A题：西安市经开区公共自行车服务系统设计

西安工业大学数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了西安工业大学数学建模竞赛的参赛规则与竞赛纪律。

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我们授权西安工业大学数学建模竞赛组委会，可将们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

西安市经开区公共自行车服务系统设计模型

摘要

本文主要研究了西安市经开区公共自行车服务系统设计的问题。主要运用了蚁群算法得出了较为合理的调度车辆运行路径，并采用了离散概率模型对需要调度的公共自行车情况进行了估计。在三期建设的规划选点问题上，我们建立了层次分析法模型（AHP），较为科学的确定了新增点的数目及其位置。

针对问题一，利用matlab把各站点位置经纬度坐标转换为更便于求解的距离矩阵，并由此通过建立离散概率模型的方式得出较为合适的各站点还车数目，最终通过蚁群算法实现了最优路径的筛选，得出合理的车辆分配方案及调度方案，求得最优的调度耗时。

针对问题二，对带筛选站点位置进行了合适的区域划分，又通过线性规划模型得到的新增租赁点数目及车辆总数。以此为基础，建立了AHP模型，得出了各区域建租赁点合理的重要性程度，按权重确定了各点所在位置及其分配的车辆数目。

针对问题三，在前两问求解的基础上得知必须要增加调度车辆。通过大量的计算机模拟，在尽量保证调度时间少和增加车辆数少的前提下，应用蚁群算法，反复的求解，最终得出了较为合适的新增调度车辆数目和自行车调度方案。

关键词：蚁群算法层次分析法离散概率模型最优化问题

1问题的重述

公共自行车租赁服务系统纳入城市公共交通体系，有助于解决公交出行“最后一公里”问题，使公共交通服务网络趋于更加完善。西安经开区公共自行车服务系统于2011年4月开始建设，到目前为止已建成租赁点30个，自行车总量达到850辆。为便于调度调配各租赁点的放置车辆以便更好地服务民众，以及建设覆盖面积更广受益人群更多的公共自行车租赁网络，本文将解决如下问题：(1)建立合适的数学模型，针对已有的30个租赁点设计最优车辆分配方案、调

度方案，并保证完成调度所耗费时间最少；

(2)用合适的数学模型确定经开区公共自行车服务系统三期建设新增租赁点的

数目、位置以及合适的放置车辆数目；、

(3)讨论在新增租赁点后是否需要增加调度车辆以保证在150min内完成调度。

2问题分析

1.针对问题一，在调配平均耗时尽量少的条件下，可简单地把问题拆分为最短

路径和车辆最优分配两类问题。通过蚁群算法可求得最优的车辆调配路径，而通过对租赁点的距离矩阵的归一化，可求得一个较为可信的还车概率矩阵。由此，可将两者结合，以获得最优的车辆分配方案及调度方案。

2.针对问题二，以最优地花费建设经费为目标，通过线性规划可以求得新增租

赁点的数目。为了选取的租赁点位置能最大程度的便捷市民的生活，可建立一个层次分析法的模型，确定其位置及所放置车辆数目。

3.针对问题三，可参考问题一的求解结果可以得出现有调度车数目是否满足在

150min内完成调度的条件。如果不能，我们应采用前两问数据，通过分析各站点需求量情况及其所在位置，用蚁群算法模拟调度车可能通过的路径，从中找出最优的调度路径，并作出合适的调度方案。

3假设与符号

3.1模型假设

i.假设附件二中提供的各租赁点每天的需求量不变；

ii.假设车辆调动过程中各租赁点车辆数目不再变化；

iii.忽略调度车在行驶过程中遇到红绿灯而损耗的时间；

iv.假设调度车的路径为租赁点间的直线路径；

v.假设两辆调度车同时开始调度；

vi.假设有足够经费新增调度车辆；

vii.忽略从事调度人员的费用。

3.2符号说明

1)T 单次调度耗时（min）；

2)S 单次调度总路程（m）；

3)n 新增租赁点数；

4) A 两两判断矩阵；

5)CR 一致性比率。

4模型的建立与求解

4.1问题一

由附件一中的30个租赁点位置、经纬度坐标以及附件二中各租赁点早中晚不同时间段的需求信息，可以简单的描述出30个租赁点每天不同的服务状况。

为了方便求解，我们分别用蚁群算法和归一化的方式处理数据，并得出了较为准确的最短路径和早中晚不同时段的还车数。

4.1.1问题一最短路径模型的建立

1)模型建立的准备

利用matlab软件将30个租赁点的位置信息（经纬度）转换为30×30的距离矩阵（见附录一）；并按照居民在某个租赁点还车的概率与租车点和还车点的距离成反比的关系，以及居民骑行距离不超过2km的条件，通过对距离矩阵归一化的方式得出30×30的概率矩阵（见附录一）。

