻零点之间相差41个周期，即4π

，所以在区间[0，π]内的解（即在区间[0，π]

内的零点）为x=3

2x 6x 4125π

πππ=

=±或，即。评注：本题看似复杂，因为有字母a 、b ，但只要理解了“三角函数的最值横坐

标与相邻零点急间相差4

个周期”这样的图像性质，结合图像原理，就迎刃而解

了。

例2 （14闸北）设a>0且a ≠1，已知函数f （x ）=）（0x 2x sin22a x >-+π至少有5个零点，则a 的取值范围为答案：（0，1）?（1，2）

解析：就是求函数），（在与函数∞+∈-==0x a 2y x sin22y x π上的交点个数，分两种情况：

（1）当0

，（∞+∈0x 两个函数图像有无数个交点，如下图所示：

所以0

（2）当a>1时，如下图所示，在），（∞+∈0x 要至少5个交点，x a 2y -=函数在x=1处要大于0

即2-a>0，a<2，满足至少有5个交点。

评注：这是一道典型的数形结合的题型，将零点问题转化成函数交点个数问题，注意理解题意、审清题意及数与形之间的转化。

例3 （14虹口）函数f （x ）=2sin x π与函数31x x g -=）

（的图像所有交点的横坐标之和为

答案：17

解析：画出函数f （x ）=2sin x π与函数31x x g -=）

（的图像，如下图所示：

这俩图像都是关于点（1，0）对称，所以它们的交点也是关于点（1，0）对称，即一对对称交点的横坐标之和为2，总共有8对关于点（1，0）对称的点，再加上（1，0）点本身，即所有交点的横坐标之和为17。

评注：本题首先要熟悉函数的图像变换，精确画出函数图像，然后再研究交点的特性，在这道题中，交点关于点（1，0）对称的，在这个前提下，求横坐标之和就转化成简单的中点问题。

例4 已知函数y=f （x ），任取t ∈R ，定义集合：））（，（），点（t f t P x f y |{y A t ==，

2PQ x f x Q ≤），（，（}，设中元素的最大和最小值分别表示集合和t t t A m M ，

记，则：）（t t m M t h -=

（1）若函数f （x ）=x ，则h （1）= （2）若函数f （x ）=sin

x 2

，则h （t ）的最大值为答案：（1）2；（2）2

解析：定义的意思是函数y=f （x ）在以定点P （点P 在函数图像上）为圆心半径为2的圆内的部分，这部分函数图像的值域即t A

（1）定点P （1，1），如下图所示，蓝色实线段部分为符合定义的图像部分，这部分图像最大值为2，最小值为0，所以h （1）=2

（2）对于f （x ）

=sin

x 2

，函数最大值与最小值之差2，如下图所示，通过理解观察，可得出t

A 能够同时包含最大值和最小值，所以h （t ）的最大值为2，此时t=2k ，k Z ∈。

评注：这是一道理解性的定义体型，理解题目的定义很重要，然后结合函数图像分析就不难了。

例5 （14闵行）对于函数f （x ）=???

??∞+∈-∈），（），（，

，2x 2x f 2

12][0x x sin π，有以下四个命题：

①任取2x f x f [0x x 2121≤-∞+∈）（）（），都有，、恒成立； ②f （x ）=2kf （x+2k ）（k *∈N ），对于一切x ）

，∞+∈[0恒成立； ③函数y=f （x ）-In （x-1）有3个零点； ④对任意x>0，不等式f （x ）x k ≤恒成立，则实数k 的取值范围是）

，∞+8

[ 则其中所有命题的序号是答案：①、③

解析：根据下图所示可知：②选项是k 2，④选项反比例函数图像至少要满足点

（21,25）上，此时，4

5k ≥

评注：数形结合的思想，国家题意画图帮助理解，然后利用一些特殊点定位，图像尽量做到精确，才能避免差错 3、与解析几何的综合运用：

例1 （14闸北）设曲线C ：）

（y x 322y x 22+=++，则曲线C 所围封闭图形

的面积为

答案：383

+π

解析：因为图像关于x 轴、y 轴对称，所以可以先画第一象限的图像，第一象限x>0，y>0，绝对值直接去掉，可得一段圆弧，然后关于x 轴、y 轴对称翻折，如下图所示，根据题目数据，可得?=∠150AB C ，AB=2，可以先算第一象限的面

积，由一个扇形与一个四边形构成，然后再乘以4，全面积为383

+π。

评注：方程图像问题，含绝对值，所以根据象限分类讨论，根据相关性质画出方程图像，割补法求面积。

变式由曲线y x y x 22+=+所围成的封闭图形的面积为答案：2+π

例2 （14金山）已知直线l ：4x-3y+6=0，抛物线C ：4x y 2=图像上的一个动点P 到直线l 与y 轴的距离之和的最小值是答案：1

解析：结合题意，画出直线与抛物线的草图，找到点P 到直线l 与y 轴的距离之和，如下图所示，即PH+PA=PH+PB-1=PH+PF-1'PH ,1'PH -≥用点到直线距离公式

