高中数学选择性必修二 4 1 1数列的概念(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)
4.1.1数列的概念
要点一数列的有关概念
1．定义：按照确定的顺序排列的一列数．
2．项：数列中的每一个数叫做这个数列的项；排在第一位的数称为这个数列的第1项(也叫首项)．3．一般形式：a1，a2，a3，…，a n，…，简记为{}n a．
【重点总结】
(1)数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.
(2)数列1,2,3,4,5和数列5,3,2,4,1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1,2,3,4,5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性．
如果数列{a n}的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
要点四数列与函数的关系
从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1){0,1,2,3,4}是有穷数列．()
(2)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一数列．()
(3)所有自然数能构成数列．()
(4)数列1,3,5,7，…，2n ＋1，…的通项公式是a n ＝2n ＋1.( ) 2．若数列{a n }满足a n ＝2n ，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列
【答案】A
【解析】a n ＋1－a n ＝2n ＋
1－2n ＝2n >0，∴a n ＋1>a n ，即{a n }是递增数列．故选A. 3．(多选题)数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以为( ) A ．a n ＝(－1)n －
1 B ．a n ＝(－1)n C ．a n ＝cos n π D ．a n ＝sin n π 【答案】BC
4．数列1,2，7，10，13，…中的第26项为________． 【答案】219
【解析】因为a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，
a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，所以a n ＝3n －2， 所以a 26＝3×26－2＝76＝219.
题型一 数列的概念和分类
1．数列－11，－20，－27，…，n 2－12n ，…是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列 【答案】D
【解析】该数列从第2项起，第n 项与第n －1项的差为(n 2－12n )－[(n －1)2－12(n －1)]＝2n －13，所以该数列的前6项单调递减，从第6项往后单调递增，故选D. 2．已知下列数列：
①1,2,22,23，…，260；②1,0.5,0.52,0.53，…； ③－2,2，－2,2，…；④3,3,3,3，…；
⑤0，12，23，34，…，n －1n ，…；⑥1,0，－1，…，sin n π
2，….
其中有穷数列是______；无穷数列是________； 递增数列是________；递减数列是________； 摆动数列是________；常数列是________．(填序号) 【答案】○
1 ○2○3○4○5○6 ○1○5 ○
2 ○3○6 ○4 【方法归纳】
判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点．对于递增、递减、摆动还是常数列要从项
的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列则看项的个数有限还是无限． 题型二 由数列的前n 项求通项公式
【例1】写出数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数： (1)－1，12，－13，1
4；
(2)3，3，15，21； (3)0.9,0.99,0.999,0.999 9； (4)3,5,3,5.
【解析】(1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看做是自然数列的倒数，正负相间用(－1)的多少次幂进行调整，其一个通项公式为a n ＝(－1)n ·1
n
.
(2)数列可化为3，9，15，21，即3×1，3×3，3×5，3×7，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n －1，故原数列的一个通项公式为a n ＝3(2n －1)＝6n －3. (3)原数列可变形为⎝⎛⎭⎫1－110，⎝⎛⎭⎫1－1102，⎝⎛⎭⎫1－1103，⎝⎛⎭⎫1－1104，…，故数列的一个通项公式为a n ＝1－110
n . (4)数列给出前4项，其中奇数项为3，偶数项为5，所以通项公式的一种表示方法为a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3 (n 为奇数)
5 (n 为偶数).
此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为3＋5
2
＝4,4＋1＝5,4－1＝3，因此数列的一个通项公式又可以
写为a n ＝4＋(－1)n . 【方法归纳】
(1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征： ①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征；
④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．
(2)观察、分析数列中各项的特点是最重要的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基
本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋
1来调整． 【跟踪训练】写出下列数列的一个通项公式：
(1)0,3,8,15,24，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)112，223，334，44
5，…；
(4)1,11,111,1 111，….
【解析】(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是a n ＝n 2－1(n ∈N *)．
(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一
个通项公式为a n ＝(－1)n ＋
1(2n －1)(n ∈N *)．
(3)此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n ，分数部分与序号n 的关系为n
n ＋1
，故所求的数列的一个通项
公式为a n ＝n ＋n
n ＋1＝n 2＋2n n ＋1
(n ∈N *)．
(4)原数列的各项可变为19×9，19×99，19×999，1
9
×9 999，…，易知数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式
为a n ＝10n －1，所以原数列的一个通项公式为a n ＝1
9(10n －1)(n ∈N *)．
题型三 数列的单调性
【例2】已知函数f (x )＝1－2x
x ＋1(x ≥1)，构造数列a n ＝f (n )(n ∈N *)．
(1)求证：a n >－2；
(2)数列{a n }是递增数列还是递减数列？为什么？
【解析】(1)因为f (x )＝1－2x x ＋1＝3－2(x ＋1)x ＋1＝－2＋3
x ＋1，
所以a n ＝－2＋3
n ＋1
.因为n ∈N *，所以a n >－2.
