自控课程设计

题目 032 已知受控对象模型为)8)(2)(1(16)(0+++=s s s s s G ，设计一个超前滞后校正器，使得校正后系统期望的剪切频率ωc =50rad/s 和相位裕量γ≥45°.修正期望的指标来改进闭环系统的动态性能，并由闭环系统的阶跃响应来验证控制器。 一，用MATLAB 模拟校正前系统

1单位阶跃响应

num=16;%降幂排列分子多项式系数

den=[1,11,26,16,16]; %降幂排列分母多项式系数

t=0:0.1:30;

G3=tf(num,den);

Step(G3,t) %阶跃响应

图1校正前单位阶跃响应

由上图可知上升时间r T =1.53s ，峰值时间s T P 47.1=，调节时间s T =20s ，超调量

%σ=46.8%，Ⅰ型系统单位阶跃输入下稳态误差ess=0

2开环伯德图

应用Matlab 绘制出开环系统Bode 图，程序如下：

clear

num=16;

den1=conv([1 0],[1 1]);

den2=conv([1 2],[1 8]);

den=conv(den1,den2);

sys=tf(num,den); %建立原系统的开环传递函数模型

margin(sys)

[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(sys)

hold

运行结果如下：

Gm =2.2311

Pm =27.4132

Wcg = 1.2060 Wcp =0.7472

图2 校正前系统的开环伯德图 由Bode 图可知，增益裕量g K =2.2311>1，相角裕量γ=27.4132>0，原系统稳定。幅值剪切频率Wcg=1.2060，相位剪切频率Wcp=0.7472。

由Bode 图确定原系统谐振峰值r M 、带宽

r ω

clear

num=16;

den1=conv([1 0],[1 1]);

den2=conv([1 2],[1 8]);

den=conv(den1,den2);

sys=tf(num,den);%建立原系统的开环传递函数模型

bode(sys);

[m,p,w]=bode(sys);

mr=max(m)

wr=spline(m,w,mr)

（2）运行结果如下：

mr = 9.9372

wr =0.1000

3应用Matlab绘制出闭环系统Bode图，程序如下：

clear

num=16;

den1=conv([1 0],[1 1]);

den2=conv([1 2],[1 8]);

den=conv(den1,den2);

sys=tf(num,den); %建立原系统的开环传递函数模型sys=feedback(sys,1); %建立原系统的闭环传递函数模型margin(sys)

[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(sys)

hold on

运行结果如下：

Gm = 1.2314

Pm = 7.3498

Wcg = 1.2061

Wcp = 1.1356

2）原系统闭环Bode图如图3：

图3 校正前系统的闭环伯德图4开环根轨迹

num=16;

den=[1,11,26,16];

图5 校正前系统的开环根轨迹应用Matlab绘制出开环系统的奈氏图，程序如下：

clear

num=16;

den1=conv([1 0],[1 1]);

den2=conv([1 2],[1 8]);

den=conv(den1,den2);

sys=tf(num,den)

nyquist(sys)

乃氏图如下（图5）

校正前系统的乃氏图

由nyquist图知道N=0，系统稳定

由图5-1可得原系统频域性能指标：由Bode图可知，增益裕量K=2.2311>1，相角裕量γ=27.4132>0，原系统稳定。幅值剪切频率Wcg=1.2060，g

相位剪切频率Wcp=0.7472。

幅值稳定裕度：h=∞dB -π穿越频率：ω

=∞rad/s，

g

=2.69rad/s

相角裕量γ=27.4132°剪切频率：ω

c

可知系统校正前，相角稳定裕度：γ=27.4132°＜45°，剪切频率：ωc =2.69rad/s ＜50 rad/s ，都未满足要求，原系统需要校正。

2）求超前校正装置的传递函数

由于相角稳定裕度：γ=27.4132＜45°，剪切频率：

ωc =2.69rad/s ＜50rad/s ，故要进行超前校正，设超前校正传函为

Gc （s ）=11

++Ts aTs

取ωc=50rad/s ,则求Gc （s ）及其参数的MATLAB 程序为：

2.1) 法1

用程序取ωc=50rad/s 时对应的幅值稳定裕度

%sh2.m

wc=50;