求出来等于2，所以答案为1。

评注：注意圆锥曲线的相关定义，进行巧妙的转化，如本题中用到了“抛物线上的点到焦点的距离等于这个点到准线的距离”这个性质，然后结合图像进行转化。

例3 （14金山）已知有相同焦点21F F 、的椭圆222

2y n x 1m 1y m x ->=+）和双曲线（

=>?21PF F S P 0n 是它们的一个交点，则），点（（） A.2

；B.22；C.2；D.1

答案：Ｄ

解析：法一：如下图所示，由题意得：-=++=-=2212PF m 2PF PF 1n 1m c ，，

212221211PF PF PF PF 2n m PF PF n 2PF ）（，所以，两式平方相减得：+=+=-=?=

1S PF PF F F 4c 44m PF PF 21221221=⊥==-=?-，得，即

法二：对于椭圆而言，焦点三角形的面积为2

tan

b S 2θ

=，对于双曲线而言焦点三

角形面积2cot b S 2θ=，而这是同一个三角形，所以22cot 2tan π

θθθ==，即，所

以=?21PF F S １。

评注：熟悉圆锥曲线的定义非常重要，根据条件找到变量之间恒定的关系，做数

学题时，很多时候要辩证思考，透过变化的表象，发现不变的内在联系，动静结合，有机分析，以静制动，以不变应万变。

例４（14金山）设双曲线），（）（*∈=+-N n 1y 1n nx 22上动点Ｐ到定点）

，（01Q 的距离三最小值是=+∞

→n n n d d lim ，则（）

A.2

；B.22；C.0；D.1

答案：Ｂ

解析：双曲线方程两边同时除以n ，得到0n

n n 1y n 11x 22→+∞→=+-，，当）（，

即方程置，这就是方程的极限位0y x 22=-，即求点x y 01Q ±=）到直线，（

的距离，选Ｂ

评注：这是一类要考虑极限位置的极限体型，在高考中出现过类似的题目，一般找到了极限的位置，题目就很容易解的，很多同学不会因为没有想到极限的位置，而像＝想把表示出来就复杂了用n d n 。

例５（14闵行）若曲线0y x f =），（上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（）

A.01y x 2=-+；

B.01y 4x 2=+--；

C.01x x y x 22=---+；

D.+-x y 3x 2

01= 答案：Ｃ

解析：A 、B 、C 、D 选项图像依次如下图所示，根据题意，选Ｃ

评注：利用数形结合的方法，考查了含绝对值曲线方程的画法，一般根据图像的对称性，或者分区间、分象限进行分类讨论函数方程在各个象限的图像，再结合题意解题。

４、与向量的运用：

例１（14徐汇）如下图所示，已知点AC AB G ABC G 、作直线与的重心，过是?两

边分别交于=+==y

x x y

AC y AN AB

x AM N M ，则，两点去，且、

答案：3

解析：法一：1N G M =++=μλμλ三点共线，设、、，

x =， ?=y y x μλμλ+=+=，因为3

AG G =

是重心，所以 3

y x x y 13y 13x 131y x AC 31AB =+=+==+，化简，，即μλ

法二：取特殊值，3

2y x =

=取。评注：作为填空题，本题的第一做法是法二，同时也要知道具体过程，注意向量一些常用知识点及一些转化技巧。

例２（14闵行）设j j i ρ

??ρ-a y x 轴上的单位向量，且轴、系依次表示平面直角坐标、的取值范围是则i j ρ

ρ?ρ2a ,52a +=-+ 答案：3]5

，解析：根据题意，j ρ?-a 52a =-+j ?

ρ的几何意义为一个点到），（01的距离加上这个点到），（ 20的距离等于5，如下图所示，即到Ａ点的距离加上到Ｂ点的距离等于5，而5AB =，所以这个点的轨迹为线段AB ，而我们要求的取值范围的几何意义即转化成线段AB 上的点到点（02-，）的距离的取值范围，最短距离是下图中CD 的长度，用点到直线的距离公式或等面积法可求得==

BC ,5

6CD 因为

33AC 22，距离的最大值为，=。

评注：用代数的方法计算，因为有根号，过程很复杂，结合向量的模的几何意义，转化成图形问题就简明了，易于理解，教学过程中注意引导数形结合的使用。例3 （14徐汇）如下图所示，在边长为２的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为１，圆心在线段量上及内部的动点，设向是圆（含端点）三上运动，Q P CD

的最大值为），则、（n m R n m AF n AB m AP +∈+=

答案：5

解析：如上图所示，（2

+=。

评注：本题结合动态图像考查了向量的分解，要求能够理解题意，本题也可建系分析

5、与其他知识点的综合运用：

例1 （14浦东）用），，为集合，称（、、中的元素的个数，设集合C B A C B A S S 有序三元组。如果集合C B A 1C A C B B A C B A ??=?=?=?，且满足、、

