2014版广西《复习方略》(数学文)单元评估检测(六)

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单元评估检测(六)

第六章

(120分钟 150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.(2013·崇左模拟)“lgx>lgy”是“>”的( )

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

2.己知a,b∈R且a>b,则下列不等式中成立的是( )

(A)>1 (B)a2>b2

(C)lg(a-b)>0 (D)()a<()b

3.(2013·柳州模拟)不等式≥2的解集为( )

(A)[-1,0)

(B)[-1,+∞)

(C)(-∞,-1]

(D)(-∞,-1]∪(0,+∞)

4.若a>2,b>2,则( )

(A)ab>a+b (B)ab

(C)存在a,b,使得ab=a+b (D)>1

5.(2013·南宁模拟)已知向量a=(x,-1)与向量b=(1,),则不等式a·b≤0的解集为( )

(A){x|x≤-1或x≥1}

(B){x|-1≤x<0或x≥1}

(C){x|x≤-1或0≤x≤1}

(D){x|x≤-1或0

6.设M=+++…+,则( )

(A)M=1 (B)M<1

(C)M>1 (D)M与1大小关系不定

7.(2013·北海模拟)已知a,b,c∈(0,+∞),若<<,则( )

(A)c

(C)a

8.设x,y∈R,a>1,b>1,若a x=b y=3,a+b=2,则+的最大值为( )

(A)2 (B)(C)1 (D)

9.当x∈[-1,2]时,不等式a≥x2-2x-1恒成立,则实数a的取值范围是( )

(A)a≥2 (B)a≥1

(C)a≥0 (D)a≥-2

10.(2013·桂林模拟)函数y=(x>0)的最大值是( )

(A)(B)(C)(D)

11.(2013·玉溪模拟)关于x的不等式≥0的解集为-1≤x<2或x≥3,则点P(a+b,c)位于( )

(A)第一象限(B)第二象限

(C)第三象限(D)第四象限

12.(能力挑战题)已知函数f(x)=lo(x2-ax+3a)在[2,+∞)上是减函数,则实数a 的范围是( )

(A)(-∞,4] (B)(-4,4]

(C)(0,12) (D)(0,4]

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)

13.不等式|2x-1|-|x-2|<0的解集为.

14.(2013·百色模拟)已知点A(a,b)在直线x+2y-1=0上,则2a+4b的最小值为.

15.若不等式|2a-1|≤|x+|对一切非零实数x恒成立,则实数a的取值范围是.

16.(能力挑战题)已知球O1,球O2的半径分别为1,r,体积分别为V1,V2,表面积分别为S1,S2,当r∈(1,+∞)时,的取值范围是.

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)(1)设x≥1,y≥1,证明x+y+≤++xy.

(2)1

18.(12分)解关于x的不等式>0.

19.(12分)(2013·天津模拟)已知函数f(x)=x2+2x+a.

(1)当a=时,求不等式f(x)>1的解集.

(2)若对于任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.

20.(12分)(2012·福建高考)已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].

(1)求m的值.

(2)若a,b,c∈R,且++=m,求证:a+2b+3c≥9.

21.(12分)已知函数f(x)=kx+b(k≠0)的图象与x,y轴分别相交于点

A,B,=2i+2j(i,j分别是与x,y轴正半轴同方向的单位向量),函数g(x)=x2-x+a-2(a∈R).

(1)求实数k,b的值.

(2)若不等式≤1的解集为(-∞,-2)∪[-1,3],求a的值.

22.(12分)(能力挑战题)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点,若f(c)=0,且00.

(1)证明:是f(x)=0的一个根.

(2)试比较与c的大小.

(3)证明:-2

答案解析

1.【解析】选A.lgx>lgy

>,反之不成立,如y=0,x=1.

2.【解析】选D.因为a>b,所以a-b>0,选项A,

>1

?-1>0?>0?b(a-b)>0仅仅根据a-b>0不能判定其符号,因此错误. 选项B,a 2>b 2? (a+b)(a-b)>0,

仅仅根据a-b>0,此符号也不能判定,错误.

选项C,只有a-b>1时,其对数值才大于零,因此不正确.

选项D,底数小于1的指数函数单调递减,因此a>b 时,满足不等式.

3.【解析】选A.≧

≥2,?-2≥0,即≤0,

解得-1≤x<0.

4.【解析】选A.

?ab>2(a+b)-4>a+b. 5.【解析】选D.a ·b =x-,

由x-≤0?≤0?≤0. ?x ≤-1或0

6.【解析】选B.分母全换成210. M=+++…+ =++++…+

(共210项)

<+++…+(共210项)

=1.应选B.

7.【解析】选A.由<<可得+1<+1<+1, 即<<, 又a,b,c ∈(0,+≦), ?<<,

即a+b>b+c>a+c,

故c

8.【解析】选C.因为a x=b y=3,x=log a3,y=log b3,

+=log 3ab≤log3()2=1(当且仅当a=b=时等号成立).

【变式备选】若a>0,b>0,a,b的等差中项是,且α=a+,β=b+,则α+β的最小值为( )

(A)2 (B)3 (C)4 (D)5

【解析】选D.由题意知a+b=1,所以α+β=a++b+=1++=1+1++1+≥5(当且仅当a=b=时等号成立),故选D.

9.【解析】选A.当x∈[-1,2]时,x2-2x-1=(x-1)2-2∈[-2,2].≧a≥x2-2x-1恒成立,?a≥2.

