无穷小阶的比较

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1.6 无穷小阶的比较

1 无穷小的比较

设α,β是自变量的同一变化过程中的两个无穷小.。

(1) 如果0lim

0x x βα

→=，则称β是比α高阶的无穷小，记为()o βα=；也说α是比β低阶的无穷小。 (2) 如果0lim x x c βα

→=(c 是不为0的常数)，则称β是与α同阶的无穷小。 (3) 如果0lim 1x x βα

→=，则称β与α是等价无穷小，记作βα:或αβ:。 (4) 如果0

lim k x x c βα→=(0k >，c 是不为0的常数)，则称β是关于α的k 阶无穷小。例如 0x →时，2

3()x o x =，sin x x :，1cos x -与2x 是同阶无穷小，同时1cos x - 也是关于x 的二阶无穷小。

注意并不是所有的无穷小都能进行比较，x →∞时，1()f x x =，sin ()x g x x

=都是无穷小。由于()1lim lim ()sin x x f x g x x →∞→∞=和()lim lim sin ()x x g x x f x →∞→∞=都不存在，因此，1()f x x =与sin ()x g x x

=不能进行阶的比较。例1 0x →时，比较1cos x -与2x 的阶。

解 2

222000022sin 2sin sin 1cos 111222lim lim lim lim 12224()22x x x x x x x x x x x x →→→→?? ?-====?= ? ??? 。 0x →时，1cos x -与212

x 是等价无穷小。定理 1.5.1 设α,β是自变量的同一变化过程中的两个无穷小，则βα:()o βαα?=+。

例如 0x →时，211cos 2x x -:

，故 2211cos ()2

x x o x -=+，即221cos 1()2x x o x =-+，于是在0x =的小邻域内可以用2112

x -近似代替cos x 。定理1.5.2 设,,,ααββ''都是自变量同一变化过程中的无穷小，且αα':，ββ':，

43 / 5 若lim

βα''存在，则lim βαlim βα'='

。证明 lim lim lim lim lim lim βββαββαβαβααβααα'''''??=??=??= ?'''''??。等价无穷小代换是计算极限的一个重要方法。

例2 求3

0sin 5lim (sin 2)x x x →。解 0x →时，sin 2~2x x ；

又 0x →时350x →，所以33

sin 5~5x x 。因此 333300sin 555lim lim (sin 2)(2)8

x x x x x x →→==。例3 求极限30tan sin lim

x x x x

→-。解 1sin (1cos )tan sin sin (1)cos cos x x x x x x x

--=-=。 0x →时，sin ~x x ，211cos 2x x -:，所以 23330001tan sin sin (1cos )12lim lim lim cos cos 2

x x x x x x x x x x x x x x →→→?--==。

若分子、分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个作等价无穷小代换，而

不会改变原式的极限。

2 0x →时几个常见的无穷小 0x →时，sin x x :,tan x x :，211cos 2

x x -:，arcsin x x :，arctan x x :ln(1)x x +:， 1ln x a x a -:(0a >1a ≠)，(1)1a x ax +-:(0a >)。例4 证明0x →时，sinh 1x

x e -:。证明 sinh (1)(1)12(1)2(1)

x x x x x x x x e e e e e e e ------==--- 1122(1)

x x e e --=-- 0x →时，1x e x -:，因此，1x e x ---:，故

0011lim lim 2(1)22

x x x x e x e x -→→--==--

44 / 5 于是 0sinh 11lim ()1122

x x x x e →=--=- 即 0x →时，sinh 1x x e -:。

作业: P45 1,2.

第七节无穷小量的比较

第七节无穷小的比较教学目的：使学生掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。教学重点：用等价无穷小求极限教学过程：一、讲授新课：在第三讲中我们讨论了无穷小的和、差、积的情况，对于其商会出现不同的情况，例如：???????>∞<==?=-→→n m n m n m b a b a x x b x a m n x m n x 0lim lim 00000000 （00,b a 为常数，n m ,为自然数）可见对于n m ,取不同数时，n x a 0与m x b 0趋于0的速度不一样，为此有必要对无穷小进行比较或分类：定义：设α与β为x 在同一变化过程中的两个无穷小， (i) 若0lim =α β，就说β是比α高阶的无穷小，记为)(αβo =； (ii) 若∞=α βlim ，，就说β是比α低阶的无穷小； (iii) 若0lim ≠=C α β，，就说β是比α同阶的无穷小； (iv) 若1lim =α β，就说β与α是等价无穷小，记为βα~。【例1】当0→x 时，2x 是x 的高阶无穷小，即)(2x o x =；反之x 是2x 的低阶无穷小；2x 与x cos 1-是同阶无穷小；x 与x sin 是等价无穷小，即x x sin ~。注 1：高阶无穷小不具有等价代换性，即：)(),(22x o x x o x ==，但)()(x o x o ≠，因为)(?o 不是一个量，而是高阶无穷小的记号； 2：显然(iv)是(iii)的特殊情况； 3：等价无穷小具有传递性：即γαγββα~~,~?；