2)蚁群系统基本原理

在蚂蚁群找到食物时，它们总能找到一条从食物到巢穴之间的最优路径。这是因为蚂蚁在寻找路径时会在路径上释放出一种特殊的信息素（phero-mone）。

当它们碰到一个还没有走过的路口时，就随机地挑选一条路径前行。与此同时释放出与路径长度有关的信息素。路径越长，释放的激素浓度越低。当后来的蚂蚁再次碰到这个路口的时候，选择激素浓度较高路径概率就会相对较大。这样形成

了一个正反馈。最优路径上的激素浓度越来越大，而其它的路径上激素浓度却会随着时间的流逝而消减。最终整个蚁群会找出最优路径。在整个寻径过程中，虽然单个蚂蚁的选择能力有限，但是通过激素的作用，整个蚁群之间交换着路径信息，最终找出最优路径。

3)基于MATLAB的蚁群算法求解最短路径问题

最短路径问题描述如下：

设有n个城市C=（1，2,...,n），任意两个城市i，j之间的距离为d ij，求一条经过每个城市的路径π=（π（1），π（2），...，π（n）），使得距离最小。

蚂蚁算法求解最短路径问题的过程如下：

（1）首先初始化，设迭代的次数为NC。初始化NC=0

（2）将m个蚂蚁置于n个顶点上

（3）m只蚂蚁按概率函数选择下一座城市，完成各自的周游每个蚂蚁按照状态变化规则逐步地构造一个解，即生成一条回路。蚂蚁的任务是访问所有的城市后返回到起点，生成一条回路。设蚂蚁k当前所在的顶点为i，那么，蚂蚁k由点i向点j移动要遵循规则而不断迁移，按不同概率来选择下一点。

（4）记录本次迭代最佳路线

（5）全局更新信息素值应用全局信息素更新规则来改变信息素值。当所有m个蚂蚁生成了m个解，其中有一条最短路径是本代最优解，将属于这条路线上的所有弧相关联的信息素值进行更新。全局信息素更新的目的是在最短路线上注入额外的信息素，即只有属于最短路线的弧上的信息素才能得到加强，这是一个正反馈的过程，也是一个强化学习的过程。在图中各弧上，伴随着信息素的挥发，全局最短路线上各弧的信息素值得到增加。

（6）终止若终止条件满足，则结束；否则NC=NC+1，转入步骤（2）进行下一代进化。终止条件可指定进化的代数，也可限定运行时间，或设定最短路长的下限。

（7）输出结果

4)基于蚁群算法得出的最短路径

（具体算法，程序包请见附录一）

图1 调度车路径

调度车1途经站点：

1，2，3，4，5，6，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，27，29总路程10.200km；

调度车2途经站点：

7，8，9，10，21，22，23，24，25，26，28，30

总路程8.753km。

5)由概率矩阵得到的分配方案及调度结果

表格1 分配方案及调度表

租赁点分配方案/

辆

早上调度/

辆

中午调度/

辆

下午调度/

辆

127-13-13-13 233009 3391436 43717111 527-13-13-10

622-2-13-18

733-71212

831110-6

9261244

1035142730

112881316

123517114

1325-15-2-5

1418-15-7-12

1527-10-13-13

1618-14-17-22

1733-38-3

18370148

1927-12-13-13

2026-11-14-15

2133-788

22190-14-15

2329-5-18

24211423

25173-6-2

262630-1

274014813

2824121514

2921-16-14-18

303511217

图中带负号为需要装载，不带符号表示需要卸载。

6)调度方案及调度耗时

调度车一：11→18→29→19→5→20→27→6→4→17→3→2→1→15→16→13→14→12；

调度车二：8→7→30→9→28→10→24→22→23→21→25→26

定义每次调度耗时为t(单位min)

S为调度一次总里程；v为平均速度30km/h;为装卸次数；t i为装卸平均耗时1min。

本文得出单次调度耗时取T=max{t}

早上中午下午平均实际装卸次数143 117 135 131

调度耗时t/min163 137 155 152

调度平均耗时minT=152（min）

4.2问题二

4.2.1模型的准备

假设经开区公共自行车服务系统三期建设准备投入建设200万元。由于建设一个租赁服务网点需要5万元，在使用周期内，购买，养护一辆自行车需要1000元。我们不妨设建设n个租赁点，一共投入C辆自行车;为后70个可选的租赁点的平均需求量。则只需满足以下条件即可：

目标函数：maxZ={5n+0.1}

约束条件：

则用lingo易得到此线性规划问题的最优解为n=29个，=539辆；

对于剩余70个租赁点的选取，我们可以利用二号地铁线中的北苑站（一区），城市运动公园站（二区），行政中心站（三区），凤城五路站（四区）将经济开发区化为四个区域，图见附件。然后用层次分析法来确定每个区域应该分配的自行车租赁点的数目，其次根据每个站点的平均日需求量来分配每个站点的自行车放置数目。

（区域一）

（区域二）

（区域三）

（区域四）

4.2.2模型二的建立

1)AHP建模的步骤

a)建立递阶层次结构模型

将问题所包含的因素按属性不同而分层, 可以划分为最高层、中间层和最低层. 同一层次元素作为准则, 对下一层次的某些元素起支配作用, 同时它又受上一层次元素的支配, 这种从上至下的支配关系形成一个递阶层次.

