2024学年云南省民族大学附属中学高三考前热身数学试卷含解析

2024年高考数学模拟试卷

注意事项:

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ）

A ．15︒

B ．30︒

C ．45︒

D ．60︒ 2．已知复数21i z i =-，则z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．i - C ．1 D ．i

3．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面积为（ ）

A ．2

B ．5

C ．13

D ．22

4．设命题p:n ∃>1,n 2>2n ,则⌝p 为（ ）

A ．21,2n n n ∀>>

B ．21,2n n n ∃≤≤

C ．21,2n n n ∀>≤

D ．21,2n n n ∃>≤ 5．若22n x x ⎛⎫+ ⎪⎝

⎭的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数n 的值为（ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．4

6．设实数

满足条件则的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

7．在边长为1的等边三角形ABC 中，点E 是AC 中点，点F 是BE 中点，则AF AB ⋅=（ ）

A ．54

B ．34

C ．58

D ．38 8．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且//AB CD ，若正方体的六个面所在的平面与直线C

E E

F ，相交的平面个数分别记为m n ，，则下列结论正确的是（ ）

A ．m n =

B ．2m n =+

C ．m n <

D ．8m n +<

9．已知△ABC 中，22BC BA BC =⋅=-，

．点P 为BC 边上的动点，则()PC PA PB PC ⋅++的最小值为（ ） A ．2 B ．34- C ．2- D ．2512

- 10．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b

+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为( )

A ．23

B ．34

C ．53

D ．74

11．已知直线l ：310kx y k --+=与椭圆22122:1(0)x y C a b a b

+=>>交于A 、B 两点，与圆2C ：()()22311x y -+-=交于C 、D 两点.若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围为（ ）

A ．36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦

B ．3[,1)3

C ．3(0,]3

D ．6[,1)3

12．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值，则函数()y xf x =-'的图象可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，三角形PAC 为等边三角形，二面角P AC B --的余弦值为63-

，当三棱锥P ABC -的体积最大值为13

时，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为______. 14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 3cos 1A A -=，2a =，则ABC ∆的面积的最大值为______.

15．若向量(1,2)x =-a 与向量(2,1)b =垂直，则x =______.

16．在直角坐标系中，某等腰直角三角形的两个顶点坐标分别为()()1,12,2，

，函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,22A ππωϕ⎛⎫><<< ⎪⎝

⎭的图象经过该三角形的三个顶点，则()f x 的解析式为()f x =___________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为133x y θθ

⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以原点为极点，x 轴的

非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为(0)3π

θρ=>，直线l 的极坐标方程为

sin 36πρθ⎛

⎫+= ⎪⎝⎭，点6,6P π⎛⎫ ⎪⎝⎭

． （1）求曲线1C 的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；

（2）若直线l 与曲线2C 交于点A ，曲线1C 与曲线2C 交于点B ，求PAB △的面积．

18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PAD ∆为正三角形，平面PAD ⊥平面,,ABCD E F 分别是,AD CD 的中点.

（1）证明:BD ⊥平面PEF

（2）若60BAD ︒∠=，求二面角B PD A --的余弦值.

19．（12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ，1SD =，5cos 5

ASD ∠=

，底面ABCD 是边长为2的菱形，点E ，F 分别为棱DC ，BC 的中点，点G 是棱SC 靠近点C 的四等分点.

求证：（1）直线SA 平面EFG ；

（2）直线AC ⊥平面SDB .

20．（12分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，点()()1,0,0,1A B ，点P 满足22

OA OB OP +=（其中O 为坐标原点），点,B P 在椭圆C 上.

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）设椭圆的右焦点为F ，若不经过点F 的直线(): 0,0l y kx m k m =+<>与椭圆C 交于,M N 两点.且与圆221x y +=相切.MNF 的周长是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由.

21．（12分）在直角坐标系xOy 中，长为3的线段的两端点A B 、分别在x 轴、y 轴上滑动，点P 为线段AB 上的点，且满足||2||AP PB =.记点P 的轨迹为曲线E .

