2014辽宁高考数学(理)解析版

2014·辽宁卷(理科数学)

1．[2014·辽宁卷] 已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合?U (A ∪B )＝( )

A ．{x |x ≥0}

B ．{x |x ≤1}

C ．{x |0≤x ≤1}

D ．{x |0

1．D [解析] 由题意可知，A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，所以?U (A ∪B )＝{x |0＜x ＜1}． 2．[2014·辽宁卷] 设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2i D ．3－2i

2．A [解析] 由(z －2i)(2－i)＝5，得z －2i ＝5

2－i

，故z ＝2＋3i.

3．、[2014·辽宁卷] 已知a ＝2－13，b ＝log 21

3

，

c ＝log 121

3

，则( )

A ．a >b >c

B ．a >c >b

C ．c >a >b

D ．c >b >a

3．C [解析] 因为0log 121

2

＝1，所以c >a >b .

4．[2014·辽宁卷] 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ?α，则m ⊥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α

4．B [解析] B [解析] 由题可知，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 平行、相交或异面，所以A 错误；若m ⊥α，n ?α，则m ⊥n ，故B 正确；若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ?α，故C 错误．若m ∥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊥α或n 与a 相交，故D 错误．

5．、[2014·辽宁卷] 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0，命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，则下列命题中真命题是( )

A ．p ∨q

B ．p ∧q

C ．(綈p )∧(綈q )

D ．p ∨(綈q ) 5．A [解析] 由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故p ∨q 为真命题．

6．[2014·辽宁卷] 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A ．144 B ．120 C ．72 D ．24

6．D [解析] 这是一个元素不相邻问题，采用插空法，A 33C 3

4＝24. 7．、[2014·辽宁卷] 某几何体三视图如图1-1所示，则该几何体的体积为( )

A ．8－2π

B ．8－π

C ．8－π

D ．8－π

图1-1

7．B [解析] 根据三视图可知，该几何体是正方体减去两个体积相等的圆柱的一部分????占圆柱的14后余下的部分，故该几何体体积为2×2×2－2×14×π×2＝8－π.

8．[2014·辽宁卷] 设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0 D ．a 1d >0

8．C [解析] 令b n ＝2a 1a n ，因为数列{2a 1a n }为递减数列，所以b n ＋1b n ＝2a 1a n ＋1

2a 1a n

＝2a 1(a n ＋1

－a n )＝2a 1d <1，所得a 1d <0.

9．[2014·辽宁卷] 将函数y ＝3sin ?

???2x ＋π

3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对

应的函数( )

A ．在区间????π12，7π

12上单调递减

B ．在区间????π12，7π

12上单调递增

C ．在区间????－π6，π

3上单调递减

D ．在区间???

?－π6，π

3上单调递增

9．B [解析] 由题可知，将函数y ＝3sin ?

???2x ＋π3的图像向右平移π

2个单位长度得到函数

y ＝3sin ????2x －23π的图像，令－π2＋2k π≤2x －23π≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12

＋k π，k ∈Z 时，函数单调递增，即函数y ＝3sin ?

???2x －2

3π的单调递增区间为????π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，可知当k ＝0时，函数在区间???

?π12，7π12上单调递增．

10．[2014·辽宁卷] 已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2

＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )

A.12

B.23

C.34

D.43

10．D [解析] 因为抛物线C ：y 2＝2px 的准线为x ＝－p

2

，且点A (－2，3)在准线上，所

以p ＝4.设直线AB 的方程为x ＋2＝m (y －3)，与抛物线方程y 2＝8x 联立得到y 2－8my ＋24m

＋16＝0，由题易知Δ＝0，解得m ＝－1

2

(舍)或者m ＝2，这时B 点的坐标为(8，8)，而焦点

F 的坐标为(2，0)，故直线BF 的斜率k BF ＝8－08－2＝4

3

.

11．[2014·辽宁卷] 当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )

A ．[－5，－3] B.?

???－6，－9

8 C ．[－6，－2] D ．[－4，－3]

11．C [解析] 当－2≤x <0时，不等式转化为a ≤x 2－4x －3

x 3

，

令f (x )＝x 2－4x －3

x 3

(－2≤x <0)，

则f ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－（x －9）（x ＋1）

x 4

，故f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，

0)上单调递增，此时有a ≤1＋4－3－1

＝－2.当x ＝0时，g (x )恒成立．当0

x 3，

令个g (x )＝x 2－4x －3x 3(0

x 4

＝

－（x －9）（x ＋1）

x 4

，

故g (x )在(0，1]上单调递增，此时有a ≥1－4－3

1

＝－6.

