第二章平面汇交力系与平面力偶系
·12· 理论力系
第2章 平面汇交力系与平面力偶系
一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)
1．力在两同向平行轴上投影一定相等，两平行相等的力在同一轴上的投影一定相等。
( √ )
2．用解析法求平面汇交力系的合力时，若选取不同的直角坐标轴，其所得的合力一定相同。 ( √ )
3．在平面汇交力系的平衡方程中，两个投影轴一定要互相垂直。 ( × )
4．在保持力偶矩大小、转向不变的条件下，可将如图2.18(a)所示D 处平面力偶M 移到如图
2.18(b)所示E 处，而不改变整个结构的受力状态。 ( × )
(a)
M
图2.18
5．如图 2.19所示四连杆机构在力偶12M M =的作用下系统能保持平衡。
( × )
6．如图2.20所示皮带传动，若仅是包角α发生变化，而其他条件均保持不变时，使带轮转动的力矩不会改变。 ( √
)
2
图2.19 图2.20
二、填空题
1．平面汇交力系的平衡的充要条件是平面汇交力系的合力等于零，利用它们可以求解 2个未知的约束反力。
2．三个力汇交于一点，但不共面，这三个力 不能 相互平衡。
3．如图2.21所示，杆AB 自重不计，在五个力作用下处于平衡状态。则作用于点B 的四个力的合力R F =F ，方向沿 与F 的方向相反 。
4．如图2.22所示结构中，力P 对点O 的矩为θsin 2
1
PL 。
5．平面汇交力系中作力多边形的矢量规则为：各分力的矢量沿着环绕力多边形边界的某一方向首尾相接，而合力矢量沿力多边形封闭边的方向，由第一个分力的起点指向最后一个分力的终
第2章 平
面汇交力系与平面力偶
系 ·13· 点。
A
B
1F
4F
3F
2F
F
图2.21 图2.22
6．在直角坐标系中，力对坐标轴的投影与力沿坐标轴分解的分力的大小相等，但在非直角坐标系中，力对坐标轴的投影与力沿坐标轴分解的分力的大小不相等。
三、选择题
1．如图2.23所示的各图为平面汇交力系所作的力多边形，下面说法正确的是( C )。 (A) 图(a)和图(b)是平衡力系 (B) 图(b)和图(c)是平衡力系 (C) 图(a)和图(c)是平衡力系 (D) 图(c)和图(d)是平衡力系
2F 1F
3F
(a) 2F 1F 3F
(b) 1F
2
F 3F
4
F (c)
1F
2F
3F
4
F (d)
图2.23
2. 关于某一个力、分力与投影下面说法正确的是( B )。
(A) 力在某坐标轴上的投影与力在该轴上的分力都是矢量，且大小相等，方向一致 (B) 力在某坐标轴上的投影为代数量，而力在该轴上的分力是矢量，两者完全不同 (C) 力在某坐标轴上的投影为矢量，而力在该轴上的分力是代数量，两者完全不同 (D) 对一般坐标系，力在某坐标轴上投影的量值与力在该轴上的分力大小相等
3．如图2.24所示，四个力作用在一物体的四点A 、B 、C 、D 上，设1P 与2P ，3P 与4P 大小相
等、方向相反，且作用线互相平行，该四个力所作的力多边形闭合，那么( C )。
(A) 力多边形闭合，物体一定平衡
(B) 虽然力多边形闭合，但作用在物体上的力系并非平面汇交力系，无法判定物体
是否平衡
(C) 作用在该物体上的四个力构成平面力偶系，物体平衡由0=∑i M 来判定
(D) 上述说法均无依据
4．力偶对物体的作用效应，取决于( D )。
(A)力偶矩的大小
(B) 力偶的转向
(C) 力偶的作用平面 (D) 力偶矩的大小，力偶的转向和力偶的作用平面
·14· 理论力学
5．一个不平衡的平面汇交力系，若满足0x F =∑的条件，则其合力的方位应是( A )。
(A) 与x 轴垂直 (B) 与x 轴平行
(C) 与y 轴正向的夹角为锐角
(D) 与y 轴正向的夹角为钝角
四、计算题
2-1在物体的某平面上点A 受四个力作用，力的大小、方向如图2.25所示。试用几何法求其合力。
解：在平面汇交力系所在的平面内，任取一点a ，按一定的比例尺，将力的大小用适当长度的
线段表示，根据力多边形法则，先作矢量ab
平行且等于方向斜向下的kN 1的力，再从点b 作
矢量bc 平行且等于方向斜向上的kN 1的力，从点c 作矢量cd
平行且等于kN 2的力，最后从点
d 作矢量d
e 平行且等于kN 75.0的力，合成得矢量ae
，即得到该平面汇交力系的合力F R 大小
和方向，如图所示。从图直接量出：kN F R 284.3=，o R i F 3.206),(=，o R j F 3.116),(=
2-2 螺栓环眼受到三根绳子拉力的作用，其中1T 、2T 大小和方向如图2.26所示，今欲使该力系合力方向铅垂向下，大小等于15kN ，试用几何法确定拉力3T 的大小和方向。
解：在平面汇交力系所在的平面内，任取一点a ，按一定的比例尺，将力的大小用适当长度的线段表示，根据力多边形法则，先作矢量ab 平行且等于1T ，再从点b 作矢量bc
平行且等于2T ，
从点a 作矢量d a 铅垂向下，大小为kN 15的力。连接c 、d 两点，得矢量
cd ，即为拉力3T 的大小和方向，如图所示。从图直接量出：kN T 2.163=，o 30=β。
2-3如图2.27所示套环C 可在垂直杆AB 上滑移，设124kN F .=，216kN F .=，348kN F .=，
试用几何法求当α角多大时，才能使作用在套环上的合力沿水平方向，并求此时的合力。
a e d c b
0.75k N
图2.25
6kN
图2.26 R F c 图2.24
第2章 平
面汇交力系与平面力偶
系 ·15·
解：在平面汇交力系所在的平面内，任取一点a ，按一定的比例尺，将力的大小用适当长度的线段表示，根据力多边形法则，先作矢量ab 平行且等于1F ，再从点b 作矢量bc
平行且等于2F ，
从点a 作矢量d a
水平向右，以c 点为圆心，以3F 的大小为半径画圆，该圆与过a 点的水平线
的交点为d 点，连接c 、d 两点，得矢量cd
，即为拉力3F 的大小和方向，如图所示。从图直接
量出：o 2.48=α。连接a 、d 两点，得矢量ad
，即为合为的大小和方向，从图量得：kN F R 96.4=。
2-4已知1100N F =，250N F =，360N F =，480N F =，各力方向如图2.28所示。试分别求各力在x 轴和y 轴上的投影。 解：各力在x 轴和y 轴上的投影分别为：
N F F x 6.8630cos o 11==，N F F y 5030sin o 11==
N F F x 305322=?=，N F F y 405
4
22-=?-=
N F x 03=，N F F y 6033==
N F F x 6.56135cos o 44-==，N F F y 6.56135sin o 44==
2-5已知图 2.29所示中120k N F =，21414kN F .=，