L=bode(s1,wc);

Lwc=20*log10(L);

a=10^(-0.1*Lwc);

T=1/(wc*sqrt(a));

Gc=tf([a*T 1],[T 1])

运行结果为：

Transfer function:

5.56 s + 1

----------------

7.194e-005 s + 1

2.2)法2

直接从图5-1上读出wc=50rad/s对应的幅值稳定裕度为-7.8dB，则求校正传函的程序为：

%sh3.m

h=-7.8;

wc=4.5;

a=1/(10^(0.1*h));

T=1/(wc*sqrt(a));

Gc=tf([a*T 1],[T 1])

运行结果为：

Transfer function:

0.5455 s + 1

-------------

0.09053 s + 1

可知二者结果近似相等，取法一结果相对准确。

3）检验校正后系统是否满足校正要求

3.1)绘制系统校正后Bode 图及读性能指标。

校正系统wc=4.5rad/s 对应的校正传函为Gc （s ）=

1

09025.015472.0++s s ,则此时的MATLAB 程序为：

%sh4.m clear

k=9;n1=1;

d1=conv([1,0],[1,2]);

s1=tf(k*n1,d1);

num2=[0.5472 1];den2=[0.09025 1];

s2=tf(num2,den2);

sys=s1*s2

figure(2);margin(sys);

运行程序后，得校正后的Bode 图如图5-2所示

-80-60-40-20020

40

M a g n i t u d e (d B )

10-1100101102103

P h a s e (d e g )Bode Diagram

Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 69.8 deg (at 4.5 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

图5-2 校正后系统Bode 图

由上图可得：

幅值稳定裕度：h=∞dB -π穿越频率：ωg =∞ rad/s ，

相角稳定裕度：γ=69.8° 剪切频率：

ωc =4.5rad/s

3.2)分析检验

比较原系统及设计要求，可知：γ=69.8°大于45°，剪切频率ωc =4.5rad/s 都满足了设计要求。

三.校正装置的设计

设计串联滞后环节校正装置的传递函数：

）（

111)(>++=a Ts aTs s G c ，。 a 称为分度系数，T 称为时间常数。

3.2 串联校正设计过程

1）Matlab 程序如下：

子程序：

function Gc=plsj(G , kc,yPm)

G=tf(G);

[mag,pha,w]=bode(G*kc);

Mag=20*log10(mag);

[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(G*kc);

phi=(yP m-getfield(Pm, 'Wcg'))*pi/180;

alpha=(1+sin(phi))/(1-sin(phi));

Mn=-10*log10(alpha);

Wcgn=spline(Mag,w,Mn);

T=1/(Wcgn*sqrt(alpha));

Tz=alpha*T;

Gc=tf([Tz 1],[T 1]);

主程序：

num=16;

den1=conv([1 0],[1 1]);

den2=conv([1 2],[1 8]);

den=conv(den1,den2);

G=tf(num,den);%建立原系统的开环传递函数模型kc=1;

yPm=45+10;

Gc=plsj(G,kc,yPm)

Gy_c=feedback(G,1)

Gx_c=feedback(G*kc*Gc,1)

figure(1)

step(Gy_c, 'r' ,40);

hold on

step(Gx_c, 'b',40)

figure(2)

bode(G, 'r')

hold on

bode(G*Gc*kc, 'b')

figure(3)

nyquist(G，'r')

hold on

nyquist(G* kc*Gc, 'b')

三.校正装置的设计

3.2 校正装置类型及参数的设定

由于系统性能指标是以时域形式给出，因此可采用根轨迹法进行校正设计。 在应用根轨迹法进行设计时，实质上是通过采用校正装置改变系统的根轨迹形状，从而将一对闭环主导极点配置到期望的位置上。

