山东省潍坊市2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)

高一数学

本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项：

1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填涂自己的准考证号、姓名．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束，考试必须将试题卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷

一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.命题p ：R x ?∈，21x ≥的否定是（ ） A. R x ?∈，21x < B. R x ?∈，21x < C. R x ??，21x ≥ D. R x ?，21x <

【答案】B 【解析】 【分析】

根据全称量词的否定判断即可.

【详解】“R x ?∈,21x ≥”的否定是“R x ?∈,21x <”, 故选：B

【点睛】本题主要考查了全称量词的否定,属于基础题型.

2.已知集合{}2,4,6A =，()(){}

260B x x x =--=，则A B =I （ ） A. ? B. {}2

C. {}6

D. {}2,6

【答案】D 【解析】 【分析】

求解集合B 再求交集即可.

【详解】()(){}

{}2602,6B x x x =--==,故{}2,6A B =I . 故选：D

【点睛】本题主要考查了集合的基本运算以及二次方程的求解,属于基础题型. 3.若p ：1x >，q ：1x >，则p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】 【分析】

求解q 中的取值范围再判断即可.

【详解】因为11x x >?>或1x <.故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A

【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解与充分不必要条件的判定,属于基础题型.

4.口袋中有若干红球、黄球与蓝球，若摸出红球的概率为0.4，摸出红球或黄球的概率为0.62，则摸出红球或蓝球的概率为（ ） A. 0.22 B. 0.38

C. 0.6

D. 0.78

【答案】D 【解析】 【分析】

根据独立事件的概率公式求解即可.

【详解】因为摸出红球的概率为0.4, 摸出红球或黄球的概率为0.62,易得摸出黄球的概率为

0.620.40.22-=,摸出蓝球的概率为10.220.40.38--=.故摸出红球或蓝球的概率为

0.380.40.78+=.

故选：D

【点睛】本题主要考查了独立事件概率公式,属于基础题型. 5.已知点()2,9在指数函数()y f x =的图像上，则()1

27f -=（ ）

A.

14

B.

13

C. 3

D. 4

【答案】C 【解析】 【分析】

根据点()2,9在指数函数()y f x =的图像上求出()y f x =解析式,再求出反函数,继而求解()1

27f -即可.

【详解】设(),(0,1)x

y f x a a a ==>≠,因为点()2,9在指数函数()y f x =的图像上.

故293a a =?=.所以()3x

f x =.故()1

3log f

x x -=.故()1327log 273f -==.

故选：C

【点睛】本题主要考查了指数与对数函数的函数求值与反函数的求解等.属于基础题型.

6.函数()3122x

f x x ??

=-- ???

在区间()1,0-内的零点个数是（ ）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

【答案】B 【解析】 【分析】

根据单调性与区间端点的符号判断即可.

【详解】易得()3122x

f x x ??=-- ???为减函数,又()()1

31112102f -??-=---=> ???,

()()0

31002102f ??

=--=-< ???

.故()f x 在区间()1,0-内的零点个数是1.

的

【点睛】本题主要考查了函数零点的个数问题,根据单调性与区间端点的正负分析即可.属于基础题型. 7.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三二税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何？”其意思为：今有人

持金出五关，第1关收税金为持金的1

2，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14

，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的1

6

，5关所收税金之和恰好重1斤，则此人总共持金（ ）

A. 2斤

B. 7

5斤 C. 65斤 D.

1110

斤 【答案】C 【解析】 【分析】

设总共持金x 斤,再根据题意列式求解即可.

【详解】设总共持金x 斤,再根据过5关后剩1x - 斤列式计算即可.

由题得1111111111123456x x ??????????

?-?-?-?-?-=- ? ? ? ? ???????????

. 即123456

1234565

x x x ?????=-?=

故选：C

【点睛】本题主要考查了方程列式求解的方法,属于基础题型.

8.已知函数a

y x =，x y b =，log c y x =的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）

A. a b c <<

B. b a c <<

C. a c b <<

D. b c a <<

【解析】 【分析】

根据指对幂函数的图像性质判断,,a b c 的范围即可.

【详解】由图,当1x =时,()1,2y b =∈,当1y =时()1log 2,3c x x c =?=∈,又幂函数a y x =为增函数且上凸,故()0,1a ∈.故a b c <<. 故选：A

【点睛】本题主要考查了指对幂函数的图像分析,属于基础题型.

