求解一类非线性隐式变分不等式的神经网络

第３０卷第１期２０１０年０２月

西安工业大学学报

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＸｉ’ａｎＴｅｃｈｎｏｌｏｇｉｃａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ

Ｖ０１．３０Ｎｏ．１

Ｆｅｂ．２０１０

文章编号：１６７３—９９６５（２０１０）０１—０８３—０４

求解一类非线性隐式变分不等式的神经网络。

毕红梅

（空军工程大学理学院，西安７１００５１）

摘要：针对一类非线性隐式变分不等式，提出了求解它的一个神经网络模型．根据所建立的神经网络模型，在映射关于任一变量偏松弛单调的条件下，严格证明了该网络是Ｌｙａｐｕｎｏｖ稳定的，并渐进收敛于原问题的一个精确解．此外，在适当的条件下，证明了该模型的指数稳定性．数值实例表明该模型可行且有效．

关键词：变分不等式；神经网络；指数稳定性；有限时间收敛性

中图号：０２２１．２文献标志码：Ａ

考虑如下一类非线性隐式变分不等式问题［１ｆ，找向量ｚ＋∈Ｋ，使

（Ｔ（ｚ’，ｚ‘），ｚ—ｚ’＞≥０，Ｖｚ∈Ｋ（１）其中Ｋ是实Ｈｉｌｂｅｒｔ空间Ｈ中的闭凸子集，Ｔ：Ｋ×Ｋ—Ｈ的映射．当Ｋ为闭凸锥时，式（１）变为常义互补问题

．／７’∈Ｋ，丁（ｚ。，ｚ‘）∈Ｋ。，＜Ｔ（ｚ’，ｚ。），ｚ。＞≥０

（２）其中Ｋ’一｛Ｔ∈Ｈ：（Ｔ，ｚ＞≥０，Ｖｚ∈Ｋ）．所以式（１）是常义变分不等式、互补问题等的一个重要推广，而且许多优化问题，如非线性规划、极大极小问题等都可以转化为它［２。４］．因此如何求解它具有重要的理论价值和实际意义．特别地，在许多工程技术领域内，常常要求实时并行求解变分不等式．尽管文献［１３提出了求解该问题的一个数值方法，但由于其计算时间依赖于问题的规模和维数，因而并不能实时求解．然而基于电路实现的神经网络，由于其大规模并行处理、分布式存储等优点，具有很多实时应用．基于上述考虑及式（１）的内在特性，本文提出了求解它的神经网络．在映射关于任一变量偏松弛单调的条件下，严格证明了该网络是Ｌｙａｐｕｎｏｖ稳定的，并且渐进收敛于原问题的一个精确解．此外，在映射关于任一变量强单调的条件下证明了该模型的指数稳定性．

文中假定集合Ｑ是式（１）的非空解集．为叙述方便，用ｆＩ?ＩＩ表示欧氏范数．对任意向量ｚ∈Ｋ，用．２７Ｔ表示其转置向量．Ｐｎ（ｚ）一ａｒｇｍｉｎＩ｜ｚ—ｙ０为从殿到Ｑ上的射影算子，并且有如下基本性质：［ｚ—Ｐｎ（ｚ）］ＴＩＦｎ（ｚ）一ｙ］≥ｏ，Ｖｚ∈Ｑ（３）如果相应的动力系统分别是Ｌｙａｐｕｎｏｖ稳定的、渐近稳定的和指数稳定的，则称神经网络分别是Ｌｙａｐｕｎｏｖ稳定的、渐近稳定的和指数稳定的．定义１设Ｔ：Ｋ—Ｈ的映射．若存在常数ｙ＞０，均有

（２—３，）Ｔ［Ｔ（ｚ）一Ｔ（ｙ）］≥

一），Ｉ｜２一ｚＩ｜２，Ｖ．７１７，Ｙ，２∈Ｋ

则称Ｔ在Ｋ上７偏松弛单调．

定义２设Ｔ：Ｋ—Ｈ的映射．若存在常数Ｌ＞０均有

０Ｔ（ｘ，ｚ）～Ｔ（ｙ，ｚ）｜Ｉ≤ＬＩＩ（ｚ—ｙ）０，

Ｖｚ，Ｙ，ｚ∈Ｋ

则称Ｔ关于第一变量局部Ｌｉｐｓｅｈｉｔｚ连续（Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ常数为Ｌ）．

定义３设ｚ（￡）和ｚ。分别为一神经网络的输出轨线和平衡点．若存在时间＂ｔｏ，当ｔ≥Ｖｏ时，有ｚ（￡）一Ｘ。，则称该神经网络有限时间收敛．

＊收稿日期：２００９—０９－２８

作者简介：毕红梅（１９８２一），女，空军工程大学助教，主要研究方向为神经网络、最优化原理与算法．Ｅ－ｍａｉｌ：ｂｉｈｏｎｇｍｅｉ＠ｇｍａｉｌ．ＣＯＩ＇ＴＬ万方数据