(2)数列{a n }为递减数列．理由如下：
因为a n ＝－2＋3
n ＋1
，所以
a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎫－2＋3n ＋2－⎝⎛⎭
⎫－2＋3
n ＋1
＝3n ＋2－3
n ＋1＝－3(n ＋2)(n ＋1)
<0 即a n ＋1 先化简f (x )的解析式，再构造{a n }，然后判断a n ＋1－a n 的符号. 【方法归纳】 用作差法判断数列的单调性关键是判断符号，为此，一般要对差式进行通分，因式分解等变形；若用作商法则要特别注意分母的符号． 【跟踪训练2】已知数列{a n }的第n 项可以表示为2n 3n ＋1 ，n ∈N *，试判断数列的增减性． 【解析】因为{a n }的第n 项为2n 3n ＋1，所以{a n }的第n ＋1项为2(n ＋1)3(n ＋1)＋1.因为2(n ＋1)3(n ＋1)＋1－2n 3n ＋1＝2n ＋23n ＋4 － 2n 3n ＋1 ＝(2n ＋2)(3n ＋1)－2n (3n ＋4)(3n ＋4)(3n ＋1) ＝6n 2＋8n ＋2－6n 2－8n (3n ＋4)(3n ＋1)＝2(3n ＋4)(3n ＋1)>0， 所以2(n ＋1)3(n ＋1)＋1>2n 3n ＋1，所以数列{a n }的第n ＋1项大于第n 项， 故数列{a n }是递增数列． 【易错辨析】忽视数列中n ∈N *致错 例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4，则a n 的最小值为________． 【答案】－2 【解析】∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94， 可知对称轴方程为n ＝5 2 ， 又n ∈N *，故n ＝2或3时， a n 有最小值，且a 2＝a 3＝－2. 【易错警示】 1. 出错原因 在求出a n ＝⎝⎛⎭⎫n －522－94时，忘记n ∈N *了，导致得出错误答案：－94. 2.纠错心得 数列的定义域是正整数集合，是特殊的函数，所以解题时一定不要忘记n ∈N *这一条件. 一、单选题 1．某新冠疫苗接种点统计了一周（星期一至星期日）每天接种加强针的人数（单位:百人)如下:2,4,6,10,16，( )，42，因不慎丢失星期六的数据，根据数据的规律，则星期六的数据为（ ） A ．18 B ．24 C ．26 D ．28 【答案】C 【分析】 通过观察数列的规律，可得到从第三个数据起，每个数据等于它前面两个数据之和，根据这一结论可推得结果. 【解析】 从第三个数据起，每个数据等于它前面两个数据之和，所以星期六的数据为101626,+=故选:C. 2．数列1,2, ） A ．8项 B ．7项 C ．6项 D ．5项 【答案】A 【分析】 【解析】 ，故通项公式为n a 8项. 故选：A. 3．若数列{}n a 满足12a =，11n n n a a a +=-，则2022a =（ ） A ．2 B ．1 2 C ．-1 D ．-2 【答案】C 【分析】 由题意得数列{}n a 是周期为3的数列，即可得解. 【解析】 由12a =，代入11n n n a a a +=-可得21=2 a ，同理可得31=a -. 由11n n n a a a +=-，得1=1n n n a a a +-，从而有+12+1==1 11 1=1 1n n n n n n n n a a a a a a a a +------， 即2=11n n a a +--，从而有3+1===11 111n n n n n a a a a a +-----， 所以数列{}n a 的周期为3， 所以2022a =36743=1a a ⨯=-. 故选：C. 4．已知数列{}n a 满足1124n n n a a a ++=+且31a =，则2022a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．－4 【答案】A 【分析】 根据数列的递推公式，可知数列{}n a 是周期为3的周期数列，由此即可求出结果. 【解析】 因为数列{}n a 满足1124n n n a a a ++=+且31a =， 所以32324a a a =+，34424a a a =+， 所以2424a a =-=，， 又21224a a a =+，54524a a a =+ 所以1542a a ==-，， 又65624a a a =+，所以61a = 所以1234564,2,1,4,2,1a a a a a a ==-===-=，…… 所以数列{}n a 是周期为3的周期数列，所以2022674331a a a ⨯===. 故选：A. 5．已知数列{}n a 满足12a =，11 1 n n n a a a +-= +，则2021a =（ ） A ．2 B ．13 C ．12 - D ．3- 【答案】A 【分析】 写出数列的前5项，即可得出数列{}n a 是以4为周期的数列，202112a a ==． 【解析】 解：因为12a =，所以由已知可得 2211 213a -==+，311131213a -==-+，411 23112 a --==--+， 531 231 a --= =-+.可以判断出数列{}n a 是以4为周期的数列， 所以202112a a ==. 故选：A 6．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其中一列数如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……，按此规律得到的数列记为{}n a ，则15a =（ ） A ．98 B ．112 C ．128 D ．132 【答案】B 【分析】 根据题意可得奇数项的通项公式，即可求出. 【解析】 奇数项为0，4，12，24，40，…，即222221131517191 ,,,,,22222 ---- - 可得当n 为奇数时，212n n a -=，2 15151 1122 a -∴= =. 故选：B. 7．数列{}n a 满足11a =，21a =，且12n n n a a a --=-，()3n ≥，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则20S =（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．14 【答案】C 【分析】 利用递推公式求出数列{}n a 的前20项，直接求和. 【解析】 因为11a =，21a =，且12n n n a a a --=-，()3n ≥， 所以321110a a a -=-==；432011a a a ==--=-；543101a a a =-=--=-； 654110a a a =---==；()765011a a a =--=-=；876101a a a -=-==； 同理递推可得：90a =；101a =-；111a =-；120a =；131a =；141a =；150a =；161a =-；171a =-；180a =； 191a =；201a =. 所以()()()()()()2011001111001111001111S =++++-+-+++++-+-+++++-+-++=2. 故选：C 8．在数列{}n a 中，11a =，23a =，35a =，31n n a a +=，则515252021log log log a a a ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．