4：未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当0→x 时，x x 1sin 与2x 既非同阶，又无高低阶可比较，因为2 01sin lim x x x x →不存在； 5：对于无穷大量也可作类似的比较、分类； 6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有：定理：若βαβα'',,,均为x 的同一变化过程中的无穷小，且ββαα''~,~，及?' 'αβlim ，那么αβαβ '' =?lim lim 。【例2】求x x x 20sin cos 1lim -→。解：因为当0→x 时，x x ~sin 所以 21cos 1lim sin cos 1lim 2020=- =-→→x x x x x x 。【例3】求x x x x 22arcsin lim 20+→ 解：因为当0→x 时，x x 2~2arcsin ，所以原式122 22 lim 22lim 020==+=+=→→x x x x x x 。 7：在目前，常用当0→x 时，等价无穷小有： 221 ~cos 1,~arctan ,~arcsin ,~tan ,~sin x x x x x x x x x x -； 8：用等价无穷小代换适用于乘、除，对于加、减须谨慎！二、课堂练习：三、布置作业：

高数无穷小比较的教案

第13、14、15、16课时：【教学目的】 1、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限； 2、熟记一些常见的等价无穷小； 3、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型； 4、了解连续函数的性质与初等函数的连续性。【教学重点】 1、常见的等价无穷小的推导； 2、等价无穷小求极限； 3、函数连续性的概念（含左连续与右连续）及函数间断点的类型。【教学难点】判断间断点的类型。 §1. 7 无穷小的比较 1.定义：（1）如果0lim =α β，就说β是比α高阶的无穷小，记作)(αβ =；（2）如果∞=α βlim ，就说β是比α低阶的无穷小，（3）如果0lim ≠=c α β，就说β是比α同阶的无穷小，（4）如果0,0lim >≠=k c k α β，就说β是关于α的k 阶的无穷小，（5）如果1lim =αβ，就说β与α是等价的无穷小，记作βα~ 这些中重要的是等价无穷小，结合例题要让学生特别熟练的记住一些常见的等价无穷小。例1.证明：当0→x 时，x n x n 1~ 1+ 2.定理1.β与α是等价无穷小的充分必要条件为)(ααβ += 例2.因为当0→x 时，x x ~sin ，x x ~tan ，x x ~arcsin ，22 1~cos 1x x -，所以当0→x 时有)(s i n x x x +=，)(tan x x x +=，)(arcsin x x x +=，)(2 1cos 122x x x +=- 定理2 设αα'~，ββ'~，且αβ' 'lim 存在，则 αβαβ' '=lim lim

例3求x x x 3tan 2tan lim 0→，例4求x x x x 3sin lim 30+→，例5求1cos 1)1(lim 3 120--+→x x x 注：求极限过程中，一个无穷小量可以用与其等价的无穷小量代替，但只能在因式情况下使用，和、差情况不能用。教学小结与学法建议学完本节课要理解无穷小比较的定义，要牢记课上总结的常见等价无穷小，等价无穷小替换时求极限的一种重要方法，做题时要注意正确的替换方法，在加减法中千万不能用等价无穷小替换，要结合例题和习题掌握牢固和熟练。师生活动设计P59：1，2，3，4（1）（2）作业：P59：4（3）（4）

无穷小与无穷大教学设计

陕西国际商贸学院教学设计课程名称：经济应用数学.A 授课教师：_____________ 授课班级：_____________ 基础课部大学数学教研室 2017至2018学年第 1 学期

