数学：3.5.2简单线性规划同步练习1新人教B版必修5
3.5.2 简单线性规划 测试题
一．选择题：
1．以下四个命题中，正确的是（ ）
Ａ．原点与点（2，3）在直线2x+y-3=0的同侧
Ｂ．点（3，2）与点（2，3）在直线x －y=0同侧
Ｃ．原点与点（2，1）在直线2y-6x+1=0异侧
Ｄ．原点与点（2，1）在直线2y-6x+1=0同侧
2．不等式x+3y-1<0表示的平面区域在直线x+3y-1=0的（ ）
A ．右上方
B ．右下方
C ． 左下方
D ．左上方
3．在坐标平面上，不等式组?
??+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为（ ） A ．2 B ．
2
3 Ｃ．223 Ｄ．2 二．填空题： 4．若x 、y 满足条件??
???≥≥≤+≤+0,0625y x y x y x ，则目标函数z=6x+8y 的最大值为 ，最小值为 。
5．若实数x 、y 满足???≤-≤≤+≤8
22624y x y x ，则x+y 的范围是 。
6．非负实数x 、y 满足??
?≤-+≤-+03042y x y x ，则x+3y 的最大值是 。 7．设实数x 、y 满足条件??
???≤-≥-+≤--03204202y y x y x ，则x y 的最大值是 。 8．设实数x 、y 满足条件??
???≤++≥+≥+-010101y x y y x ，那么2x －y 的最大值为（ ）
A ． 2
B ． 1
C ． －2
D ． －3
9．已知变量x 、y 满足约束条件1≤x+y ≤4，－2≤x －y ≤2。若目标函数z=ax+y （其中a>0）仅在点（3，1）处取得最大值，则a 的取值范围是 。
10．设D 是不等式组???????≥≤≤≥+≤+1
4032102y x y x y x 表示的平面区域，则D 中的点P （x,y ）到直线x+y=10距离的最大值是 。
三．解答题：
11．某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号的电视机，每台A 型、B 型电视机所得的利润分别为6和4个单位，而生产一台A 型、B 型电视机所耗原料分别为2和3个单位；所需工时分别为4和2个单位。如果允许使用的原料为100个单位，工时为120个单位，且A 、B 型电视机的产量分别不低于5台和10台，那么生产两种类型电视机各多少台，才能使利润最大？
12．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的赢利，而且要考虑可能出现的亏损。某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大赢利率分别为100％和50％，可能的最大亏损率分别为30％和10％，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的赢利最大？
【能力达标】
一、选择题
1．C ；
2．C ；
3．B 解析：???+-≤-≥131x y x y ?????≥+-≤+≥?0131x x y x y 或??
???≤+≤+≥0131x x y x y 画出可行域，是两个三角形∴所求面积为2
3。 二、填空题：
4。最大值为40，最小值为0；
5．2.8≤x+y ≤5.2
6．最大值为9。
7．最大值为2
3。 8．最大值为1。
9．解析：由约束条件可知可行域，区域为矩形的内部及其边界，（3，1）为其中一个顶点，z 最大时，即平移y=-ax 时，使直线在y 轴上的截距最大，∴-a<-1∴a>1。
10．解析：画出可行域为一个四边形，到直线x+y=10距离最远的点应该是直线2x+3y=3、y ＝1的交点，即点（1，1），它到x+y=10的距离是24。
三、解答题
11．解析：设生产A 型x 台，B 型y 台，依题意得约束条件为：???
????≥≥≤+≤+1051202410032y x y x y x 而目标函数为：z=6x+4y 。画出可行域和直线3x+2y=0并平移可得最优解为：x=y=20。
12．解析：设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知
必修五简单线性规划典型例题
1. “平面区域”型考题 1．不等式组?? ? ??-≥≤+<31y y x x y ，表示的区域为D ，点P 1（0，-2），P 2（0，0），则 （ ） A ．D P D P ??21且 B ．D P D P ∈?21且 C ． D P D P ?∈21且D ．D P D P ∈∈21且 2．已知点P （x 0，y 0）和点A （1，2）在直线0823:=-+y x l 的异侧，则 （ ） A ．02300>+y x B ．<+0023y x 0 C ．82300<+y x D ．82300>+y x 3．已知点P （1，-2）及其关于原点的对称点均在不等式012>+-by x 表示的平面区域内，则b 的取值范围是 ． 2. “平面区域的面积”型考题 1.设平面点集，则所表示的平面图形的面积为 A B C D 2.在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域 {(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为 （ ）A ．2 B ．1 C ．12 D ．1 4 3、若A 为不等式组0 02x y y x ≤?? ≥??-≤? 表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a +=扫 过A 中的那部分区域的面积为 . 4、 若不等式组0 3434 x x y x y ≥?? +≥??+≤? 所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是 （A ） 73 （B ） 37 （C ）43 （D ） 34 高 5、若0,0≥≥b a ，且当?? ? ??≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为坐标点(,)P a b 所形成的平面 区域的面积等于__________. 3. “求约束条件中的参数”型考题 1.在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为 A. － 5 B. 1 C. 2 D. 3 2、若直线上存在点满足约束条件，则实数的最大值为（ ） A ． B ．1 C ． D ．2 3、设二元一次不等式组2190802140x y x y x y ?+-?-+??+-? ， ，≥≥≤所表示的平面区域为M ，使函数(01)x y a a a =>≠，的图 象过区域M 的a 的取值范围是（ ）A ．[1，3] B ．[2，10] C ．[2，9] D ．[10，9] 4.设m 为实数，若{250(,)300x y x y x mx y -+≥??-≥??+≥? }22 {(,)|25}x y x y ?+≤，则m 的取值范围是___________. 4. “截距”型考题 1. 满足约束条件，则的最大值为( ) 2.设变量满足，则的最大值为A ．20 B ．35 C ．45 D ．55 3.若满足约束条件，则的最小值为 。 4.设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为 ． 5 . “距离”型考题 1. 设不等式组x 1x-2y+30y x ≥?? ≥??≥? 所表示的平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对 称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值等于()A. 285 C. 12 5 2.设不等式组，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是A B C D 3、如果点P 在平面区域?? ???≥-≤-+≥+-012020 22y y x y x 上,点O 在曲线的那么上||,1)2(2 2PQ y x =++最小值为 (A) 23 (B) 15 4- (C)122- (D)12- 6. “斜率”型考题 1.足10,0 x y x -+≤?? >?则y x 的取值范围是（ ）A.(0,1) B.(]0,1 C.(1,+∞) D.[)1,+∞ 2.已知正数满足：则的取值范围是 ． 7. “求目标函数中的参数”型考题 1.若x ，y 满足约束条件，目标函数仅在点（1，0）处取得最小值，则a 的取值范围是 （ ）A ．（，
高中数学必修五线性规划
高中数学必修五：线性规划 1. 设变量,x y 满足-10 0+20015x y x y y ≤?? ≤≤??≤≤? ，则2+3x y 的最大值为( ) A ．20 B ．35 C ．45 D ．55 2..若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件?? ? ??≥≤--≤-+m x y x y x 0 320 3，则实数m 的最大值为（ ） A ．2 1 B ．1 C ．2 3 D ． 3.在平面直角坐标系中，若不等式组10 1010x y x ax y +-≥?? -≤??-+≥? （α为常数）所表示的平面区域内的面积 等于2，则a 的值为（ ） A. -5 B. 1 C. 2 D. 3 4.已知O 为直角坐标系原点，P ，Q 的坐标均满足不等式组43250 22010x y x y x +-≤??-+≤? ?-≥? ，则c o s P O Q ∠的最小值为( ) A ．12 B ．1 5 ．当实数,x y 满足不等式?? ? ??≤+≥≥220 y x y x 时,恒有3ax y + ≤成立,则实数a 的取值范围是 （ ） A ．0a ≤ B ．0a ≥ C ．02a ≤≤ D ．3a ≤ 6 ．已知实数?? ?? ?≤+-≤≥.,13, 1,m y x x y y y x 满足如果目标函数y x z 45-=的最小值为—3,则实数m=（ ） A ．3 B ．2 C ．4 D ．3 11 7.若A 为不等式组0 02x y y x ≤?? ≥??-≤? 所示的平面区域,则当a 从-2连续变化到1时,动直线x +y=a 扫过 A 中的那部分区域面积为（ ）A ．2 B ．1 C ．34 D ．74 8．设实数 ,x y 满足约束条件: 360200,0x y x y x y --≤?? -+≥??≥≥? ,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为 12,则2294a b + 的最小值为（ ）A ．12 B ．1325 C ．1 D ．2 9．设y x ,满足约束条件?? ???≤+≥≥,1434,, 0y x x y x 则2 1++x y 的取值范围是（ ） A ．]6 17,21[ B ．]4 3,21[ C ．]6 17,43[ D ．) ,2 1[+∞
高中数学必修五《简单的线性规划问题》优秀教学设计
§3.3.2 简单的线性规划问题（第一课时） 【学习目标】 1. 复习掌握二元一次不等式（组）表示的平面区域； 2. 了解线性规划的意义以及线性的约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解的概念； 3. 了解线性规划问题的图解法，掌握图解法求线性目标函数的最大值、最小值。 【重点和难点】 重点、难点：掌握图解法求线性目标函数的最大值、最小值。 【课堂教学】 （一）复习：二元一次不等式（组）与平面区域 1. 满足二元一次不等式（组）的解()y x ,可以看成直角坐标平面内点的坐标。于是，二元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合。 2. 平面区域：二元一次不等式表示平面区域的判定方法是：以线定界（包括边界，画实线；不包括边界，画虚线），以点定域（以0>++C By Ax 为例）：（1）画边界：即画出直线0=++C By Ax 。 （2）定区域：在直线0=++C By Ax 的一侧取一个特殊点()00,y x 作为测试点代入式子C By Ax ++，由C By Ax ++00的符号判定0>++C By Ax 表示的是直线0=++C By Ax 哪一侧的平面区域，当 0≠C ，常选取()0,0作为测试点；当0=C ，常选取()0,1或()1,0作为测试点。 （3）求交集（公共部分）：二元一次不等式组表示的平面区域是各不等式表示的平面区域的公共部分。 【温故而知新】 1. 在平面直角坐标系中，若点()t A ,2-在直线042=+-y x 的上方，则t 的取值范围是___________。 2. 点()2,1与点()4,3-在直线0=++a y x 的两侧，则实数a 的取值范围是____________。 3. 画出不等式（组）?? ???≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域，并求其面积。 （二）简单的线性规划问题
必修五 简单线性规划典型例题
1. “平面区域”型考题 1．不等式组?? ? ??-≥≤+<31y y x x y ，表示的区域为D ，点P 1（0，-2），P 2（0，0），则 （ ） A ．D P D P ??21且 B ．D P D P ∈?21且 C ． D P D P ?∈21且D ．D P D P ∈∈21且 2．已知点P （x 0，y 0）和点A （1，2）在直线0823:=-+y x l 的异侧，则 （ ） A ．02300>+y x B ．<+0023y x 0 C ．82300<+y x D ．82300>+y x 3．已知点P （1，-2）及其关于原点的对称点均在不等式012>+-by x 表示的平面区域内，则b 的取值范围是 ． 2. “平面区域的面积”型考题 1.设平面点集{} 221 (,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ??=--≥=-+-≤??? ? ，则A B 所表示的平 面图形的面积为 A 34π B 35π C 47π D 2 π 2.在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域 {(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为 （ ）A ．2 B ．1 C ．12 D ．1 4 3、若A 为不等式组002x y y x ≤?? ≥??-≤? 表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a +=扫 过A 中的那部分区域的面积为 . 4、 若不等式组0 3434 x x y x y ≥?? +≥??+≤? 所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是 （A ） 73 （B ） 37 （C ）43 （D ） 34 高 5、若0,0≥≥b a ，且当?? ? ??≤+≥≥1,0, 0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为坐标点(,)P a b 所形成的平面 区域的面积等于__________. 3. “求约束条件中的参数”型考题 1.在平面直角坐标系中，若不等式组10 1010x y x ax y +-≥?? -≤??-+≥? （α为常数）所表示的平面区域内的面积等于2， 则a 的值为 A. －5 B. 1 C. 2 D. 3 2、若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件?? ???≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为（ ） A ． 21 B ．1 C ．2 3 D ．2 3、设二元一次不等式组2190802140x y x y x y ?+-? -+??+-? ，，≥≥≤所表示的平面区域为M ，使函数(01)x y a a a =>≠，的图 象过区域M 的a 的取值范围是（ ）A ．[1，3] B ．[2，10] C ．[2，9] D ．[10，9] 4.设m 为实数，若{250 (,)300x y x y x mx y -+≥??-≥??+≥? }22 {(,)|25}x y x y ?+≤，则m 的取值范围是___________. 4. “截距”型考题 1. ,x y 满足约束条件241y x y x y ≤?? +≥??-≤? ，则3z x y =+的最大值为( ) ()A 12()B 11 ()C 3()D -1 2.设变量,x y 满足-100+20015x y x y y ≤?? ≤≤??≤≤? ，则2+3x y 的最大值为A ．20 B ．35 C ．45 D ．55 3.若,x y 满足约束条件1030330 x y x y x y -+≥??? +-≤??+-≥??，则3z x y =-的最小值为 。 4.设函数ln ,0 ()21,0 x x f x x x >?=?--≤?，D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成
高中数学必修五学案：线性规划的整数解和非线性规划问题(解析版)
高中数学必修五学案：线性规划的整数解和非线性规划问题 （解析版） 学习目标 1.了解实际线性规划中的整数解求法. 2.会求一些简单的非线性规划的最优解. 知识点一 非线性约束条件 思考 类比探究二元一次不等式表示平面区域的方法，画出约束条件(x －a )2＋(y －b )2≤r 2的可行域. 答案 梳理 非线性约束条件的概念：约束条件不是二元一次不等式，这样的约束条件称为非线性约束条件. 知识点二 非线性目标函数 思考 在问题“若x ，y 满足???? ? x ＋y ≥6，x ≤4， y ≤4，求 ＝y －1 x －1 的最大值”中，你能仿照目标函数 ＝ ax ＋by 的几何意义来解释 ＝ y －1 x －1 的几何意义吗？ 答案 ＝y －1 x －1的几何意义是点(x ，y )与点(1,1)连线的斜率. 梳理 下表是一些常见的非线性目标函数.