（1）求曲线E 的方程；

（2）若点M N 、为曲线E 上的两个动点，记OM ON m ⋅=，判断是否存在常数m 使得点O 到直线MN 的距离为定值？若存在，求出常数m 的值和这个定值；若不存在，请说明理由.

22．（10分）已知函数()()2

cos f x ax x a R =+∈ （1）当12

a =时，证明()'0f x ≥，在[0,)+∞恒成立； （2）若()f x 在0x =处取得极大值，求a 的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．D

【解题分析】

设圆锥的母线长为l ,底面半径为R ,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得2l R =即可得圆锥轴截面底角的大小.

【题目详解】

设圆锥的母线长为l ,底面半径为R ,则有2222R Rl R R ππππ+=+,解得2l R =,所以圆锥轴截面底角的余弦值是12

R l =,底角大小为60︒. 故选：D

【题目点拨】

本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.

2．A

【解题分析】

分子分母同乘分母的共轭复数即可.

【题目详解】

2i 2i(i 1)22i 1i i 1(i 1)(i+1)2

z +-+====----，故z 的虚部为1-. 故选：A.

本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题.

3．D

【解题分析】

根据三视图还原出几何体，找到最大面，再求面积.

【题目详解】

由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，将其放在一个长方体中，并记为三棱锥

P ABC -.13PAC PAB S S ∆∆==，22PAC S ∆=，2ABC S ∆=，故最大面的面积为22.选D.

【题目点拨】

本题主要考查三视图的识别，复杂的三视图还原为几何体时，一般借助长方体来实现.

4．C

【解题分析】

根据命题的否定，可以写出p ⌝：21,2n

n n ∀>≤，所以选C. 5．C

【解题分析】

由二项式系数性质，()n a b +的展开式中所有二项式系数和为2n 计算．

【题目详解】

2n

x x ⎛+ ⎝

的二项展开式中二项式系数和为2n ，232,5n n ∴=∴=． 故选：C ．

【题目点拨】

本题考查二项式系数的性质，掌握二项式系数性质是解题关键．

6．C

【解题分析】

画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.

如图所示：画出可行域和目标函数， ，即，表示直线在轴的截距加上1， 根据图像知，当时，且时，有最大值为. 故选：.

【题目点拨】

本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.

7．C

【解题分析】

根据平面向量基本定理，用,AB AC 来表示AF ，然后利用数量积公式，简单计算，可得结果.

【题目详解】

由题可知：点E 是AC 中点，点F 是BE 中点

()

12

AF AB AE =+，12AE AC = 所以1124AF AB AC =+ 又11cos 1122AB AC AB AC A ⋅=∠=⨯⨯

= 所以1124AF AB AB AC AB ⎛⎫⋅=+⋅ ⎪⎝⎭

则2115248

AF AB AB AC AB ⋅=

+⋅= 故选：C 【题目点拨】

本题考查平面向量基本定理以及数量积公式，掌握公式，细心观察，属基础题.

8．A

【解题分析】

根据题意，画出几何位置图形，由图形的位置关系分别求得,m n 的值，即可比较各选项.

【题目详解】

如下图所示，CE ⊂平面ABPQ ，从而//CE 平面1111A B PQ ，

易知CE 与正方体的其余四个面所在平面均相交，

∴4m =，

∵//EF 平面11BPPB ，//EF 平面11AQQ A ，且EF 与正方体的其余四个面所在平面均相交，

∴4n =，

∴结合四个选项可知，只有m n =正确.

故选：A.