32732kN F .=，试求此三个力的合力。 解：合力在x 轴和y 轴上的投影分别为
N F F F F xi
Rx 045cos 60cos o 2o 1=+-==
∑
N F F F F
F yi
Ry
045sin 60sin 3o 2o 1=-+==∑
N F F F Ry Rx R 02
2=+=
2-6求如图2.30所示各梁支座的约束反力。
3 1F R
图2.28
kN 14
1F
图2.29
·16· 理论力学
(a)
(b)
(c)
(a)
By
(b)
By F
(c)
NB
解：分别选各梁为研究对象，受力分析如图所示。分别列平衡方程，有
(a)
∑=0x
F 045cos o
=-F F Ax
∑=0y F 045sin o
=-+F F F By
Ay
∑=0)(F A M 0245sin 4o
=?-?F F By
联立求解，可得：
k N 07.745cos o
==F F Ax ，kN 54.32
45sin o ==F F By
，
kN 54.345sin o =-=By Ay F F F
(b)
∑=0x
F 0=Ax
F
∑=0y F 0=-+F F F By
Ay
∑=0)(F A M 024=?-?F F By
联立求解，可得：
k N 0=Ax F ，kN 52
==
F
F By ，k N 5=-=By Ay F F F (c)
∑=0x F 060cos 45sin o o =--F F
F NB
Ax
∑=0y
F 060sin 45cos o o =-+F F
F NB
Ay
∑=0)(F A M 0260sin 445cos o o =?-?F F
NB
联立求解，可得：
kN F Ax 33.9=，kN F NB 12.6=，kN F Ay 33.4=
图2.30
第2章 平
面汇交力系与平面力偶
系 ·17·
子越过厚度为8cm 的石板时，所需的最小水平拉力min F 以及碾子对石板的作用力。
解：选压路机的碾子为研究对象，受力分析如图所示，列平衡方程，有
∑=0x
F
05
3
m i n 1=-?F F N
∑=0y
F
05
4
21=-+?
W F F N N 碾子越过石板时，有02=N F ，联立求解上式，有 kN F 15min =，kN F N 251=
2-8水平杆AB 分别用铰链A 和绳索BD 连接，在杆中点悬挂重物G = 1kN ，如图2.32所示。设杆自重不计，求铰链A 处的反力和绳索BD 的拉力。
解：选水平杆AB 为研究对象，受力分析如图所示，列平衡方程，有
∑=0x
F 030cos 30cos o
o
=-B
A
F F
∑=0y F 030sin 30sin o
o
=-+G F F B
A
联立求解上式，有
kN F F B A 1==
2-9如图2.33所示，杆AB 长2m ，B 端挂一重物G = 3kN ，A 端靠在光滑的铅直墙上，C 点搁在光滑的台阶上。设杆自重不计，求杆在图示位置平衡时，A 、C 处的反力及AC 的长度。
图
2.31
图2.32
·18· 理论力学
解：选杆AB 为研究对象，受力分析如图所示，列平衡方程，有
∑=0x
F 030sin o =-C A F F ∑=0y
F
030cos o =-G F C
联立求解上式，有：k N 464.3=C F ，k N 732.130sin o ==C A F F
AC 的长度为：m 5.130sin 12o =?-=AC
2-10如图2.34所示的起重机支架的AB 、AC 杆用铰链支承在立柱上，并在A 点用铰链互相连接，绳索一端绕过滑轮A 起吊重物G = 20kN ，另一端连接在卷扬机D 上，AD 与水平成30°角。设滑轮和各杆自重及滑轮的大小均不计。求平衡时杆AB 和AC 所受的力。 解：选滑轮A 为研究对象，受力分析如图所示，列平衡方程，有
∑=0x F 030cos 30cos 30sin o o o =--AB AD AC
F F F
∑=0y
F 030sin 30sin 30
cos o o o
=-+-G F F F
AB AD AC
其中kN G F AD 20==，联立求解，有
0=AB F ，k N
36.34=AC F
2-11如图2.35所示，自重为G 的圆柱搁置在倾斜的板AB 与墙面之间，圆柱与板的接触点D 是AB 的中心，各接触处都是光滑的。试求绳BC 的拉力及铰A 处的约束反力。
图2.34
D
G
F Ac
第2章 平
面汇交力系与平面力偶
系 ·19·
解：分别选圆柱和板AB 为研究对象，受力分析如图所示，分别列平衡方程，有
圆柱：
∑=0y
F
030sin o =-G F ND
板AB ：
∑=0x
F 030cos 30cos '
o o =+--ND
A B F F F ∑=0y
F
030sin 30sin o o =-B A F F
其中'
ND ND F F =，联立求解，有
G F F B A 3
3
2=
= 2-12 半径为R ，自重为G 的圆柱以拉紧的绳子ACDB 固定在水平面上，如图2.36所示。已知绳子的拉力为F ，AE = BE = 3R ，求点E 处圆柱对水平面的压力。
解：选圆柱O
∑=0y
F
02sin 2sin =---G F F F DB CA NE αα
其中F F F DB CA ==，10
1sin =
α，10
3cos
=
α。联立求解，有
F G F NE 5
6
+=
2-13如图2.37所示自重为G 的两均质球，半径均为r ，放在光滑槽内，求在图示位置平衡时，槽壁对球约束反力。
图2.35
F F DB 图2.36
·20· 理论力学
解：分别选两均质球A 、B 为研究对象，受力分析如图所示，分别列平衡方程，有
球A ：
∑=0x
F 030cos o
=-AB
NC
F F ∑=0y F 030sin o
=-G F AB
球B ：∑=0x F 030cos o
=-ND
BA
F F
其中BA AB F F =，联立求解，有
G F F ND NC 3==
2-14自重G =200N 的物体，用四根绳索悬挂，如图2.38所示，求各绳所受的拉力。
解：分别选两节点A 、B 为研究对象，受力分析如图所示，分别列平衡方程，有
节点A ：
∑=0x
F
060cos o =-AE AB F F
∑=0y
F
060sin o =-G F AB
节点B ：
∑=0x
F
060cos 45cos 30cos o o o =--BA BD BC F F F
∑=0y
F
060sin 45sin 30sin o o o =-+BA BD BC F F F
其中BA AB F F =，N G 200=，联立求解，有
N 231=AB F ，N 5.115=AE F ，N 231=BC F ，N 5.84=BD F
2.15 求图2.39所示各梁支座处的约束反力。
图2.37
图2.38
BC
第2章 平
面汇交力系与平
面力偶
系 ·21·
?
