2007上海市高考数学
2007上海市高考数学试卷文科
2007年上海市高考数学试卷（文科）
一、填空题（共11小题，每小题4分，满分44分）
1、（2007?上海）方程的解是_________ ．
2、（2007?上海）函数的反函数f﹣1（x）= _________ ．
3、（2007?上海）直线4x+y﹣1=0的倾斜角θ= _________ ．
4、（2007?上海）函数的最小正周期T= _________ ．
5、（2007?上海）以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是_________ ．
6、（2007?上海）若向量的夹角为60°，
，则= _________ ．
7、（2007?上海）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的大小是_________ （结果用反三角函数值表示）．
8、（2007?上海）某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2，5，x，4天．四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C完成后，D可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序C需要的天数x最大是_________ ．
9、（2007?上海）在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是
_________ （结果用数值表示）．
10、（2007?上海）对于非零实数a，b，以下四个命题都成立：
①；②（a+b）2=a2+2ab+b2；
③若|a|=|b|，则a=±b；④若a2=ab，则a=b．那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是_________ ．
11、（2007?上海）如图，A，B是直线l上的两点，且AB=2．两个半径相等的动圆分别与l相
切于A，B点，C是这两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S的取值范围是_________ ．
二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）
12、（2007?上海）已知a，b∈R，且2+ai，b+3i （i是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两个根，那么a，b的值分别是（）
A、a=﹣3，b=2
B、a=3，b=﹣2
C、a=﹣3，b=﹣2
D、a=3，b=2
13、（2007?上海）圆x2+y2﹣2x﹣1=0关于直线2x ﹣y+3=0对称的圆的方程是（）
A、B、
C、（x+3）2+（y﹣2）2=2
D、（x﹣3）2+（y+2）
2=2
14、（2007?上海）数列{a n}中，
则数列{a n}的极限值（）
A、等于0
B、等于1
C、等于0或1
D、不存在
15、（2007?上海）设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：“当f（k）≥k2成立时，总可推出f（k+1）≥（k+1）2成立”．那么，下列命题总成立的是（）
A、若f（1）＜1成立，则f（10）＜100成立
B、若f（2）＜4成立，则f（1）≥1成立
C、若f（3）≥9成立，则当k≥1时，均有f （k）≥k2成立
D、若f（4）≥25成立，则当k≥4时，均有f（k）≥k2成立
三、解答题（共7小题，满分90分）
16、（2007?上海）在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成的角为60°，求正四棱锥P﹣ABCD的体积V．
17、（2007?上海）在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边．若，，求△ABC的面积S．
18、（2007?上海）近年来，太阳能技术运用的步
伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．
（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；
（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？
19、（2007?上海）已知函数，常数a∈R）．
（1）当a=2时，解不等式f（x）﹣f（x﹣1）＞2x﹣1；
（2）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由．
20、（2007?上海）如果有穷数列a1，a2，a3，…，
a m（m为正整数）满足条件a1=a m，a2=a m﹣1，…，a m=a1，即a i=a m﹣i+1（i=1，2，…，m），我们称其为“对称
数列”．例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”．
（1）设{b n}是7项的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4是等差数列，且b1=2，b4=11．依次写出{b n}的每一项；