【题目点拨】

本题考查了空间几何体中直线与平面位置关系的判断与综合应用，对空间想象能力要求较高，属于中档题. 9．D

【解题分析】

以BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得()()1010B C -，

，，，设()()0P a A x y ，，，，运用向量的坐标表示，求得点A 的轨迹，进而得到关于a 的二次函数，可得最小值．

【题目详解】

以BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，

可得()()1010B C -，

，，，设()()0P a A x y ，，，，

由2BA BC ⋅=-，

可得()()120222x y x +⋅=+=-，

，，即20x y =-≠，， 则()

()()101100PC PA PB PC a x a a a y ⋅++=-⋅---+-++，， ()()()()21312332a x a a a a a =--=---=--

21253612a ⎛⎫=-- ⎪⎝

⎭， 当16a =时，()

PC PA PB PC ⋅++的最小值为2512-． 故选D ．

【题目点拨】

本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题．

10．C

【解题分析】

根据222AF F B =表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造出,a c 关系，求出离心率.

【题目详解】

222AF F B =

设2BF x =，则22AF x =

由椭圆的定义，可以得到1122,2AF a x BF a x =-=-

120AF AF ⋅=,12AF AF ∴⊥

在1Rt AF B 中，有()()()2222232a x x a x -+=-，解得3

a x = 2124,33

a a AF AF ∴== 在12Rt AF F △中，有()22

242233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

整理得225=9c a

，c e a ∴==故选C 项.

【题目点拨】

本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出,a c 关系，得到离心率.属于中档题.

11．A

【解题分析】

由题意可知直线过定点即为圆心，由此得到,A B 坐标的关系，再根据点差法得到直线的斜率k 与,A B 坐标的关系，由此化简并求解出离心率的取值范围.

【题目详解】

设()()1122,,,A x y B x y ，且线:310l kx y k --+=过定点()3,1即为2C 的圆心，

因为AC DB =，所以1212

236212C D C D x x x x y y y y +=+=⨯=⎧⎨+=+=⨯=⎩， 又因为222222

112222222

2b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，所以()()2222221212b x x a y y -=--， 所以2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，所以[]2232,1b k a

=-∈--， 所以2212,33b a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22212,33a c a -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

，所以()2121,33e ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，

所以33e ∈⎣⎦

. 故选：A.

【题目点拨】

本题考查椭圆与圆的综合应用，着重考查了椭圆离心率求解以及点差法的运用，难度一般.通过运用点差法达到“设而不求”的目的，大大简化运算.

12．B

【解题分析】

由题意首先确定导函数的符号，然后结合题意确定函数在区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞和0,1x x ==处函数的特征即可确定函数图像.

【题目详解】

函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在1x =处取得极大值，

∴当1x >时，()0f x '<；当1x =时，()0f x '=；当1x <时，()0f x '>.

0x ∴<时，()0y xf x '=->，01x <<时，()0y xf x '=-<，

当0x =或1x =时，()0y xf x '=-=；当1x >时，()0xf x '->.

故选：B

【题目点拨】

根据函数取得极大值，判断导函数在极值点附近左侧为正，右侧为负，由正负情况讨论图像可能成立的选项，是判断图像问题常见方法，有一定难度.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．8π

【解题分析】

根据题意作出图象,利用三垂线定理找出二面角P AC B --的平面角,再设出,AB BC 的长,

即可求出三棱锥P ABC -的高,然后利用利用基本不等式即可确定三棱锥P ABC -的体积最大值,从而得出各棱的长度,最后根据球的几何性质,利用球心距,半径,底面半径之间的关系即可求出三棱锥P ABC -的外接球的表面积.

【题目详解】 如图所示：

过点P 作PE ⊥面ABC ,垂足为E ,过点E 作DE AC ⊥交AC 于点D ,连接PD .

则PDE ∠为二面角P AC B --的平面角的补角,即有6cos 3

PDE ∠=. ∵易证AC ⊥面PDE ,∴AC PD ⊥,而三角形PAC 为等边三角形, ∴D 为AC 的中点.

设,AB a BC b ==, 22AC a b c =+=.