综上，－6≤a ≤－2. 12．、[2014·辽宁卷] 已知定义在[0，1]上的函数f (x )满足： ①f (0)＝f (1)＝0；

②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<1

2

|x －y |.

若对所有x ，y ∈[0，1]，|f (x )－f (y )|

D.18 12．B [解析] 不妨设0≤y

当x －y ≤12时，|f (x )－f (y )|<12|x －y |＝12(x －y )≤1

4.

当x －y >12时，|f (x )－f (y )|＝|f (x )－f (1)－(f (y )－f (0))|≤|f (x )－f (1)|＋|f (y )－f (0)|<1

2

|x －1|＋12|y －0|＝－12(x －y )＋12<14.故k min ＝1

4

.

13．[2014·辽宁卷] 执行如图1-2x ＝9，则输出y ＝________．

13.299 [解析] 当x ＝9时，y ＝5，则|y －x |＝4；当x ＝5时，y ＝113，则|y －x |＝4

3；当x ＝113时，y ＝299，则|y －x |＝49<1.故输出y ＝299. 14．[2014·辽宁卷] 正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1，1)，D (－1，1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图1-3所示．若将—个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是

14.2

3 [解析] 正方形ABCD 的面积S ＝2×2＝4，阴影部分的面积S 1＝2??－1

1(1－x 2)d x ＝2????x －13x 31－1＝8

3，故质点落在阴影区域的概率P ＝8

34＝23

. 15．[2014·辽宁卷] 已知椭圆C ：x 29＋y

24

＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的

焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝______．

15．12 [解析] 取MN 的中点为G ，点G 在椭圆C 上．设点M 关于C 的焦点F 1的对

称点为A ，点M 关于C 的焦点F 2的对称点为B ，则有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝1

2

|BN |，所以|AN |

＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12.

16．、[2014·辽宁卷] 对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |

最大时，3a －4b ＋5

c

的最小值为________．

16．－2 [解析] 由题知2c ＝－(2a ＋b )2＋3(4a 2＋3b 2)．

(4a 2＋3b 2)????1＋13≥(2a ＋b )2?4a 2＋3b 2≥34(2a ＋b )2，即2c ≥5

4(2a ＋b )2， 当且仅当4a 21＝3b

21

3

，即2a ＝3b ＝6λ(同号)时，

|2a ＋b |取得最大值8

5

c ，此时c ＝40λ2.

3a －4b ＋5c ＝18λ2－1λ＝18??

?1λ－42

－2≥－2， 当且仅当a ＝34，b ＝12，c ＝52时，3a －4b ＋5

c

取最小值－2.

17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA →·BC

→

＝2，cos B ＝1

3

，b ＝3.求：

(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．

17．解：(1)由BA →·BC →

＝2得c ·a ·cos B ＝2，

又cos B ＝1

3

，所以ac ＝6.

由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ， 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13. 解?????ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得?????a ＝2，c ＝3或?????a ＝3，c ＝2. 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.

(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－????132＝223

.

由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23·2 23＝ 4 2

9

.

因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，

因此cos C ＝1－sin 2

C ＝1－????4 292＝79

.

所以cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋2 23×4 29＝23

27

.

18．、、[2014·辽宁卷] 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频

率分布直方图，如图1-4

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．

(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；

(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E (X )及方差D (X )．

18．解：(1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天销售量低于50个”．因此

P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P (A 2)＝0.003×50＝0.15，

P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.

(2)X 可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为

P (X ＝0)＝C 03·(1－0.6)3

＝0.064，

P (X ＝1)＝C 13·0.6(1－0.6)2

＝0.288，

P (X ＝2)＝C 23·0.62

(1－0.6)＝0.432，

P (X ＝3)＝C 33·0.63

＝0.216. X 的分布列为

因为X ～B (3，0.6)×0.6×(1－0.6)＝0.72. 19．、[2014·辽宁卷] 如图1-5所示，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F 分别为AC ，DC 的中点．

(1)求证：EF ⊥BC ； (2)求二面角E -BF -C

19．解：(1)证明：方法一，过点E 作EO ⊥BC ，垂足为O ，连接OF .由△ABC ≌△DBC

可证出△EOC ≌△FOC ，所以∠EOC ＝∠FOC ＝π

2

，即FO ⊥BC .又EO ⊥BC ，EO ∩FO ＝O ，

所以BC ⊥平面EFO .又EF ?平面EFO ，所以EF ⊥BC .

