反证法与放缩法 教案
澜沧拉祜族自治县第一中学教案
【反证法与放缩法】
学科：数学 年级：高三 班级：202、203
主备教师：沈良宏 参与教师：郭晓芳、龙新荣、刘世杰 审定教师：刘德清
一、教材分析：在证明不等式的时候，在直接证明遇到困难的时候,可以利用不等式的传递性，把要证明的不等式加强为一个易证的不等式，即欲证A>B ，我们可以适当的找一个中间量C 作为媒介，证明A>C 且C>B,从而得到A>B.我们把这种把B 放大到C(或把A 缩小到
C)的方法称为放缩法.放缩是一种重要的变形手段,但是放缩的对象以及放缩的尺度不易掌握,技巧性较强,这关系到证明的成败,往往需要根据具体的题目经过多次的探索和试验才能成功,因此必须多练. 比较常用的方法是把分母或分子适当放大或缩小（减去或加上一个正数）使不等式简化易证。
二、教学目标：
1、知识与技能：掌握放缩法证明数列不等式的一些常见的放缩类型及其方法。
2、过程与方法：通过例题分析和练习，让学生了解放缩法证明数列中不等式的基本方法，掌握证明数列不等式的多方面技巧，从而培养学生的数学素养，提高学生的解题能力。培养学生发现、分析、解决问题的能力。
3、情感、态度与价值观：在知识的学习过程中，体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察，勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。
三、教学重点：会用放缩法证明问题；了解放缩法的思考过程.
四、教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.
五、教学准备
1、课时安排：1课时
2、学情分析：在不等式的证明中，放缩法是一种综合性比较强的方法，放缩法证明数列不等式是数列中的难点内容，在近几年的高考中都有所考查，放缩法灵活多变，技巧性要求比较高，这就让同学们很困惑，在掌握了数列求和的基础上，非常有必要给同学们介绍用放缩法证明数列不等式。同学们有一定的能力学习放缩法。
3、教具选择：多媒体
六、教学方法： 启发诱导 合作探究
七、教学过程
1、自主导学：
问题1.已知,0,0,0,,>>++>++abc ca bc ab c b a c b a 为实数，
.0,0,0>>>c b a 求证：
【反思】(1)此题用的证明方法有什么特点?
(2)利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：
第一步 分清欲证不等式所涉及到的 ；
第二步 作出与所证不等式 假定；
第三步 从条件和假定出发，应用正确的推理方法，推出 ；
第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立.
2、合作探究
（1）分组探究：
复习回顾：
1.直接证明的两种基本证法：综合法和分析法
2.这两种基本证法的推证过程和特点：
注意强调：综合法是由因导果；分析法是执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ （综合分析法）
（1）通常用分析法提供思路，再由综合法写过程
（2）“两边凑”
4.反证法： 假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而间接证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。
反证法的思维方法： 正难则反
新课引入：在证明不等式过程中，有时为了证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小，实现证明。
例如：要证b 要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小) 这种证明方法,我们称之为放缩法。 放缩法的依据就是不等式的传递性。 （2）教师点拨： 放缩法证明不等式是难点内容，放缩法灵活多变，技巧性要求较高，所谓“放大一点点就太大，缩小一点点又太小”，这就让同学们找不到头绪，摸不着规律，总觉得高不可攀！高考命题专家说：“放缩是一种能力.” 如何把握放缩的“度”，使得放缩“恰到好处”，这正是放缩法的精髓和关键所在！其实，任何事物都有其内在规律，放缩法也是“有法可依”的，本节课我们一起来研究不等式证明问题中??? 综合法:分已知条件???结论 结析法:论已知条件 高中数列放缩法技巧大全 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:2 1153n k k =<∑ . 解析:(1)因为 1 21 121)12)(12(21422+- -=+-= -n n n n n ,所以1 2212111 42 1 2 += +- =-∑=n n n k n k (2)因为22211411214121214 n n n n n ??<==- ?--+??- , 所以35321121121513121112 =+ 用放缩法处理数列和不等问题（教师版） 一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 2010高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++n n n (2)求证:n n 412141361161412 -<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+< ????-????++????+??+n n n (4) 求证：)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n 反证法导学案 编写：王长德审核：朱效利日期2012.3.2 一、学习目标 知识与技能：了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题的思想，并能够运用反证法来证明一些问题。 过程与方法：理解并体会反证法的思想内涵。 情感态度与价值观：通过反证法的学习，培养辩证唯物主义观念。 二、学习重、难点 重点：反证法的证明步骤。 难点：运用反证法证题。 三、学习过程 （一）、课前思考 问题1 王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动… 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法? 问题2 妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天在外地旅游.小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢!上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么?小芳全家没外出旅游.他是如何推断该命题的正确性的? 1 知识改变命运学习成就未来 （二）、课内探究 各小组根据上面的问题1与问题2的分析交流总结以下问题： 1、反证法的定义： __________。 2、反证法的步骤：（1）先假设。 （2）然后通过，推出与、、 或，说明假设不成立，从而得到原结论正确。（三）、典型例题 例1 说出下面的反面的假设 （1）直线与圆只有一个交点。 （2）垂直于同一条直线的两条直线平行。 （3）一个三角形中不能有两个钝角。 