高一数学同步辅导讲解

高一寒假数学同步辅导讲义（典型例题分析和练习）

典型例题分析

【题1】设集合A={x︱x∈Z，且－10≤x≤－1},B={x︱x∈Z，且︱x︱≤5},则A Y B中的元素个数是（）

A．11 B。10 C。16 D。15

分析：本题主要考查集合的概念及集合的并集运算可借助于数轴求解

解：如图所示

A Y B={x︱x∈Z，且－10≤x≤5}

显然，A Y B中有16个整数，故选C

评注：该题容易错选D，原因是忽视了“0”元素。

【题2】如图所示，U是全集，M，P，S是U的3个子集，则阴影部分表示集合是（）A．（M I P）I S

B．（M I P）Y S

C．（M I P）I S

D．（M I P）Y S

分析：本题主要考查考生对综合的韦恩图的理解，给出全集U与3个子集M，P，S的关系图，求阴影部分表示的集合，可以用直接分析判断法，也可用间接排除法。

解：解法1：由图中阴影部分所表示的集合是M I P的子集，同时又是S的补S的子集

故选C。

解法2：图中表示集合S的区域与阴影部分没有公共面积，即阴影部分表示的集合不含S的元素，排除B；M，P，S三个区域的公共部分位于阴影外部，排除A；阴影只是区域S的一部分，S中的元素不全部落在阴影里，排除D；从而得C是所求。

评注：在失分的考生中，有过半的考生误用D作答，说明考生混淆了集合的交与并这两个概念，是该题失分的主要原因，至于集合的韦恩图的含义，已为考生们所普遍掌握。

【题3】设U是全集，非空集合P，Q满足P?Q?U，若含P，Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集?，则这个运算表达式可以是_________（只要写出一个表达式）分析：本题主要考查集合的基本概念和集合间的包含关系，考查考生对符合语言和图形语言的互译能力

解：通过画出韦恩图，就可直觉地看出答案为Q I P

评注：本题是一道通俗读物是的集合开放题，逆向考查集合的运算能力。

【题4】命题“a，b是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是（）

A ． a+b 不是偶数，则a ，b 都不是偶数

B ． a +b 不是偶数，则a ，b 不都是偶数

C ． a +b 不是偶数，则a ，b 都是偶数

D ． a 、b 都不是偶数，则a+b 不是偶数

分析：本题主要考查“若p 则q ”形式的命题的逆否命题的概念，以及考生的转化能力，按逆否命题的定义求解即可。

解 p q p

所以故选B

评注：正确理解常用词语的否定，是本题的解题关键，如“都是”的否定是“不都是”

【题5】设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么（）

A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件

B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件

C ．丙是甲的充要条件

D ．丙不是甲的充分条件，也不是甲的充分条件

分析：本题主要考查“q “形式的命题，其条件和结论之间的逻辑关系，可以从四

解：∵乙乙

丙不成立。即丙不是甲的必要条件故选A

评注：解答本题容易发生逻辑混乱

【题6】设集合A={x ︱︱x －a ︱<2,B={x ︱

2+-x x <1}，若A ?B ，求实数a 的取值范围。分析：本题主要考查集合的包含关系等概念，分式不等式，绝对值不等于和不等式给的解法，同时考查了考生的化归能力。

解，由︱x －a ︱<2得a －2

212+-x x <1,得2

+-x x <0，即－2

a+2≤3

故0≤a ≤1

评注：在确定（※）不等式时，可借助于数轴，数形结合处理

【题7】设集合A 和B 都是自然数集合N *

，映射f:A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n

+n ，则在映射f 下，象20的原象是（） A ．2 B 。3 C 。4 D 。5

分析：根据映射定义，列出原象的方程2n+n=20

解，依题意，得

2n+n=20，将A、B、C分别代入检验，知n=4，故选C

评注：本题建立方程容易，解方程难，考虑到选择的特点，可逆向代入验根

【题8】已知映射f:A→B,其中，集合A={－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的像，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是︱a︱，则集合B中的元素个数是（）

