蓝以中第三章行列式3.2剖析

§2 n 阶方阵的行列式

现在我们按照上节几何实例的提示，来阐述n 阶方阵行列式的概念及其基本性质。

1. 行列式函数的定义

读者在中学里已经学习过定义在实数域上的函数：对于每个实数x ，都按

一个给定的法则对应于一个唯一确定的实数y ，x 称为自变量，y 称为x 的函数，使用记号()y f x =来表示。在前面两章我们把研究范围扩大，摆脱了实数运算的限制，进入矩阵运算这个新领域。与此相应，函数的概念也应当扩大，把自变量由实数转换成矩阵，即研究定义在数域K 上n 阶方阵所成的集合()n M K 上的函数()y f x =。

进入大学后学习微积分的知识，对函数的研究深入了一步：研究某些特殊的函数。设()f x 是定义在区间(),a b 内的函数，如果它满足某些特定条件，它就称为一个连续函数，如果它再满足某些进一步的条件，它就称为区间(),a b 内的可微函数。数学分析的这些思想对学习本章有重要参考价值。

本章的内容，就是按照上面所说的思想，研究定义在()n M K 上的满足某些特定条件的函数()f A 。

考查数域K 上全体n 阶方阵所成的集合()n M K 。从集合()n M K 到数域K 的一个映射f 称为定义在上的一个数量函数。因此，()n M K 上一个数量函数就是一个给定的法则，按照这一法则，K 上每个n 阶方阵A 对应于K 内一个唯一确定的数()f A 。

例如，设()()ij n A a M K =∈，我们定义()11f A a =，即每个n 阶方阵A 在法则

f 下对应于其第一行第一列元素11a ，f 就是()n M K 上的一个数量函数。由此看

来，()n M K 上的数量函数是很多的。第二章中研讨的一个方阵A 的秩()r A 和迹

()Tr A 都是()n M K 上数量函数的具体例子。显然，并不是()n M K 上随便一个数量函数都有研究价值。下面我们介绍()n M K 上具有某种特定属性的数量函数，它将成为研究n 阶方阵的重要工具。

为了使下面的阐述较为简明、清楚，我们在本章中将使用一些特定的记号。

设A 是数域K 上一个n 阶方阵，其行向量组为12n ααα，，,，列向量组为

12,,,n βββ，我们根据行文的需要把A 写成

12n A ααα????

??=??????

或[]12,,

,.n A βββ=

如果我们只研究A 的第i 行或第j 列，就写成

i A α??

??=??

????

或 ,,,j A β??=??

把不讨论的行（列）用省略号代替。于是()n M K 上的一个数量函数()f A 可以写成

()12n f A f ααα??

??

??=??

????

或 i f α??????????

以及

()()12,,,n f A f βββ= 或 (

),,

.j f

β

定义 设f 是定义在()n M K 上的一个数量函数，满足如下条件：对n K 中任意向量12n ααα，，,，α以及K 中任意数λ，都有

111,i i n n n f f f αααααααααα????????????????????????+=+????????????????????????

11i i n n f f ααλαλααα??

??

??????

??????=??????????????

??

（这里()1,2,

,i n =，则称f 为()n M K 上的一个行线性函数。

设g 是定义在()n M K 上一个数量函数，满足如下条件：对对n K 中任意向量

12,,,n βββ，β以及K 中任意数λ，都有

()1,

,,

,j n g ββββ+ ()()11,,,,,,,,,j n n g g ββββββ=+ ()()11,

,,

,,

,,

,j n j n g g βλββλβββ=

（这里()1,2,

,j n =）

，则称g 为()n M K 上的一个列线性函数。 如果()f A 是()n M K 上的行线性函数，那么对任意,K λμ∈都有

.i i f f f λαμαλαμα??

??

??

??????+=+??

????????????

??

??