例2 试使用反证法证明下列结论 （1）证明线面平行的判断定理。 （2）证明2不是有理数。 2 知识改变命运学习成就未来 （四）、课堂检测 1、试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线 也互相平行。 2、设p是质数，证明：p是无理数 四、课堂小结：过这节课的学习你有哪些收获与体会？ 五、课后练习 试用反证法证明下列结论 1、求证在一个三角形中，如果两个角不等，那么他们所对的边也 不等。 3 知识改变命运学习成就未来 2.2.2 反证法 [学习目标] 1.了解反证法是间接证明的一种方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题. 知识点一间接证明 不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，像这种不是直接证明的方法通常称为______证明. 常见的间接证明的方法是________. 知识点二反证法 1.反证法定义 假设原命题________，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明__________，从而证明了____________，这种证明方法叫做反证法. 2.反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与__________矛盾，或与______矛盾，或与________________________矛盾等. 3.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下： (2)反证法主要适用于什么情形？ 题型一用反证法证明结论否定的问题 例1如图所示，AB，CD为圆的两条相交弦，且不全为直径，求证：AB，CD不能互相平分. 反思与感悟对于结论否定型命题，正面证明需要考虑的情况很多，过程烦琐且容易遗漏，故可以考虑采用反证法.一般当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明. 跟踪训练1已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证a，b，c不可能都是奇数. 题型二用反证法证明唯一性问题 例2用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行. 反思与感悟 证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思.证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法比用同一法更方便. 跟踪训练2 求证：过一点只有一条直线与已知平面垂直. 已知：平面α和一点P . 求证：过点P 与α垂直的直线只有一条. 题型三 用反证法证明结论中含有“至多”“至少”“都”等词语的问题 例3 用反证法证明：如果函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，那么方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实数根.(不考虑重根) 反思与感悟 用反证法证明“至少”“至多”型命题，否定结论时，需弄清楚结论的否定是什么，以免出现错误.还应仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意义. 跟踪训练3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y ＞2，求证：1＋x y ＜2与1＋y x ＜2中至少有一个成 立. “放缩法”证明不等式的基本策略 1、添加或舍弃一些正项（或负项） 例1、已知* 21().n n a n N =-∈求证： *12 231 1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证明： 111211111111 .,1,2,...,,2122(21)2 3.222232 k k k k k k k k a k n a +++-==-=-≥-=--+-Q 1222311111111 ...(...)(1),2322223223 n n n n a a a n n n a a a +∴ +++≥-+++=-->- *122311...().232 n n a a a n n n N a a a +∴-<+++<∈ 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的 值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了22k -，从而是使和式得到化简. 2、先放缩再求和（或先求和再放缩） 例2、函数f （x ）= x x 414+，求证：f （1）+f （2）+…+f （n ）>n + )(2 1 21*1 N n n ∈-+. 证明：由f (n )= n n 414+=1- 11 11422n n >-+? 得f （1）+f （2）+…+f （n ）>n 2211221122112 1 ?- ++?- +?-Λ )(21 2 1)2141211(41*11N n n n n n ∈-+=++++-=+-Λ. 此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。 3、逐项放大或缩小 自我小测 1．设x ，y 都是正实数，则xy －(x ＋y )＝1，则( ) A ．x ＋y ≥2(2＋1) B ．xy ≤2＋1 C ．x ＋y ≤(2＋1)2 D ．xy ≥2(2＋1) 2．设x ＞0，y ＞0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y 1＋y ，则A 与B 的大小关系为( ) A ．A ≥B B ．A ≤B C ．A ＞B D ．A ＜B 3．用反证法证明 “如果a ＞b ，那么3a ＞3b ”的假设内容应是( ) A ．3a ＝3b B ．3a ＜3b C ．3a ＝3b 且3a ＜3b D ．3a ＝3b 或3a ＜3b 4．设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x ，则a ，b ，c 三个数( ) A ．至少有一个不大于2 B ．都小于2 C ．至少有一个不小于2 D ．都大于2 5．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 6．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)， 如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|＜|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|＜12 .那么它的假设应该是__________． 7．设a ，b ，c 均为正数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的__________条件． 8．若A ＝1210＋1210＋1＋…＋1211－1 ，则A 与1的大小关系为________． 9．