1.可行域内的整点指横坐标、纵坐标均为整数的点.(√) 2.目标函数 ＝x 2＋y 2的几何意义为点(x ，y )到点(0,0)的距离.(×) 3.目标函数 ＝ax ＋by (b ≠0)中， 的几何意义是直线ax ＋by － ＝0在y 轴上的截距.(×) 类型一 生活实际中的线性规划问题 例1 某工厂制造甲、乙两种家电产品，其中每件甲种家电需要在电器方面加工6小时，装配加工1小时，每件甲种家电的利润为200元；每件乙种家电需要在外壳配件方面加工5小时，在电器方面加工2小时，装配加工1小时，每件乙种家电的利润为100元.已知该工厂可用于外壳配件方面加工的能力为每天15小时，可用于电器方面加工的能力为每天24小时，可用于装配加工的能力为每天5小时.问该工厂每天制造两种家电各几件，可使获取的利润最大？(每天制造的家电件数为整数) 考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题 解 设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x 件，y 件，获取的利润为 百元， 则 ＝2x ＋y (百元)，????? 6x ＋2y ≤24，x ＋y ≤5， 5y ≤15， x ，y ∈N ， 即????? 3x ＋y ≤12， x ＋y ≤5，y ≤3，x ，y ∈N ， 作出可行域，如图阴影部分中的整点， 由图可得O (0,0)，A (0,3)，B (2,3)，C ? ??? 72，32，D (4,0). 平移直线y ＝－2x ＋ ，又x ，y ∈N ，所以当直线过点(3,2)或(4,0)时， 有最大值. 所以工厂每天制造甲种家电3件，乙种家电2件或仅制造甲种家电4件，可获利最大. 反思与感悟 在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用列举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解.最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析. 跟踪训练1 预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多
高二数学必修5 线性规划(一)
高二数学必修5 线性规划（一） 教学目标： 1．解线性约束条件、线性目标函数、线性规划概念； 2．在线性约束条件下求线性目标函数的最优解； 3．了解线性规划问题的图解法。 教学重点：线性规划问题。 教学难点：线性规划在实际中的应用。 教学过程： 1．复习回顾： 上一节，我们学习了二元一次不等式表示的平面区域，这一节，我们将应用这一知识来解决线性规划问题．所以，我们来简要回顾一下上一节知识．（略） 2．讲授新课： 例1：设z ＝2x ＋y ，式中变量满足下列条件： ? ????x －4y ≤－3 3x ＋5y ≤25x ≥1 ，求z 的最大值和最小值. 解：变量x ，y 所满足的每个不等式都表示一个平面 区域，不等式组则表示这些平面区域的公共 区域．（如右图）． 作一组与l 0：2x ＋y ＝0平行的直线l ：2x ＋y ＝t .t ∈Ｒ可知：当l 在l 0的右上方时，直线l 上的点（x ，y ）满足2x ＋y ＞0，即t ＞0，而且，直线l 往右平移时，t 随之增大，在经过不等式组①所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点A （５，２）的直线l 2所对应的t 最大，以经过点B （１，１）的直线l 1所对应的t 最小．所以 z max ＝2×5＋2＝12 z min ＝2×1＋1＝3 说明：例1目的在于给出下列线性规划的基本概念． 线性规划的有关概念： ①线性约束条件： 在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数： 关于x 、y 的一次式z ＝2x ＋y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数． ③线性规划问题： 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
高中数学必修5常考题型：简单的线性规划问题
简单的线性规划问题 【知识梳理】 线性规划的有关概念 【常考题型】 题型一、求线性目标函数的最值 （X+2Q2, 【例1】设变重X, *满足约束条件〈2x+ y<4, 则目标函数z= 3x- V的取值范围 〔4*- - 1, 是（） 3 A. -6 C. [-L6] D. -6, 3. "+2E, [解析]约束条件〈2X+V<4,y> - 1所表示的平面区域如图阴影部分，直线y= 3x- Z斜率为
3 z 取最小值- 3 .??z=3x-y 的取值范围为6」，故选A. ［答案］A 【类题通法】 解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z 的几何意义，对一个封闭图形而 言，最优解一般在可行域的边界上取得.在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点. 【对点训练】 X- 4y< -3, 3x+5y<25, 求z 的最大值和最小值. Q1, ［解］作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示.把z=2x+＞变形为v=-2x +乙则得到斜率为-2,在）/轴上的截距为乙旦随z 变化的一组平行直线.由图可以看出, 当直线z=2x+*经过可行域上的点/时，截距z 最大，经过点8时，截距z 最小. |x-4y+3 = 0, 解方程组i3H5 =。，得/点坐标为厚）， X=l, 解方程组L-4*+3 =。，得8点坐标为(")， 大值 = 2x5 + 2=12, z 建小值=2x 1 + 1 = 3. ( 于4尸 3=0 =0
题型二、求非线性目标函数的最值 ( X- y+5>0, X+VA O,x<3. ⑴求"=/+必的最大值与最小值； V ⑵求 >=六的最大值与最小值. X— O ［解］画出满足条件的可行域如图所示， (1) /+,=。表示一组同心圆(圆心为原点Q,旦对同一圆上的点】+必的值都相等，由图可知：当(X, M在可行域内取值时，当旦仅当圆。过c点时，〃最大，过(0,0)时，〃最小.又Q3,8),所以u意大也=73、"缺小值=0. y (2) v^=—表示可行域内的点Rx, H到定点Q(5,0)的斜率，由图可知，蜘最大，处。最 A— O 小,又03,8), 8(3, -3), -3 3 8 所以/ 是大渲= 3 — 5 = 1'，照小坦=3 _ 5 = 一4? 【类题通法】 非线性目标函数最值问题的求解方法 ⑴非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果?