反之，若()n M K 上一个数量函数满足上面的条件，只要分别令1λμ==及0μ=代

入，即知它满足行线性函数的条件。同样，若()g A 为()n M K 上列线性函数，那么

(

)(

)(

),,

,,

,,

.j j g g g λβμβλβμβ+=+

同样，()n M K 上一个数量函数如果满足上述条件，则它是一个列线性函数。

如果()n A M K ∈，且A 有一行向量为0，于是该行向量可以写成0α，则对任意行线性函数f ，有()()00f A f A =?=。同样，若A 有一个列向量为0，则对任意列线性函数g ，有()0g A =。

例如，考查()2M K 。设

111222122a

a A M K a a ??=∈????

，

定义()11221221f A a a a a =-。容易验证，f 是()2M K 上一个行线性函数，也是一个

列线性函数。

如果()n M K 上一个列线性函数f 满足如下条件：当()n A M K ∈有两列元素相同时（这时当然要2n ≥），必有()0f A =，则f 称为反对称的列线性函数。

当然，我们可以类似的定义反对称的行线性函数，这就不再重复说明了。

命题2.1 设f 是()()2n M K n ≥上的反对称列（行）线性函数，那么，下面的命题成立：

(i) 设将()n A M K ∈的,i j 两列（行）互换得出方阵B ，则()()f B f A =-； (ii) 设将()n A M K ∈的第j 列（行）加上其第列（行）的λ倍（λ为K 中任

意取定的数）得出方阵B ，则有()()f B f A =。 证 设(

),,

,,

i j A ββ=。由于f 是反对称的列线性函数，我们有

()

()()

()()()()0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.

i

j

i

j

i

i

j

j

j

j

j

j

i

j

j

i

f f f f f f f ββββββββββββββββ=++=+++=+

于是

()(),,,,i j f A f

ββ= (

),,

,,

j i f

ββ=-

()f B =-

同样的，我们有

()(

)

(

)(

)

()(

)

(),,,,

,,

,,

,,

,,

,,

,,

.

i j i i j i i i j f B f f

f f A f f A ββλββββλβλββ=+=+=+=

推论1 设,f g 是()n M K 上两个反对称列线性函数，且对某个()n A M K ∈有

()()f A g A =。设A 经有限次初等列变换变为方阵B ，则仍有()()f B g B =。 证 显然只需要考虑B 是A 做一次初等列变换得出的方阵就可以了。下面分别讨论三种初等列变换。

(i) 设互换A 的,i j 两列变为B ，则按命题2.1，有

()()()(),,f B f A g B g A =-=-

从而()()f B g B =。

(ii) 设将A 的第j 列乘以K 内非零数λ得出方阵B ，则

()(

)(

)(),,

,,

.j j f B f

f f A λβλβλ===

同理，()()g B g A λ=，于是()()f B g B =。

(iii)设将A 的第j 列加上第i 列的λ倍得出方阵B ，则按命题2.1，有

()()()().f B f A g A g B ===

推论2 设f 是()()2n M K n ≥上的列（行）线性函数。则f 为反对称的充分必要条件是对K 上任何不满秩n 阶方阵A 都有()0f A =。

证 必要性 若()r A n <，则A 的第i 个列向量为其余列向量的线性组合，此时将A 的其余各列乘适当倍数加到第i 列，使第i 列变为0，得K 上n 阶方阵B 。按命题2.1及列线性函数的性质知

()()0f A f B ==

充分性 当A 有两个列向量相同时，显然不满秩，按假设应有()0f A =，故

f 为反对称。

下面给出本节的基本概念。

定义 设f 是()n M K 上一个列线性函数且满足如下条件： (i) 如果()n A M K ∈不满秩，则()0f A =； (ii) 对()n M K 内单位矩阵E ，有()1f E =， 则称f 为()n M K 上一个行列式函数。

例如，在()2M K 上定义数量函数f 如下：若

11

122122a a A a a ??

=????

， 则()11221221f A a a a a =-。那么，容易验证f 是()2M K 上的一个行列式函数。

对K 上任意一阶方阵()1111A a a E ==，定义()11f A a =，数量函数f 显然为

()1M K 上的行列式函数。反之，对()1M K 上任意行列式函数g ，按定义有()()1111g A a g E a ==。故()()g A f A ≡。即此f 为()1M K 上唯一的行列式函数。