已知数列{b n }是等差数列，b 1＝1，b 1＋b 2＋…＋b 10＝145. (1)求数列{b n }的通项公式； (2)设数列{a n }的通项a n ＝log a ????1＋1b n (其中a ＞0，且a ≠1)，记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与13 log a b n ＋1的大小，并证明你的结论． 主备人：审核：包科领导：年级组长：使用时间： 3反证法 【教学目标】 1. 结合已学过的实例，了解反证法是间接证明的一种基本方法。 2.了解反证法的思考过程与特点，能正确运用反证法进行数学证明。 3.体验自主探究、合作式学习的快乐、收获成功的快乐。 【重点、难点】 重点：反证法。 难点：反证法的应用。 【学法指导】 1根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案； 2用红笔勾出疑难点，提交小组讨论； 3预习p13-p15 【自主探究】不看不讲 1.在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一。我们可 先假设---------------， 在这个前提下，若推出的结果与------、------、------相矛盾，或与命题中的----------相矛盾，或与假设相------、从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定--------------成立，这种证明方法叫作反证法。 2.反证法的整体步骤是： （1）作出-------------的假设；（2）进行推理，导出------------；（3）否定-----，肯定--------。 3.若证明命题“质数有无限多个”，适宜的证法是（） （A）综合法（B）分析法（C）反证法（D）逼近法 4、用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是 （A）假设至少有一个钝角（B）假设至少有两个钝角（C）假设没有一个钝角（D）假设没有一个钝角或至少有两个钝角。 5、已知 1 , 0< 高中数学方法讲解之放 缩法 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 放缩法 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩法。 放缩法的方法有： ⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如： 4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg ( 5lg 3log 2 =<=+k k k k k （程度大） Ⅲ、 )1111(21)1)(1(11 112 2+--=+-=- 2=+++++++< c d d d c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立 例2.当 n > 2 时，求证：1)1(log )1(log <+-n n n n 【巧证】：∵n > 2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n ∴ 2 22 2)1(log 2)1(log )1(log )1(log )1(log ?? ????-=??? ???++-<+-n n n n n n n n n n 12log 22=?? ? ??? §3.2反证法和放缩法 ☆学习目标：1. 理解并掌握反证法、换元法与放缩法; 2. 会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式?知识情景： 1. 不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)． 20. 综合法和分析法． 30. 反证法、换元法、放缩法 2. 综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发, 通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由 导 法. 用综合法证明不等式的逻辑关系：12n A B B B B ??? ?? 3. 分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件, 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等), 从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执 索 的思考和证明方法. 用分析法证明不等式的逻辑关系： ?新知建构： 1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤： 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定； 第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立. 例1 已知a +b +c > 0，a b +bc +c a >0，a bc >0，求证：a ,b ,c >0 . 例2 设233=+b a ，求证：2≤+b a 。 2.换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性. 常用的换元有三角换元有： 10．已知2 22a y x =+，可设 ， ； 20．已知12 2≤+y x ，可设 ， (10≤≤r )； 30．已知12222=+b y a x ，可设 ， . 例3 设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是（ ） .A 1,)+∞ .B (1]-∞ .C 1,)+∞ .D (1]-∞ 例4 已知22 1x y +=，求证：y ax ≤-≤3. 放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小 由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度. 常用的方法是：①添加或舍去一些项，如：a a >+12，n n n >+)1(， ②将分子或分母放大（或缩小）如：2111(1)(1)n n n n n <<+- 3.反证法 学习目标： 1.了解反证法的意义及用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤（重点）； 2.学会运用反证法证明有关命题（难点）. 自主学习 一、知识链接 1.在证明一些命题是真命题时，一般采用__________法. 2.在证明与图形有关的命题时，一般有哪些步骤？ 答：第一步：____________________；第二步：_______________；第三步：_________________. 二、新知预习 1.除了直接证明的方法，还有_________证明的方法，_________法就是常用的间接证明方法. 2.在证明一个命题时,有时先假设______的反面是正确的；然后通过_________，推出与基本 事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设___________，进而得出原结论 正确.