＝φ的子集构成，，，

合）为一最小相交，由集、、，则称有序三元组（4}32{1C B A

的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为答案：96

解析：设为、、C B A 的三个子集，，，4}32{1，如下图所示，因为=??S C B A ，所以

不含任何元素，因为φ中个各有

，，，所以321M M M 1C A C B B A =?=?=?一个元素，将中，，，4}32{1的元素排入，有3

43334P P C =种方法，由题意得，还剩下的一个元素，可排在4P 1R Q P 1

3=+，也可不排入，共有、、种方法，由分步原理得

964P 34=。

评注：本题要注意分步原理与分类原理的综合运用，抽象出解题模型，从而使问

题得到解决，当然也可以用列举法，个非空子集有，，，

154}32{1，显然C B A 、、中Ａ为含有个元素的子集，个或者为含有意，个元素的子集不符合题

个或者32A 41列举即可求解。对于新定义题型，要善于将陌生问题化为熟悉模型，注重基本原

理的运用。

例2 （14十三校联考）集合、、且、、），，（x z y z y x N z y x |z y x {S <<<<∈=*

S x w z S z y x }y x z ∈∈<<），，且（），，，若（恰有一个成立，则下列选项正确

的是（）

A.S w y x S w z y ?∈），，，（），，（；

B.S w y x S w z y ∈∈），，，（），，（；

C.，

，（z y S w y x S w ∈?），，，（）；D. S w y x S w z y ??），，，（），，（

答案：Ｂ

解析：根据题意，可将题目中的定义画成直方图，如下图所示，各个元素只要在顺时针方向，即满足题目要求，就可得到答案。

评注：这是一个非典型的数形结合题型，题目的定义很抽象，但可以用图形将其具象化，从而能够更好的理解，帮助解题。例3 的交集，则所有，，，，其中，k 2

k A 201432k 1}t k 1

kt 1kt x |{x A ??=≤≤+==为

答案：]2

[2，

解析：因为1k

k 1201432k 2<

k [2A 1t k 1k 2

+=≤≤，，，因为递增，所以所时，，，，k 1k 201432k +??=有]2

[2A k ，的交集为。

评注：本题考查了耐克函数的图像与性质，结合图像及函数的定义域，求值域问题，难度不大，但学生可能会因为含参数ｋ而产生畏惧心理，可让学生先求、2A

结归纳。，发现一般规律，再总、43A A

(完整版)数形结合思想例题分析(可编辑修改word版)

(1- a )2 + b 2 a 2 + (1- b )2 (1- a )2 + (1- b )2 (1- a )2 + b 2 a 2 + (1- b )2 (1- a )2 + (1- b )2 y r x 数形结合思想例题分析一、构造几何图形解决代数与三角问题： 1、证明恒等式：例 1 已知 x 、 y 、 z 、 r 均为正数，且 x 2 + y 2 = z 2 , z ? = x 2 求证： rz = xy . C A B z 分析：由 x 2 + y 2 = z 2 , 自然联想到勾股定理。由 z ? = x 2 . 可以联想到射影定理。从而可以作出符合题设条件的图形（如图）。对照图形，由直角三角形面积的两种算法，结论的正确性一目了然。证明：（略）小结：涉及到与平方有关的恒等式证明问题，可构造出与之对应的直角三角形或圆，然后利用图形的几何性质去解决恒等式的证明问题。 2、证明不等式：例 2 已知：0＜ a ＜1，0＜ b ＜1. 求证 + + + ≥ 2 2. 证明：如图，作边长为 1 的正方形 ABCD ，在 AB 上取点 E ，使 AE= a ；在 AD 上取点 G ，使 AG= b ，过 E 、G 分别作 EF//AD 交 CD 于 F ；作 GH//AB 交 BC 于 H 。设 EF 与 GH 交于点 O ，连接 AO 、BO 、CO 、DO 、AC 、BD. 由题设及作图知△ AOG 、△ BOE 、△ COF 、△ DOG 均为直角三角形，因此 OA = OB = OC = OD = 且 AC = BD = 由于 OA + OC ≥ AC , OB + OD ≥ BD . 所以： + + + ≥ 2 2. x 2 - r 2 x 2 - r 2 a 2 + b 2 a 2 + b 2 (1- a )2 + b 2 (1- a )2 + (1- b )2 a 2 + (1- b )2 2 a 2 + b 2

平方根典型例题及练习

平方根练习题 1、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根式），算术平方根 2、平方根的性质：（1）一个正数有个平方根，它们（2）0的平方根是；（3）没有平方根． 3、重要公式：（1）=2 )( a （2） { ==a a 2 4、平方表： 5.正数有_____________个立方根, 0有__________个立方根,负数有__________个立方根,立方根也叫做_______________. 6.一个正方体的棱长扩大3倍,则它的体积扩大_____________. 7.若一个数的立方根等于数的算术平方根,则这个数是_____________. 8. 0的立方根是___________.(-1)2005的立方根是______________.1827 26 的立方根是________. 例1、判断下列说确的个数为（） ① -5是-25的算术平方根； ② 6是()26-的算术平方根； ③ 0的算术平方根是0； ④ 0.01是0.1的算术平方根；