(b)
(c)
(a)
图2.39
(a)
By
(b)
B
(c)
F
解：分别选梁AB 为研究对象，受力分析如图所示，分别列平衡方程，有
(a)：
∑=0i
M
03=-?Pa a F Ay
解得：3
P F F By Ay =
=。 (b)：
∑=0i
M
0345cos o =-?Pa a F A
解得：3
2P F F B A =
=。 (c)：
∑=0i
M
02=+-?Pa Pa a F Ay
解得：0==By Ay F F 。
2-16连杆机构OABC ，受铅直力1F 和水平力F ，如图2.40所示，已知F = 3.5kN ，求平衡时力F 1的大小以及杆
OA 、AB 、BC 所受的力。不计杆自重。
解：分别选两节点A 、
B 为研究对象，受力分析如图所示，分别列平衡方程，有
节点A ：
∑=0x
F 030cos o
=-F F AB
∑=0y F 030sin o
=-AO
AB
F F
1F 图2.40 F B 1F BC F
·22· 理论力学
节点B ：
∑=0x
F
030sin 60sin o o =+BC BA F F
∑=0y
F
030cos 60cos 1o o =-+-F F F BC BA
其中BA AB F F =，kN 5.3=F ，联立求解，有
kN 3371=
F ，kN 337=AB F ，kN 36
7=OA F ，k N 7=BC F 2-17如图 2.41所示结构中各构件的自重略去不计，在构件AB 上作用一力偶，其力偶矩800N m M =?，求点A 和C 的约束反力。
解：分别选构件AB 和构件BC 为研究对象，受力分析如图所示。由于BC 为二力构件，可以确定作用于BC 杆上的两个力的方向如图所示。由于A F 和B F 两个力和力偶M 平衡，可知A F 和B F 两个力应构成力偶。列构件AB 平衡方程，有
∑=0i
M
012.045sin 3.045cos o o =+?-?-M F F B B
其中800N m M =?。解得：N 2694===C B A F F F
2-18图2.42所示构架，已知
5kN F F ==
解：选整体为研究对象，受力分析如图所示。由于CD 杆为二力构件，可以确定作用于C 点的力的方向如图所示。由于A F 和C F 两个力和力偶),(21F F 相互平衡，可知A F 和C F 两个力应构成力偶。列构件AB 平衡方程，有
∑=0i
M
04.056.045cos 1o =?-?F F A
其中15kN F =。解得：N 5051==C A F F
图2.41 B F 图2.42 2
第2章 平
面汇交力系与平面力偶
系 ·23·
可在光滑导槽内滑动。已知14kN m M =?，转向如图所示，AB = 2m ，30θ?=，机构在图示位置处于平衡。求2M 以及铰链A 、B 的约束反力。
解：分别选杆AE 和杆BD 为研究对象，受力分析如图所示。由于销子C 可在光滑导槽内滑动，可以确定销子C 作用于AE 杆上的力C F 的方向垂直于导槽，方向如图所示。由于A F 和C F 两个力和力偶1M 平衡，可知A F 和C F 两个力应构成力偶。列AE 杆的平衡方程，有
∑=0i
M 0321=-?M F A
其中14N m M k =?。解得：k N 155.1==C A F F 。同理，列BD 杆的平衡方程，有
∑=0i
M
0322'
=+?-M F C
由于C C F F ='，可得：m k N 42?=M ，k N 155.1'
==C B F F 。
图2.43 E
平面汇交力系和平面力偶系
第二章 平面汇交力系与平面力偶系 §2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法 一、汇交力系合成与平衡的几何法 汇交力系：是指各力的作用线汇交于同一点的力系。若汇交力系中各力的作用线位于同一平面内时，称为平面汇交力系，否则称为空间汇交力系。 1、平面汇交力系的合成 先讨论3个汇交力系的合成。设汇交力系1F ，2F ，3F 汇交于O （图1），由静力学公理3： 力的平行四边形法则（力的三角形）可作图2，说明)(),,(321F F F F =如图和图所示，其中321F F F F ++= F 2 F 3 F O F O 1 F 2 F 3 F 12F 讨论：1）图2中的中间过程12F 可不必求，去掉12F 的图称为力多边形，由力多边形求合力 大小和方向的方法称为合力多边形法则。 2）力多边形法则：各分力矢依一定次序首尾相接，形成一力矢折线链，合力矢是封闭边，合力矢的方向是从第一个力矢的起点指向最后一个力矢的终点。 3）上述求合力矢的方法可推广到几个汇交力系的情况。 结论：汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过汇交点，合力的大小和方向即： ∑=i F F 用力多边形法则求合力的大小和方向的方法称为合成的几何法。 2．平面汇交力系的平衡 1 F 2 F i F 2 -n F 1-n F n F 设作用在刚体上的汇交力系),,(21n F F F 为平衡力系，即 0),,(21≡n F F F 先将121,,-n F F F 由力多边形法合成为一个力1-N F ，（∑-=-=11 1n i i N F F ）
0),(),,(121≡≡-n N n F F F F F 由静力公理1，作用在刚体上二力平衡的必要充分条件是：1-N F 与n F 等值，反向，共线， 即n N F F =-1， 可得01=+-n N F F ，或0=∑i F 结论：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系中各力的乖量和为零，用几何法表示的平衡条件是 0=∑i F ，力多边形自行封闭。 例1． 已知：简支梁AB ，在中点作用力F ，方向如图，求反力 F A B C 45F A F B A C α 45F F B F α 解：1。取研究对象AB 梁 2．受力分析如图 3．作自行封闭的力三角形如图 2 1=αtg 4．求解 ) 45sin(45sin )90sin(αα-==+ B A F F F αcos 45sin F F A = α αcos )45sin(-= F F B 例2．已知：支架ABC ，A 、B 处为铰支座，在C 处用销钉连接，在销上作用kN P 20=， 不计杆自重。求：AC 和BC 杆所受的力。 A B C P 30 C 30AC F BC F P 30AC F BC 解：1。取研究对象销钉C 2．受力分析 3．作自行封闭的力多边形。 4．解三角形 60 sin 90sin 30sin BC AC F F P == §2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法 1． 力在坐标轴上的投影
