有关圆锥曲线的经典结论04625
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★说明:圆锥曲线我们并未学完,有些内容(如焦半径公式),将此资料发到群里是想让大家在日常学习过程中自我感悟使用,不要过分纠结于此!
有关解析几何的经典结论
一、椭 圆
1.
点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.
2.
PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
3.
以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.
4.
以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=上,则过0P 的椭圆的切线方程是
00221x x y y
a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为
P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y
a b +=.
7. 椭圆22
221x y a b
+= (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆
上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为1
2
2tan 2
F PF S b γ
?=.
8. 椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)的焦半径公式:
10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).
9.
设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长
轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF.
11. AB 是椭圆22
221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,
则2
2OM AB b k k a
?=-,
即0
20
2y a x b K AB
-=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是
22
00002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是
22002222x x y y
x y a b a b
+=+. 二、双曲线
1.
点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.
2.
PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
3.
以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
4.
以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支)
5. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b -=(a >0,b >0)上,则过0P 的双曲
线的切线方程是00221x x y y
a b -=.
6. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)外 ,则过Po 作双
曲线的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是
00221x x y y
a b
-=. 7. 双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >o )的左右焦点分别为F 1,F 2,点
P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=,则双曲线的焦点角形的面积
为1
2
2t 2
F PF S b co γ
?=.
8. 双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >o )的焦半径公式:(1(,0)F c - ,
2(,0)F c
当00(,)M x y 在右支上时,10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时,10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--
9.
设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF.
10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2
为双曲线实轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF.
11. AB 是双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)的不平行于对称轴的弦,
M ),(00y x 为AB 的中点,则0202y a x b K K AB OM =?,即020
2y a x b K AB =。
12. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)内,则被Po 所平
分的中点弦的方程是22
00002222x x y y x y a b a b -=-.
13. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)内,则过Po 的弦
中点的轨迹方程是22002222x x y y
x y a b a b
-=-.
椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论) 椭 圆
1. 椭圆22
221x y a b
+=(a >b >o )的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y
轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是
2222
1x y a b -=. 2. 过椭圆22
221x y a b
+= (a >0, b >0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾
斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点,则直线BC 有定向且
20
20
BC
b x k a y =(常数). 3. 若P 为椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)上异于长轴端点的任一点,F 1,
F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=,则
tan t 22
a c co a c αβ
-=+. 4. 设椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)的两个焦点为F 1、F 2,P (异于长
轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF 1F 2中,记12F PF α∠=,
12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有
sin sin sin c
e a
αβγ==+.
5. 若椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,左
准线为L ,则当0<e 1时,可在椭圆上求一点P ,使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.
6. P 为椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)上任一点,F 1,F 2为二焦点,A 为
椭圆内一定点,则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当
2,,A F P 三点共线时,等号成立.
7. 椭圆22
0022
()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++. 8. 已知椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0),O 为坐标原点,P 、Q 为椭圆上
两动点,且OP OQ ⊥.(1)2222
1111||||OP OQ a b +=+;(2)|OP|2+|OQ|2
的最大值为22224a b a b +;(3)OPQ S ?的最小值是22
22a b a b
+.
9. 过椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)的右焦点F 作直线交该椭圆右支
于M,N 两点,弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ,则
||||2PF e
MN =. 10. 已知椭圆22
221x y a b
+=( a >b >0) ,A 、B 、是椭圆上的两点,
线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则
22220a b a b x a a
---<<.
11. 设P 点是椭圆22
221x y a b
+=( a >b >0)上异于长轴端点的任一
点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=,则(1)2
122||||1cos b PF PF θ
=+.(2)
122tan
2
PF F S b γ
?=.
12. 设A 、B 是椭圆22
221x y a b
+=( a >b >0)的长轴两端点,P 是椭
圆上的一点,PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=,c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1)22222|cos |
||s ab PA a c co αγ=-.(2)
2
tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB
a b S b a
γ?=-. 13. 已知椭圆22
221x y a b
+=( a >b >0)的右准线l 与x 轴相交于点E ,
过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线
l 上,且BC x ⊥轴,则直线AC 经过线段EF 的中点.
14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相
交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点
与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦
半径之比为常数e(离心率).
(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)
17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
双曲线
1. 双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)的两个顶点为
1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1
与A 2P 2交点的轨迹方程是22
221x y a b
+=.