（2）设{c n}是49项的“对称数列”，其中c25，c26，…，c49是首项为1，公比为2的等比数列，求{c n}各项的和S；
（3）设{d n}是100项的“对称数列”，其中d51，d52，…，d100是首项为2，公差为3的等差数列．求{d n}前n项的和S n（n=1，2，…，100）．
21、（2007?上海）我们把由半椭圆（x≥0）与半椭圆（x≤0）合成的曲线称作“果圆”，其中a2=b2+c2，a＞0，b＞c＞0．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，M是线段A1A2的中点．
（1）若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程；
（2）设P是“果圆”的半椭圆（x≤0）上任意一点．求证：当|PM|取得最小值时，P在点B1，B2或A1处；
（3）若P是“果圆”上任意一点，求|PM|取得最小值时点P的横坐标．
答案与评分标准
一、填空题（共11小题，每小题4分，满分44分）
1、（2007?上海）方程的解是x=﹣1 ．考点：有理数指数幂的运算性质。
专题：计算题。
分析：把，化为3﹣2，然后按照指数幂的运算法则，转化为一次方程，求解即可．
解答：解：
故答案为：x=﹣1．
点评：本题考查有理数指数幂的运算性质，是基础题．
2、（2007?上海）函数的反函数f﹣1（x）=．
考点：反函数。
专题：计算题。
分析：根据反函数的求法，直接求解即可．
解答：解：由可得
故答案为：
点评：本题考查反函数的求法，考查计算能力，
是基础题．
3、（2007?上海）直线4x+y﹣1=0的倾斜角θ=π﹣arctan4 ．
考点：直线的倾斜角；反三角函数的运用。
专题：计算题。
分析：由直线斜率得到倾斜角的正切值，根据正切值小于0，推出θ的范围，利用反正切函数得到θ的值．
解答：解：因为直线的斜率为﹣4，所以ta nθ=﹣4＜0，得到，
则θ=π﹣arctan4．
故答案为：π﹣arctan4
点评：考查学生掌握直线斜率与倾斜角的关系，会利用反正切函数求角的度数．做题时要注意θ的范围．
4、（2007?上海）函数的最小正周期T= π．
考点：三角函数的周期性及其求法；诱导公式一。专题：计算题。
分析：先对函数进行化简整理得y=﹣tanx，再根据正切函数的性质可知最小正周期．
解答：解：
．故答案为π．
点评：本题主要考查三角函数的周期问题．属基础．
5、（2007?上海）以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是y2=12x ．
考点：双曲线的简单性质；抛物线的标准方程。专题：计算题。
分析：由题意知抛物线的顶点为（0，0），焦点为（3，0），所以抛物线方程．
解答：解：双曲线的中心为O（0，0），该双曲线的右焦点为F（3，0），
∴抛物线的顶点为（0，0），
焦点为（3，0），
∴p=6，
∴抛物线方程是）y2=12x．
答案：y2=12x．
点评：本题考查圆锥曲线的基本性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．
6、（2007?上海）若向量的夹角为60°，
，则=．
考点：平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角。
专题：计算题。
分析：用向量的数量积公式求值，将则
展开后，用内积公式与求模公式求值．
解答：解：
，
故答案为．
点评：考察内积公式及向量模的公式，属于向量里面的基本题型．
7、（2007?上海）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的大小是（结果用反三角函数值表示）．
考点：异面直线及其所成的角。
专题：计算题。
分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点A1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的
角，在三角形中再利用余弦定理求出此角的余弦值，再用反三角函数值表示即可．
解答：解：∵A1C1∥AC，
∴异面直线A1B与AC所成角为∠BA1C1，
易求，
∴．
故答案为
点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
8、（2007?上海）某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2，5，x，4天．四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C完成后，D可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序C需要的天数x最大是 3 ．
考点：进行简单的合情推理。
专题：探究型。
分析：这是一个简单的合情推理问题，我们可以根据四道工序的先后顺序及相互关系，计算出完成整个工序需要的最少工作时间，再结合该工程总时数为9天构造方程，易得到完成工序C需要
的天数x的最大值．
解答：解：因为A完成后，C才可以开工，
C完成后，D才可以开工，