这种证明方法叫做_______法. 合作探究 一、探究过程 探究点：反证法 操作画出如下三角形，计算较短两边的长的平方的和，与较长边的平方，它们是否相等？ （1）1，1.5，2.4；（2）1.5，2，2.5；（3）1.5，2.5，3. 猜想当一个三角形的三边a、b、c（a≤b≤c）有关系a2+b2≠c2时，这个三角形不是直角 三角形. 问题你会如何证明这个猜想？ 【要点归纳】反证法步骤：先假设结论的反面是正确的；然后通过演绎推理，推出与基本事 实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原结论正确. . 已知： . 求证： . 证明：假设，则可设它们相交于点A.那么过点A 就有条直线与直 线c平行，这与“过直线外一点”矛盾. ∴假设不成立. ∴ . 【归纳总结】在推理论证时，要把新增的已知条件（即假设的内容）加进去，然后逐步推出 与已知公理或定理之间的矛盾. 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 放缩法 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩法。 放缩法的方法有： ⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶ 利用基本不等式，如： 4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg ( 5lg 3log 2 =<=+k k k k k （程度大） Ⅲ、)1 1 11(21)1)(1(11112 2+--=+-=-< k k k k k k ； （程度小） 例1.若a , b , c , d ∈R +，求证： 21<+++++++++++< c a d d b d c c a c b b d b a a 【巧证】：记m =c a d d b d c c a c b b d b a a +++ ++++++++ ∵a , b , c , d ∈R + ∴ 1=+++++++++++++++> c b a d d b a d c c a c b a b d c b a a m 2=+++++++ 2.3 反证法与放缩法 学习目标 1.理解反证法在证明不等式中的应用． 2．掌握反证法证明不等式的方法． 3．掌握放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式. 一、自学释疑 根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。 二、合作探究 探究1．用反证法证明不等式应注意哪些问题？ 探究2．运用放缩法证明不等式的关键是什么？ 1.反证法 对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明．用反证法证明数学命题，实际上是证明逆否命题成立，来代替证明原命题成立，用反证法证明步骤可概括为“否定结论，推出矛盾”． (1)否定结论：假设命题的结论不成立，即肯定结论的反面成立． (2)推出矛盾：从假设及已知出发，应用正确的推理，最后得出与定理、性质、已知及事实相矛盾的结论，从而说明假设不成立，故原命题成立． 2．用反证法证明不等式应注意的问题 (1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的． (2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法． 3．放缩法 放缩法是证明不等式的一种特殊方法，它利用已知的基本不等式(如均值不等式)，或某些函数的有界性、单调性等适当的放缩以达到证明的目的．放缩是一种重要手段，放缩时应目标明确、放缩适当，目的是化繁为简，应灵活掌握． 常见放缩有以下几种类型： 第一，直接放缩； 第二，裂项放缩(有时添加项)； 第三，利用函数的有界性、单调性放缩； 第四，利用基本不等式放缩． 例如：1n 2<1n n －1＝1n －1－1n ，1n 2>1n n ＋1＝1n －1n ＋1；1n >2n ＋n ＋1＝2(n ＋1－n )，1 n <2n ＋n －1＝2(n －n －1)． 以上n ∈N，且n >1. 【例1】 若a 3＋b 3 ＝2，求证：a ＋b ≤2. 【变式训练1】 若假设a ，b ，c ，d 都是小于1的正数，求证：4a (1－b )，4b (1－c )，4c (1－d )，4d (1－a )这四个数不可能都大于1. 【例2】 设x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝a (a >0)，x 2＋y 2＋z 2＝12 a 2.求证：x ，y ，z 都不能是负数或大于23 a 的数． 【变式训练2】 证明：若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，那么方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实根． 学习目标 1.理解反证法的理论依据，掌握反证法的基本步骤，会用反证法证明不等式.2.理解用放缩法证明不等式的原理，会用放缩法证明一些不等式． 知识点一反证法 思考什么是反证法？用反证法证明时，导出矛盾有哪几种可能？ 梳理反证法 (1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行________________，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明________不成立，从而证明原命题成立．(2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明____________________，从而断定原命题成立． 知识点二放缩法 思考放缩法是证明不等式的一种特有的方法，那么放缩法的原理是什么？ 梳理放缩法 (1)放缩法证明的定义 证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值______或________，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法． (2)放缩法的理论依据 ①不等式的传递性． ②等量加(减)不等量为____________． ③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较． 类型一 反证法证明不等式 命题角度1 证明“否定性”结论 例1 设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1a ＋1b ，证明： (1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立． 反思与感悟 当待证不等式的结论为否定性命题时，常用反证法来证明，对结论的否定要全面不能遗漏，最后的结论可以与已知的定义、定理、已知条件、假设矛盾． 跟踪训练1 设0＜a ＜2,0＜b ＜2,0＜c ＜2， 求证：(2－a )·c ，(2－b )·a ，(2－c )·b 不可能同时大于1. 