2. 过双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >o )上任一点00(,)A x y 任意作
两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点,则直线BC 有定向且20
20
BC
b x k a y =-(常数).
3. 若P 为双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)右(或左)支上除顶
点外的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=,则
tan t 22c a co c a αβ-=+(或tan t 22
c a co c a βα
-=+). 4. 设双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,P (异
于长轴端点)为双曲线上任意一点,在△PF 1F 2中,记
12F PF α
∠=,
12PF F β
∠=,
12F F P γ
∠=,则有
sin (sin sin )c
e a
αγβ==±-.
5. 若双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、
F
2,左准线为L ,则当1<e 1时,可在双曲线上求一点P ,使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.
6. P 为双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)上任一点,F 1,F 2为二焦
点,A 为双曲线内一定点,则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时,等号成立.
7. 双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)与直线0Ax By C ++=有公共
点的充要条件是22222A a B b C -≤. 8. 已知双曲线22
221x y a b
-=(b >a >0),O 为坐标原点,P 、Q
为双曲线上两动点,且OP OQ ⊥. (1)22
221111||||OP OQ a b +=-;(2)|OP|2+|OQ|2
的最小值为22224a b b a -;(3)OPQ S ?的最小值是22
22a b b a
-.
9. 过双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)的右焦点F 作直线交该双
曲线的右支于M,N 两点,弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ,则
||||2
PF e MN =.
10. 已知双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0),A 、B 是双曲线上的两
点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则
22
0a b x a
+≥或220a b x a +≤-.
11. 设P 点是双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)上异于实轴端点的
任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=,则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2) 122cot 2
PF F S b γ
?=.
12. 设A 、B 是双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)的长轴两端点,P
是双曲线上的一点,PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=,c 、e
分别是双曲线的半焦距离心率,则有
(1)22222|cos |
|||s |
ab PA a c co αγ=-.
(2) 2
tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB
a b S b a
γ?=+. 13. 已知双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)的右准线l 与x 轴相交
于点E ,过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上,且BC x ⊥轴,则直线AC 经过线段EF 的中点.
14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径
的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一
点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端
点的焦半径之比为常数e(离心率).
(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).
17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点
连线段分成定比e.
18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比
例中项.
其他常用公式:
1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦,利用方程的根与系数关系来计算弦长,常用的弦长公式:
212122
1
11AB k x x y y k =+-=+
- 2、直线的一般式方程:任何直线均可写成(A,B 不同
时为0)的形式。
3、知直线横截距,常设其方程为(它不适用于斜率为
0的直线) 与直线
垂直的直线可表示为。
4、两平行线
间的距离为
。
5、若直线与直线
平行
则 (斜率)且
(在
轴上截距) (充
要条件)
6、圆的一般方程:,特别提醒:只有当时,方程才表示圆心为,半径为的圆。二元二次方程
表示圆的充要条件是且且。
7、圆的参数方程:(为参数),其中圆心为,半径为。圆的参数方程的主要应用是三角换元:
;
8、为直径端点的圆方程
切线长:过圆()外一点
所引圆的切线的长为()
9、弦长问题:①圆的弦长的计算:常用弦心距,弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解:;②过两圆、交点的圆(公共弦)系为,当时,方程为两圆公共弦所在直线方程.。
圆锥曲线经典结论总结(教师版)
椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论) 高三数学备课组 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和 A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 2OM AB b k k a ?=-, 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+.