10.【解析】选B.y==≤,当且仅当x=,即x=3时等号成立.

11.【解析】选A.由不等式的解集可知,-1,3是方程(x-a)(x-b)=0的两个根,且c=2,不妨设a=-1,b=3,所以a+b=2,即点P(a+b,c)的坐标为(2,2),位于第一象限,故选A.

12.【思路点拨】利用复合函数的单调性求解,注意真数大于零.

【解析】选 B.≧f(x)=lo(x2-ax+3a)在[2,+≦)上是减函数,?u=x2-ax+3a在

[2,+≦)上为增函数,且在[2,+≦)上恒大于0.

?

?-4

13.【解析】原不等式等价于不等式组

①或②

或③不等式组①无解,

由②得

由③得-1

综上得-1

答案:{x|-1

【一题多解】原不等式等价于(2x-1)2<(x-2)2,

即3x2<3,即x2<1,

?-1

则原不等式的解集为{x|-1

答案:{x|-1

14.【解析】2a+4b=2a+22b≥2=2,当且仅当a=2b=即a=且b=时等号成立. 答案:2

15.【解析】因为|x+|=|x|+≥2,

当且仅当x=〒1时取等号,所以要使不等式恒成立,

则有|2a-1|≤2成立,即-2≤2a-1≤2,

所以解得-≤a≤.

答案:-≤a≤

16.【解析】=

=·=·

=·=[(r+1)+-1],

令f(r)=r+1+,

≧r∈(1,+≦),?r+1∈(2,+≦),

?f(r)在r∈(1,+≦)上是单调增函数,

?f(r)>f(1)=,

?>(-1)=.

答案:(,+≦)

17.【证明】(1)由于x≥1,y≥1,所以

x+y+≤++xy

xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2.

将上式中的右式减左式,得

[y+x+(xy)2]-[xy(x+y)+1]

=[(xy)2-1]-[xy(x+y)-(x+y)]

=(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)

=(xy-1)(xy-x-y+1)

=(xy-1)(x-1)(y-1).

因为x≥1,y≥1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0,从而所要证明的不等式成立.

(2)设log a b=x,log b c=y,由对数的换底公式得

log c a=,log b a=,log c b=,log a c=xy.

于是,所要证明的不等式即为

x+y+≤++xy.

其中x=log a b≥1,y=log b c≥1.

故由(1)知所要证明的不等式成立.

18.【解析】原不等式等价于(ax-1)(x+1)>0.

(1)当a=0时,原不等式为

-(x+1)>0,解得x<-1;

(2)当a>0时,得>0,

解得x<-1或x>.

(3)当a<0时,原不等式可化为

(x-)(x+1)<0.

①若a=-1时,不等式无解;

②若a<-1时,>-1,解得-1

③若-1

综上所述

当a=0时,解集为(-≦,-1);

当a>0时,解集为(-≦,-1)∪(,+≦);

当a=-1时,解集为?;

当a<-1时,解集为(-1,);

当-1

【变式备选】解不等式

(1)(x+4)(x+5)2(2-x)3<0.

(2)≤1.

【解析】(1)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0, 根据穿线法如图

不等式解集为{x∣x>2或x<-4且x≠-5}.

(2)变形为≥0,

根据穿线法如图

不等式解集为

{x|x<或≤x≤1或x>2}.

19.【解析】(1)当a=时,由不等式f(x)>1得x2+2x+>1,即x2+2x->0,

解得:{x|x>-1+或x<-1-}.

(2)若对于任意x∈[1,+≦),f(x)>0恒成立,即不等式x2+2x+a>0在x∈[1,+≦)时恒成立,等价于a>-x2-2x在x∈[1,+≦)时恒成立,

令g(x)=-x2-2x,当x=1时,g(x)max=-3.

?a>-3.

20.【解析】(1)≧f(x+2)=m-|x|≥0,?|x|≤m,

?m≥0,-m≤x≤m.

≧f(x+2)≥0的解集是[-1,1],?m=1.

(2)由(1)知++=1,a,b,c∈R,

?a+2b+3c=(a+2b+3c)(++)

=3++++++

=3+(+)+(+)+(+)

≥3+2+2+2=9.

当且仅当a=2b=3c=3时等号成立.

21.【解析】(1)由题知A(-,0),B(0,b),?=(,b).

由=2i+2j=(2,2),?

?k=1,b=2.

(2)由(1)知f(x)=x+2,

?=≤1,

?≤0.

≧其解集为(-≦,-2)∪[-1,3],

?-1,3是方程x2-2x+a-2=0的两根,

?a-2=-3,?a=-1.

22.【思路点拨】(1)利用根与系数的关系求解. (2)借助反证法求解.(3)利用数形结合法求解. 【解析】(1)≧f(x)图象与x轴有两个不同的交点, ?f(x)=0有两个不等实根x1,x2.

≧f(c)=0,?x1=c是f(x)=0的根.

又≧x 1x2=,?x2=(≠c),

?是f(x)=0的一个根.

(2)假设0,

由00,

知f()>0与f()=0矛盾,?>c.

(3)由f(c)=0,得ac+b+1=0,

?b=-1-ac.

又≧a>0,c>0,?b<-1.

二次函数f(x)的图象的对称轴方程为

x=-=<=x

,

即-<.

又≧a>0,?b>-2,?-2

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