⑤ 一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根． A ．0 个 B ．1个 C ．2个 D ．3个例2、 36的平方根是（） A 、6 B 、6± C 、 6 D 、 6± 例3、下列各式中，哪些有意义？（1） 5 （2）2- （3） 4 - （4） 2 )3(- （5） 310- 例4、一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（） A ．()1+a B ．()1+±a C ．1 2+a D ．12+± a 强化训练一、选择题 1．下列说法中正确的是（） A ．9的平方根是3 B 2 C. 4 D. 2 2． 4的平方的倒数的算术平方根是（） A ．4 B ．18 C ．-14 D ．14 3．下列结论正确的是（） A 6)6(2-=-- B 9)3(2=- C 16)16(2±=- D 25 1625162 =???? ? ? - - 4．以下语句及写成式子正确的是（） A 、7是49的算术平方根，即749±= B 、7是2)7(-的平方根，即 7)7(2=- C 、7±是49的平方根，即7 49=± D 、7±是49的平方根，即749±= 5．下列说法：(1)3±是9的平方根；(2)9的平方根是3±；(3)3是9的平方根； (4)9的平方根是3，其中正确的有（） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．4个 6．下列说确的是（） A ．任何数的平方根都有两个 B ．只有正数才有平方根 C ．一个正数的平方根的平方仍是这个数 D ．2a 的平方根是a ±

数形结合的思想

数形结合的思想中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意

义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。

数形结合思想例题选讲

数形结合思想例题选讲数形结合思想是“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化（1）集合的运算及韦恩图（2）函数及其图象（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线以形助数常用的有借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法；以数助形常用的有借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。例题选讲类型一：集合的运算及韦恩图利用数形结合的思想解决集合问题，常用的方法有数轴法、韦恩图法等。当所给问题的数量关系比较复杂，且没有学容斥原理前，不好找线索时，用韦恩图法能达到事半功倍的效果。例1．如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（） ().A M P S B 。()M P S ().I C M P S e ().I D M P S e 解：阴影部分是M 与P 的公共部分（转化为集合语言就是M P ），且在 S 的外部（转化为集合语言就是C I S ），故选C 。通过上述例子，我们知道：当应用题中牵涉到集合的交集、并集、补集时，用韦恩图比用数轴法简便。类型二：图表信息题此类题目都有图形（或图表）作为已知条件，须联系函数的性质分析求解，解决问题的关键是从已知图形（图表）中挖掘信息. 例2．直角梯形ABCD 如图（1），动点P 从B 点出发，由A D C B →→→沿边运动，设点P 运动的路程为x ，ABP ?的面积为 )(x f ．如果函数)(x f y =的图象如图（2），则ABC ?的面积为（） A ．10 B ．16 C ．解：由)(x f y = 图象可知,当04()0x f x →由时由由4=x 及9=x 时)(x f 不变,说明P 点在DC 上,即所以AD=14-9=5,过D 作DG AB ⊥ 则DG=BC=4 3=∴AG ,由此可求出AB=3+5=8. 16482 1 21=??=?=?BC DB S ABC 选B 例3．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是 A ．y =2x -2 B.y = 21(x 2 -1) C.y =log 2x D.y =log 2 1x A B C D P 图（1）

人教版初一数学下册平方根典型例题及练习

算数平方根及平方根练习题【知识要点】 1、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根式）， 2、算术平方根： 3、平方根的性质：（1）一个正数有个平方根，它们；（2）0 平方根，它是；（3）没有平方根． 4、重要公式：（1）=2)(a （2）{==a a 2 5、平方表： 6.正数有_____________个立方根, 0有__________个立方根,负数有__________个立方根,立方根也叫做_______________. 7.一个正方体的棱长扩大3倍,则它的体积扩大_____________. 8.若一个数的立方根等于数的算术平方根,则这个数是_____________. 9. 0的立方根是___________.(-1) 2005的立方根是______________.182726的立方根是________. 【典型例题】例1、判断下列说法正确的个数为（） ① -5是-25的算术平方根； ② 6是()26-的算术平方根； ③ 0的算术平方根是0； ④ 0.01是0.1的算术平方根； ⑤ 一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根． A ．0 个 B ．1个 C ．2个 D ．3个例2、36的平方根是（） A 、6 B 、6± C 、 6 D 、 6± 例3、下列各式中，哪些有意义？（1）5 （2）2- （3）4- （4）2)3(- （5）310- 例4、一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（） A ．()1+a B ．()1+±a C ．12+a D ．12+±a 12= 62= 112= 162= 22= 72= 122= 252= 32= 82= 132= ... 42= 92= 142= ... 52= 102= 152= ...