必修五线性规划课后习题
专题线性规划 1．【河北省石家庄市师大附中田家炳中学2017-2018学年高一下学期期末】已知,x y 满足约束条件 330x y x y y -≥-?? +≤??≥? ，若2z x y =+的最大值为（ ） A.6 B.6- C.5 D.5- 【解析】绘制平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值， 联立直线方程：3 0x y y +=?? =? ，可得点A 坐标为：()3,0A ，据此可知目标函数的最大值为：max 2306z =?+= . 2．【安徽省合肥市庐阳区四校2019-2020学年高一上学期期末】设变量x ，y 满足约束条件0 024236 x y x y x y ≥??≥? ?+≤??+≤?， 则43z x y =+的最大值是（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 【解析】 由约束条件作出其所确定的平面区域（阴影部分），因为43z x y =+，所以4+33 z y x =-， 平移直线4+33z y x =- ，由图象可知当直线4+33 z y x =-经过点A 时， 目标函数43z x y =+取得最大值，由24236x y x y +=??+=?，解得321x y ? =???=? ，即3,12A ?? ???， 即3 41392 z =? +?=，故z 的最大值为9．故选：C ．
3．【湖南省长沙市雅礼教育集团2018-2019学年高一下学期期末】设变量x ，y 满足10020015x y x y y -≤?? ≤+≤??≤≤? ，则 23x y +的最大值为（ ） A ．55 B ．45 C ．35 D ．25 【解析】变量x ，y 满足约束条件10020015x y x y y -≤?? ≤+≤??≤≤? 的平面区域，如图所示： 令23z x y =+，可得 233z y x =- +，则3 z 为直线230x y z +-=在y 轴上的截距，截距越大，z 越大， 作直线l ：230x y +=，把直线向上平移可得过点D 时，z 最大， 由15 20y x y =??+=? 可得x ＝5，y ＝15，此时232531555z x y =+=?+?=.故选：A ． 4．【吉林省长春外国语学校2018-2019学年高一下学期期末】若实数x ，y 满足条件250 24001 x y x y x y +-≤??+-≤? ?≥??≥?，目标 函数2z x y =-，则z 的最大值为( ) A ． 5 2 B ．1 C ．2 D ．0 【解析】若实数x ，y 满足条件25024001 x y x y x y +-≤??+-≤? ?≥??≥?，目标函数2z x y =-如图： 当3 ,12 x y = =时函数取最大值为2 故答案选C
高中数学必修5：简单的线性规划问题 知识点及经典例题(含答案)
简单的线性规划问题 【知识概述】 线性规划是不等式应用的一个典型，也是数形结合思想所体现的一个重要侧面.近年的考试中，通常考查二元一次不等式组表示的平面区域的图形形状以及目标函数的最大值或最小值，或求函数的最优解等问题.通过这节课的学习，希望同学们能够掌握线性规划的方法，解决考试中出现的各种问题. 解决线性规划的数学问题我们要注意一下几点 1.所谓线性规划就是在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题； 2.解决线性规划问题需要经历两个基本的解题环节 （1）作出平面区域；（直线定”界”，特“点”定侧）； （2）求目标函数的最值. （3）求目标函数z=ax+by最值的两种类型： ①0 b>时，截距最大（小），z的值最大（小）； ②0 b>时，截距最大（小），z的值最小（大）； 【学前诊断】 1.[难度] 易 满足线性约束条件 23, 23, 0, x y x y x y +≤ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?≥ ? 的目标函数z x y =+的最大值是（） A.1 B.3 2 C.2 D.3 2.[难度] 易 设变量,x y满足约束条件 0, 0, 220, x x y x y ≥ ? ? -≥ ? ?--≤ ? 则32 z x y =-的最大值为( ) A.0 B.2 C.4 D.6
3. [难度] 中 设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥??≤??+≤? 下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取 值范围为（ ） A ．(1,1 B ．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞ 【经典例题】 例1. 设变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤??+≥??--≤? 则2z x y =+的最大值为( ) A.5 B.4 C.1 D.8 例2. 若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤??+≥??--≤? 则2z x y =-的最大值为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 例3. 设,x y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥??--≤??≥≥? ，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最小 值为8，则a b +的最小值为____________. 例4. 在约束条件下0,0,,24, x y x y s x y ≥??≥??+≤??+≤?当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是( )
高一数学必修5：简单的线性规划问题