有关圆锥曲线的经典结论(稻谷书屋)
★说明:圆锥曲线我们并未学完,有些内容(如焦半径公式),将此资料发到群里是想让大家在日常学习过程中自我感悟使用,不要过分纠结于此! 有关解析几何的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 2OM AB b k k a ?=-, 即0 20 2y a x b K AB -=。
圆锥曲线常用结论(无需记忆,会推导即可)
椭圆与双曲线--经典结论 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是002 21x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和 A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 2OM AB b k k a ?=-,即0 202y a x b K AB -=。
圆锥曲线的经典结论
有关解析几何的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分12PF F ?在点 P 处的外角. (椭圆的光学性质) 2. PT 平分12PF F ?在点 P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. (中位线) 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. (第二定义) 4. 以焦点半径1PF 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. (第二定义) 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上,则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.(求导或用联立方程组法) 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过0P 作椭圆的两条切线切点为12,P P ,则切点弦12PP 的直线方程是00221x x y y a b += 7. 椭圆22 221x y a b += (0a b >>)的左右焦点分别为12,F F ,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=, 则椭圆的焦点角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=.(余弦定理+面积公式+半角公式) 8. 椭圆22 221x y a b +=(0a b >>)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c ,00(,)M x y ).(第二定义) 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交,P Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交 相应于焦点F 的椭圆准线于,M N 两点,则MF NF ⊥. 证明:x ky c =+, ()22222222222 22120x y a b k y b cky b c a b a b +=?++++=22222222222 2,P O P O b c a b b cky y y y y a b k a b k --=+=++, 222222222222 2,P O P O a c a b k a c x x x x a b k a b k -=+=++,
高考中圆锥曲线常见结论
高考中解析几何有用的经典结论 一、椭 圆 1. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 2. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 3. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 4. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 5. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和 A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 6. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 2OM AB b k k a ?=-, 即020 2y a x b K AB -=。 7. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 8. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002222x x y y x y a b a b +=+. 二、双曲线 1. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)上,则过0P 的双曲线的切线方程 是00221x x y y a b -=. 2. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)外 ,则过Po 作双曲线的两条切线
圆锥曲线经典性质总结证明
圆锥曲线的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.(椭圆的光学性质) 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆,除去长轴的两个端点.(中位线) 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直 径的圆内切.(第二定义) 4. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.(求 导) 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=.(结合4) 6. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=.(余弦定理+面积公式+ 半角公式) 7. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).(第二定义) 8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF
9. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. MN 其实就在准线上,下面证明他在准线上 根据第8条,证毕 10. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 2OM AB b k k a ?=-, 即0 20 2y a x b K AB -=。(点差法)
高考数学圆锥曲线的经典性质50条(优选.)
最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论) 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是002 21x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的 直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ ∠=,则 椭圆的焦点角形的面积为1 2 2tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点 M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF.
有关圆锥曲线的经典结论
一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是 00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为 P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆 上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为 122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆 长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的
圆锥曲线常用结论
圆锥曲线常用结论(自己选择) 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和 A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 2OM AB b k k a ?=-, 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=,则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=,则过Po 的弦中点的轨迹方程是