0 B ．1 C ．5log 3 D ．5log 15 【答案】B 【分析】 计算得到数列周期为6，化简得到原式()2515log a a a =⋅⋅⋅⋅，计算得到答案. 【解析】 31n n a a +=，故361n n a a ++=，故6n n a a +=，数列的周期为6. 11a =，23a =，35a =，41a =，513 a =，61 5a =，1234561a a a a a a =， ()()515252021521212502155log log log lo l l g og o 5g 1a a a a a a a a a ⋅++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅==. 故选：B. 二、多选题 9．已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝－1 1 n a +，能使a n ＝3的n 可以为（ ） A ．22 B ．24 C ．26 D ．28 【答案】AD 【分析】 通过计算找到数列的周期，即得解. 【解析】 解：由a 1＝3，a n ＋1＝－ 11n a +，得a 2＝－14，a 3＝－4 3 ，a 4＝3． 所以数列{a n }是周期为3的数列，故a 22＝a 28＝3． 故选：AD 10．下列四个选项中，正确的是（ ） A ．数列的图象是一群孤立的点 B ．数列1，1-，1，1-，…与数列1-，1，1-，1，…是同一数列 C ．数列 23，3 4 ，45，56，…的一个通项公式是()*1n n a n N n =∈+ D ．数列1 2， 14，…，1 2n 是递减数列 【答案】AD 【分析】 利用数列通项公式、数列的图象、数列的定义以及数列的单调性依次判断四个选项即可． 【解析】 解：对于A ，由数列的通项公式以及*n N ∈可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项A 正确； 对于B ，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项B 错误； 对于C ，当通项公式为1 n n a n = +时，112 23a =≠，不符合题意，故选项C 错误； 对于D ，数列11,24，⋯，1 2n 是递减数列，故选项D 正确． 故选：AD. 第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明 三、填空题 11．在数学课堂上、教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，例如将数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第二次得到数列1，4，3，5，2；第()* n n ∈N 次得到数列1，1x ，2x ，3x ，…，k x ，2（共2k +项），则k = ______． 【答案】21n - 【分析】 根据第一次得到数列1，3，2，共1321=+项，第二次得到数列1，4，3，5，2，共2521=+项，第三次得到数列1，5，4,7，3，8，5,7，2，共3921=+项，得到规律求解. 【解析】 第一次得到数列1，3，2，共1321=+项； 第二次得到数列1，4，3，5，2，共2521=+项； 第三次得到数列1，5，4,7，3，8，5,7，2，共3921=+项； 依此第n 次得到数列1，1x ，2x ，3x ，…，k x ，2，共221n k +=+项； 解得21n k =-， 故答案为：21n - 12．数列{a n }的通项公式为a n ＝2,3,n n n n +⎧⎨-⎩ 是奇数 是偶数，则a 3＋a 6＝________. 【答案】8 【解析】 a 3＋a 6＝(3＋2)＋(6－3)＝5＋3＝8. 13．已知数列{}n a 满足1221 1,2,()n n a a a n N a + +==-=-∈，则该数列前26项的和为____． 【答案】10- 【分析】 根据递推公式可以求出数列的周期，利用周期进行求解即可. 【解析】 因为1221 1,2,()n n a a a n N a + +==-=-∈， 所以3111a a =-=-，42112a a =-=，5311a a =-=，641 2a a =-=-， 因此该数列的周期为4，且1234131(2)(1)22 a a a a +++=+-+-+=-， 所以该数列前26项的和为：3 61(2)102 -⨯++-=-， 故答案为：10- 四、解答题 14．若数列{}n a 满足12a =，111n n n a a a ++= -，n *∈N ，求2021a ． 【答案】2 【分析】 计算出数列{}n a 的前5项的值，可知数列{}n a 为周期数列，结合数列的周期性可得结果. 【解析】 解：因为12a =，111n n n a a a ++=-，则1211123112a a a ++===---，23211311132a a a ， 3431111211312a a a ，454111321113a a a ， 所以，数列{}n a 是周期为4的数列，因此，20214505112a a a ⨯+===. 15．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数． （1） （2） （3） 【答案】 （1）第5项图形见解析，通项公式为54n a n =-，第5项的点数为521a = （2）第5项图形见解析，通项公式为32n b n =-，第5项的点数为513b = （3）第5项图形见解析，通项公式为()2n c n n =+，第5项的点数为535c = 【分析】 （1）根据图形中点数的规律可作出第5项的图形，并根据各项的点数可归纳出数列的通项公式； （2）根据图形中点数的规律可作出第5项的图形，并根据各项的点数可归纳出数列的通项公式； （3）根据图形中点数的规律可作出第5项的图形，并根据各项的点数可归纳出数列的通项公式. （1） 解：设第n 项的点数为()n a n * ∈N ， 11a =，215a =+，3125a =+⨯，4135a =+⨯，该数列的第5项为514521a =+⨯=， 数列{}n a 的一个通项公式为()15154n a n n =+-=-，第5项的图形如下图所示： （2） 解：设第n 项的点数为()n b n N * ∈， 11b =，213b =+，3123b =+⨯，4133b =+⨯，该数列的第5项为514313b =+⨯=， 数列{}n b 的一个通项公式为()13132n b n n =+-=-，第5项的图形如下图所示： （3） 解：设第n 项的点数为()n c n N * ∈， 113c =⨯，224c =⨯，335c =⨯，446c =⨯，该数列的第5项为55735c =⨯=， 数列{}n c 的一个通项公式为()2n c n n =+，第5项的图形如下图所示： 4.3.1.1等比数列的概念和通项公式 知识点一 等比数列的概念 (1)文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q ≠0)表示． (2)符号语言：a n ＋1 a n ＝q (q 为常数，n ∈N *) 【重点总结】 (1)由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比也不为0，由此可知，若数列中有“0”项存在，则该数列不可能是等比数列． (2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与其前一项之比，前后次序不能颠倒． (3)定义中的“同一个常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略． 