3.3.2 简单的线性规划问题 双基达标 (限时20分钟) 1．(2010·福建高考)若x ，y ∈R ，且????? x ≥1，x －2y ＋3≥0， y ≥x ， 且z ＝x ＋2y 的最小值等于 ( )． A ．2 B ．3 C ．5 D ．9 解析 可行域如图阴影部分所示，则当直线x ＋2y －z ＝0经过点M (1,1)时，z ＝x ＋2y 取得最小值，为 1＋2＝3. 答案 B 2．设x ，y 满足????? 2x ＋y ≥4x －y ≥－1， x －2y ≤2则z ＝x ＋y ( )． A ．有最小值2，最大值3 B ．有最小值2，无最大值 C ．有最大值3，无最小值 D ．既无最小值，也无最大值 解析 作出不等式组表示的平面区域，即可行域， 如图中阴影部分所示．由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ， 令z ＝0，作直线l ：y ＝－x .当平移直线l 至经过A (2,0)
时，z 取得最小值，z min ＝2，由图可知无最大值．故 选B. 答案 B 3．已知点P (x ，y )的坐标满足条件????? x ＋y ≤4，y ≥x ， x ≥1 ，则x 2＋y 2的最大值为 ( )． A.10 B ．8 C ．16 D ．10 解析 画出不等式组对应的可行域如图所示：易得A (1,1)，|OA | ＝2，B (2,2)，|OB |＝22，C (1,3)，|OC |＝10. ∴(x 2＋y 2)max ＝|OC |2＝(10)2＝10. 答案 D 4．已知????? 2x ＋3y ≤6x －y ≥0 y ≥0，则z ＝3x －y 的最大值为________． 解析 画出可行域如图所示，当直线z ＝3x －y 过点(3,0)时，z max ＝9. 答案 9 5．已知实数x ，y 满足????? x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0， 则y x 的最大值为________． 解析 画出不等式组
人教A版高中数学必修五线性规划
线性规划 姓名： 班级： . 一、选择题（共8小题；共40分） 1.目标函数z =3x ?y ，将其看成直线方程时，z 的意义是 () A.该直线的截距 B.该直线的纵截距 C.该直线的纵截距的相反数 D.该直线的横截距 2.完成一项装修工程，请木工需要付工资每人50元，请瓦工需要付工资每人40元，现有工人工资2000元，设木工x 人，瓦工y 人，则所请工人的约束条件是 () A.5x +4y <200 B.5x +4y ≥200 C.5x +4y =200 D.5x +4y ≤200 3.不在3x +2y <6表示的平面区域内的一个点是( ) A.(0,0) B.(1,1) C.(0,2) D.(2,0) 4.在平面直角坐标系中，不等式组{x +y ?2≤0 x ?y +2≥0y ≥0 表示的平面区域的面积是 () A.4√2 B.4 C.2√2 D.2 5.设变量x ，y 满足约束条件{x ?y ≥?1, x +y ≥1,3x ?y ≤3, 则目标函数z =4x +y 的最大值为 () A.4 B.11 C.12 D.14
6.设变量x ，y 满足约束条件{2x ?y ?2≤0, x ?2y +2≥0,x +y ?1≥0,则S =y+1 x+1 的取值范围是( ) A.[1,3 2] B.[1 2 ,1] C.[1,2] D.[1 2 ,2] 7.给出平面区域（包括边界）如图所示，若使目标函数z =ax +y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为 () A.1 4 B.3 5 C.4 D.5 3 8.已知点P 在平面区域{x ?1≤0 3x +4y ≥4y ?2≤0上，点Q 在曲线(x +2)2+y 2=1上， 那么∣PQ ∣的最小值是 () A.1 B.2 C.-1 D.1 2 二、填空题（共4小题；共20分） 9.约束条件{x ≥0， y ≥0，x +y ≤2 所表示的平面区域的面积为 ． 10.已知点A (3,1)和点B (?4,6)在直线3x ?2y +a =0的两侧，则a 的取值范围是 ． 11.设x ，y 满足约束条件{x ≤1, y ≤2,2x +y ?2≥0, 则目标函数z =√x 2+y 2的最小值为 ． 12.不等式{x ≥0 y ≥0y ≤?kx +4k (k >1)所表示的平面区域为M ，若M 的面积为S ，则kS k?1 的最小值为 ． 三、解答题（共4小题；共52分） 13.将图中的平面区域（阴影部分）用不等式表示出来． 14.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙 型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只能送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，问该公司如何合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润?并求出最大利润．
【全国百强校】山东省日照第一中学人教版高中数学必修五3.3简单线性规划学案
【自学】 对于题目：已知实数,x y 满足：12,x y ≤+≤11x y -≤-≤，求2x y +的取值范围. 有个同学的解法如下： 解：由已知，得不等式组：12(1) 11(2)x y x y ≤+≤ ?? -≤-≤ ? ， 两个同向不等式作加法，得： 原不等式组化为 两个同向不等式作加法，得023(4)y ≤≤ 即 0 1.5y ≤≤ (5). 两个同向不等式（3）和（5）作加法，得 从而2x y +的取值范围是[0,4.5]. 思考：上题合适的解法该是怎样的呢？？？ 【对话】 【精讲点拨】 例1、已知2z x y =+，其中实数,x y 满足：12 11 x y x y ≤+≤??-≤-≤?，求z 的最大值和最 小值. 小结：
1、线性规划中的几个相关概念： 2、解决简单线性规划的方法： 3.解简单线性规划问题的步骤：
【对话】 【合作探究与展示分享】 例2、设2z x y =+，式中变量,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-?? +≤??≥? ，求z 的最大值和最小值. 变式1、在例2中将2z x y =+改为610z x y =+，求z 的最大值和最小值. 变式2、在例2中将2z x y =+改为2z x y =-，求z 的最大值和最小值. 例3、设变量,x y 满足条件1035371x y x y x -+≤?? +≤??≥? ， （1） 找出,x y 均为正整数的可行解； （2） 求出目标函数53z x y =+的最大值； （3） 若,x y 均为正整数，求目标函数53z x y =+的最大值.
