高中数学-函数的基本性质小结

函数的基本性质【教学目标】

【教学重点】

函数的基本性质及应用

【教学难点】

函数关系的建立、用函数的性质解决简单的实际问题与领悟数学思想方法。

【教学过程】：

一.知识整理

1. 基本思想

(1)函数主要研究两个变量的相互联系，故涉及到两个变量的相互作用、相互影响的问题，

大多可用函数的观点来解决。

(2)研究函数的主要途径是函数的图象和基本性质(以图象说明性质) 。

2. 主要问题：

(1)函数图象的基本作法： a.分段b.平移c.对称d.伸缩

(2)函数单调性的求法： a.图象b.单调运算c.复合函数d.定义

(3)函数最值(或范围)的求法： a.图象b.单调性c.不等式d.复合函数e.换元

f.数形结合

(4)反函数求法：①解出x =? (y)，②调换x,y,③写出反函数定义域

3. 函数的基本性质

函数定义：在某个变化过程中有两个变量x,y,如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f, y都有唯一确定的实数值与之对应，那么y就是x函数，记作y = f (x), x€ D, x叫做自变量，x的取值范围D叫做函数的定义域，和x 的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

函数的相等：定义域相同，对应法则相同

函数图象：以自变量x的值为横坐标，与x的值对应的y的值为纵坐标所构成的点集，即{(x,y)|y =f (x), x€ D}

a. 定义域：自变量x的取值范围；亦为函数图象上点的横坐标的集合

b. 值域：因变量y的取值范围；亦为函数图象上点的纵坐标的集合

c. 奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a，都有f(- a)= f(a)，则称函数

f(x)为偶函数；

如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a,都有f(- a)=- f(a)，则称函数f(x) 为奇函数；

判断准则：1?定义域关于原点对称，2.f(X)f(x)；奇

f ( x) f (x);偶

奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称

d. 单调性：存在定义域的子集M，对于M内的任意两个值x1 ,x2,当x1 x2时，总有

f(xj f(x2)(或f(xj f (x2))成立，则称函数f(x)在集合M上单调递增

(或递减)。

e. 最值：定义域内的函数值的最大(小)值。亦即函数图象上最高(低)点的纵坐标。

f. 周期性：对于函数y=f(x),若存在一个常数T 0，使得当x取定义域内的每一个值时,

都有f(x+T)=f(x)成立，则称f(x)为周期函数，常数T叫做f(x)的周期。

4. 基本函数：常数函数；正比例函数；反比例函；数一次函数；二次函数;

5. 函数构成

在基本函数的基础上:

(b)复合：y = f(g(x))

b y ax —

x

(a)运算：以和、差、商、积函数为代表，如:

b y ax —

x

:■?例题精析

【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的单调性，填空题，易，逻辑思维能力。

力。

设a 为实数，函数f(x) 2x 2 (x a) |x a|.

(1)若f (0) 1，求a 的取值范围;

⑵求f (x)的最小值;

【解答】 【题目】函数f(x)

log 5(2x 1)的单调增区间是 【解答】答案为

1 1

T 。由

2x10

，得x 2，所以函数的单调增区间是

1 2’

。要熟知各类函数的定义、性质，尤其是一次函数、二次函数、反比例

函数、指数函数、对数函数和幕函数。

【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的单调性，填空题，中，分析问题与解决问题

能力。

2

【题目】已知函数f(x) x ，

(x 1)3

,x

2

，若关于x 的方程f(x) k 有两个不同的实根,

2

则实数k 的取值范围是

【解答】

f (x) 2

(x 2)单调递减且值域为(0,1］， f (x)

x

3

(x 1) (x 2)单调递增且值域

【属性】

为(，1)， f (x) k 有两个不同的实根，则实数

高三复习，函数的基本性质，函数的性质，解答题，难, k 的取值范围是(0,1)。

分析问题与解决问题能 【题目】 ⑶设函数 h(x) f (x),x (a,

直接写出 (不需给出演算步骤 )不等式h(x) 1的解集.

(1 )若 f (0)

1，则 a|a|

a 0 a 2 1

(2)当 x a 时，f(x) 3x 2

2ax

2

a

，f (x)min

f (a),a

2a 2, a 0 2a 2 ,a 0

3

【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，解答题，难，分析问题与解 决问题能

力。

【题目】 有时可用函数

0.1 15l n-^,(x 6)

a x x 4.4 /

,(x 6) x 4

描述学习某学科知识的掌握程度，其中 x 表示某学科知识的学习次数( x N *) 示对该学科知识的掌握程度，正实数 a 与学科知识有关。

(1) 证明：当x 7时，掌握程度的增加量 f(x 1) f (x)总是下降；

(2)

根据经验，学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间

(115,121],(121,127],(121,133]。当学习某学科知识 6次时，掌握程度是 确

定相应的学科。

2 2

当 x a 时，f(x) x 2ax a , f(x)min

2

f( a),a 0 2a ,a 0 f(a), a 0

2a 2,a 0

综上 f (x)min

2a 2, a 0

2a 2 -

訂0

(3)

(a,

)时，h(x)

1 得 3x 2

2 ax a 2 1

4a 2

2

12(a

1)

12 8a 2

讨论得:

￡时，

2 0,x

(a,)

时，△ >0,得：(x

2

a 3 2a )

3

时，解集为 (a,)；

时，解集为(a,

3

.3 2a 2

3

)；

.2

a ..3 2a 2

宁时，解集为

).

f(x)

，f (x)表

分另U 为 85%，请

【解答】

(1 )当 x 7时，f (x 1) f (x)

0.4

(x 3)(x 4)

而当x 7时，函数y (x 3)(x 4)单调递增，且(x 3)(x 4) >0……..3分 故f(x 1) f(x)单调递减

当x 7时，掌握程度的增长量 f(x 1) f(x)总是下降 ................ ..6分

a

(2)由题意可知 0.1+15In =0.85 ....................... .9 分

a 6

由此可知，该学科是乙学科 ........... ..14分

【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的性质，解答题，难，数学探究与创新能力。 【题目】已知函数y f (x)的反函数。定义：若对给定的实数a(a 0),函数y f(x a) 与y L(x a)互为反函数，则称

y f (x)满足“ a 和性质”；若函数y f(ax)与

1

y f (ax)互为反函数，则称 y f(x)满足“ a 积性质”。 (1) 判断函数g(x) x 2 1(x 0)是否满足“ 1和性质”，并说明理由； (2) 求所有满足“ 2和性质”的一次函数； (3)

设函数y f (x)(x

0)对任何a 0,满足“ a 积性质”。求y f (x)的表达式。

【解答】(1)函数g(x) x 2 1(x 0)的反函数是g 1(x) x 1(x 1)

g 1(x 1)

.x(x 0)

故函数g (x) x 2 1(x 0)不满足“ 1和性质”

(2)设函数f(x) kx b(x R)满足“ 2和性质”，k 0.

整理得

a

^"6

0.05

解得a

0.05

e 0.05

-

e

1

20.50 6 123.0,123.0 (121,127]

.13分

2

而 g(x 1) (x 1)

1(x

1),其反函数为y x 1 1(x 1)

f 1(x) ￥(x R),

k

f 1(x 2)

.6分

而 f(x 2) k(x 2) b(x R),得反函数 y

x b 2k

.8分