平面汇交力系与平面力偶系
平面汇交力系与平面力偶系 作业参考答案与解答 1．四力作用于一点，其方向如图所示。已知各力的大小为：F 1=50N ，F 2=80N ，F 3=60N ，F 4=100N 。求力系的合力。 答案: 0 ),( N 02.52R R ≈∠=i F F 2．一均质球重P =1000N ，放在两个相交的光滑斜面之间如图示。如斜面AB 的倾角? =45o，而斜面BC 的倾角θ =60o。求两斜面的约束力F D 和F E 的大小。 解：受力图如上右图所示，为避免解联立方程，取轴x 、y 分别与F D 、F E 垂直。 由 ∑=0x F ， 015cos 45sin =+?o o E F P 解得 N 73215 cos 45sin ==o o P F E 由 ∑=0y F ， 015cos 60sin =+?o o D F P 解得 N 89615 cos 60sin ==o o P F D
3．均质杆AB 长l ，置于销子C 与铅垂面间，如图所示。不计摩擦力，求平衡时杆与铅垂线间的夹角θ 。 解：由三力平衡汇交定理，杆AB 所受主动力和约束力的作用线汇交于点O ，如右上图所示。根据几何关系有 θθθ32sin sin sin 2a AC AO l AD = === 解得： 3 2arcsin l a =θ 4．三个相同的光滑圆柱放置如图示，求圆柱不至于倒塌时θ 角的最小值。 解：本题关键在于要清楚当θ 角取平衡时的最小值时，系统处于临界平衡状态，圆柱O 2与圆柱O 3之间的相互作用力为零。考虑临界状态，先取圆柱O 1为研究对象，受力图见图（b ）。 由 31213121 , 030sin 30sin , 0F F F F F x =?=?=∑o o 由 P F F P F F F y 33 , 030cos 30cos , 031213121==?=?+=∑o o 再取圆柱O 3为研究对象，受力图见图（c ）。 由 P F F P F F 3 3 , 0sin )30sin( , 0133113= ==??=∑注意θθξo 解上式得 3 31tan = θ， 即 3 31tan min = θ
第2章 平面汇交力系与平面力偶系
·12· 理论力系 ·12· 第2章 平面汇交力系与平面力偶系 一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”) 1．力在两同向平行轴上投影一定相等，两平行相等的力在同一轴上的投影一定相等。 ( √ ) 2．用解析法求平面汇交力系的合力时，若选取不同的直角坐标轴，其所得的合力一定相同。 ( √ ) 3．在平面汇交力系的平衡方程中，两个投影轴一定要互相垂直。 ( × ) 4．在保持力偶矩大小、转向不变的条件下，可将如图2.18(a)所示D 处平面力偶M 移到如图2.18(b)所示E 处，而不改变整个结构的受力状态。 ( × ) (a) M 图2.18 5．如图2.19所示四连杆机构在力偶12M M =的作用下系统能保持平衡。 ( × ) 6．如图2.20所示皮带传动，若仅是包角α发生变化，而其他条件均保持不变时，使带轮转动的力矩不会改变。 ( √ ) 2 图2.19 图2.20 二、填空题 1．平面汇交力系的平衡的充要条件是平面汇交力系的合力等于零，利用它们可以求解 2个未知的约束反力。 2．三个力汇交于一点，但不共面，这三个力 不能 相互平衡。 3．如图2.21所示，杆AB 自重不计，在五个力作用下处于平衡状态。则作用于点B 的四个力的合力R F =F ，方向沿 与F 的方向相反 。 4．如图2.22所示结构中，力P 对点O 的矩为 θsin 2 1 PL 。 5．平面汇交力系中作力多边形的矢量规则为：各分力的矢量沿着环绕力多边形边界的某一方向首尾相接，而合力矢量沿力多边形封闭边的方向，由第一个分力的起点指向最后一个分力的终点。
·13· A B 1F 4F 3F 2F F 图2.21 图2.22 6．在直角坐标系中，力对坐标轴的投影与力沿坐标轴分解的分力的大小相等，但在非直角坐标系中，力对坐标轴的投影与力沿坐标轴分解的分力的大小不相等。 三、选择题 1．如图2.23所示的各图为平面汇交力系所作的力多边形，下面说法正确的是( C )。 (A) 图(a)和图(b)是平衡力系 (B) 图(b)和图(c)是平衡力系 (C) 图(a)和图(c)是平衡力系 (D) 图(c)和图(d)是平衡力系 2F 1F 3F (a) 2F 1F 3F (b) 1F 2 F 3F 4 F (c) 1F 2F 3F 4 F (d) 图2.23 2. 关于某一个力、分力与投影下面说法正确的是( B )。 (A) 力在某坐标轴上的投影与力在该轴上的分力都是矢量，且大小相等，方向一致 (B) 力在某坐标轴上的投影为代数量，而力在该轴上的分力是矢量，两者完全不同 (C) 力在某坐标轴上的投影为矢量，而力在该轴上的分力是代数量，两者完全不同 (D) 对一般坐标系，力在某坐标轴上投影的量值与力在该轴上的分力大小相等 3．如图2.24所示，四个力作用在一物体的四点A 、B 、C 、D 上，设1P 与2P ，3P 与4P 大小相等、方向相反，且作用线互相平行，该四个力所作的力多边形闭合，那么( C )。 (A) 力多边形闭合，物体一定平衡 (B) 虽然力多边形闭合，但作用在物体上的力系并非平面汇交力系，无法判定物体是否平衡 (C) 作用在该物体上的四个力构成平面力偶系，物体平衡由 0=∑i M 来判定 (D) 上述说法均无依据 4．力偶对物体的作用效应，取决于( D )。 (A)力偶矩的大小 (B) 力偶的转向 (C) 力偶的作用平面 (D) 力偶矩的大小，力偶的转向和力偶的作用平面 5．一个不平衡的平面汇交力系，若满足 0x F =∑ 的条件，则其合力的方位应是( A )。 (A) 与x 轴垂直 (B) 与x 轴平行 (C) 与y 轴正向的夹角为锐角 (D) 与y 轴正向的夹角为钝角 图2.24
平面汇交力系习题