方法二，由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线，并将其作为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线，并将其作为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得B (0，0，0)，A (0，－1，3)，D (3，－1，0)，C (0，

2，0)，因而E (0，12，32)，F (32，12，0)，所以EF →

＝(32，0，－32

)，BC →＝(0，2，0)，因此

EF →·BC →

＝0，

从而EF →⊥BC →

，所以EF ⊥BC .

(2)方法一，在图1中，过点O 作OG ⊥BF ，垂足为G ，连接EG .因为平面ABC ⊥平面BDC ，所以EO ⊥面BDC ，又OG ⊥BF ，所以由三垂线定理知EG ⊥BF ，

因此∠EGO 为二面角E -BF -C 的平面角．

在△EOC 中，EO ＝12EC ＝12BC ·cos 30°＝3

2

.

由△BGO ∽△BFC 知，OG ＝BO BC ·FC ＝34，因此tan ∠EGO ＝EO

OG

＝2，从而得sin ∠EGO

＝255，即二面角E -BF -C 的正弦值为2 55

.

方法二，在图2中，平面BFC 的一个法向量为n 1＝(0，0，1)． 设平面BEF 的法向量n 2＝(x ，y ，z )，

又BF →＝(32，12，0)，BE →

＝(0，12，32)，

所以?????n 2·BF →＝0，

n 2·BE →＝0，

得其中一个n 2＝(1，－3，1)．

设二面角E -BF -C 的大小为θ，且由题知θ为锐角，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝???

?

n 1·n 2|n 1||n 2|＝15

，

因此sin θ＝25

＝2 55，即所求二面角正弦值为2 5

5.

20．、[2014·辽宁卷] 圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成—个三角形，

当该三角形面积最小时，切点为P (如图1-6所示)．双曲线C 1：x 2a 2－y 2

b

2＝1过点P 且离心率

为 3.

(1)求C 1的方程；

(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．

20．解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则切线斜率为－x 0

y 0

，切线方程为y －y 0

＝－x 0y 0

(x －x 0)，即x 0x ＋y 0y ＝4，此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为????4x 0，0，????0，4y 0.故其围成的三角形的面积S ＝12·4x 0·4y 0＝8x 0y 0

.由x 20＋y 2

0＝4≥2x 0y 0知，当且仅当x 0＝y 0＝2时x 0y 0有最大值2，此时S 有最小值4，因此点P 的坐标为(2，2)．

由题意知?????2a 2－2b 2＝1，

a 2＋

b 2＝3a 2，

解得a 2

＝1，b 2

＝2，故C 1的方程为x 2

－y 2

2

＝1.

(2)由(1)知C 2的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，由此可设C 2的方程为x 23＋b 21

＋y 2

b 21＝1，

其中b 1>0.

由P (2，2)在C 2上，得23＋b 21＋2

b 21＝1， 解得b 21＝3，

因此C 2的方程为x 26＋y 2

3

＝1.

显然，l 不是直线y ＝0.

设直线l 的方程为x ＝my ＋3，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由?????x ＝my ＋3，x 26＋y 23＝1，

得(m 2＋2)y 2＋2 3my －3＝0. 又y 1，y 2是方程的根，因此

?????y 1＋y 2＝－2 3m

m 2＋2

， ①

y 1y 2＝－3

m 2＋2

，

②

由x 1＝my 1＋3，x 2＝my 2＋3，得

?

????x 1＋x 2＝m （y 1＋y 2）＋2 3＝4 3

m 2＋2

， ③

x 1x 2＝m 2y 1y 2＋3m （y 1＋y 2）＋3＝6－6m

2

m 2＋2

. ④

因为AP →＝(2－x 1，2－y 1)，BP →＝(2－x 2，2－y 2)，由题意知AP →·BP →

＝0， 所以x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0，⑤ 将①②③④代入⑤式整理得 2m 2－2 6m ＋4 6－11＝0，

解得m ＝3 62－1或m ＝－6

2

＋1.

因此直线l 的方程为

x －(3 62－1)y －3＝0或x ＋(62

－1)y －3＝0.