二、多选选择题

9.设a ，b ，R c ∈，且a b >，则下列不等式成立的是（ ） A. 22ac bc > B.

22

11

a b < C. a c b c ->- D. a b e e --<

【答案】CD 【解析】 【分析】

根据不等式的性质判断或举出反例即可.

【详解】对A,当0c =时22ac bc >不成立.故A 错误. 对B,当1,2a b =-=-时

2211a b

<不成立.故B 错误. 对C,因为a b >,两边同时减去c 有a c b c ->-成立.故C 正确.

对D,因为a b a b >?-<-,又x

y e =为增函数.故a b e e --<成立.故D 正确. 故选：CD

【点睛】本题主要考查了不等式的性质与判定,属于基础题型.

10.已知函数()2

2f x x x a =-+有两个零点1x ，2x ，以下结论正确的是（ ）

A. 1a <

B. 若120x x ≠，则12112x x a

+= C. ()()13f f -= D. 函数有()y f

x =四个零点

【答案】ABC 【解析】 【分析】

根据二次函数的图像与性质等判断即可.

【详解】对A,因为()2

2f x x x a =-+有两个零点,故判别式2

(2)401a a ?=-->?<.故A 正确.

对B,根据韦达定理有12122,x x x x a +==,故121212112

x x x x x x a

++==.故B 正确. 对C,因为()()13,33,f a f a -=+=+故()()13f f -=成立.故C 正确. 对D,当0a =时, ()()2

2020y f x x

x x x ==-=?-=有三根,0,2x =±.故D 错误.

故选：ABC

【点睛】本题主要考查了二次方程的根的关系,属于基础题型.

11.在发生公共卫生事件期间，

有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是（ ）

甲地：中位数为2，极差为5； 乙地：总体平均数为2，众数为2； 丙地：总体平均数为1，总体方差大于0； 丁地：总体平均数为2，总体方差为3． A. 甲地 B. 乙地

C. 丙地

D. 丁地

【答案】AD 【解析】 【分析】

逐个选项分析是否一定满足每天新增疑似病例不超过7人即可.

【详解】对A,因为甲地中位数为2,极差为5,故最大值不会大于257+=.故A 正确.

对B,若乙地过去10日分别为0,0,0,2,2,2,2,2,2,8则满足总体平均数为2,众数为2,但不满足每天新增疑似病例不超过7人,故B 错误.

对C ,若丙地过去10日分别为0,0,0,0,0,0,0,0,1,9,则满足总体平均数为1,总体方差大于0, 但不满足每天新增疑似病例不超过7人,故C 错误.

对D,利用反证法,若至少有一天疑似病例超过7人,则方差大于()2

182 3.6310

?-=>.与题设矛盾,故连续10天,每天新增疑似病例不超过7人.故D 正确. 故选：AD

【点睛】本题主要考查极差,平均数,中位数与方差等的运算与理解,属于中等题型.

12.已知函数()()11,0,2,0.x x f x f x x ?+-

-≥??

则以下结论正确的是（ ） A. ()20200f = B. 方程()1

14

f x x =

-有三个实根 C. 当[)4,6x ∈时，()51f x x =--

D. 若函数()y f x t =-在(),6-∞上有8个零点()1,2,3,,8i x i =???，则

()8

1

i

i

i x f x =∑的取值范围为()16,0-

【答案】ACD 【解析】 【分析】

根据函数性质以及数形结合逐个判断即可.

【详解】对A, ()()()20202018...0(2)2110f f f f ====-=-+-=.故A 正确.

对B,画出()()11,0,

2,0.x x f x f x x ?+-

图像有

故()1

14

f x x =

-有四个根.故B 错误. 对C, 当[)4,6x ∈时,()()()()24661151f x f x f x f x x x =-=-=-=-+-=--. 故C 正确.

对D,画出图像,()y f x t =-有8个零点,即()y f x =与y t =有8个交点.

此时

()()88

1

11212325216i

i

i

i i x f x t x

t t ====-?+?+?+?=????∑∑.又()1,0t ∈-.

故()1616,0t ∈-.即

()8

1

i

i

i x f x =∑的取值范围为()16,0-.故D 正确.