作业A 一、填空题 1.平面汇交力系是指力作用线＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，且＿＿＿＿＿＿＿＿＿一点的力系。 2.平面汇交力系平衡的必要和充分条件是＿＿＿＿＿＿＿，此时力多边形＿＿＿＿＿＿＿。 3.沿力矢量的两端向坐标轴作＿＿＿＿，两垂足在坐标轴上截下的这段长度称为力在坐标轴上的投影，力的投影是＿＿＿＿量，有正负之分。 4.力沿直角坐标轴方向分解，通常，过力F 矢量的两端向坐标轴作平行线构成矩形，力F 是矩形的＿＿＿，矩形的＿＿＿＿是力F 矢量的两个正交分力y x F F 、。 5.已知一个力F 沿直角坐标轴的两个投影为y x F F 、，那么这个力的大小=F ＿＿＿＿，方向角=α＿＿＿＿。(角α为F 力作用线与x 轴所夹的锐角。) 6.平面汇交力系的力多边形如图(a)，(b)，(c)则 图(a)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 图(b)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 图(c)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 7.如图所示，不计重量的直杆AB 与折杆CD 在B 处用光滑铰链连接，若结构受力F 作用，则支座C 处的约束力大小＿＿＿＿＿＿，方向＿＿＿＿＿＿。
（7题图） （8题图） 8.如图所示，力F 在y x 、轴上投影x F ＝＿＿＿＿＿、y F ＝＿＿＿＿＿。 9.平面刚架在B 处受一水平力F 作用，如图所示，刚架自重不计，设F =20kN ，L =8m ，h =4m ，则求A 、D 处的约束反力，可以按以下步骤进行： （1）以刚架为研究对象，进行受力分析：请画出刚架的受力分析图 （2）作用在刚架上的力（主动力和约束力）构成的力系属＿＿＿＿＿力系 （3）列出刚架的平衡方程（坐标如图） ∑=0x F ：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； ∑=0y F ：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 （4）解方程计算D A 、处的约束反力 A F =＿＿＿＿＿＿；D F =＿＿＿＿＿＿＿。
平面汇交力系教案
《汽车机械基础》课程项目教学设计《汽车机械基础》课程项目（单元、章节）授课一览表
学习平面汇交力系的合成方法1合成方法 几何法和解析法 力的平行四边形法：作 用于物体上同一点的两 个力的合力也作用于该 点，且合力的大小和方 向可用以这两个力作用 线为邻边所作的平行四 边形的对角线来确定。 力的三角形法则：取平 行四边形的一半 解析法 力在坐标轴上的投影 ? ? ? = = α α sin cos F Y F X b、合力投影定理 ? ? ? ? ? = + = X Y tg Y X F α 2 2 教师：一个力系的作用效果是什么样呢 学生：思考并回答 教师：在我们研究的力系中，也把它分 为两类：空间力系和平面力系。工程中 许多结构所受的作用力虽是空间力系， 但在一定条件下可以简化为平面力系， 比如水坝、挡土墙的受力等。平面力系 是工程中最常见的力系，本章讨论的便 是平面力系的合成和平衡问题，随之引 出平面汇交力系的概念及其求解平面 汇交力系的两种方法：几何法和解析 法。 教师：绘制图形讲解，并引出力的三角 形法则 教师：平面汇交力系的几何法简捷而且 直观，但其精确度较差。在力学计算中 用得较多的还是解析法。其中就要用到 力在坐标轴上投影的概念。 教师：绘制下图，利用图形讲解。 教师：强调从投影的起点a到终点b与 坐标轴的正向一致时，该投影取正号； 与坐标轴的正向相反时取负号。 学生：思考当力与坐标轴垂直时，力在 该轴上的投影为多少当力与坐标轴平 行时，力在该轴上的投影有什么特征 教师：设问如果已知合力在直角坐标轴 x、y轴上的投影，则合力的大小和方向 都可以确定，那么合力和它的分力在同 一坐标轴上投影的关系又如何呢 学生：讨论以一平面汇交力系为例展开 讨论。 30
力矩和平面力偶系
第五节力矩和平面力偶系 一、力矩 1．力矩概念 力对刚体的移动效应取决于力的大小、方向和作用线；而力对刚体的转动效应则用力矩来度量。实践告诉我们，用扳手拧（转动）螺母时，见图7-18a，其转动效应取决于力F的大小、方向（扳手的旋向〕以及力F到转动中心O的距离h。 a) b) 图7-18 力矩概念 一般情况下，刚体在图示平面内受力F作用，见图7-18b，并绕某一点O转动，则点O称为矩心，矩心O到力F作用线的距离h称为力臂，乘积F·h并加上适当的正负号称为力对O点之矩，简称力矩，用符号M O（F）或M O表示。即 M O＝M O（F）＝±Fh （7-9） 力矩的正、负号规定如下：力使刚体绕矩心作逆时针方向转动时为正，反之为负。因此，力矩是一个与矩心位置有关的代数量。力矩的单位为N·m。 2．合力矩定理 设刚体受到一合力为F的平面力系F1，F2，…，F n的作用，在平面内任取一点O为矩心，由于合力与整个力系等效，所以合力对O点的矩一定等于各个分力对O点之矩的代数和（证明从略），这一结论称为合力矩定理。记为 M O（F）＝M O（F1）＋M O（F2）＋…＋M O（F n）＝ΣM O（F i）（7-10） 或M O＝M O l＋M O2＋…＋M O n＝ΣM Oi=ΣM O 例7-4图7-19所示为一渐开线（在平面上，一条动直线（发生线）沿着一个固定的圆（基圆）作纯滚动时，此动直线上一点的轨迹）直齿圆柱齿轮，其齿廓在分度圆上的P点处受到一法向力F n的作用，且已知F n＝1000N，分度圆直径d＝200mm，分度圆压力角(P点处的压力角)α＝20°，试求力F n对轮心O点之矩。
第02章 平面汇交力系与力偶系(高)
第二章平面汇交力系与平面力偶系 2-1铆接薄板在孔心A、B和C处受三力作用，如图所示。F1=100N,沿铅直方向；F2=50N，方向如图；F3=50N，沿水平方向，并通过点A，尺寸如图。求此力系的合力。（答案:F R =161.2N ） 2-2、物体重W=20KN，用绳子挂在支架的滑轮B上，绳子的另一端接在绞车D上，如图所示。转动绞车，物体便能升起。设滑轮的大小、AB与CD杆自重及摩擦略去不计，A、B、C三处均为铰链连接。当物体 处于平衡状态时，拉杆AB和支杆CB所受的力。（答案: F AB=54.64KN( 拉), F CB=74.64KN）__ 2-3、在图示刚架的点B作用一水平力F,刚架重量不计。求支座A、D的反力F A和F D。 （答案:F A= 1.118 F F D=0.5F）
2-4电动机重P=5000N，放在水平梁AC的中央，如图所示。梁的A端以铰链固定，另一端以撑杆BC支持，撑杆与水平梁的交角为300。不计撑杆重，求撑杆BC的内力及铰支座A处的约束力。 答案:F BC=5000N, F A=5000N 2-5铰链四连杆机构CABD的CD边固定，在铰链A、B处有力F1、F2作用，如图示。机构平衡，不计杆重。求力F1、F2的关系。答案:F1/F2 =0.6124 2-6三铰门式刚架受集中载荷Ｐ作用，不计架重；求图示情况下支座Ａ．Ｂ的约束反力。 （答案：R A =R B =0.707F ）