圆锥曲线经典性质总结及证明
Gandongle 椭圆双曲线的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.(椭圆的光学性质) 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆,除去长轴的两个端点.(中位线) 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直 径的圆内切.(第二定义) 4. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.(求导) 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=.(结合4) 6. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=.(余弦定理+面积公式+ 半角公式) 7. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).(第二定义) 8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF
圆锥曲线的经典模型
圆锥曲线中的定点定值问题的四种经典模型 定点问题是常见的出题形式,化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法,是设出直线方程,通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式,代入直线方程即可。技巧在于:设哪一条直线?如何转化题目条件?圆锥曲线是一种很有趣的载体,自身存在很多性质,这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论,那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型: 模型一:“手电筒”模型 例题、已知椭圆C :13 42 2=+y x 若直线m kx y l +=:与椭圆C 相交于A ,B 两 点(A ,B 不是左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标。 解:设1122(,),(,)A x y B x y ,由22 3412 y kx m x y =+?? +=?得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=, 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->,22340k m +-> 2121222 84(3) ,3434mk m x x x x k k -+=-?=++ 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-, 1212122 y y x x ∴ ?=---,1212122()40y y x x x x +-++=, 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++, 整理得:2271640m mk k ++=,解得:1222,7 k m k m =-=- ,且满足22340k m +-> 当2m k =-时,:(2)l y k x =-,直线过定点(2,0),与已知矛盾; 当27k m =- 时,2 :()7 l y k x =-,直线过定点2(,0)7
有关圆锥曲线的经典结论
有关圆锥曲线的经典结论 案场各岗位服务流程 销售大厅服务岗: 1、销售大厅服务岗岗位职责: 1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品; 2)保持销售区域台面整洁; 3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等; 4)收集客户意见、建议及现场问题点; 2、销售大厅服务岗工作及服务流程 阶段工作及服务流程 班前阶段1)自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域 2)检查使用工具及销售大厅物资情况,异常情况及时登记并报告上级。 班中工作程序服务 流程 行为 规范 迎接 指引 递阅 资料 上饮品 (糕点) 添加茶水 工作 要求 1)眼神关注客人,当客人距3米距离 时,应主动跨出自己的位置迎宾,然后 侯客迎询问客户送客户
注意事项 15度鞠躬微笑问候:“您好!欢迎光临!”2)在客人前方1-2米距离领位,指引请客人向休息区,在客人入座后问客人对座位是否满意:“您好!请问坐这儿可以吗?”得到同意后为客人拉椅入座“好的,请入座!” 3)若客人无置业顾问陪同,可询问:请问您有专属的置业顾问吗?,为客人取阅项目资料,并礼貌的告知请客人稍等,置业顾问会很快过来介绍,同时请置业顾问关注该客人; 4)问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好,这里是XX销售中心,这边请”5)问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好 6)关注客人物品,如物品较多,则主动询问是否需要帮助(如拾到物品须两名人员在场方能打开,提示客人注意贵重物品); 7)在满座位的情况下,须先向客人致歉,在请其到沙盘区进行观摩稍作等
待; 阶段工作及服务流程 班中工作程序工作 要求 注意 事项 饮料(糕点服务) 1)在所有饮料(糕点)服务中必须使用 托盘; 2)所有饮料服务均已“对不起,打扰一 下,请问您需要什么饮品”为起始; 3)服务方向:从客人的右面服务; 4)当客人的饮料杯中只剩三分之一时, 必须询问客人是否需要再添一杯,在二 次服务中特别注意瓶口绝对不可以与 客人使用的杯子接触; 5)在客人再次需要饮料时必须更换杯 子; 下班程 序1)检查使用的工具及销售案场物资情况,异常情况及时记录并报告上级领导; 2)填写物资领用申请表并整理客户意见;3)参加班后总结会; 4)积极配合销售人员的接待工作,如果下班时间已经到,必须待客人离开后下班;
圆锥曲线的经典结论
收集整理:宋氏资料 2016-1-1 有关解析几何的经典神级结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分12PF F ?在点P 处的外角. (椭圆的光学性质) 2. PT 平分12PF F ?在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆, 除去长轴的两个端点. (中位线) 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. (第二定义) 4. 以焦点半径1PF 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. (第二定义) 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.(求导或用联立 方程组法) 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过0P 作椭圆的两条切线切点为12,P P ,则切点弦12P P 的直线方程是00221x x y y a b += 7. 椭圆22 221x y a b += (0a b >>)的左右焦点分别为12,F F ,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=, 则椭圆的焦点角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=.(余弦定理+面积公式+半角公式) 8. 椭圆22 221x y a b +=(0a b >>)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c ,00(,)M x y ).(第二定义) 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交,P Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交 相应于焦点F 的椭圆准线于,M N 两点,则MF NF ⊥. 证明:x ky c =+,
圆锥曲线知识点总结(经典版)复习过程