课题：无穷小与无穷大课程：经济应用数学A教学对象：课时：2课时任课教师：教材：《高等数学（经管类）》吴玉梅，古佳，康敏，科学出版社一、教材分析选用的是《高等数学（经管类）》，教材，教材适用于经济，金融和管理类的学生。本节课的主要介绍的是无穷小与无穷大，从无穷小与无穷大的定义到运算性质，让学生对无穷小与无穷大有一个整体的认识，之后对无穷小的比较做进一步学习。 1、以教材作为出发点，依据《课程标准》，引导学生体会、参与科学探究过程。首先复习数列的极限函数的极限，通过对极限概念的进一步分析和总结，让学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过多次的检验，得出正确的结论。学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践能力等方面的发展。2、用标准的数学语言得出结论，使学生感受科学的严谨，启迪学习态度和方法，不仅要保证数学知识的完整性，也要提升学生运用数学的思想和应用数学知识解决实际问题的方法。二、教学目标与内容 1.教学目标知识与技能通过对本节的学习，理解无穷小与无穷大的概念及它们的关系，掌握无穷小的运算性质，熟记常用的等价无穷小量，会用等价无穷小替换定理求极限。过程与方法通过对本节的学习，使同学理解无限与有限的相对性，学会在无限的范围考虑问题，在此过程中，要培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，培养学生提出、分析、理解问题的能力，进而发展整合所学知识解决实际问题的能力。情感态度与价值观通过对本节的学习，使同学理解无限与有限的相对性，学会在无限的范围考虑问题让学生体验数学在实际生活中的运用，激发学生自主学习的兴趣，也培养了学生的创新意识和探索精神。 2.教学重难点教学重点： 1.无穷小与无穷大的定义 2.无穷小的运算性质 3.无穷小的比较

试比较和中哪一个是高阶无穷小量

习题2-3 9. 试比较)(x α和)(x β中哪一个是高阶无穷小量? (1) x x x 10)(3+=α, 4)(x x =β, 当0→x 时; 解: 010 lim 10lim )()(lim 23 03400=+=+=→→→x x x x x x x x x x αβ，所以)(x β是)(x α的高阶无穷小量. （4）() x α=1()1x x β=-, 当x →+∞时; 解: ()lim lim lim (1 ()x x x x x αβ→+∞→+∞ ===-∞，所以)(x β是)(x α的高阶无穷小量. 10．当0→x 时求下列无穷小量关于x 的阶：（1）36x x +；解：36333(1)x x x x x +=+ ，所以36x x +关于x 的阶为3. （3 x = ，所以x x 的阶为1. 11. 用等价无穷小量替代法计算下列极限: (1) x x x x 7tan 5sin lim 2 0+→; 解: 7 575lim )775sin (lim 75sin lim 7tan 5sin lim 002020==+=+=+→→→→x x x x x x x x x x x x x x x . 习题2-4 3.指出下列函数的间断点并说明其类型.若是可去间断点, 则补充定义函数值后使它连续. (7) 2 31)(22+--=x x x x f ; 解: 1=x 是)(x f 的可去间断点，2=x 是)(x f 的第二类间断点. 因为2) 2()1(lim )1)(2()1)(1(lim )(lim 111-=-+=---+=→→→x x x x x x x f x x x . 1=x 是)(x f 的可去间断点, 定

无穷大与无穷小,极限的四则运算

第 4 次课 2 学时

§1.5 无穷小与无穷大一、无穷小若)(x f 当0x x →（或x →∞）时的极限为零，就称)(x f 为当0x x →（或x →∞）时的无穷小，即有定义1：对,0>?ε若)0(0>>?X δ，使得当00()x x x X δ<-<>时，有ε<)(x f 成立，就称)(x f 为当0()x x x →→∞时的无穷小，记为0 lim ()0(lim ()0)x x x f x f x →→∞ ==，。注⑴：除上两种之外，还有0,0,,00+→-→+∞→-∞→x x x x x x 的情形。 ⑵：无穷小不是一个数，而是一个特殊的函数（极限为0），不要将其与一个绝对值非常小的数混淆，因为任一常数不可能任意地小，除非是0，即0是唯一可作为无穷小的常数。【例1】因为0422)42(lim 2 =-?=-→x x ，所以42-x 当2→x 时为无穷小；同理：0sin lim =∞→x x x ，所以 x x sin 当∞→x 时为无穷小，定理1：当自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中，（i ）具有极限的函数等于其极限值与一个无穷小之和，即：A 为)(x f 的极限()()0(),0,()f x A x x x x x αα?=+→→→∞其中或。（ii ）若一函数可表示为一常数与无穷小之和，那么该常数就是其极限。 ()()()()()0 0000lim (),0,0,(). (),)().().(),()0())lim (). . x x x x f x A x x f x A f x A x x x f x A f x A x f x A x x x x f x A x x x f x A εδδεααεαααααεδ→→=?>?>-<-<=-→=-<→=+=+→→-=<-<=0证明：若则对使得当 0<时有令x 显然当时，（故当x x 时,x 为无穷小，且反之，设，则可使（在0<时成立，故二、无穷大若当0x x →或∞→x 时∞→)(x f ，就称)(x f 为当0x x →或∞→x 时的无穷大。定义2：若对)0(0,0>>?>?X M δ，使得当)(00X x x x ><-<δ时，有 M x f >)(，就称 ) (x f 当 ) (0∞→→x x x 时的无穷大，记作:))(lim ()(lim 0 ∞=∞=∞ →→x f x f x x x 。注⑴：同理还有+∞→-∞→)(,)(x f x f 时的定义。 ⑵：无穷大也不是一个数，不要将其与非常大的数混淆。