故选：ACD

【点睛】本题主要考查了函数图像零点的综合运用,需要根据题题意画出图像,再分析函数图像的交点等.属于难题.

第Ⅱ卷

三、填空题

13.21log 3

3

81272????+= ? ?

????

______．

【答案】1 【解析】 【分析】

根据指数对数的运算法则求解即可. 【详解】2221

1log 3

3

13

3

log log 3

38122212

212723333-????????

+=+=+=+=?? ? ?

???????

????

. 故答案为：1

【点睛】本题主要考查了指对数的基本运算,属于基础题型.

14.数据：18,26,27,28,30,32,34,40的75%分位数为______． 【答案】33 【解析】 【分析】

该组数据一共有8个,875?%6=,再分析75%分位数即可

【详解】该组数据一共有8个,875?%6=,故75%分位数在从小到大第6,7个数的平均数, 即

3234

332

+= 故答案为：33

【点睛】本题主要考查了分位数的计算,属于基础题型. 15.设函数()1x

x f x ae e

=

+（a 为常数）．若()f x 为偶函数，则实数a =______；若对R x ?∈，()1f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是______． 【答案】 (1). 1 (2). 1

4

a ≥ 【解析】 【分析】

(1)根据偶函数满足()()f x f x =-判断即可. (2)参变分离求解最值计算即可.

【详解】(1)由题

()111110x x x x

x x x x x x a ae ae ae e a e e e e e e --??

+=+?+=+?--= ???

.故1a =. (2) 因为

11x

x ae e +≥恒成立,故211x x a e e ≥-恒成立.设10x t e

=>,则2a t t ≥-在0t >时恒成立.又..

22111()244y t t t =-=--+≤.故1

4a ≥.

故答案为：(1). 1 (2). 1

4

a ≥

【点睛】本题主要考查了指数型函数的奇偶性与二次复合函数的值域问题等.属于中等题型.

16.已知函数()()22

222

1

x k x f x x x +++=++()0x >，?,,0a b c >，以()f a ，()f b ，()f c 的值为边长可构成一个三角形，则实数k 的取值范围为______． 【答案】[]3,6- 【解析】 【分析】

根据题意可知, ?,,0a b c >()()()f a f b f c +>恒成立,再分情况讨论函数()f x 的最值即可. 【详解】根据题意可知, ?,,0a b c >()()()f a f b f c +>恒成立,

又()()222222222222211111x k x x x kx kx k

f x x x x x x x x x

++++++===+=+++++++++

()0x >. 1.当0k =时, ()2f x =显然成立.

2.当0k >时,因为函数1

1y x x

=++在()0,1上单调递减,在[)1,+∞上单调递增, 故[)113,y x x

=++∈+∞.所以22,2131k k y x x

?

?=+∈+ ?

??++.

又?,,0a b c >()()()f a f b f c +>恒成立,所以22263k

k +≥+?≤.此时06k <≤

3. 当k 0<时,同2有[]113,y x x

=++∈+∞,所以222131k k y x x

??

=+∈+?

???++， 此时22233k k ??

?+≥?≥-

???

.此时30k -≤< 综上所述, k 的取值范围为[]3,6-

【点睛】本题主要考查了函数的值域综合问题,需要根据题意求函数的最值并列出函数最值满足的关系式,同

时也需要对函数的分离常数化简等有所掌握.属于难题.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.已知集合[]3,6A =，[],8B a =．

（1）在①7a =，②5a =，③4a =这三个条件中选择一个条件，使得A B ?≠?，并求A B I ； （2）已知[]3,8A B =U ，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）见解析（2）36a ≤≤ 【解析】 【分析】

(1)根据集合的交集运算求即可.

(2)根据集合的并集运算分析区间端点满足的关系式即可.

【详解】解：（1）选择条件②5a =（或③4a =）,若选②,则[][][]3,65,85,6A B ==I I ． （若选③,则[][][]3,64,84,6A B ==I I ．） （2）因为[]3,8A B =U ,[]3,6A =,[],8B a =, 结合数轴可得36a ≤≤,

所以实数的取值范围为36a ≤≤．

【点睛】本题主要考查了利用集合的交并补求解参数范围的方法,属于基础题型. 18.已知函数()2

273f x x x =-+-．

（1）求不等式()0f x >的解集； （2）当()0,x ∈+∞时，求函数()f x y x

=

的最大值，以及y 取得最大值时x 的值．

【答案】（1）132x x ??