要点二 等比中项 如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 【重点总结】 (1)若G 是a 与b 的等比中项，则G a ＝b G ，所以G 2＝ab ，G ＝±ab. (2)与“任意两个实数a ，b 都有唯一的等差中项A ＝a ＋b 2 ”不同，只有当a 、b 同号时a 、b 才有等比中项， 并且有两个等比中项，分别是ab 与－ab ；当a ，b 异号时没有等比中项． (3)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项． 要点三 等比数列的通项公式 设等比数列{a n }的公比为q ，则这个等比数列的通项公式是a n ＝1 1n a q (a 1，q ≠0且n ∈N *)． 【重点总结】 (1)已知首项a 1和公比q ，可以确定一个等比数列． (2)在公式a n ＝a 1q n －1 中，有a n ，a 1，q ，n 四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量，其中a 1，q 为 两个基本量． (3)对于等比数列{a n }，若q<0，则{a n }中正负项间隔出现，如数列1，－2,4，－8,16，…；若q>0，则数列{a n }各项同号．从而等比数列奇数项必同号；偶数项也同号． 【基础自测】 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若一个数列为{a n }，且满足a n a n －1 ＝q (n ≥2，q 为不等于0的常数)，则这个数列是等比数列．( ) (2)在等比数列{a n }中，若已知任意两项的值，则可以求出首项、公比和数列任一项的值．( ) (3)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( ) (4)若一个数列从第二项开始，每一项都是它前后两项的等比中项，则这个数列是等比数列．( ) 【答案】（1）√（2）√（3）×（4）× 2．(多选题)下列数列不是等比数列的是( ) A ．2,22,3×22，… B.1a ，1a 2，1 a 3，… 2022年高中数学 §4.1数列的概念 第1课时数列的概念及通项公式 学习目标 1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.2.掌握数列的分类，了解数列的单调性.3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项.4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式． 知识点一数列及其有关概念 1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用a n 表示．其中第1项也叫做首项． 2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，…，简记为{a n}． 思考数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？ 答案不是．顺序不一样． 知识点二数列的分类 分类标准名称含义 按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列 知识点三函数与数列的关系 数列{a n}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项a n，记为a n＝f(n)． 知识点四数列的单调性 递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列各项都相等的数列 1．如果数列{a n}的第n项a n与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这 个式子叫做这个数列的通项公式． 2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 思考 既然数列是一类特殊的函数，那么表示数列除了用通项公式外，还可以用哪些方法？ 答案 还可以用列表法、图象法． 1．1,1,1,1是一个数列．( √ ) 2．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}．( × ) 3．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列．( × ) 4．a n 与{a n }表达不同的含义．( √ ) 一、数列的有关概念和分类 例1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？ (1)1,0.84,0.842,0.843，…； (2)2,4,6,8,10，…； (3)7,7,7,7，…； (4)13，19，127，1 81，…； (5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1； (6)0，－1,2，－3,4，－5，…. 解 (5)是有穷数列；(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列；(2)是递增数列；(1)(4)(5)是递减数列；(3)是常数列． 反思感悟 (1)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断． (2)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外． 跟踪训练1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？ (1)2 017,2 018,2 019,2 020,2 021； (2)0，12，2 3，…，n －1n ，…； (3)1，12，14，…，1 2n －1，…； (4)－ 11×2，12×3，－13×4，1 4×5 ，…； 专题4.1 数列的概念与简单表示法 知识储备 知识点一数列及其有关概念 思考1数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？ 【答案】不是.顺序不一样. 思考2根据你对于数列的定义的理解，看看能不能回答下面的问题： (1)按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n位的数称为这个数列的第n项. (2) 数列的一般形式可以写成a1，a2，…，a n，…，简记为{a n}. 思考3数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别在哪儿？ 【答案】数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性. 