简单的线性规划--含答案

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课时作业20 简单线性规划

时间：45分钟 满分：100分

课堂训练

1．若变量x 、y 满足约束条件????

?

x ＋y ≤2，x ≥1，

y ≥0，

则z ＝2x ＋y 的最

大值和最小值分别为( )

A ．4和3

B ．4和2

C ．3和2

D ．2和0

【答案】 B

【解析】 画出可行域如图：

《

作l 0：2x ＋y ＝0.平移l 0到经过点A (或B )，

即当直线z ＝2x ＋y 过A (2,0)时z 最大，过B (1,0)时z 最小，z max

＝4，z min ＝2.

2．若实数x ，y 满足不等式组????

?

x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，

x －my ＋1≥0，

且x ＋y 的最

大值为9，则实数m ＝( )

A ．－2

B ．－1

C ．1

D ．2

【答案】 C

【解析】 画出???

??

x ＋3y －3≥0，

2x －y －3≤0，

表示的平面区域如图，又x －

my ＋1＝0，

》

恒过(－1,0)点，当m <0时，x ＋y 无最大值，故选项A 、B 错误，因此m >0，又满足条件的可行域必须是一个三角形，联立

?????

2x －y －3＝0，

x －my ＋1＝0，

解得A (3m ＋12m －1，52m －1)，∴3m ＋12m －1＋5

2m －1

＝9，解

得m ＝1.

3．(2013·北京文)设D 为不等式组????

?

x ≥0，2x －y ≤0，

x ＋y －3≤0

表示的平面

区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．

【答案】

25

5

【解析】 区域D 如图所示：

则(1,0)到区域D 的最小值即为(1,0)到直线y ＝2x 的距离：|2×1－0|5

＝25

5.

4．设z ＝2x ＋3y －6，式中x ，y 满足条件?????

2x ＋y ≥6，

x ＋2y ≥6，

x ≥0，

y ≥0.

求

z 的最小值．

）

【分析】 在平行直线系中先作过原点的直线，再将直线平移到

可行域中．

【解析】 不等式组所表示的平面区域如图所示(阴影部分)． 作直线l 0：2x ＋3y ＝0，把直线l 0向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M 且与原点距离最短，

此时z ＝2x ＋3y －6取得最小值．

解方程组???

??

2x ＋y ＝6，

x ＋2y ＝6，

得?????

x ＝2，

y ＝2.

即M (2,2)．

此时z min ＝2×2＋3×2－6＝4.

【规律方法】 利用可行域求最优解是解决线性规划问题中重要的一步．如果可行域是一个多边形及其内部，那么一般在其顶点处或边界处可使目标函数取得最大值或最小值．

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课后作业

一、选择题(每小题5分，共40分)

1．若变量x ，y 满足约束条件????

?

y ≤1，x ＋y ≥0，

x －y －2≤0，

则z ＝x －2y 的

最大值为( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

【答案】 B

【解析】 画出可行域(如下图)，

~

由z ＝x －2y 得y ＝12x －z

2

，则当目标函数过C (1，－1)时取得最大

值，所以z max ＝1－2×(－1)＝3.

2．(2013·天津理)设变量x ，y 满足约束条件????

?

3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，

则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )

A ．－7

B ．－4

C ．1

D ．2

【答案】 A

【解析】

由x ，y 满足的约束条件????

?

3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，

y －3≤0，

画出可

行域如图，容易求出A (2,0)，B (5,3)，C (1,3)，

可知z ＝y －2x 过点B (5,3)时，z 最小值为3－2×5＝－7.

:

3．已知x ，y 满足不等式组????

?

x ＋y ≤4，y ≥x ，

x ≥1，

则

y

x ＋1

的取值范围是

( )

A ．[12，3

2]

B ．[1,3]

C ．[23，32]

D ．[2

3

，3]

【答案】 A

【解析】 画出可行域，如图中阴影部分，

y

x ＋1

表示可行域内点

(x ，y )与点(－1,0)连线的斜率，结合图形易求得12≤y x ＋1≤3

2

.

4．(2013·新课标Ⅱ理)已知a >0，x ，y 满足约束条件

????

?

x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，

若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )

￥

C ．1

D ．2

【答案】 B

【解析】

作出线性约束条件????

?

x ≥1，x ＋y ≤3，

y ≥a (x －3).

的可行域．

因为y ＝a (x －3)过定点(3,0)，故应如图所示，当过点C (1，－2a )时，z ＝2x ＋y 有最小值，

∴2×1－2a ＝1，∴a ＝1

2

.

5．已知x ，y 满足约束条件????