最高层通常只有一个元素, 它是问题的预定目标, 表示解决问题的目的, 因此也称目标层.

中间层为实现总目标而采取的措施、方案和政策, 它可以由若干个层次组成, 包括所需考虑的准则、子准则，因此也被称为准则层。

最底层为实现目标可供选择的各种措施、解决方案等，用于解决问题的各种途径和方法。

b) 构造两两比较判断矩阵

设 要比较n 个 因素X = { x 1, x 2 , ?, x n } 对目标Z 的影响, 确定它们 在 Z 中所占的比重. 每次取两个因素x i

和x j , 以a i j 表示x i 和x j 对Z 的影 响 之比, 得到两两比较判断矩阵: A = ( a i j ) n ×n ( 1)

其中, a i j > 0, a j i = 1 ( i ≠ j )

a i j = 1 ( i , j = 1, 2, ?, n) ( 2) 使式( 2 ) 成立的矩阵称为正负反矩阵.

确定a i j 采用1 ～9及其倒数作为标度的标度方法 。 如果介于上述相邻判断中间, a i j 取值分别为2, 4 , 6, 8 .

表格 2

解出 m ax 所对应的特征向量W , W

经过标准化后, 即为同一层次中相应元素对于上一层次中某 因素相对重要性的排序权值.

c) 一致性检验.

首先计算A 的一致性指标C I , 定义: 一致性指标：

max 1n

CI n λ-=

-

式中, n 为A 的阶数. 当C I = 0, 即 max= n 时, A 具有完全一致性. CI 愈大, A 的一致性愈差.

将CI 与平均随机一致性指标R I 进行比较, 令CR =

RI

CI

, 称CR 为随机性一致性比率. 当CR< 0. 1 0时, A 具有满意的一致性, 否则要对A 重新调整, 直到

具有满意的一致性. 这计算出的max 所对应的特征向量W , 经过标准化后, 才可以作为层次单排序的权值.

给出了对于1～9阶判断矩阵的RI 值.

表格 3 随机性指标RI 值

阶数n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 R I

0 0.58 0 . 9 0

1. 12

1 .

2 4

1. 32

1. 4 1

1 . 45

2) 层次总排序及其一致性检验

利用同一层次中所有层次单排序结果, 计算针对上一层次而言本层次所有元素重要性的

权值, 这就是层次总排序. 设上一层次所有元素A 1 , A 2, ?, A m 的总排序已完成, 其权值分别为m a a a ,...,,21与j a 对应的本层次元素n B B B ,...,21单排序结果为

nj j j b b b ,...,,21（当k B 与j A ，无关时，kj b ），B 层总排序权值由表给出∑∑===n

i n

j ij i b a 11

1，

总排序权值仍为标准化向量。

运用层次分析法将影响空气质量的原因（A ）,影响空气质量的因素（C ）由哪些方面引起（P ）分别设为目标层、中间层和最底层。

根据各因素的重要性关系构造判断矩阵, 并利用A HP 模型进行计算, 所得判断矩阵及 相应计算结果如下：

表格 4判断矩阵A---C

A C1 C2 C3 C1 1 3 2 0.8257 C2 1/3 1 1/3 0.2184 C3 1/2

3

1

0.521

注：λ=3.0536，CI=0.0268，CR=0.0.046<0.1

表格 5判断矩阵C1---P

C1 P1 P2 P3 P4 P1 1 1/3 1/3 1/7 0.1022 P2 3 1 1/2 1/5 0.2140 P3

3

2

1 1/3

0.3379

P475310.9108注：λ=4.O731，CI=0.0243，CR=0.02<0.1

表格6判断矩阵C2—P

C2P1P2P3P4

P111/31/51/70.0821 P23121/50.2699 P351/211/50.2242 P475510.9328注：λ=4.2649，CI=0.0833，CR=0.09<0.1

表格7判断矩阵C3—P

C3P1P2P3P4

P111/31/31/70.1002 P2311/21/50.2140 P33211/30.3379 P475310.9102注：λ=4.0731，CI=0.0243，CR=0.02<0.1