《平方根》典型例题及练习54022

1、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根式）， 2、算术平方根： 3、平方根的性质：（1）一个正数有个平方根，它们；（2）0 平方根，它是；（3）没有平方根． 4、重要公式：（1）=2)(a （2）{==a a 2 5、平方表： 6.正数有_____________个立方根, 0有__________个立方根,负数有__________个立方根,立方根也叫做_______________. 7.一个正方体的棱长扩大3倍,则它的体积扩大_____________. 8.若一个数的立方根等于数的算术平方根,则这个数是_____________. 9. 0的立方根是___________.(-1)2005的立方根是______________.18 2726的立方根是________. 例1、判断下列说法正确的个数为（） ① -5是-25的算术平方根； ② 6是()26-的算术平方根； ③ 0的算术平方根是0； ④ 0.01是0.1的算术平方根； ⑤ 一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根． A ．0 个 B ．1个 C ．2个 D ．3个例2、36的平方根是（） A 、6 B 、6± C 、 6 D 、 6± 例3、下列各式中，哪些有意义？（1）5 （2）2- （3）4- （4）2)3(- （5）310- 例4、一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（） A ．()1+a B ．()1+±a C ．12+a D ．12+±a 算数平方根及平方根练习题一、选择题 1．下列说法中正确的是（）

中考数学专题复习_数形结合思想

中考数学专题复习——数形结合思想一、知识梳理数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化，抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，从而起到优化计算的目的。华罗庚先生曾指出：“数与形本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休。”这充分说明了数形结合在数学学习中的重要性，是中考数学的一个最重要数学思想。二、典型例题（一）在数与式中的应用例1、实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简2 ||a a b +-=_________。（二）在方程、不等式中的应用例2、已知关于x 的不等式组0 20x a x ->?? ->? 的整数解共有2个，则a 的取值范围是____________。例3、用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（） A ．203210x y x y +-=??--=?， B ．2103210x y x y --=??--=? ， C ．2103250x y x y --=?? +-=? ， D ．20210x y x y +-=?? --=? ，（三）在锐角三角函数中的应用例4、画△ABC ，使cosA=2 1 ，AB ＝2cm ，∠A 的对边可以在长为1cm 、2cm 、3cm 中任选，这样的三角形可以画_______个。（四）在函数中的应用例5、如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，在下列说法中： ①0ac <；②方程20ax bx c ++=的根为11x =-，23x =； ③0a b c ++>；④当1x >时，y 随着x 的增大而增大． a b 0 · P （1，1） 1 1 2 2 3 3 －1 －1 O x y x y O 3 -1

华师大版本数学八年级上册第十一章数的开方经典题目

第11章数的开方一、选择题 1．在﹣3，0，4，这四个数中，最大的数是（） A．﹣3 B．0 C．4 D． 2．下列实数中，最小的数是（） A．﹣3 B．3 C．D．0 3．在实数1、0、﹣1、﹣2中，最小的实数是（） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．0 4．实数1，﹣1，﹣，0，四个数中，最小的数是（） A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣ 5．在实数﹣2，0，2，3中，最小的实数是（） A．﹣2 B．0 C．2 D．3 6．a，b是两个连续整数，若a＜＜b，则a，b分别是（）A．2，3 B．3，2 C．3，4 D．6，8 7．估算﹣2的值（） A．在1到2之间 B．在2到3之间 C．在3到4之间 D．在4到5之间8．在已知实数：﹣1，0，，﹣2中，最小的一个实数是（）A．﹣1 B．0 C．D．﹣2 9．下列四个实数中，绝对值最小的数是（） A．﹣5 B．C．1 D．4 10．在﹣2，0，3，这四个数中，最大的数是（） A．﹣2 B．0 C．3 D． 11．在1，﹣2，4，这四个数中，比0小的数是（） A．﹣2 B．1 C．D．4 12．四个实数﹣2，0，﹣，1中，最大的实数是（） A．﹣2 B．0 C．﹣D．1 13．与无理数最接近的整数是（） A．4 B．5 C．6 D．7

14．如图，已知数轴上的点A、B、C、D分别表示数﹣2、1、2、3，则表示数3﹣的点P应落在线段（） A．AO上B．OB上C．BC上D．CD上 15．估计介于（） A．0.4与0.5之间B．0.5与0.6之间C．0.6与0.7之间D．0.7与0.8之间 16．若m=×（﹣2），则有（） A．0＜m＜1 B．﹣1＜m＜0 C．﹣2＜m＜﹣1 D．﹣3＜m＜﹣2 17．如图，表示的点在数轴上表示时，所在哪两个字母之间（） A．C与D B．A与B C．A与C D．B与C 18．与1+最接近的整数是（） A．4 B．3 C．2 D．1 19．在数轴上标注了四段范围，如图，则表示的点落在（） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 20．若a=（﹣3）13﹣（﹣3）14，b=（﹣0.6）12﹣（﹣0.6）14，c=（﹣1.5）11﹣（﹣1.5）13，则下列有关a、b、c的大小关系，何者正确？（） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a 21．若k＜＜k+1（k是整数），则k=（） A．6 B．7 C．8 D．9 22．估计×+的运算结果应在哪两个连续自然数之间（） A．5和6 B．6和7 C．7和8 D．8和9 23．估计的值在（） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间二、填空题 24．把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为． 25．若a＜＜b，且a、b是两个连续的整数，则a b= ． 26．若两个连续整数x、y满足x＜+1＜y，则x+y的值是． 27．黄金比（用“＞”、“＜”“=”填空）