圆锥曲线的方程与性质 1.椭圆 (1)椭圆概念 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a (大于21||F F )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点,则有21||||2MF MF a +=。 椭圆的标准方程为:22221x y a b +=(0a b >>)(焦点在x 轴上)或122 22=+b x a y (0a b >>)(焦点在y 轴 上)。 注:①以上方程中,a b 的大小0a b >>,其中2 2 2 b a c =-; ②在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件,要分清焦点的位置,只要看2 x 和2y 的分 母的大小。例如椭圆 22 1x y m n +=(0m >,0n >,m n ≠)当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆;当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。 (2)椭圆的性质 ①范围:由标准方程22 221x y a b +=知||x a ≤,||y b ≤,说明椭圆位于直线x a =±,y b =±所围成的矩形里; ②对称性:在曲线方程里,若以y -代替y 方程不变,所以若点(,)x y 在曲线上时,点(,)x y -也在曲线上,所以曲线关于x 轴对称,同理,以x -代替x 方程不变,则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ,y -代替y 方程也不变,则曲线关于原点对称。 所以,椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心; ③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中,令 0x =,得y b =±,则1(0,)B b -,2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±,即1(,0)A a -, 2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。 所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时,线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为2a 和2b ,a 和b 分别叫做椭圆的长
圆锥曲线的经典结论
有关解析几何的经典结论 22 2 2 2 2 a c -a b k +_ 2a c 2*」2] 2 ,X P $ —, 2 2 1. 点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角. (椭圆的光学性质) 2. PT平分.PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 圆,除去长轴的两个端点.(中位线) 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.(第二定义) 以焦点半径PF i为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.(第二定义) 2 2 若P o(X o, V o)在椭圆务?爲=1上,则过F0的椭圆的切线方程是暂?与二1.(求导或用联立 a b a b 方程组法) 2 2 若P°(X0,V0)在椭圆务+告=1外,则过P。作椭圆的两条切线切点为P,P2,则切点弦RP2的a b 直线方程是弩?辔=1 a2 b2 2 2 X V 椭圆r 2=1 (a b 0)的左右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上任意一点? F1PF2V',则 a b 椭圆的焦点角形的面积为S F PF=b2tan?.(余弦定理+面积公式+半角公式) 2 2 椭圆X2=1(a b 0)的焦半径公式: a b |MF1〔 = a ex , | MF21二a -ex g(F/-c,0), F2(c,0),M(X o,y。)).(第二 定义) 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P,Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别 交相应于焦点F的椭圆准线于M,N两点,则MF _ NF . 证明:x 二ky ? c, 2 2 务占二仁a2 b2k2 y2 2b2cky b2c2 a2b2 a b ,2 2 2, 2 b c -a b V P V O =a2 b2k ,V P - 2b2cky a2 b2k2 X p X o
2017年圆锥曲线常用结论(无需记忆-会推导即可)
椭圆、双曲线、抛物线--经典结论 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和 A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 2OM AB b k k a ?=-,即0 202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是
有关圆锥曲线地经典结论
★说明:圆锥曲线我们并未学完,有些容(如焦半径公式),将此资料发到群里是想让大家在日常学习过程中自我感悟使用,不要过分纠结于此! 有关解析几何的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 2OM AB b k k a ?=-, 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=,则被Po 所平分的中点弦的方程是
圆锥曲线的十大经典结论二
圆锥曲线十大经典结论二 轨迹类 一、关于22 a b - (1)(垂径定理):椭圆12222=+b y a x 相交弦AB 的斜率与其中点M 到原点的斜率之积是定值22 a b -,即22a b k k MO AB -=? (2)椭圆12222=+b y a x 上任意一点P 到过椭圆的中心的弦的两个端点B A ,的斜率之积为定值22 a b -,即22a b k k PB PA -=? (3)双曲线122 22=-b y a x 上任意一点P 到过双曲线的中心的弦的两个端点B A ,的斜率之积为定值22a b ,即22 a b k k PB PA =? 推导过程:
例1、(江苏模拟)已知21,A A 分别为椭圆C :)0(122 22>>=+b a b y a x 的左右顶点,椭圆C 上异于21,A A 的点P 恒满足9 421-=?PA PA k k ,则椭圆C 的离心率为_______________________ 例2、(上海模拟)若双曲线)0(222>=-a a y x 的左、右顶点分别为B A ,。点P 是第一象限内双曲线上的点,若直线PB PA ,的倾斜角分别为βα,且αβm =(1>m ),那么α的值为_____________ 六、关于122=+b y y a x x οο (1)过椭圆12222=+b y a x 上一点),(οοy x P 作椭圆的切线,切线方程为122=+b y y a x x οο (2)过椭圆122 22=+b y a x 外一点),(οοy x P 作椭圆的两条切线,B A ,B A ,为切点,则过切点B A ,的切点线方程为122=+b y y a x x οο (3)过点),(οοy x P 作椭圆122 22=+b y a x 的相交线PAB ,其中B A ,为交点,对于AB 上动点Q (异于P )满足 )1,0(≠>==λλλQB AQ PB AP ,则点Q 在直线122=+b y y a x x οο上。
有关圆锥曲线的经典结论(精选课件)
有关圆锥曲线的经典结论 ★说明:圆锥曲线我们并未学完,有些内容(如焦半径公式),将此资料发到群里是想让大家在日常学习过程中自我感悟使用,不要过分纠结于此! 有关解析几何的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线P T上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆,除去长轴的两个端点....文档交流 仅供参考... 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离。 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则 切点弦P1P2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a〉b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥N F....文档交流 仅供参考... 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q , A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P和 A 2Q 交于点M,A 2P和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF 。...文档交流 仅供参考... 11. A B是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M),(00y x 为AB 的中点,则 2 2OM AB b k k a ?=-, 即0 20 2y a x b K AB -=.