完成A、C、D需用时间依次为2，x，4天，
且A，B可以同时开工，
该工程总时数为9天，
∴2+x max+4=9?x max=3．
故答案为：3
点评：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．
9、（2007?上海）在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是
0.3 （结果用数值表示）．
考点：等可能事件的概率。
专题：计算题。
分析：由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是从5个数字中选3个，共有C53种结果满足条件的是剩下两个数字都是奇数，即取出的三个数为两偶一奇有C22C31种结果，根据古典概
型公式得到结果．
解答：解：由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生的所有事件是从5个数字中选3个，共有C53种结果
满足条件的是剩下两个数字都是奇数，
即取出的三个数为两偶一奇有C22C31种结果，
∴剩下两个数字都是奇数的概率是
．
故答案为：0.3
点评：本题主要考查古典概型，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题
10、（2007?上海）对于非零实数a，b，以下四个命题都成立：
①；②（a+b）2=a2+2ab+b2；
③若|a|=|b|，则a=±b；④若a2=ab，则a=b．那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是②④．
考点：复数的基本概念；四种命题的真假关系。专题：常规题型。
分析：要熟悉复数的概念和性质及其基本运算．解答：解：对于①：解方程得ai，所以非零复数ai使得，①不成立；
②：显然成立；
③：在复数集C中，|1|=|i|，则|a|=|b|?a=±b，所以③不成立；
④：显然成立．则对于任意非零复数a，b，上述命题仍然成立的所有序号是②④
所以应填上②④．
点评：对于①③要善于举反例．
11、（2007?上海）如图，A，B是直线l上的两点，且AB=2．两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是这两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S的取值范围是．
考点：圆与圆的位置关系及其判定。
专题：计算题；数形结合。
分析：结合图形，可见当⊙O1与⊙O2外切于点C
时，S最大，圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S
就是矩形ABO2O1的面积减去两扇形面积，解答即可．
解答：解：如图，当⊙O1与⊙O2外切于点C时，S 最大，
此时，两圆半径为1，S等于矩形ABO2O1的面积减去两扇形面积，
∴，
随着圆半径的变化，C可以向直线l靠近，
当C到直线l的距离d→0时，S→0，
∴S∈．
点评：本题考查圆与圆的位置关系，数形结合的思想，是中档题．
二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）
12、（2007?上海）已知a，b∈R，且2+ai，b+3i （i是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两个根，那么a，b的值分别是（）
A、a=﹣3，b=2
B、a=3，b=﹣2
C、a=﹣3，b=﹣2
D、a=3，b=2
考点：复数代数形式的混合运算。
分析：实系数一元二次方程的虚根，是共轭复数，可求得结果．
解答：解：因为2+ai，b+3i（i是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根，所以2+ai与b+3i互为共轭复数，则a=﹣3，b=2．
故选A．
点评：本题考查实系数方程根的问题，是基础题．13、（2007?上海）圆x2+y2﹣2x﹣1=0关于直线2x ﹣y+3=0对称的圆的方程是（）
A、B、
C、（x+3）2+（y﹣2）2=2
D、（x﹣3）2+（y+2）
2=2
考点：关于点、直线对称的圆的方程。
分析：先求圆心和半径，再去求对称点坐标，可
得到圆的标准方程．
解答：解：圆x2+y2﹣2x﹣1=0?（x﹣1）2+y2=2，
圆心（1，0），半径，关于直线2x﹣y+3=0对
称的圆半径不变，排除A、B，两圆圆心连线段
的中点在直线2x﹣y+3=0上，C中圆（x+3）2+（y ﹣2）2=2的圆心为（﹣3，2），验证适合，故选C 点评：本题是选择题，采用计算、排除、验证相结合的方法解答，起到事半功倍的效果．
14、（2007?上海）数列{a n}中，
则数列{a n}的极限值（）
A、等于0
B、等于1
C、等于0或1
D、不存在
考点：极限及其运算。
专题：计算题。
分析：因为n→ω，所以，所以
，由此可求出数列{a n}的极限值．解答：解：，
故选B
点评：本题考查数列的极限，解题时要注意公式的选取和运用．
15、（2007?上海）设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：“当f（k）≥k2成立时，总可推出f（k+1）≥（k+1）2成立”．那