第三层的权矩阵为：

W=()=

得第三层对第一层的组合权向量为：

W*=

组合一致性检验：

第三层有三个成对比较矩阵，其对应的三个一致性指标(j=1,2,3),随机一致

性指标为

CI=()*=0.0520 RI= (

,)* =1.40

得到第三层对第一层的组合一致性比率为： CR=

+=0.083<0.1

所以通过组合一致性检验。 3) 模型的结果

通过组合权向量可知：四区对自行车的需求量最大，其次是三区、二区、一区。并由此得知，自行车站点的数目由多到少依次为四区、三区、二区、一区。

而从实际情况看，由于总共需要建立29个站点，根据四个区所占比重，一区应该建立2个站点，二区应该建立 4个站点，三区应该建立 6个站点，四区区域 1 2 3 4 分得自行车数 36

73

109

310

按每个区域自行车日需量得大小分配每个区域的租赁点，由此可得每个区域选择的租赁点为：（下表中括号外为站点编号，括号内为分得自行车数目）

表格 8 站点自行车分配表

区

域 1 2 3 4

所选

的站点及

分得车辆数

56（19），

60 （17） 47（19）, 49（18）, 63（17）, 73（20） 39（16）, 40（19）， 41（17）， 43（17）

71（16）， 76（24）

31(21),32(18),33(20),34(19),35(13) 36(21),77(28),80(21),81(18),82(10) 84(24),86(16),87(25),88(26),95(10) 97(10),100(10)

4.3 问题三

4.3.1 数据处理及分析

在增加租赁点的前提下，根据问题一和问题二的结果可知用两辆调度车无法使调度时间控制在150min 内。因而，我们必须增加调度车辆而控制调度时间较短。

对此我们调取了被选中的29个租赁点和已建好的30个站点的位置信息，并由此用matlab软件做出了一个59×59的距离矩阵（见附录二）。并从中挑选出了该59个点的每日需求情况表。由于问题三与问题一有许多的相似之处，我们对模型一稍作改进，并用它对问题做出了求解。

4.3.2问题的求解

问题一中两辆车完成调度平均耗时152min，故我们根据其时间与租赁点的数目的关系，确定增加1到3辆调度车较为合适。根据各租赁点分布的情况，我们又将租赁点依次划分入3,4,5个区域内。并由此在大量的计算机模拟的基础上求解出较为合适的结果。

调度车辆数分别为3,4,5辆时的最优解对比：

通过问题一的结果，我们简化了问题，在每个站点平均装卸次数c d=8。

故有单程装卸次数c z=n×c d。

表格9 调度方案比较

由表格8可知，当调度车数目为5时，调度耗时为113.02min远远小于150min 故增加3辆调度车最为合适。

图1 自行车调配方案

具体调度路线

调度车1：47-49-10-28-56-60-30-9-7-63-2（绿色）；

调度车2：39-17-95-36-40-24-43-41-22-23-6-4（红色）；

调度车3：26-25-73-76-71-18-29-19-5-20-21-27（紫色）；

调度车4：33-35-32-31-97-2-14-34-3（蓝色）；

调度车5：84-86-87-81-12-13-100-1-15-16-80-82-11-77-88（黑色）。

5模型的检验

5.1模型一

对模型一，我们经过大量的计算，可知调度方案及分配方案较为合适，符合题目的要求。但，在实际调度中，将出现调度过程中不能按设计路线顺利进行下去的状况，因为调度车装载公共自行车数量的限制，并不能按设计装卸。

5.2模型二

用层次分析法我们得出了在各区建点的权重，并通过了一致性检验，由此可

知在各区选点数目及车辆分配较为合理。并可由此达到最大限度的花费最省的经费建设最多的站点。

5.3模型三

通过反复的计算机模拟过程得到了较为合适的调度方案，并把时间控制在了150min内。

6进一步讨论

6.1模型中存在的问题

1.蚁群算法中并未加入调度车装卸车辆的约束，造成结果并不是对每次调

度都适用；

2.模型是静态的，而实际调度中每个站点时刻都在发生变化，应考虑建立

一个动态的更贴合实际的模型；

3.新增租赁点的选取用层次分析法模型实现，必然导致结果过于主观，不

能达到客观使用的要求，应作进一步优化；

4.新增调度车辆的数目和调度方案的产生用了大量的重复演算，不仅严重

浪费时间，且不能保证结果为全局最优解。

5.模型的检验没有做到定量分析。

6.2改进的方法

1.应进一步改进蚁群算法，使之考虑到每个租赁点实际调度情况和调度车

容量的限制；

2.应在模型的基础，加入时间，实际车辆数等动态参数，以期更科学地实

现智能调动车辆，避免人力的浪费，提高资源的使用率；

3.可以考虑从图论或离散模型的角度建立更加精确地模型。

参考文献

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信息与安全，第4期，2012年。

[5]温晓映，蔡方益，汪徐燕，公共自行车租车点最佳设置问题，宁波工程学院

学报，第24卷第1期，2012年。

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社，2010.1。