数的开方精选练习题

数的开方单元试题(华东师大版) 考试总分：120分考试时间：90分钟姓名：得分：一、选择题（共8题24分，每题3分） 1、4的算术平方根是（） A 、4- B 、4 C 、2- D 、2 2、“9的平方根是3±”的表达式正确的是（） A 、39±=± B 、39= C 、39 ±= D 、39=- 3、若式子5+x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（） A 、5->x B 、5-

高中数学的数形结合思想方法-全(讲解+例题+巩固+测试)

数形结合的思想方法(1)---讲解篇一、知识要点概述数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法。数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。二、解题方法指导 1．转换数与形的三条途径： ①通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。 ②转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。 ③构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。 2．运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法： ①“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。 ②“由数化形”：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。 ③“数形转换”：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。三、数形结合的思想方法的应用 (一)解析几何中的数形结合解析几何问题往往综合许多知识点，在知识网络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，达到研究、解决问题的目的. 1. 与斜率有关的问题【例1】已知：有向线段PQ的起点P与终点Q坐标分别为P（-1，1），Q（2，2）.若直线l∶x+my+m=0

2020中考数学数形结合思想专题练习(含答案)

2020中考数学数形结合思想专题练习 1．已知直线y 1＝2x －1和y 2＝－x －1的图象如图X5－1所示，根据图象填空． (1)当x ______时，y 1＞y 2；当x ______时，y 1＝y 2；当x ______时，y 1＜y 2； (2)方程组的解集是____________．图X5－1 图X5－2 2．已知二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与一次函数y 2＝kx ＋m (k ≠0)的图象相交于点A (－2,4)，B (8,2)(如图X5－2所示)，则能使y 1＞y 2成立的x 的取值范围是____________． 3．如图X5－3，正三角形ABC 的边长为3 cm ，动点P 从点A 出发，以每秒1 cm 的速度，沿A →B →C 的方向运动，到达点C 时停止．设运动时间为x (单位：秒)，y ＝PC 2，则y 关于x 的函数的图象大致为( ) 图X5－3 A B C D 4．如图X5－4，半径为2的圆内接等腰梯形ABCD ，它的下底AB 是圆的直径，上底CD 的端点在圆周上，则该梯形周长的最大值是______．图X5－4 21, 1y x y x =-?? =-- ?

5．某市实施“农业立市，工业强市，旅游兴市”计划后，2009年全市荔枝种植面积为24万亩．调查分析结果显示，从2009年开始，该市荔枝种植面积y(单位：万亩)随着时间x(单位：年)逐年成直线上升，y与x之间的函数关系如图X5－5. (1)求y与x之间的函数关系式(不必注明自变量x的取值范围)； (2)该市2012年荔枝种植面积为多少万亩？图X5－5 6．某公司推销一种产品，设x(单位：件)是推销产品的数量，y(单位：元)是推销费，图X5－6表示该公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题： (1)求y1与y2的函数解析式； (2)解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？ (3)如果你是推销员，应如何选择付费方案？图X5－6

数形结合思想在小学数学中的应用讲解

德宏师范高等专科学校毕业论文系部：数学系姓名：李宏学号：20130732103 班级：2013级初等教育理科1班

目录【摘要】 (1) 【关键词】数形结合；小学数学；教学应用 (1) 引言 (1) 1数学结合思想的简要概述 (1) 1.1数形结合思想的涵义 (2) 1.2数形结合在数学中的应用范围 (2) 2数形结合在小学数学中的意义和价值 (2) 2.1数形结合是开启数学大门的金钥匙 (2) 2.1.1数形结合是形成概念的好帮手 (2) 2.1.2数形结合深化课堂知识目标化解难点 (3) 2.2数形结合有助于知识的理解和记忆 (4) 2.3数学结合有利于培养小学生的数学能力 (5) 2.3.1 “数形结合形”发展学生的空间观念，培养学生初步的逻辑思维能力 (5) 2.3 . 2数形结合提高了小学生学习数学的趣味性 (5) 2.3.3能够增强学生学习数学的自信心 (7) 3数形结合在小学数学中的应用 (7) 3.1巧用数形结合，形成概念教学 (7) 3.2巧用数形结合，突破几何难点 (9) 3.3巧用数形结合，解决实际问题 (9) 4在运用数形结合教学中，应注意的问题 (10) 4.1教师应更新教学观念 (10) 4.2要培养学生运用数形结合思想的学习习惯 (11) 4.3充分发挥多媒体技术的作用 (11) 【参考文献】 (12)