无穷小与无穷大

1.4 无穷小与无穷大 1.4.1 无穷小 1．无穷小量的定义定义：如果x → x 0 （或x → ∞ ）时, 函数f (x ) 的极限为零 ,那么把f (x ) 叫做当x → x 0（或x → ∞ ）时的无穷小量，简称无穷小。例如：因为 0)1(lim 1 =-→x x ，所以函数x-1是x →1时的无穷小。因为 01 lim =∞ →x x ，所以函数x 1是当x →1时的无穷小。因为 011lim =--∞ →x x ，所以函数x -11 是当x →－∞时的无穷小。以零为极限的数列｛x n ｝，称为当n →∞时的无穷小， n 1，n 3 2 都是n →∞时的无穷小。注：⑴不能笼统的说某函数是无穷小，说一个函数f(x)是无穷小，必须指明自变量的变化趋向。 ⑵不要把绝对值很小的常数说成是无穷小，因为这个常数在x →x 0（或x →∞）时，极限仍为常数本身，并不是零。 ⑶常数中只有零可以看作是无穷小，因为零在x →x 0（或x →∞）时，极限是零。 2.无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小有以下性质： ⑴有限个无穷小的代数和仍是无穷小（无穷多个无穷小之和不一定是无穷小）。 ⑵有限个无穷小的乘积仍是无穷小。 ⑶有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。（常数与无穷小的乘积仍是无穷小）。 ⑷无穷小除以具有非零极限的函数所得的商仍为无穷小。例1．求 x x x sin lim ∞ → 解：∵1sin ≤x ，是有界函数，而 01 lim =∞ →x x ∵有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。

∴ x x x sin lim ∞ →＝0 3．函数极限与无穷小的关系定理：具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是该函数的极限。 4．无穷小的比较例：当x →0时，x, 3x ， x 2, sinx, x x 1 sin 2 都是无穷小。观察各极限： 032 lim =→x x x x 2比3x 要快得多 1sin lim =→x x x sinx 与x 大致相同 ∞=?=→→x x x x x x x sin 1sin lim lim 020 sinx 比x 2慢的多 x x x x x x 1sin 1 sin lim lim 220 →→= 不存在不可比极限不同，反映了无穷小趋于0的“速度”是多样的。得到以下结论：设α和β都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小 ⑴如果αβlim ＝0，则称β是比α高阶的无穷小 ⑵如果αβ lim ＝∞，则称β是比α低阶的无穷小 ⑶如果αβ lim ＝k （k ≠0），则称β与α是同阶的无穷小 ⑷如果α β lim ＝1，则称β与α是等价无穷小，记为α～β。例2．比较当x →0时，无穷小 x x ---111 与x 2阶数的高低。

无穷小量与无穷大量的比较

§5 无穷小量与无穷大量的比较先看数列的情形．设,n n x y 是无穷小量，即：lim n →∞ n x ＝0，lim n →∞ n y ＝0．考虑n n n y x ∞→lim 可能出现各种情形： 0lim ≠=∞→c y x n n n ， n c x n =，n y ＝1n ； 0lim =∞→n n n y x ， n x ＝21 n ，n y ＝1n ； ∞=∞→n n n y x l i m ， n x n 1=，21 n y n = n n n y x ∞→lim 不存在 n n n y x ∞→lim 是有界量，n x ＝(1)n n -，n y ＝1 n ， n n n y x ∞→lim 是无界量，但非无穷大，n x ＝ [1(1)]n n +-，n y ＝21 n ，这时 n n x y ＝[1(1)]n n +- 可见，有些无穷小量可以比较，但有些不能。定义3.10 设l i m n →∞ n x ＝0，lim n →∞ n y ＝0． (1)若存在A >0，B >0及正整数N ，使得当n N >时，有 0

n x 与n y 是同阶无穷小量?若存在A >0，B >0及正整数N ，使得当n N >时，有 0 ?ε，N ?，当N n >时，n n y x ε<|| 这表明n x 趋于0的速度比n y 快得多。 n x 与n y 为等价无穷小量?n x ～n y ?lim n →∞ n n x y ＝1 ? n n n y x α=-1，其中0l i m =∞→n n α ?n n n n y y x α+= ?)(n n n n n y o y y x ==-α，这表明：1、n 充分大时，n x 于n y 几乎相等。 2、两个等价无穷小量之差是比其自身更高阶的无穷小量还要引进一个记号： n x ＝()n O y ? 如果 n n x y 是有界的，即||n n x y ≤M )1(O x n = ? 如果M x n ≤||