<

（2）x =时，y 取得最大值为7-

【解析】 【分析】

(1)根据二次不等式的求解方法求解即可.

(2)利用基本不等式的方法求解即可.

【详解】解：（1）由题意得22730x x -+->, 因为方程22730x x -+-=有两个不等实根11

2

x =

,23x =, 又二次函数()2

273f x x x =-+-的图象开口向下, 所以不等式()0

f x >解集为132x

x ??

<

． （2）由题意知,()22733

27f x x x y x x x x

-+-===--+,

因为0x >,所以3327727y x x x x ?

?=--

+=-+≤- ???当且仅当32x x =

,即2

x =时,等号成立． 综上所述,当且仅当x =

时,y 取得最大值为7- 【点睛】本题主要考查了二次不等式的求解以及基本不等式的运用,属于基础题型. 19.已知函数()()()log 2log 2a a f x x x =++-()01a <<． （1）判断函数()f x 的奇偶性；

（2）若函数()f x 的最小值为2-，求实数a 的值． 【答案】（1）偶函数．（2）12

a = 【解析】 分析】

(1)先求定义域,再求()f x -与()f x 的关系即可.

(2)根据对数函数的单调性判断()f x 取最小值时的情况再求a 的值即可.

【详解】解（1）要使函数()f x 有意义,则有20,

20,x x +>??->?

解得22x -<<,

的

因为()()()()log 2log 2a a f x x x f x -=-+++=, 所以()f x 是偶函数． （2）()(

)2

log 4a f x x

=-()01a <<,

因为()2,2x ∈-,所以2044x <-≤, 令2

4x μ=-,又01a <<, 所以log a y μ=在上为减函数, 所以()min log 42a f x ==-, 所以24a -=,12

a =

． 【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判断以及利用函数单调性求最值的方法等.属于中等题型.

20.已知函数()()2

11,0,2log 1,0.x

x f x x x ???-

?+≥?

（1）求()1f f -????的值；

（2）在绘出的平面直角坐标系中，画出函数()y f x =的大致图像； （3）解关于x 的不等式()2f x >．

【答案】（1）1（2）见解析（3）{}

2log 33x x x -或 【解析】 【分析】

(1)根据分段函数的解析式求解即可. (2)根据指对数函数的图像变换画图即可

.

(3)根据图像分析求解()2f x >即可.

【详解】（1）()11f -=,()()()211log 111f f f -==+=????； （2）如图所示,

（3）当0x <时,()1122x

f x ??=-> ???,

即132x

??> ???

,得12

log 3x <,即2

log 3x <- 当0x ≥时,()()2log 12f x x =+>, 所以14x +>,得3x >,

故原不等式解集为{

3

2log x x <-或}3x >．

【点睛】本题主要考查了指对数的基本运算以及图像性质与不等式的求解等.需要根据题意画出对应的函数图像进行分析,属于中等题型.

21.某手机生产厂商为迎接5G 时代的到来，要生产一款5G 手机，在生产之前，该公司对手机屏幕的需求尺寸进行社会调查，共调查了400人，将这400人按对手机屏幕的需求尺寸分为6组，分别是：[)5.0,5.5，[)5.5,6.0，[)6.0,6.5，[)6.5,7.0，[)7.0,7.5，[)7.5,8.0（单位：英寸）

，得到如下频率分布直方图：

其中，屏幕需求尺寸在[)5.5,6.0的一组人数为50人． （1）求a 和b 的值；

（2）用分层抽样的方法在屏幕需求尺寸为[)5.0,5.5和[)7.0,7.5两组人中抽取6人参加座谈，并在6人中选择2人做代表发言，则这2人来自同一分组的概率是多少？

（3）若以厂家此次调查结果的频率作为概率，市场随机调查两人，这两人屏幕需求尺寸分别在[)6.0,6.5和

[)7.0,7.5的概率是多少？

【答案】（1）0.65a =，0.25b =．（2）7

15

（3）0.035． 【解析】 【分析】

(1)根据屏幕需求尺寸在[)5.5,6.0的一组频数为50求解区间对应的频率进而求b ,再根据频率分布直方图的面积之和为1求解a 即可.