知识点二通项公式 思考1数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？ 【答案】100.由前四项与它们的序号相同，猜第n项a n＝n，从而第100项应为100. 思考2上例中的a n＝n当序号n取不同的值，就可得到不同的项，所以可以把a n＝n当作数列1,2,3,4，…的项的通用公式，这个公式就叫通项公式.你能把通项公式推广到一般数列吗？ 【答案】如果数列{a n}的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个式子a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 思考3数列的通项公式a n＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？ 【答案】如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})为定义域的函数a n＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值. 不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集. 知识点三数列的分类 (1)按项数分类，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列. 2020-2021年高二数学选择性必修二尖子生同步培优题典 4.1数列的概念 解析版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：本卷共16小题，6道单选题，3道多选题，3道填空题，4道解答题。 一、单选题 1．已知数列{}n a 中，13= 4a ，1 11n n a a -=-（,2n N n +∈≥），那么2020a 等于（ ） A ．1 3 - B ． 34 C ．2 D ．4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据13=4a ，1 1 1n n a a -=-，计算数列的前几项，得到数列{}n a 是以3为周期的数列求解. 【详解】 因为13=4 a ，11 1n n a a -=-， 所以211113 a a =- =-， 32 1 14a a =- =， 431314 a a =- =， … 所以数列{}n a 是以3为周期的数列， 所以202067331134 a a a ⨯+===， 故选：B 【点睛】 本题主要考查数列的周期性的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2．数列1、1、2、3、5、8、13、21、34、 称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波 那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出的，该数列的特点是：从第三项起，每一项都等于它前面两项的和.在该数列的前2020项中，偶数的个数为（ ） A ．505 B ．673 C ．674 D ．1010 【答案】B 【解析】 【分析】 由斐波那契数列的特点可知，该数列只有第( )3k k * ∈N 项为偶数，再由202036731=⨯+可求得结 果. 【详解】 由斐波那契数列的特点，可得此数列只有第( )3k k * ∈N 项为偶数， 由于202036731=⨯+，所以前2020项中偶数的个数为673． 故选：B. 【点睛】 本题考查斐波那契数列的应用，考查推理能力，属于基础题. 3．“干支纪法”是我国记年、月、日、时的序号的传统方法，天干地支简称“干支”，天干指：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸．“地支”指：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．如，农历1861年为辛酉年，农历1862年为壬戌年，农历1863年为癸亥年，则农历2068年为（ ） A ．丁亥年 B ．丁丑年 C ．戊寅年 D ．戊子年 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意得天干是以10为周期的数列，地支是以12为周期的数列，以1861为首项，即可得答案. 【详解】 记1a =辛，1b =酉（1861）；2a =壬，2b =戌（1862）；3a =癸，3b =亥（1863）， 所以记天干为数列{}n a ，且最小正周期为10，记地支为数列{}n b ，且最小正周期为12， 故20688a a ==戊，20684b b ==子（2068）， 故选：D ． 【点睛】 本题考查数列的周期性，难点在于需将题目信息转化为所学数列的知识，考查逻辑推理，归纳分析 新教材高中数学学案新人教A版选择性必修2： 等差数列的概念 新课程标准学业水平要求 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义． 2．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．3．体会等差数列与一元一次函数的关系．1.借助教材实例理解等差数列、等差中项的概念．(数学抽象) 2．借助教材实例了解等差数列与一次函数的关系．(数学抽象) 3．会求等差数列的通项公式，并能利用等差数列的通项公式解决相关的问题．(数学运算) 4．能利用等差数列的通项公式解决相关的实际问题．(数学运算、数学建模) 第1课时等差数列的概念必备知识·自主学习 导思1.什么是等差数列？ 2．等差数列的通项公式是什么？3．什么是等差中项？ 1.等差数列的定义 (1)条件：①从第2项起． ②每一项与它的前一项的差都等于同一个常数． (2)结论：这个数列是等差数列． (3)相关概念：这个常数叫做等差数列的公差，常用d表示． (1)为什么强调“从第2项起”？ 提示：①第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合； ②定义中包括首项这一基本量，且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差． (2)如何理解“每一项与前一项的差”？ 提示：它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻． 2．等差中项 (1)前提：三个数a ，A ，b 成等差数列． (2)结论：A 叫做a 与b 的等差中项． (3)满足的关系式：2A ＝a ＋b ． 等式“2A＝a ＋b”有哪些等价形式？ 提示：2A ＝a ＋b ⇔A －a ＝b －A ⇔A ＝a ＋b 2 . 3．等差数列的通项公式 递推公式 通项公式 a n ＋1－a n ＝d(n∈N *) a n ＝a 1＋(n －1)d (n∈N * ) 1．怎样从函数角度认识等差数列？ 提示：若数列{a n }是等差数列，首项为a 1，公差为d ， 则a n ＝f(n)＝a 1＋(n －1)d ＝nd ＋(a 1－d). (1)点(n ，a n )落在直线y ＝dx ＋(a 1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 2．