?

x ≥0y ≥0

x ＋y ≥1

，则(x ＋3)2＋y 2的最小

值为( )

B ．22 、

C ．8

D ．10

【答案】 D

【解析】 作线性约束条件所表示的可行域如图阴影部分所示，

而(x ＋3)2＋y 2的最小值表示C (－3,0)与图中阴影部分内的点的连线的最小值的平方，即|AC |2＝(－3－0)2＋(0－1)2＝10.

6．若实数

x ，y 满足????

?

x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，

x ≤0，

则z ＝3x ＋2y 的最小值是

( )

A ．0

B ．1

D ．9

【答案】 B

￥

【解析】 上述不等式组所表示的可行域如下图阴影部分所示．

令t ＝x ＋2y ，则当直线y ＝－12x ＋12t 经过原点O (0,0)时，1

2t 取

最小值，也即t 有最小值为0，则z ＝3x ＋2y 的最小值为30＝1.

7．在平面直角坐标系中，若不等式组????

?

x ＋y －1≥0，x －1≤0，

ax －y ＋1≥0

(a 为

常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )

A ．－5

B ．1

C ．2

D ．3

【答案】 D

【解析】 如图，阴影面积为2，则AC ＝4，

"

∴A (1,4)，∴a ＝3，故选D.

8．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、质量、可获利润和托运能力限制数据列在下表中，那么，为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为( )

货物 体积/每箱(m 3

) 质量/每箱50 kg 利润/每箱(百元)

@

甲

5 2 20 乙

4

5

10

C ．1,4

D ．2,4

【答案】 A

【解析】 设托运货物甲x 箱，托运货物乙y 箱，由题意，得????

?

5x ＋4y ≤24，2x ＋5y ≤13，x ，y ∈N ，利润z ＝20x ＋10y ，由线性规划知识，可得x ＝4，

y ＝1时，利润最大．

）

二、填空题(每小题10分，共20分)

9．若x 、y 满足的约束条件为?????

x ＋y －6≤0

x ＋2y －8≤0

0≤x ≤4

0≤y ≤3

，要使z ＝2x

＋3y 达到最大值，则x ＝__________，y ＝__________.

【答案】 4；2

【解析】 根据约束条件表示的平面区域，

则?????

x ＋y －6＝0，

x ＋2y －8＝0，

得?????

x ＝4，

y ＝2，

即点P (4,2)．当l ：2x ＋3y ＝

z 经过点P 时，z max ＝14，此时x ＝4，y ＝2.

10．设实数

x ，y 满足????

?

x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，

2y －3≤0.

则y

x

的最大值是________．

【答案】 3

2

【解析】 不等式组表示的平面区域如下图．

~

令y x ＝k ，即y ＝kx .∴所求的y x

的最大值即为过原点斜率的最大值，有k max ＝k OA ＝32

.

三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

11．已知????

?

x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，

2x －y －5≤0，

求：

(1)z ＝x ＋2y －4的最大值； (2)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (3)z ＝

2y ＋1

x ＋1

的取值范围． 【解析】 作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A (1,3)、

B (3,1)、

C (7,9)．

、

(1)易知平行直线系z ＝x ＋2y －4，过C 点时z 取得最大值， 将C (7,9)代入z 得最大值为21.

(2)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到定点M (0,5)的距离的平方，

过M 作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上， ∴z 的最小值是|MN |2

＝92

.

(3)z ＝2·y －(－12

)

x －(－1)表示可行域内任一点(x ，y )与定点Q (－1，－

1

2

)连线的斜率的两倍． ∵k QA ＝74，k QB ＝38，

∴z 的取值范围为[34，72

]．

12．某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A 、B 两种规格金属板，每张面积分别为2 m 2与3 m 2.用A 种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B 种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A 、B 两种规格金属板各取多少张，才

能完成计划，并使总的用料面积最省

【解析】 设A 、B 两种金属板各取x 张、y 张，用料面积为z ，则约束条件

为????

?

3x ＋6y ≥45

5x ＋6y ≥55x ，y ∈Z x ≥0y ≥0

，目标函数z ＝2x ＋3y .

作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示．

z ＝2x ＋3y 变为y ＝－23x ＋z 3，得斜率为－23，在y 轴上截距为z

3，

且随z 变化的一组平行直线．

当直线z ＝2x ＋3y 过可行域上点M 时，截距最小，z 最小．解方

程组?

??

??

5x ＋6y ＝55，

3x ＋6y ＝45，得M 点的坐标为(5,5)．

此时z min ＝2×5＋3×5＝25 (m 2)．

答：两种金属板各取5张时，用料面积最省．

【规律方法】本题属于给定一项任务，问怎样统筹安排才能使完成这项任务的人力、物力资源量最小的题型．解决这类问题的方法是：根据题意列出不等式组(约束条件)，确定目标函数；然后由约束条件画出可行域；最后利用目标函数对应直线的平移，在可行域内求出目标函数达到最小值的点，从而求出符合题意的解．