命题角度2 证明“至少”“至多”型问题 例2 已知f (x )＝x 2＋px ＋q ， 求证：(1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝2； 放缩技巧 （高考数学备考资料） 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 1 2142的值; (2)求证:3 511 2 <∑=n k k . 解析:(1)因为 121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 112 22 2+-+-+j i j i j i 2.2.2 反证法 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法. 2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.(重点、难点) [基础·初探] 教材整理反证法 阅读教材P39～P40的内容，完成下列问题. 1.反证法 一般地，由证明p?q转向证明﹁q?r?…?t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定﹁q为假，推出q为真的方法，叫做反证法. 2.反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾主要是指： (1)与假设矛盾； (2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾； (3)与公认的简单事实矛盾. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)反证法属于间接证明问题的方法.() (2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理.() (3)反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾.() 【解析】(1)正确.反证法其实是证明其逆否命题成立，所以它属于间接证明问题的方法. (2)错误.反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理. (3)错误.反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾. 【答案】 (1)√ (2)× (3)× [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： [小组合作型] (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ； (2)设b n ＝S n n (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数 列. 【精彩点拨】 第(1)问应用a n ＝a 1＋(n －1)d 和S n ＝na 1＋12n (n －1)d 两式求 解.第(2)问先假设存在三项b p ，b q ，b r 成等比数列，再用反证法证明. 【自主解答】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得 ???a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32， ∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2). (2)证明：由(1)得b n ＝S n n ＝n ＋ 2. 假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝ b p b r ， 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， 17.5反证法导学案 【学习目标】 知识与能力：通过实例，体会反证法的含义，培养用反证法简单推理的技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。 过程与方法：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题. 情感、态度、价值观：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。 【学习重难点】 学习重点：1、理解反证法的概念，2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，3、用反证法证明简单的命题。 学习难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”。 【学习过程】 一、学前准备 1、复习回顾 两点确定条直线；过直线外一点有且只有条直线与已知直线平行；过一点有且只 有条直线与已知直线垂直。 2、看故事并回答：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的吗?答：。他运用了怎样的推理方法? 答：。 3、自学课本162页内容： （1）反证法的定义：在证明一个命题时,人们有时先假设不成立,然后从这个假设出发,经过，得出与、，已证明的、或等相矛盾的结果,从而得出假设的结论不成立,从而说明命题的结论正确的.这种证明方法叫做反证法. 反证法证题的基本步骤： 1．假设；（反设） 2．从这个假设和出发，经过，得出与、，已证明的、或等相矛盾的结果；（归缪）3．由，判定假设不成立，从而说明是正确的.（结论） 二、自学、合作探究 1、用具体例子体会反证法的含义及思路 例1、已知：在△ABC中，AB≠AC 求证：∠B ≠∠ C 证明：假设，则（） 这与矛盾．假设不成立． ∴． 例2、用反证法证明平行线的性质定理一：。 高考专题 放缩法 缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。 数列及不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列及不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类及数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 一．先求和后放缩 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设1 1 +=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 < n B 解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得： 1212224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列， 所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以 12-=n a n （2）)1 21 121(21)12)(12(111+--=+-== +n n n n a a b n n n ，所以高中数列放缩法技巧大全
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