(2)利用分层抽样的方法以及古典概型的方法求解即可. (3)利用独立事件的概率公式求解即可.

【详解】解：（1）由已知,屏幕需求尺寸在[)5.5,6.0的一组频数为50,

所以其频率为

50

0.125400

=, 又因为组距为0.5,所以0.125

0.250.5

b =

=, 又因为()0.10.250.70.20.10.51a +++++?=, 解得0.65a =,所以0.65a =,0.25b =．

（2）由直方图知,两组人数分别为10.1400202??=,10.2400402

??=,

若分层抽取6人,则在[)5.0,5.5组中抽取2人,设为x ,y ；在[)7.0,7.5组中抽取4分,设为a ,b ,c ,d , 样本空间

()()()()()()()()()()()()()()(){}

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,x y x a x b x c x d y a y b y c y d a b a c a d b c b d c d Ω=共15个基本事件,

记两人来自同一组为事件A ,()()()()()()(){},,,,,,,,,,,,,A x y a b a c a d b c b d c d =共7个基本事件．

所以()715

P A =

． （3）记事件B 为屏幕需求尺寸在[)6.0,6.5,事件C 为屏幕需求尺寸在[)7.0,7.5,若以调查频率作为概率,则()0.35P B =,()0.1P C =,()()()0.035P BC P B P C ==, 所以两人分别需求屏幕尺寸在[)6.0,6.5和[)7.0,7.5的概率为0.035．

【点睛】本题主要考查了概率与统计的综合内容,包括频率分布直方图以及抽样与古典概型的方法等.属于基础题型.

22.已知函数()1

x

f x e a

=

-，函数()y g x =为函数()y f x =的反函数． （1）求函数()y g x =的解析式；

（2）若方程()()ln 324g x a x a =-+-????恰有一个实根，求实数a 的取值范围；

（3）设0a >，若对任意1,14b ??

∈????

，当[]12,,1x x b b ∈+时，满足()()12ln 4g x g x -≤，求实数a 的取值范围．

【答案】（1）()1ln g x a x ??=+ ???（2）{}31,2,32?? ???

U （3）4,15??+∞???? 【解析】 【分析】 (1)令1

y x e a

=

-求解即可. (2)化简等式得()()2

3410a x a x -+--=,再分情况讨论即可.

(3)根据()()12ln 4g x g x -≤分析()y g x =的单调性与最值,利用二次函数的取值范围求解即可. 【详解】解：（1）因为()y g x =为函数()y f x =的反函数, 故1

y

x e a =

-, 得1ln y a x ??=+

???

, 所以()1ln g x a x ??

=+

???

； （2）由()1ln ln 324a a x a x ??+=-+-??

?????

得()()23410a x a x -+--=； 当3a =时,1x =-,经检验,满足题意； 当2a =时,121x x ==-,经检验,满足题意； 当2a ≠且3a ≠时,11

3

x a =

-,21x =-,12x x ≠, 若1x 是原方程的解,当且仅当

110a x +>,即32a >, 若2x 是原方程的解,当且仅当

2

1

0a x +>,即1a >, 于是满足题意的31,2a ??∈ ???

．

综上,a 的取值范围为{}31,2,32?? ???

U ．

（3）不妨令121b x x b ≤≤≤+,则

12

11

a a x x +>+, 即函数()1ln g x a x ??

=+

???

在[],1b b +上为减函数； ()

max 1ln g x a b ??

=+ ???

,()min 1ln 1g x a b ??

=+ ?+??

,

因为当[]12,,1x x b b ∈+,满足()()12ln 4g x g x -≤,

故只需11ln ln ln 41a a b b ????+-+≤

? ?+????

, 即()2

33110ab a b ++-≥对任意1,14b ??

∈????

成立．

因为0a >,所以函数()2

33110y ab a b =++-≥在1,14b ??∈????

上单调递增,

14b =

时,y 有最小值()33151

11164164a a a ++-=

-, 由

1510164a -≥,得4

15a ≥, 故a 的取值范围为4,15??

+∞?

???

． 【点睛】本题主要考查了函数零点问题以及根据函数的单调性与最值求解参数的取值范围等问题,需要根据条件分析函数的最值,再根据函数的最值列出对应的表达式,同时注意二次复合函数的取值范围等.属于难题.