21．、[2014·辽宁卷] 已知函数f (x )＝(cos x －x )(π＋2x )－8

3

(sin x ＋1)，g (x )＝3(x －π)cos x

－4(1＋sin x )ln

????3－2x π.证明：

(1)存在唯一x 0∈????0，π

2，使f (x 0)＝0；

(2)存在唯一x 1∈???

?π

2，π，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1<π.

21．证明：(1)当x ∈?

???0，π2时，f ′(x )＝－(1＋sin x )·(π＋2x )－2x －2

3cos x <0，函数f (x )

在????0，π2上为减函数．又f (0)＝π－83>0，f ????π2＝－π2－163<0，所以存在唯一x 0∈?

???0，π2，

使f (x 0)＝0.

(2)记函数h (x )＝3（x －π）cos x 1＋sin x

－4ln ????3－2πx ，x ∈????π

2，π.

令t ＝π－x ，则当x ∈????π2，π时，t ∈????0，π

2.

记u (t )＝h (π－t )＝3t cos t 1＋sin t －4 ln ????1＋2πt ，则u ′(t )＝3f （t ）（π＋2t ）（1＋sin t ）

. 由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，u ′(t )>0，

当t ∈?

???x 0，π

2时，u ′(t )<0.

故在(0，x 0)上u (t )是增函数，又u (0)＝0，从而可知当t ∈(0，x 0]时，u (t )>0，所以u (t )在(0，x 0]上无零点．

在????x 0，π2上u (t )为减函数，由u (x 0)>0，u ????π2＝－4ln 2<0，知存在唯一t 1∈?

???x 0，π

2，

使u (t 1)＝0，

故存在唯一的t 1∈?

???0，π

2，使u (t 1)＝0.

因此存在唯一的x 1＝π－t 1∈???

?π

2，π，使h (x 1)＝h (π－t 1)＝u (t 1)＝0.

因为当x ∈????π

2，π时，1＋sin x >0，故g (x )＝(1＋sin x )h (x )与h (x )有相同的零点，所

以存在唯一的x 1∈???

?π

2，π，使g (x 1)＝0.

因为x 1＝π－t 1，t 1>x 0，所以x 0＋x 1<π. 22．[2014·辽宁卷] 选修4-1：几何证明选讲 如图1-7所示，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上—点且PG ＝PD ，连

接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .

(1)求证：AB 为圆的直径；

(2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .

22．证明：(1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD . 由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA ，

又因为∠PGD ＝∠EGA ，所以∠DBA ＝∠EGA ， 所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ， 从而∠BDA ＝∠PF A .

又AF ⊥EP ，所以∠PF A ＝90°，所以∠BDA ＝90°，故AB 为圆的直径． (2)连接BC ，DC .

由于AB 是直径，故∠BDA 在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而得Rt △BDA ≌Rt △ACB ， 于是∠DAB ＝∠CBA .

又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB . 因为AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角，

所以ED 为直径，又由(1)知AB 为圆的直径，所以ED ＝AB . 23．[2014·辽宁卷] 选修4-4：坐标系与参数方程

将圆x 2＋y 2

＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；

(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．

23．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得?

??

??x ＝x 1，

y ＝2y 1，由x 21＋y 21＝1得x 2＋????y 22

＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24

＝1. 故C 的参数方程为?

????x ＝cos t ，

y ＝2sin t (t 为参数)．

(2)由?????x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，

解得?????x ＝1，y ＝0或?????x ＝0，

y ＝2. 不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为????12，1，所求直线的斜率k ＝12

，于是所求直线方程为y －1＝1

2???

?x －12， 化为极坐标方程，并整理得

2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝3

4sin θ－2cos θ

.

24．[2014·辽宁卷] 选修4-5：不等式选讲

设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .

(1)求M ；

(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤1

4

.

24．解：(1)f (x )＝?

????3x －3，x ∈[1，＋∞），

1－x ，x ∈（－∞，1）.

当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤4

3

；

当x <1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x <1.

所以f (x )≤1的解集M ＝???

?

??x 0≤x ≤43.

(2)由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4得16????x －142≤4，解得－14≤x ≤34

，

因此N ＝???

?

??x －14≤x ≤34，

故M ∩N ＝???

?

??x 0≤x ≤34.

当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是

x 2f (x )＋x ·[f (x )]2

＝xf (x )[x ＋f (x )]＝xf (x )＝x (1－x )＝14－????x －122≤14.