∴sin 2

c PE PD PDE c =⋅∠==. 故三棱锥P ABC -的体积为

223

111322*********

c c c a b c V ab abc ab +=⨯⨯==⨯≤⨯=

当且仅当2

a b ==时,3max 1243c V ==,即2a b c ===. ∴,,B D E 三点共线.

设三棱锥P ABC -的外接球的球心为O ,半径为R .

过点O 作OF PE ⊥于F ,∴四边形ODEF 为矩形.

则OD EF ==cos DE OF PD PDE ==∠==1PE =,

在Rt PFO 中,(2

221R =+,解得22R =.

三棱锥P ABC -的外接球的表面积为248S R ππ==.

故答案为：8π．

【题目点拨】

本题主要考查三棱锥的外接球的表面积的求法,涉及二面角的运用,基本不等式的应用,以及球的几何性质的应用,意在考查学生的直观想象能力,数学运算能力和逻辑推理能力,属于较难题.

14

【解题分析】 化简得到1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3

A π=，根据余弦定理和均值不等式得到4bc ≤，根据面积公式计算得到答案. 【题目详解】

cos 2sin 16A A A π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，即1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()0,A π∈，故3

A π=. 根据余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，即2242b c bc bc bc bc =+-≥-=.

当2b c ==时等号成立，故1sin 2

S bc A =

≤

【题目点拨】

本题考查了三角恒等变换，余弦定理，均值不等式，面积公式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.

15．0

【解题分析】

直接根据向量垂直计算得到答案.

【题目详解】

向量2i --与向量(2,1)b =垂直，则()()1,22,12220a b x x ⋅=-⋅=-+=，故0x =.

故答案为：0.

【题目点拨】

本题考查了根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力.

16．2sin 36x ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解题分析】 结合题意先画出直角坐标系，点出所有可能组成等腰直角三角形的点，采用排除法最终可确定为F 点，再由函数性质进一步求解参数即可 【题目详解】

等腰直角三角形的第三个顶点可能的位置如下图中的点A B C D E F ，，，，，，其中点A B C D ，，，与已有的两个顶点横坐标重复，舍去；若为点E 则点E 与点()2,2的中间位置的点的纵坐标必然大于2或小于2-，不可能为()1,1，因此点E 也舍去，只有点F 满足题意.此时点()2,2为最大值点，所以()2sin()f x x ωϕ=+，又02π

ω<<，则

142T πω

=>，所以点()1,1，()2,2之间的图像单调，将()1,1,，()2,2代入()f x 的表达式有 ()()1,2sin 362sin 212,Z,2262k k k k ππωωϕπωϕππωϕϕπωϕπ⎧⎧⎧=+=+⎪⎪+=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪+==-+∈+=+⎩⎪⎪⎩⎩

由2π

ϕ<知6

πϕ=-，因此()2sin 36f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.

故答案为：2sin 36x ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭

【题目点拨】

本题考查由三角函数图像求解解析式，数形结合思想，属于中档题

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）22cos 20ρρθ--=．60x +

-=（2）32

【解题分析】

(1)根据题意代入公式化简即可得到.(2)联立极坐标方程通过极坐标ρ的几何意义求解||AB ，再求点P 到直线AB 的距离即可算出三角形面积.

【题目详解】

解：（1）曲线221:(1)3C x y -+=，即22220x y x +--=． ∴22cos 20ρρθ--=．曲线1C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=．

直线l 的极坐标方程为sin 36πρθ⎛⎫+

= ⎪⎝⎭sin cos 6θρθ+=，

∴直线l 的直角坐标方程为60x -=．

（2）设,3A A ρπ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,3B B ρπ⎛⎫ ⎪⎝

⎭， ∴sin 336A ππρ⎛⎫+=

⎪⎝⎭，解得3A ρ=． 又22cos 203B B π

ρρ--=，∴2B ρ=（1B ρ=-舍去）．

∴||321AB =-=．

点P 到直线AB 的距离为6sin 336ππ⎛⎫⨯-=

⎪⎝⎭， ∴PAB △的面积为

131322

⨯⨯=． 【题目点拨】

此题考查参数方程，极坐标，直角坐标之间相互转化，注意参数方程只能先转化为直角坐标再转化为极坐标，属于较易题目.