数形结合思想在小学数学教学中的应用【摘要】数形结合思想是一种重要的数学思想，数形结合在数学中应用广泛，新教材也在结合数形结合思想来编写。本文主要研究了四个方面的问题：一是数学结合思想的简要概述；二是数形结合在小学数学中的意义和价值；三是数形结合在小学数学中的应用；四是在运用数形结合教学中，应注意的问题。【关键词】数形结合；小学数学；教学应用引言：小学数学教学的根本任务是全面提高学生素质，其中最重要的是思维素质，而数学思想方法是增强学生数学观念、形成良好思维素质的关键。随着小学数学教学改革的不断深入，小学数学的教学模式更加多样化，传统的教学模式已经逐渐被取代。在多媒体教学的加入下，小学数学中的抽象概念变得形象，生动学生的数学逻辑思维能力以及创新能力也是显著提升。数形结合思想在数学中得到了充分的重视。运用数形结合的方法，可以直现感知抽象的理论及概念，避免机械记忆，使枯燥的名词真正地活起来，看得见，更有助于学生掌握知识。新课程标准修改后，将“双基”改为了“四基”，即基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验⑴，说明人们已经意识到数学思想方法的重要性。这一转变并不是偶然，而是纵观小学数学学习内容和小学生的认知特点而决定的。常用的数学思想方法：对应思想、假设思想、比较思想、符号化思想、类比思想、转化思想、分类思想、集合思想及数形结合思想等。本文就数形结合思想进行讨论。 1数学结合思想的简要概述我国数学家张广厚曾说过：“抽象思维如果脱离直观，一般是很有限度的。同样，在抽象中如果看不出直观，一般说明还没有把握住问题的实质。”这句话深刻阐明了“数形结合”的思想［2］。依据《数学课程标准》中“变注重知识获得的结果为知识获得的过程”的教育理念，我以学生发展为立足点，以自主探索为主线，以求异创新为宗旨，采用多媒体辅助教学，运用设疑激趣直观演示，实际操作等教学方法，引导学生动手操作、观察辨析、自主探究，让学生全面、全程地参与到每个教学环节中，充分调动学生学习的积极性，培养学生的自主学习、合

高中数学数形结合思想经典例题(含解析)

高中数学数形结合思想经典例题一、选择题 1．已知函数f (x )＝???? ?3x ，x≤0，log 2 x ，x>0，下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )为奇函数 B ．f (f (14))＝1 9 C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称 D ．函数f (x )在R 上是增函数 2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0) D ．(0，1) 3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( )

4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ） x <0的解集为( ) A ．(－2，0)∩(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(0，2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－2，0)∪(0，2) 5．实数x ，y 满足不等式组???? ?x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( ) A.215 5 B ．21 C ．20 D ．25 6．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，1 2) B ．(1 2，1) C ．(1，2) D ．(2，＋∞) 7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋y x ＋y 的最小值为( ) A.53 B ．2 C.35 D.12 8．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1 D ．0

(完整版)七年级数学《平方根》典型例题及练习

七年级数学《平方根》典型例题及练习【知识要点】 1、平方根：一般地，如果一个数 x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根式）， 2、 ________________________________________________________________ 算术平方根： 3、平方根的性质：（1）一个正数有 _个平方根，它们 __________ ；（ 2）0 _____ 平方根，它是 _________ ；（ 3） ____ 没有平方根. 4、重要公式： 1.正数有 _______________ 个立方根,0 有 _________________ 个立方根,负数有 ________________ 个立方根,立方根也叫做 2?—个正方体的棱长扩大 3倍，则它的体积扩大 ______________ . 3?若一个数的立方根等于数的算术平方根，则这个数是 _____________ . 4. 0的立方根是 .（-1） 2005的立方根是 ____________ .18 26的立方根是 _________ , 27 【典型例题】例1、判断下列说法正确的个数为（） ① -5是-25的算术平方根； ② 6是6 2的算术平方根； ③ 0的算术平方根是0; ④ 0.01是0.1的算术平方根； ⑤ 一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根. A . 0个 B . 1个 C . 2个 D . 3个例2、 36的平方根是（ ) A 、 6 B 、 6 C 」6 D -6 例3、卜列各式屮，哪些有意义？ (1) 5 (2) 2 (3) 4 (4) (3)2 (5) 10 例4、一个自然数的算术平方根是 a ,则下一个自然数的算术平方根是（ A . a 1 B . a 1 C ? -?--a 2 1 D - J a 2 1 【巩固练习】 (1) ( a)2 5、平方表: 12= 62 = 112= 162= 212= 22= 72 = 122= 172= 222= 32= 82 = 132= 182= 232= 42= 92 = 142= 192= 242= 52= 102= 152= 202= 252= 例5、求下列各式中的x : （1） x 2 25 0 (2) 4(x+1) 2-169=0 (2) a 2 a 5.

6.1.平方根经典例题与习题

6.1平方根学习目标： 1. 掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别. 2. 能够用符号正确地表示一个非负数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系. 知识点： ()() ()()()()双重非负性．注：的算术平方根是；的算术平方根，即的正平方根叫做　正数　负数没有平方根．　０的平方根是０；，它们互为相反数；　正数的平方根有两个　平方根的性质：运算开平方与平方互为逆开平方的平方根的运算，叫做　求一个非负数，符号表示：的平方根就叫做那么即：如果）的平方根（或二次方根那么这个数就叫做平方等于　定义：如果一个数的;0,0. 00.5321.43 (20) 0,0, .12≥≥≥≥±=≥=a a a a a a a a a x a x a a x a a 知识应用类型：题型一求一个非负数的平方根【例1】求下列各数的平方根 ()()()()()2-0310012100122 +?? ? ??a ５３２４；； ()()() 即：和的平方根是，，即：和的平方根是，，１答案 101 1001.10 1 -10110011001101-1001101210 10010-1010010010-100102 2 2 2± =±∴=? ?? ??=??? ??±=±∴==