由等差数列的通项公式可以看出，要求a n ，需要哪几个条件？ 提示：只要求出等差数列的首项a 1和公差d ，代入公式a n ＝a 1＋(n －1)d 即可． 1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”). (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × ) (2)等差数列{a n }的单调性与公差d 有关．( √ ) (3)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项．( √ ) (4)若三个数a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，则a ，b ，c 一定是等差数列．( √ ) 提示：(1)若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列． (2)当d>0时为递增数列；d ＝0时为常数列；d<0时为递减数列． (3)只需将项数n 代入即可求出数列中的任意一项． 4.1.1数列的概念 要点一数列的有关概念 1．定义：按照确定的顺序排列的一列数． 2．项：数列中的每一个数叫做这个数列的项；排在第一位的数称为这个数列的第1项(也叫首项)．3．一般形式：a1，a2，a3，…，a n，…，简记为{}n a． 【重点总结】 (1)数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n. (2)数列1,2,3,4,5和数列5,3,2,4,1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1,2,3,4,5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性． 如果数列{a n}的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 要点四数列与函数的关系 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表： 【基础自测】 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1){0,1,2,3,4}是有穷数列．() (2)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一数列．() (3)所有自然数能构成数列．() (4)数列1,3,5,7，…，2n ＋1，…的通项公式是a n ＝2n ＋1.( ) 2．若数列{a n }满足a n ＝2n ，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列 【答案】A 【解析】a n ＋1－a n ＝2n ＋ 1－2n ＝2n >0，∴a n ＋1>a n ，即{a n }是递增数列．故选A. 3．(多选题)数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以为( ) A ．a n ＝(－1)n － 1 B ．a n ＝(－1)n C ．a n ＝cos n π D ．a n ＝sin n π 【答案】BC 4．数列1,2，7，10，13，…中的第26项为________． 【答案】219 【解析】因为a 1＝1＝1，a 2＝2＝4， a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，所以a n ＝3n －2， 所以a 26＝3×26－2＝76＝219. 题型一 数列的概念和分类 1．数列－11，－20，－27，…，n 2－12n ，…是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列 【答案】D 【解析】该数列从第2项起，第n 项与第n －1项的差为(n 2－12n )－[(n －1)2－12(n －1)]＝2n －13，所以该数列的前6项单调递减，从第6项往后单调递增，故选D. 2．已知下列数列： ①1,2,22,23，…，260；②1,0.5,0.52,0.53，…； ③－2,2，－2,2，…；④3,3,3,3，…； ⑤0，12，23，34，…，n －1n ，…；⑥1,0，－1，…，sin n π 2，…. 其中有穷数列是______；无穷数列是________； 递增数列是________；递减数列是________； 摆动数列是________；常数列是________．(填序号) 【答案】○ 1 ○2○3○4○5○6 ○1○5 ○ 2 ○3○6 ○4 【方法归纳】 判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点．对于递增、递减、摆动还是常数列要从项 数列知识点复习讲义（含答案） 一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 1．数列是按一定顺序排列的一列数，记作,,,,321 n a a a a 简记{}n a . 2．数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 的关系若用一个公式)(n f a n =给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。 3．数列的项为当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。 4、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 5、求数列中最大最小项的方法：最大⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a 最小⎩⎨⎧≤≤-+11n n n n a a a a 考虑数列的单调性 二、等差数列 1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差． （2）符号表示：11(2)(1)n n n n a a d n a a d n -+-=≥-=≥或 2、通项公式：若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()11n a a n d =+-． 通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-；②n m a a d n m -=-． 通项公式特点：1()n a dn a d =+- ),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。 3、等差中项 若三个数a ，A ，b 组成等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2 a c b +=，则称b 为a 与 c 的等差中项．即a 、b 、c 成等差数列<=>2 a c b += 4、等差数列{}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中 （1）q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若。 （2）d m n a a m n )(-=- （3）m n m n n a a a +-+=2 5、等差数列的前n 项和的公式 第四章数列知识点总结 4.1数列的概念 .................................................................................................................... - 1 - 第1课时数列的概念及简单表示法.......................................................................... - 1 - 第2课时数列的递推公式与a n和S n的关系............................................................ - 7 - 4.2等差数列 ...................................................................................................................... - 14 - 4.2.1等差数列的概念................................................................................................ - 14 - 4.2.2等差数列的前n项和公式................................................................................ - 24 - 4.3等比数列 ...................................................................................................................... - 35 - 4.3.1等比数列的概念................................................................................................ - 35 - 4.3.2等比数列的前n项和公式................................................................................ - 44 - 4.4*数学归纳法 ................................................................................................................ - 53 - 4.1数列的概念 第1课时数列的概念及简单表示法 1．数列的概念及一般形式 思考：(1)数列的项和它的项数是否相同？ (2)数列1，2，3，4，5，数列5，3，2，4，1与{1，2，3，4，5}有什么区别？ [提示](1)数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，而项数是指该数列中的项的总数． (2)数列1，2，3，4，5和数列5，3，2，4，1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1，2，3，4，5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性． 2．数列的分类 4.2.1 等差数列的概念(精练) 【题组一 等差数列的判断】 1．(2021·全国高二课时练习)(多选)已知a ，b ，c 成等差数列，则( ) A ．2a ，2b ，2c 一定成等差数列 B ．2a ，2b ，2c 可能成等差数列 C ．2ka +，2kb +，2kc +(k 为常数)一定成等差数列 D ．1 a ，1 b ，1c 可能成等差数列 【答案】BCD 【解析】对于A ，取1a =，2b =，3c =，则21a =，24b =，29c =， 此时2a ，2b ，2c 不成等差数列，故A 错误； 对于B ，令a b c ==，则222a b c ==， 此时2a ，2b ，2c 是公差为0的等差数列，故B 正确； 对于C ，∵a ，b ，c 成等差数列，∵b a c b m -=-=(m 为常数)． 又()()()22kb ka k b a +-+=-，()()()22kc kb k c b +-+=-， ∵()()()()2222kb ka kc kb km +-+=+-+=(km 为常数)， ∵2ka +，2kb +，2kc +(k 为常数)为等差数列，故C 正确； 对于D ，令0a b c ==≠，则 111 a b c ==， 此时1 a ，1 b ，1c 是公差为0的等差数列，故D 正确． 故选：BCD 2．(2021·全国高二专题练习)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(______) 【答案】错误 【解析】如果一个数列{}n a 满足1n n a a d --=(d 为常数)，那么{}n a 为等差数列， 以上为等差数列的定义，注意d 不随n 的变化而变化，即同一个常数， 故答案为：错误. 3．(2021·全国高二课时练习)判断下列数列是否为等差数列？∵32n a n =+；∵2 n a n n =+. 【答案】∵等差数列；∵不是等差数列. 4.2.1.1等差数列的概念和通项公式 要点一 等差数列的概念 (1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d_表示． (2)符号语言：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)． 【重点概要】 (1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”． (2)一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，即该常数与n 无关． (3)求公差d 时，可以用d ＝a n －a n －1来求，也可以用d ＝a n ＋1－a n 来求． 注意公差是每一项与其前一项的差，且用a n －a n －1求公差时，要求n ≥2，n ∈N *. 要点二 等差中项 (1)条件：如果a ，A ，b 成等差数列． (2)结论：那么A 叫做a 与b 的等差中项． (3)满足的关系式是________． 【重点概要】 在等差数列{a n }中，任取相邻的三项a n －1，a n ，a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，则a n 是a n －1与a n ＋1的等差中项． 反之，若a n －1＋a n ＋1＝2a n 对任意的n ≥2，n ∈N *均成立，则数列{a n }是等差数列． 因此，数列{a n }是等差数列⇔2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)．用此结论可判断所给数列是不是等差数列，此方法称为等差中项法． 