A．4 B。5 C。6 D。7

分析：本题主要考查映射的概念，解答该题可依题意具体写出像集合B中所有的元素，再数其个数你答；也可将原像集A中的元素按负数与非负数分成两类，从整体考虑作答。

解法1：依题意可将映射f:A→B的原像与像之间的对应列成表2—5

表2—5：

A的元素－3 －2 －1 1 2 3 4

映射f下的像 3 2 1 1 2 3 4

因此像集合B={3，2，1，4}，即得B中元素的个数个为4，取A为答案

解法2：依题意，对任意a∈A,f(a)=︱a︱,因为A中含3个负数－3，－2，－1的绝对值都在A中的正数中故n=4，得A为答案。

评注：该题错答的考生中，多数选为D，反映了他们对集合中元素的相异性没有掌握好。【题9】（若函数y=f(x)的反函数是y=g(x), f(a)=b, ab≠0, 则g(b)等于（）

A．a B.a1- C.b D.b1-

分析：本题主要考查反函数概念，只要对反函数的定义有基本的理解，抓住函数对应关系的法则，便能能正确作答，考点集中，又属最基础的知识，因而得分率高，通过率是0.84 解法1 因为f(x)与g(x)互为反函数，即对f(x)定义域中的任意值x，都有g(f(x))=x，所以由f(a)=b，便有g(b)=g(f(a))=a，因此取A作答。

解法2 取特殊函数f(x)=x+1，其反函数f(x)=x－1，进而取a=2，有f(a)=3,即b=3，从而g(b)=3－1=2，选A为答案

评注：解答本题失误的主要原因是混淆“函数的互反”与“实数的倒数”这两个概念。

【题10】已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图所示，则（）

A．b∈(－∞，0) B.b∈(0，1)

C.b∈(1，2)

D.b∈(2，+∞)

分析：观察图形，从形向数转化

解法一：由题意得

f(0)d=0

f(1)=a+b+c+d=0

f(2)=8a+4b+2c+d=0

解这个关于b ，c ，d 的方程组，得 b=－3a, c=2a, d=0

由图2—19知，f(3)>0,即27a+9b+3c=6a>0 ∴b=－3a, (－∞，0)

评注：本题考查识图、读图，将图形语言转化为数学符号语言的能力

【题11】设函数f(x)=

x a

x ++(a>b>0)，求f(x)的单调区间，并证明f(x)在其单调区音频的单调性。

分析：从定义域入手，用定义证明

解：函数f(x)

x a

x ++的定义域为(－∞,－b)Y (－b ，+∞) f(x)在（－∞，－b ）内是减函数，f(x)在(－b ，+∞)内也是减函数证明f(x)在(－b ，+∞)内是减函数

取x 1，x 2∈(－b ，+∞)且x 1

b x a x ++11－b

x a

x ++22 =

)

)(()

)((2112b x b x x x b a ++--

∵a －b>0. x 2－x 1>0, (x 1+b)(x 2+b)>0 ∴f(x 1)－f(x 2)>0

即f(x)在(－∞,－b)内是减函数

评注：本小题主要考查函数的单调性及不等式的基础知识，以及数学推理判断的能力

【题12】某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴，设淡水鱼的市场价格为x 元/千克，政府补贴为t 元/千克。根据市场调查，当8≤x ≤14时，淡水鱼的市场日供应量P 千克与市场日需求量Q 千克近似满足关系： P=1000（x+t －8）(x ≥8，t ≥0) Q=5002

)8(40--x (8≤x ≤14)

当P=Q 时的市场价格称为市场平衡价格。

（1）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域（2）为使市场平衡价格不高于每10元/千克，政府至少补贴多少？

分析：本题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力，以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法。

解（1）依题设有 1000(x+t －8)=5002

)8(40--x 化简得5x 2

+(8t －80)x+(4t 2

－64t+280)=0

当△=800－16t 2≥0时可得x=8－

54t ±5

2250t -

由△≥0，t ≥0，8≤x ≤14得不等式组