18．（1）详见解析；（2. 【解题分析】

（1）连接AC ，由菱形的性质以及中位线，得BD FE ⊥，由平面PAD ⊥平面ABCD ，且PE ⊥交线AD ，得PE ⊥平面ABCD ，故而BD PE ⊥，最后由线面垂直的判定得结论.

（2）以E 为原点建平面直角坐标系，求出平面平PAD 与平面PBD 的法向量()0,1,0m = ，()3,1,1n =--，最后求得二面角B PD A --的余弦值为55. 【题目详解】

解：（1）连结AC

∵PA PD = ，且E 是AD 的中点，

∴PE AD ⊥

∵平面PAD ⊥平面ABCD ，

平面PAD 平面ABCD AD =，

∴PE ⊥平面ABCD .

∵BD ⊂平面ABCD ，

∴BD PE ⊥

又ABCD 为菱形，且,E F 为棱的中点，

∴//,EF AC BD AC ⊥

∴BD EF ⊥.

又∵,BD PE PE EF E ⊥⋂=，,PE EF ⊂平面PEF

∴BD ⊥平面PEF .

（2）由题意有，

∵四边形ABCD 为菱形，且60,BAD ︒∠=

∴EB AD ⊥

分别以EA ，EB ，EP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴

建立如图所示的空间直角坐标系xyz E ，设1AD =，则

1,0,0,0,,0,0,222D B P ⎛⎫⎛⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭

设平面PBD 的法向量为(),,.n x y z =

由·0·0n DB n DP ⎧=⎨=⎩

，得00

x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，

令x ()

3,1,1n =-- 取平面APD 的法向量为()0,1,0m =

∴cos ,m n ==二面角B PD A --为锐二面角，

∴二面角B PD

A -- 【题目点拨】

处理线面垂直问题时，需要学生对线面垂直的判定定理特别熟悉，运用几何语言表示出来方才过关，一定要在已知平面中找两条相交直线与平面外的直线垂直，才可以证得线面垂直，其次考查了学生运用空间向量处理空间中的二面角问题，培养了学生的计算能力和空间想象力.

19．（1）见解析（2）见解析

【解题分析】

(1) 连接AC 、BD 交于点O ,交EF 于点H ,连接GH ,再证明SA GH ∥即可.

(2)证明AC BD ⊥与SD AC ⊥即可.

【题目详解】

（1）连接AC 、BD 交于点O ,交EF 于点H ,连接GH ,所以O 为AC 的中点,H 为OC 的中点,由E 、F 为DC 、BC 的中点,再由题意可得

14

CG CH CS CA ==,所以在三角形CAS 中SA GH ∥,SA ⊄平面EFG ,GH ⊂平面EFG ,所以直线SA 平面EFG .

（2）在ASD 中,1SD =,2AD =,5cos 5ASD ∠=,由余弦定理得,222AD SA SD =+-2cos SA SD ASD ⋅∠,即222521215

SA SA =+-⨯⨯,解得5SA =,由勾股定理逆定理可知SD DA ⊥,因为侧面SAD ⊥底面ABCD ,由面面垂直的性质定理可知SD ⊥平面ABCD ,所以SD AC ⊥,因为底面ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥,因为SD

BD D =,

所以AC ⊥平面SDB .