在开环传递函数中增加极点，可以使根轨迹向右移动，从而降低系统的稳定性，增加系统响应的调整时间。而在开环传递函数中增加零点，可以导致根轨迹向左移动，从而增加系统的稳定性，减少系统响应的调整时间。因此，掌握了在系统中增加极点和（或）零点对根轨迹的影响，就能容易地确定校正装置的零、极点位置，从而将根轨迹改变成所需要的形状。

设计步骤：

（1） 根据所需要的动态品质指标要求，确定闭环主导极点A 的位置； 根据要求得闭环主导极点35.25.2122,1j j s n ±-=-±-=ξωξω

（2） 由校正前系统的根轨迹曲线图看出期望主导极点2,1s 在原系统根轨迹的左

侧而不在原闭环根轨迹上。按照前面所述原则，应该引入串联超前校正装置，使根轨迹向左移动，以满足指标要求。

（3） 为使校正后系统的根轨迹能经过期望闭环主导极点，其闭环特征方程必须

满足幅值和相角条件，即

πθj j p z c c e e M sT T s K s G s G 11

1)()(001101=++=- 式中，0M 是校正前的系统在1s 处的幅值；0θ则是对应的相角。

令111θj e M s -=，代入上式得到

)1(11101101+=+---p j j c j z j T e M e

M K e T e M θθπθ 将上述方程分解为实部和虚部两个方程，求解得到：

0101001sin )sin(sin θθθθM M K M K T C c z --= ； 0

11010sin )sin(sin θθθθM M K T c p ++-= 由此确定超前校正环节的传递函数。

function Gc=ggjx(G ,s1,kc)

numG=G.num{1};

denG=G .den{1};

ngv=polyval(numG ,s1);

dgv=polyval(denG ,s1);

g0=ngv/dgv;

theta0=angle(g0);

theta1=angle(s1);

M0=abs(g0);

M1=abs(s1);

Tz=(sin(theta1)-kc*M0*sin(theta0-theta1))/(kc*M0*M1*sin(theta0));

Tp=-(kc*M0*sin(theta1)+sin(theta0+theta1))/(M1*sin(theta0));

Gc=tf([Tz 1],[Tp 1]);

*系统校正程序的MATLAB代码为：

主程序如下：

clear

num=4;

den=conv([1 0],[1 0.5]);

G=tf(num,den);

zeta=0.5;

wn=5;

[num,den]=ord2(wn,zeta);

s=roots(den);

s1=s(1);

kc=10;

Gc=ggjx(G,s1,kc)

所得的超前传递函数为：

Transfer function:

-0.1042 s - 1

-------------

0.1333 s - 1

则校正后的开环传递函数为Gg=Kc*Gc*G

Transfer function:

-4.167 s - 40

-------------------------------

0.1333 s^3 - 0.9333 s^2 - 0.5 s

3.3校正后系统的分析

四．校正后的传递函数与原系统传递函数的比较

主程序代码为:

clear

num=4;

den=conv([1 0],[1 0.5]);

G=tf(num,den);

zeta=0.5;

wn=5;

[num,den]=ord2(wn,zeta);

s=roots(den);

s1=s(1);

kc=10;

Gc=ggjx(G,s1,kc);

Gg=G*Gc*kc;

Gy_c1=feedback(G,1)

Gx_c1=feedback(Gg,1)

figure(1)

step(Gx_c1,'b',3.5);

hold on;

step(Gy_c1,'r',3.5);

figure(2)

nyquist(G);

hold on;

nyquist(Gg, 'r');

figure(3)

bode(G);

hold on;

bode(Gg, 'r')

figure(4)

numGg=Gg.num{1};

denGg=Gg.den{1};

rlocus(numGg,denGg,'b')

hold on

numG=G.num{1};

denG=G.den{1};

rlocus(numG,denG,'r')

plot(s,'X')

axis([-40 20 -40 40]);

hold off

Transfer function:

4

---------------

s^2 + 0.5 s + 4

Transfer function:

-4.167 s - 40

--------------------------------------

0.1333 s^3 - 0.9333 s^2 - 4.667 s - 40

校正前后单位阶跃，奈氏图，bode图，根轨迹