【评价】 【自我评价】 1. 右图中阴影部分的点满足不等式组52600 x y x y x y +≤??+≤? ?≥??≥?在这些点中，使目标函数68z x y =+取得最大值的点的坐标是______________. 2. 求函数23z x y =+的最大值，式中的,x y 满足约束条件2324700 x y x y x y +-≤ ??-≤? ?≥??≥? *3、在例2中将2z x y =+改为y z x =，求z 的最大值和最小值. *4、在例2中将2z x y =+改为2 2 z x y =+，求z 的最大值和最小值. **5.已知变量,x y 满足约束条件14 22x y x y ≤+≤?? -≤-≤? ，若目标函数 (0)z ax y a =+>其中仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为____________.
(新)高中必修五线性规划试题
二元一次不等式组和简单的线性规划模拟试卷 一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.已知点(3，1)和(－4，6)在直线3x －2y +a =0的两侧，则a 的取值范围是 ( ) A. a ＜－1或a ＞24 B. a =7或a =24 C. －7＜a ＜24 D. －24＜a ＜7 2.若x , y 满足约束条件210,0,0.x y x y +-≤?? ≥??≥? 则x +2y 的最大值是 ( ) A.［2，6］ B.(2，5) C.(3，6) D.(3，5) 3.满足｜x ｜+｜y ｜≤4的整点(横纵坐标均为整数)的点(x , y )的个数是 ( ) A.16 B.17 C.40 D.41 4.不等式x －2y +6＞0表示的平面区域在直线x －2y +6=0的 ( ) A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方 5.不等式组3,0,20x x y x y ≤?? +≥??-+≥? 表示的平面区域的面积等于 ( ) A.28 B.16 C. 4 39 D.121 6.在直角坐标系中，由不等式组230,2360,35150,0 x y x y x y y ->??+-
7.点P (a , 4)到直线x －2y +2=0的距离等于25且在不等式3x + y －3＞0表示的平面区域内，则点P 的坐 标为（ ） A ．(16，－4) B ．(16，4) C ．(－16，4) D ．(－16，－4) 8.在直角坐标平面上，满足不等式组22 4640, 233x y x y x y ?+--+≤??-+-≥?? 面积是 ( ) A ．6π+10 B ．9π－18 C ．8π－10 D ．18π－9 9．如图220x y -<表示的平面区域是 （ ） 10．已知点（3，1）和（－4，6）在直线3x －2y +a =0的两侧，则a 的取值范围是（ ） A ．a <－7或a >24 B ．a =7或a =24 11．给出平面区域如图所示，其中A （5，3），B （1，1）， C （1，5），若使目标函数z =ax +y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是 （ ） A ． 32 B ．21 C ．2 D ．2 3 12．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根 据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式有 ( ) A.5种 B.6种 C.7种 D.8种 二、填空题，本大题共6小题，每小题4分，满分24分，把正确的答案写在题中横线上.