【题目点拨】

本题考查线面平行与垂直的证明.需要根据题意利用等比例以及余弦定理勾股定理等证明.属于中档题. 20．（1）2

212

x y +=（2）是，22 【解题分析】

（1）设(),P x y ,根据条件可求出P 的坐标，再利用B P ，在椭圆上，代入椭圆方程求出a b ，即可;

（2）设()()()112212,,,0,0M x y N x y x x >> 运用勾股定理和点满足椭圆方程，求出MQ ，NQ ,再利用焦半径公式

表示出MF NF ，

,进而求出周长为定值． 【题目详解】

(1)设(),P x y ,因为22

OA OB OP +=, 即2(1,0)(,),x y +=则21,x y ==,即2P ⎛ ⎝⎭

,

因为,B P 均在C 上,代入得2221011121b a b

⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得222,1a b ==,所以椭圆C 的方程为2212x y +=; (2)由(1)

得(1,0),2

F e a ==作出示意图, 设切点为()()()112212,,,,0,0Q M x y N x y x x >>, 则2222221111||||||12

MQ OM OQ x y x =-=+-=, 同理2222222112

NQ x y x =+-=

即12||,||22MQ x NQ x ==,

所以12||)2

MN x x =+,

又1122MF a ex x NF a ex x =-==-=，, 则MNF

的周长

)1212||||MN MF NF x x x ++=

+++=

所以周长为定值【题目点拨】

标准方程的求解,椭圆中的定值问题,考查焦半径公式的运用,考查逻辑推理能力和运算求解能力,难度较难.

21．（1）2214

y x +=（2）存在；常数0m =

【解题分析】

（1）设出,,P A B 的坐标，利用2AP PB =以及3AB =，求得曲线E 的方程.

（2）当直线MN 的斜率存在时，设出直线MN 的方程，求得O 到直线MN 的距离d .联立直线MN 的方程和曲线E 的方程，写出根与系数关系，结合OM ON m ⋅=以及d 为定值，求得m 的值.当直线MN 的斜率不存在时，验证,d m .由此得到存在常数0m =

，且定值5

d =

. 【题目详解】

（1）解析：（1）设(,)P x y ，()0,0A x ，()00,B y

由题可得2AP PB =

()0022x x x y y y -=-⎧∴⎨=-⎩，解得00332x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩

又||3AB =，即22009x y +=，

∴消去00,x y 得：2214

y x += （2）当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx b =+

设()11,M x y ，()22,N x y

由=OM ON m ⋅可得：1212x x y y m +=

由点O 到MN

的距离为定值可得d =d 为常数）即2

221b d k =+ 2214y kx b y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()

2224240k x kbx b +++-= ()()222244440k b k b ∴∆=-+->

即2240k b -+>

12224kb x x k -∴+=+，212244

b x x k -=+ 又()()()2212121212y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++

22121225444

b k m x x y y k --∴+==+ ()()2225414b k m k ∴=+++

()222245411

m k b k k +∴=+++ ()

2224541m k d k +∴=++

d ∴为定值时，0m =，此时d =，且符合>0∆ 当直线MN 的斜率不存在时，设直线方程为x

n =

由题可得254n m =+，0m ∴=时，5

n =±，经检验，符合条件

综上可知，存在常数0m =，且定值5

d =

【题目点拨】 本小题主要考查轨迹方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，考查椭圆中的定值问题，属于难题.

22．（1）证明见解析（2）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦

【解题分析】

（1）根据()21cos 2

=+f x x x ，求导()' f x x sinx =-，令()h x x sinx =-，用导数法求其最小值. ()2设()()'2,g x f x ax sinx ==-研究在0x =处左正右负，求导()'2.g x a cosx =-，分12

a ≥ 12a ≤-，1122

a -<<，三种情况讨论求解. 【题目详解】 （1）因为()21cos 2=

+f x x x ， 所以()' f x x sinx =-，

令()h x x sinx =-，则()'10h x cosx =-≥，

所以()h x 是[0,)+∞的增函数，

故()()00h x h ≥=，

即()'0f x ≥.

()2因为()()'2,g x f x ax sinx ==-

所以()'2.g x a cosx =-， ①当12

a ≥时，()'10g x cosx ≥-≥， 所以函数()'f x 在R 上单调递增.