2-7在杆AB的两端用光滑铰与两轮中心A、B连接，并将它们置于互相垂直的两光滑斜面上。两轮重均为P，杆AB重量不计，试求平衡时角θ之值。若轮A的重量PA=300N，欲使平衡时杆AB在水平位置，轮B的重量P B应为多少。答案：θ=300 P B=100N 2-8锻锤工作时，作用的力如图，F=F'=1000N，偏心距e=20mm，锤头高度h=200mm，求锤头加给两侧导轨的压力。答案：F=100 KN 2-9 已知梁AB上作用一力偶，力偶矩为M，梁长为L，梁重不计。求支座A、B的约束力。 答案：F A =F B =M / Lcosα
第二章：平面汇交力系与平面力偶系
第二章 平面汇交力系与平面力偶系 一、要求 1、掌握平面汇交力系合成（分解）的几何法。能应用平衡的几何条件求解平面汇交力系的平衡问题。 2、能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影。对合力投影定理应有清晰的理 解。 3、能熟练地运用平衡方程求解平面汇交力系的平衡问题。 4、对于力对点的矩应有清晰的理解，并能熟练地计算。 5、深入理解力偶和力偶矩的概念。明确平面力偶的性质和平面力偶的等效条件。 6、掌握平面力偶系的合成方法，能应用平衡条件求解力偶系的平衡问题。 二、重点、难点 1、 力在坐标轴上的投影，合力投影定理，平面汇交力系的平衡条件及求解平衡问题的解 析法。 2、 力对点之矩的计算，力偶矩的概念，平面力偶性质和力偶等效条件。 三、学习指导 平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过力系的汇交点，合力的大小 和方向等于力系的矢量和，即 ∑== +??????++=n i i n F F F F R 1 21 或简化为 ∑= F R 上式是平面矢量方程，只可以求解两个未知数。每一个力都有大小和方向两个要素（因为力
的汇交点是已知的），因此，方程中只能有两个要素是未知的。矢量方程的解法有：几何法和解析法。 只有力沿直角坐标轴分解的平行四边形才是矩形。力在轴上投影的大小等于分力的大小，投影的正负表示分力沿坐标轴的方向。 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是力系的合力为零。即 ∑ R =F 这个平面的矢量方程可解两个未知数，解法有几何法和解析法。 （1）平衡的几何条件：平面汇交力系的力多边形封闭。 （2）平衡的解析条件：平面汇交力系的各分力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零即： ∑=0 Y X；∑=0 对于平衡方程，和平面汇交力系合成与分解的解析法一样，一般也选直角坐标系。但在特殊情况下，有时选两个相交的相互不垂直的坐标轴，可使问题的求解简化。这是因为平衡时合力恒等于零，合力在任一坐标轴的投影也恒等于零，所以，不一定局限在直角坐标系。 合力投影定理与合力矩定理是结构静力计算经常要用到的两个定理。合力投影定理的内容是：合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上的投影的代数和。合力矩定理的内容是：合力对点的矩等于各分力对该点的矩的代数和。 力和力偶是静力学的两个基本要素。为了加深对力偶的认识，用列表的方法将力和力偶加以比较。 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零，即
第3章力矩与力偶
第3章力矩与平面力偶系 教学提示：本章主要研究力矩、力偶和平面力偶系的理论。这都是有关力的转动效应的基本知识，在理论研究和工程实际应用中都有重要的意义。 教学要求：本章让学生掌握力矩、力偶和平面力偶系的概念，掌握力对点之矩的两种求解方法，即直接作力臂的方法与利用合力矩定理求解的方法，掌握平面力偶的性质及平面力偶系的合成与平衡条件，会利用平衡条件求解约束反力。 力对点之矩 1.力矩的概念 力不仅可以改变物体的移动状态，而且还能改变物体的转动状态。力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该点之矩。以扳手旋转螺母为例，如图3－1所示，设螺母能绕点O转动。由经验可知，螺母能否旋动，不仅取决于作用在扳手上的力F的大小，而且还与点O到F的作用线的垂直距离d有关。因此，用F与d的乘积作为力F使螺母绕点O转动效应的量度。其中距离d称为F对O 点的力臂，点O称为矩心。由于转动有逆时针和顺时针两个转向，则力F对O 点之矩定义为：力的大小F与力臂d的乘积冠以适当的正负号，以符号m o(F)表示，记为 m o(F)＝±Fh（3－1）通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩为正，反之为负。 图 由图3－1可见，力F对O点之矩的大小，也可以用三角形OAB的面积的两倍表示，即 m o(F)＝±2ΔABC（3－2）在国际单位制中，力矩的单位是牛顿?米（N?m）或千牛顿?米（kN?m）。 由上述分析可得力矩的性质： （1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。力矩随矩
心的位置变化而变化。 （2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变，再次说明力是滑移矢量。 （3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。 2.合力矩定理 定理：平面汇交力系的合力对其平面内任一点的矩等于所有各分力对同一点之矩的代数和。 m o(F R)＝m o(F1)＋m o(F2)＋…＋m o(F n) 即 m o(F R)＝Σm o(F)（3－3） 上式称为合力矩定理。合力矩定理建立了合力对点之矩与分力对同一点之矩的关系。这个定理也适用于有合力的其它力系。 例试计算图中力对A点之矩。 图 解本题有两种解法。 （1）由力矩的定义计算力F对A点之矩。 先求力臂d。由图中几何关系有： d=ADsinα=(AB-DB)sinα=(AB-BCctg)sinα=(a-bctgα)sinα=asinα-bcosα 所以 m A(F)=F?d=F(asinα-bcosα) （2）根据合力矩定理计算力F对A点之矩。 将力F在C点分解为两个正交的分力和，由合力矩定理可得 m A(F)= m A(F x)+ m A(F y)=－F x?b+ F y?a=－F(bcosα＋asinα) =F(asinα-bcosα) 本例两种解法的计算结果是相同的，当力臂不易确定时，用后一种方法较为简便。 力偶和力偶矩
第二章平面汇交力系