()()() 的平方根是即：的平方根是，的算术平方根是 2253232-3232-32-32-32-324000 03222 22 22 2 2+±+± =?? ? ??±± ??? ??∴?? ? ??=??? ??? ? ? ??=??? ??∴=a a 题型二求字母的取值范围 ()().32;112得取值范围没有意义，求若的取值范围有意义，求２若】　【例x x x x -- 解析根据平方根的意义，负数没有平方根可知12-x 是非负数；3-x 是负数. ()() .303 3 2 .21 012 12 1 ≤∴≤-∴-≥∴≥-∴-x x x x x x ，没有意义，，有意义，答案题型三化简求值 ()()()()() 】求下列各式的值【例29-481 49364.0-222513± ()()()()()()的算术平方根表示的平方根表示负的平方根　表示的算术平方根表示解析 2 2 9-9-481 498149364.064.0-22252251±

数形结合的典型例题

数形结合思想、数学结合思想所谓的数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。数学结合思想的应用包括以下几个方面： (1)“以形助数”把，某些抽象的数学问题直观化、生动化，变抽象思维有形象思维，提示数学问题的本质； (2)“以数助形”，把直观图形数量化，使形更加精确。二、运用数形结合需要熟练掌握“数”、“形”及其相互转化： 1．“数”：主要是指数和数量关系。中学阶段的“数”有以下几类： (1)复数；(2)代数式；(3)函数；(4)不等式；(5)方程；(6)向量。 2．“形”：主要是指图形，有点、线、面、体等。中学阶段的“形”有以下几类： (1)数轴；(2)Venn 图；(3)函数图象；( 4)单位圆；(5)方程的曲线；(6)平面几何的图形；(7)立体几何图形；(8)可行域；三、数形结合思想应用的关键： 1 ．由“数”联想到“；形2”．由“图”想“。数” 四、数形结合思想解决的问题类型： 1．运用数轴、Venn 图解决不等(组)的解集、集合的运算问题；

2．运用平面直角坐标系和函数的图象解决

函数问题、不等式问题、方程问题; 3.三角函数与解三角形问题; 4 .立体几何问题; 5.可行域求最优解问题; 6.数列问题; 7 .方程曲线与曲线方程等解析几何问题; 8.复数冋题。数形结合思想的典型试题以形助数探索解题思路 sin7ix(0 < X < 1) 例6 :(改编题)已知函数f(x)斗' '，若a,b,c 互不相等,且 Iog 2011 x(x >1) f (a) = f (b) = f (c)，则 a +b +c 的取值范围是(C ) 例7 .设0

八年级数学《平方根》典型例题及练习

八年级数学《平方根》典型例题不要写在上面，答案写在纸上二、填空题： 1．如果x 的平方等于a ，那么x 就是a 的，所以的平方根是 2．非负数a 的平方根表示为 3．因为没有什么数的平方会等于，所以负数没有平方根，因此被开方数一定是 4_______；9的平方根是_______．5的平方根是，25的平方根记作，结果是 6．非负的平方根叫平方根7．2)8(-= ， 2)8(= 。 8．9的算术平方根是，16的算术平方根是；210-的算术平方根是，0)5(-的平方根是； 9．一个正数有个平方根，0有个平方根，负数平方根.10．一个数的平方等于49，则这个数是 11．化简： =-2)3(π 。12．一个负数的平方等于81，则这个负数是 13．如果一个数的算术平方根是5，则这个数是，它的平方根是 14．25的平方根是；（-4）2 的平方根是。9的算术平方根是；3 -2 的算术平方根是。 15．若a 的平方根是±5，则 a = ．如果a 的平方根等于2±，那么_____=a ； 16．当_______x 时，3x -有意义；当_______x 时，32-x 有意义； 17．当_______x 时，x -11 有意义；当________x 时，式子 2 1 --x x 有意义； 18.若 14+a 有意义，则a 能取的最小整数为 19. 2.676=，26.76=，则a 的值等于， _____6.71= 20．5若22-a 与|b ＋2|是互为相反数，则（a －b ）2 ＝______． 21．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是； 22.满足x 是三．利用平方根解下列方程．（21）（2x-1）2-169=0；（22）4（3x+1）2 -1=0；四．求下列各式中的值，并求他的1,2,3,6,7,8,7平方根（23）26 （24）2)6(- （25）2)6( （26）－26 （27）±2)6(- （28）－0 （29）? （30（31五．实数非负性的应用（32）在实数范围内，设20064(1 x a x =+ +，求a 的个位数字是什么？（33）已知：=0，求实数a, b 的值。（34）,,x y z =试求x,y,z 的值。（35）已知22b a +＋|b 2 －10|＝0，求a ＋b 的值．（36）已知x 、y 是实数，且2(1)x y -+ 六．解答题