高中数学必修五公式方法总结
高中数学必修五公式方法总结 第一章 解三角形 一．正弦定理： 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变形：2sin (sin )22sin (sin )22sin (sin )2a a R A A R b b R B B R c c R C C R ? ==?? ? ==?? ? ==?? 推论：::sin :sin :sin a b c A B C = 二．余弦定理： 三．三角形面积公式：111 sin sin sin ,222 ABC S bc A ac B ab C ?= == 第二章 数列 一．等差数列： 1.定义：a n+1-a n =d (常数) 2.通项公式：()n 1 n 1d a a =+-或()n m n m d a a =+- 3.求和公式:()()d n n n n a a a S n n 2 12 11-+ =+= 4.重要性质(1)a a a a q p n m q p n m +=+?+=+ (2) m,2m,32m m m S S S S S --仍成等差数列 二．等比数列：1.定义： )0(1 ≠=+q q a a n n 2.通项公式：q a a n n 1 1 -?=或q a a m n m n -?= 3.求和公式: n 1S na ,q 1== n 11n n a (1q )a a q S ,q 11q 1q --==≠-- 4.重要性质（1）a a a a q p n m q p n m =?+=+ 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-222 222 222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B a c a b c C ab +-=+-=+-=
人教版-高中数学必修5--简单的线性规划问题教案
简单的线性规划问题 教学目标： 1．了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念；理解线性规划问题的图解法；会利用图解法求线性目标函数的最优解． 2．在实验探究的过程中，让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生的数据分析能力、探索能力、合情推理能力及动手操作、勇于探索的精神； 3、在应用图解法解题的过程中,培养学生运用数形结合思想解题的能力和化归能力，体验数学来源于生活，服务于生活，体验数学在建设节约型社会中的作用. 教学重点和难点： 求线性目标函数的最值问题是重点；从数学思想上看，学生对为什么要将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y 轴上的截距的最值问题以及如何想到要这样转化存在一定疑虑及困难；教学应紧扣问题实际，通过突出知识的形成发展过程，引入数学实验来突破这一难点． 教学过程： > （一）引入 （1）情景 某工厂用A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件 耗时1h ，每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h.该产每天最多可从配件厂获得16 个A 配件和12个B 配件，按每天工作8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么 请学生读题，引导阅读理解后，列表 →建立数学关系式 → 画平面区域，学生就 近既分工又合作，教师关注有多少学生写出了线性数学关系式，有多少学生画出了相应 的平面区域，在巡视中并发现代表性的练习进行展示，强调这是同一事物的两种表达形 式数与形. 【问题情景使学生感到数学是自然的、有用的，学生已初步学会了建立线性规划模型 的三个过程：列表 →建立数学关系式→ 画平面区域，可放手让学生去做，再次经历从 实际问题中抽象出数学问题的过程，教师则在数据的分析整理、表格的设计上加以指导】 教师打开几何画板，作出平面区域. （2）问题 师：进一步提出问题，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元， 采用哪种生产安排利润最大 学生不难列出函数关系式y x z 32+=. 师：这是关于变量y x 、的一次解析式，从函数的观点看y x 、的变化引起z 的变
高中数学必修五：3.4+简单线性规划
3.4简单的线性规划 一、教学目标： 1．知识与技能目标：了解线性规划的意义，以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念．掌握线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大值和最小值．2．过程与方法目标：通过实例演示分析线性规划问题的图解法并会用图解法求目标函数的最值，培养学生的识图，画图，观察，联想能力和创新意识. 3．情感态度价值观：(1) 通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不 等关系．体会不等式（组）刻画不等关系的意义和价值． （2）体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题． （3）通过实例，体验数学与日常生活的联系，感受数学的使用价值．增强应用意识，提高实践能力,增强创新意识感受成功体验激发学习兴趣和自信心. 二、依据教学目标我确立了重点.难点如下： 教学重点： 用几何的方法解决代数问题，从而培养学生的画图，识图，数形结合能力及解决实际问题的能力，因此，我确定本节课的重点为线性规划问题的图解法。 教学难点： 如何将代数的问题转化为几何问题，再观察图形寻找最优解比较抽象，也很难理解，故确定难点为帮助学生应用数形结合的方法弄清目标函数所表示的几何意义，寻找线性规划问题中的最优解。 三、教法与学法分析 （一）学法指导 教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此在教学中要不断指导学生学会学习。本节课主要是教给学生“动手画、动眼看、动脑想、动口说、善提炼、勤钻研”的研讨式学习方法，以此来激励学生自主参与，合作交流的机会，教给了学生获取知识的途径、思考问题的方法，使学生真正成了教学的主体；只有这样做，才能使学生“学”有新“思”，“思”有新“得”，“练”有新“获”，学生也才会逐步感受到数学的美，会产生一种成功感，从而提高学生学习数学的兴趣；也只有这样做，课堂教学才富有时代特色，才能适应素质教育下培养“创新型”人才的需要。 （二）教法分析
人教版-高中数学必修5--简单的线性规划问题教案
简单的线性规划问题 教学目标： 1．了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念；理解线性规划问题的图解法；会利用图解法求线性目标函数的最优解． 2．在实验探究的过程中，让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生的数据分析能力、探索能力、合情推理能力及动手操作、勇于探索的精神； 3、在应用图解法解题的过程中,培养学生运用数形结合思想解题的能力和化归能力，体验数学来源于生活，服务于生活，体验数学在建设节约型社会中的作用. 教学重点和难点： 求线性目标函数的最值问题是重点；从数学思想上看，学生对为什么要将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题？以及如何想到要这样转化？存在一定疑虑及困难；教学应紧扣问题实际，通过突出知识的形成发展过程，引入数学实验来突破这一难点．教学过程： （一）引入 （1）情景 某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h.该产每天最多可从配件厂获得16 个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？ 请学生读题，引导阅读理解后，列表→建立数学关系式→画平面区域，学生就近既分工又合作，教师关注有多少学生写出了线性数学关系式，有多少学生画出了相应 的平面区域，在巡视中并发现代表性的练习进行展示，强调这是同一事物的两种表达形 式数与形. 【问题情景使学生感到数学是自然的、有用的，学生已初步学会了建立线性规划模型 的三个过程：列表→建立数学关系式→画平面区域，可放手让学生去做，再次经历从 实际问题中抽象出数学问题的过程，教师则在数据的分析整理、表格的设计上加以指导】 教师打开几何画板，作出平面区域. （2）问题 师：进一步提出问题，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？