第二章平面汇交力系 第一节平面汇交力系合成的几何法 平面汇交力系的合成方法可以分为几何法与解析法，其中几何法是应用力的平行四边形法则（或力的三角形法则），用几何作图的方法，研究力系中各分力与合力的关系，从而求力系的合力；而解析法则是用列方程的方法，研究力系中各分力与合力的关系，然后求力系的合力。下面分别介绍。 一、几何法 首先回顾用几何法合成两个汇交力。如图2—1a，设在物体上作用有汇交于O点的两个力F1和F2，根据力的平行四边形法则，可知合力R的大小和方向是以两力F1和F2为邻边的平行四边形的对角线来表示，合力R的作用点就是这两个力的汇交点O。也可以取平行四边形的一半即利用力的三角形法则求合力如图2—1b所示。 图2—1 对于由多个力组成的平面汇交力系，可以连续应用力的三角形法则进行力的合成。设作用于物体上O点的力F1、F2、F3、F4组成平面汇交力系，现求其合力，如图2—2a所示。应用力的三角形法则，首先将F1与F2合成得R1，然后把R1与F3合成得R2，最后将R2与F4合成得R，力R就是原汇交力系F1、F2、F3、F4的合力，图2—2b所示即是此汇交力系合成的几何示意，矢量关系的数学表达式为 R=F1+F2+F3+F4 （2—1）实际作图时，可以不必画出图中虚线所示的中间合力R1和R2，只要按照一定的比例尺将表达各力矢的有向线段首尾相接，形成一个不封闭的多边形，如图2—2c所示。然后再画一条从起点指向终点的矢量R，即为原汇交力系的合力，如图2—2d所示。把由各分力和合力构成的多边形abcde称为力多边形，合力矢是力多边形的封闭边。按照与各分力同样的比例，封闭边的长度表示合力的大小，合力的方位与封闭边的方位一致，指向则由力多边形的起点至终点，合力的作用线通过汇交点。这种求合力矢的几何作图法称为力多边形法则。 从图2—2e还可以看出，改变各分力矢相连的先后顺序，只会影响力多边形的形状，但不会影响合成的最后结果。
第二章平面汇交力系与平面力偶系
·12· 理论力系 第2章 平面汇交力系与平面力偶系 一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”) 1．力在两同向平行轴上投影一定相等，两平行相等的力在同一轴上的投影一定相等。 ( √ ) 2．用解析法求平面汇交力系的合力时，若选取不同的直角坐标轴，其所得的合力一定相同。 ( √ ) 3．在平面汇交力系的平衡方程中，两个投影轴一定要互相垂直。 ( × ) 4．在保持力偶矩大小、转向不变的条件下，可将如图2.18(a)所示D 处平面力偶M 移到如图 2.18(b)所示E 处，而不改变整个结构的受力状态。 ( × ) (a) M 图2.18 5．如图 2.19所示四连杆机构在力偶12M M =的作用下系统能保持平衡。 ( × ) 6．如图2.20所示皮带传动，若仅是包角α发生变化，而其他条件均保持不变时，使带轮转动的力矩不会改变。 ( √ ) 2 图2.19 图2.20 二、填空题 1．平面汇交力系的平衡的充要条件是平面汇交力系的合力等于零，利用它们可以求解 2个未知的约束反力。 2．三个力汇交于一点，但不共面，这三个力 不能 相互平衡。 3．如图2.21所示，杆AB 自重不计，在五个力作用下处于平衡状态。则作用于点B 的四个力的合力R F =F ，方向沿 与F 的方向相反 。 4．如图2.22所示结构中，力P 对点O 的矩为θsin 2 1PL 。 5．平面汇交力系中作力多边形的矢量规则为：各分力的矢量沿着环绕力多边形边界的某一方向首尾相接，而合力矢量沿力多边形封闭边的方向，由第一个分力的起点指向最后一个分力的终
第2章 平 面汇交力系与平面力偶 点。 A B 1F 4F 3F 2F F 图2.21 图2.22 6．在直角坐标系中，力对坐标轴的投影与力沿坐标轴分解的分力的大小相等，但在非直角坐标系中，力对坐标轴的投影与力沿坐标轴分解的分力的大小不相等。 三、选择题 1．如图2.23所示的各图为平面汇交力系所作的力多边形，下面说法正确的是( C )。 (A) 图(a)和图(b)是平衡力系 (B) 图(b)和图(c)是平衡力系 (C) 图(a)和图(c)是平衡力系 (D) 图(c)和图(d)是平衡力系 2F 1F 3F (a) 2F 1F 3F (b) 1F 2 F 3F 4 F (c) 1F 2F 3F 4 F (d) 图2.23 2. 关于某一个力、分力与投影下面说法正确的是( B )。 (A) 力在某坐标轴上的投影与力在该轴上的分力都是矢量，且大小相等，方向一致 (B) 力在某坐标轴上的投影为代数量，而力在该轴上的分力是矢量，两者完全不同 (C) 力在某坐标轴上的投影为矢量，而力在该轴上的分力是代数量，两者完全不同 (D) 对一般坐标系，力在某坐标轴上投影的量值与力在该轴上的分力大小相等 3．如图2.24所示，四个力作用在一物体的四点A 、B 、C 、D 上，设1P 与2P ，3P 与4P 大小相 等、方向相反，且作用线互相平行，该四个力所作的力多边形闭合，那么( C )。 (A) 力多边形闭合，物体一定平衡 (B) 虽然力多边形闭合，但作用在物体上的力系并非平面汇交力系，无法判定物体 是否平衡 (C) 作用在该物体上的四个力构成平面力偶系，物体平衡由0=∑i M 来判定 (D) 上述说法均无依据 4．力偶对物体的作用效应，取决于( D )。 (A)力偶矩的大小 (B) 力偶的转向 (C) 力偶的作用平面 (D) 力偶矩的大小，力偶的转向和力偶的作用平面
自测题2 平面汇交力系与平面力偶系
图2-1 F 1 F 2 F 3 F 1 F 2 F 3 (a) (b) 第二章 平面汇交力系与平面力偶系 自测题 一、思考题 1、图示两个力三角形中三个力的关系是否一样？其关系分别是什么？ 2、一平面力系（F 1，F 2，F 3，F 4，F 5）的五个力矢量组成图2-2所示的自行封闭的五边形。 请问：但该力系是否一定平衡？为什么？ 3、汇交于一点的三个平衡力，只要其中的两个力在同一直线上，则不共线的第三个力是否必定为零？为什么？ 二、判断题 1、 合力一定比分力大。 （ ） 2、作用在刚体上仅有两个力，且有F A + F B =0，则此刚体一定平衡。 （ ） 3、凡是力偶都不能用一个力来平衡。 （ ） 4、力偶系中的各力在任意轴上投影其代数各均等于零。 （ ） 5、力偶对其作用面内任意点之矩都等于力偶矩。 （ ） 6、作用在刚体上仅有两个力偶，力偶矩分别为M A 和M B ，且有M A + M B = 0，则该刚体一定平衡。（ ） 图2-2 F 1 F 2 F 3 F 4 F 5
图2-5 图2-3 A (a) A (b) A (c) 图2-4 三、填空题 1. N 100=F ，方向如图示，若将F 沿图示y x ，方向分解，则x 方的向分力大小为____________N ，y 方向的分力大小为______________N 。 2、力偶对物体产生的运动效应是 。 （平移效应，转动效应） 四、作图题 图示三个平衡机构，请画出在以下三种情况下A ，B 两处的约束力的方位和指向。各杆自重不计。 五、计算题 三铰拱AC 部分上作用有力偶，其力偶矩为M ，如图所示。已知两个半拱的直角边成正比，即a :b =c :a ，略去三铰拱自身的重量。 求：A 和B 两点的约束力。
力矩与平面力偶系
力矩与平面力偶系 2.2.1 力对点之矩(简称为力矩) 1.力对点之矩的概念 为了描述力对刚体运动的转动效应，引入力对点之矩的概念。 （F）来表示，即 力对点之矩用M O Mo(F) = ± Fd 一般地，设平面上作用一力F，在平面内任取一点O——矩心，O点到力作用线的垂直距离d称为力臂。 Mo(F) = ± 2△OAB
力对点之矩是一代数量，式中的正负号用来表明力矩的转动方向。矩心不同，力矩不同。 规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩取正号；反之，取负号。 力矩的单位是Nmm。 由力矩的定义可知： （1）若将力F沿其作用线移动，则因为力的大小、方向和力臂都没有改变，所以不会改变该力对某一矩心的力矩。 （2）若F=0，则Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F≠0，则d=0，即力F通过O点。 力矩等于零的条件是：力等于零或力的作用线通过矩心。 2.合力矩定理 设在物体上A点作用有平面汇交力系F 1、F 2 、---F n ，该力的合力F可由汇交力系 的合成求得。
计算力系中各力对平面内任一点O的矩，令OA=l，则 --- 由上图可以看出，合力F对O点的矩为 据合力投影定理，有 F y=F1y+F2y+---+F ny 两边同乘以l，得 F y l=F1y l+F2y l+---+F ny l 即 M o(F)=M o(F1)+M o(F2)+---+M o(F n) 合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩，等于其所有分力对同一点的力矩的代数和。
3 .力对点之矩的求法(力矩的求法) （1）用力矩的定义式，即用力和力臂的乘积求力矩。 注意：力臂d 是矩心到力 作用线的距离，即力臂必须垂直于力的作用线。 例2-3 如图所示，构件OBC 的O 端为铰链支座约束，力F 作用于C 点，其方向角为α，又知OB=l ，BC=h ，求力F 对O 点的力矩。 解 （1）利用力矩的定义进行求解
n平面汇交力系与平面力偶系
第二章平面汇交力系和平面力偶系 2-1 .图示三铰刚架受力 座反力的大小为 的大小为—F O 2 2-2.图示，两个尺寸相 同的直角曲杆，受相同 的力偶 M 作用，则A 1 束反力大小 — - O 21 处约束反力 - O 文档来自于网络搜索 l 刍F ， 2-3 ?平面系统受力偶矩为 支座反力的大小为 ______ 作用于BC 杆时，A 支座反力的大小为 M =10KN m 的力偶作用。当力偶 10KN ________ ；B 支座反力的大小为 _ 5KN M 作用于AC 杆时，A 10KN ___________ ;当 M ;B 支座反力的大小为 图2-3 (b )
均为绳，0 =0.1rad , DB 水平，AB 铅 文档来自于网络搜索 AB 、ED 、DB 、CB 图2-4 2-4图示一拔桩装置装置， 垂。力F =800N ，求绳AB 作用于桩上的力。 F DE =8000N 解： .1、以D 点为研究对象 S Fy =0 F DE sin 日-F = 0 S Fx =0 F DB - F DE COS^ = 0 F DB =8000N F DB 以B 点为研究对象 Z F x F BC 2F y =0 F BC si n i F BD =0 =80000N F BA =0 F BC CO S T-F BA " =80000N F BC BA
2-5物体重P =20kN ，用绳子挂在支架的滑轮 示。转动绞，物体便能升起。设滑轮的大小、 C 三处均为铰链连接。当物体处于平衡状态时， 自于网络搜索 B 上，绳子的另一端接在绞 D 上，如图所 AB 与CB 杆自重及摩擦略去不计， A ，B ， 求拉杆 AB 上作用一力偶 M ，梁长为I ，梁重不计，求a,b 两种情况下，支座 A 和B 4 ---------- ) — 1 2 k ------------------------------------------- I (b) 解: F BC F BA =—74.64N = 54.64N 图2-5 AB 和支杆CB 所受的力。文档来 2-6 已知梁 处的约束 力。 J-
土木工程力学教案——力矩与平面力偶系
力矩与平面力偶系 第一节 力对点之矩 力对点的矩是很早以前人们在使用杠杆、滑车、绞盘等机械搬运或提升重物时所形成的一个概念。现以板手拧螺母为例来说明。如图3－1所示，在板手的A 点施加一力F ，将使板手和螺母一起绕螺钉中心O 转动，这就是说，力有使物体（扳手）产生转动的效应。实践经验表明，扳手的转动效果不仅与力F 的大小有关，而且还与点O 到力作用线的垂直距离d 有关。当d 保持不变时，力F 越大，转动越快。当力F 不变时，d 值越大，转动也越快。若改变力的作用方向，则扳手的转动方向就会发生改变，因此，我们用F 与d 的乘积再冠以适当的正负号来表示力F 使物体绕O 点转动的效应，并称为力F 对O 点之矩，简称力矩，以符号M O （F ）表示，即 d F F M ?±=)(O （3－1） O 点称为转动中心，简称矩心。矩心O 到力作用线的垂直距离d 称为力臂。 式中的正负号表示力矩的转向。通常规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩为正，反之为负。在平面力系中，力矩或为正值，或为负值，因此，力矩可视为代数量。 由图3－2可以看出，力对点之矩还可以用以矩心为顶点，以力矢量为底边所构成的三角形的面积的二倍来表示。即 面积OAB 2)(O ?±=F M （3－2） 显然，力矩在下列两种情况下等于零：（1）力等于零；（2）力的作用线通过矩心，即力臂等于零。 力矩的单位是牛顿?米（N ?m ）或千牛顿?米（kN ?m ） 【例3－1】 分别计算图3－3所示的F 1、F 2对O 点的力矩。 【解】：由式（3－1），有 m kN 455.130)(m kN 530sin 110)(222O 111O ?-=?-=?-=?=? ??=?=d F F M d F F M 第二节 合力矩定理 图3-1