要点三 等差数列的通项公式 以a 1为首项，d 为公差的等差数列{a n }的通项公式a n ＝1(1)a n d +- 【重点总结】 从函数角度认识等差数列{a n } 若数列{a n }是等差数列，首项为a 1，公差为d ，则a n ＝f(n)＝a 1＋(n －1)d ＝nd ＋(a 1－d)． (1)点(n ，a n )落在直线y ＝dx ＋(a 1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 【基础自测】 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( ) (2)等差数列{a n }的单调性与公差d 有关．( ) (3)若三个数a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，则a ，b ，c 一定是等差数列．( ) (4)一个无穷等差数列{a n }中取出所有偶数项构成一个新数列，公差仍然与原数列相等．( ) 【答案】（1）×（2）√（3）√（4）× 2．(多选题)下列数列是等差数列的有( ) A ．1,1,1,1,1 B ．4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，5 3 D ．－3，－2，－1,1,2 【答案】ABC 3．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( ) 第六章数列 【选择性必修第二册】 第一节数列的概念 【课标要求】 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）； 2 .了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数。 【命题规律】考查S n与a n的关系、简单的递推关系；题型有选择题、填空题和解答题，难度为低档。 基础·细梳理 1.数列的有关概念 （1）数列的定义1 按照确定的顺序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项。 （2）数列的分类 分类标准类型满足条件 按项数分类有穷数列项数有限 无穷数列项数无限 按项与项间的大小关系分类递增数列a n+1＞a n其中n∈N∗ 递减数列a n+1＜a n 常数列a n+1=a n 按其他标准分类有界数列存在正数M，使|a n|≤M 摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项 周期数列对n∈N∗，存在正整数常数k，使a n+k=a n （3）数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法。 [微点清] 1数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊法。 2.数列的通项公式 （1）数列的通项公式 如果数列{a n}的第n项a n与序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么 这个公式叫做这个数列的通项公式2。 （2）已知数列{a n}的前n项和S n，则a n=｛S1 ,n=1 ,S n−S n−1 ,n≥2。 [微点清] 2①并不是所有的数列都有通项公式；②同一个数列的通项公式在形式上未 必唯一。 3.数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式。 小题·微演练 一、基础题 1. （多选）已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项可能是( ABD ) A. a n=(−1)n−1+1 B. a n={2，n为奇数，0，n为偶数 C. a n=2sin nπ 2 D. a n=cos(n−1)π+1 [解析]对n=1，2，3，4进行验证，a n=2sin nπ 2 不合题意，其他都可能。 2. 在数列{a n}中，a1=1 ,a n=1+(−1)n a n−1 (n≥2)，则a5等于( D ) A. 3 2 B. 5 3 C. 8 5 D. 2 3 [解析]a2=1+(−1)2 a1=2,a3=1+(−1)3 a2 =1 2 ,a4=1+(−1)4 a3 =3,a5=1+(−1)5 a4 =2 3 。 3. 设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=a1(4n−1) 3，若a4=32，则a1=1 2 。 [解析]由题意，得a4=S4−S3=32。即255a1 3−63a1 3 =32，解得a1=1 2 。 二、易错题 4. （忽视n=1的特殊情况致误）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+1，则a n= { 2,n=1, 2n−1,n≥2,n∈N∗。 [解析]当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n−S n−1=n2+1−[(n−1)2+ 1]=2n−1，a1=2不满足上式。故a n={ 2,n=1, 2n−1,n≥2,n∈N∗。 自主梳理 1．数列的定义 按____________着的一列数叫数列，数列中的________都叫这个数列的项；在函数意义下，数列是______________________的函数，数列的一般形式为：________________________，简记为{a n }，其中a n 是数列的第____项． 2．通项公式： 如果数列{a n }的________与____之间的关系可以______________来表示，那么这个式子叫做数列的通项公式．但并非每个数列都有通项公式，也并非都是唯一的． 3．数列常用表示法有：____________________、________、________. 4．数列的分类： 数列按项数来分，分为____________、____________；按项的增减规律分为____________、____________、____________和________．递增数列⇔a n ＋1____a n ；递减数列⇔a n ＋1____a n ；常数列⇔a n ＋1____a n . 5．a n 与S n 的关系： 已知S n ，则a n ＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ ，n ＝1， ，n ≥2，. 自我检测 1．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2 (n ∈N *)，则该数列的通项a n ＝______. 2．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10＝________. 3．已知数列－1，85，－157，249 ，…按此规律，则这个数列的通项公式是______________________________． 学生姓名 教师姓名 班主任 日期 时间段 年级 课时 教学内容 数列的概念与简单表示法 教学目标 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数． 重点 数学归纳方法、递推法 难点 同上 4.1数列的概念（1） -A 基础练 一、选择题 1．（2021·贵阳北大培文学校高二）数列 1111 ,,,,24816 …的递推公式可以是（ ） A ．()11 *2n n a n N +=∈ B ．()1 *2n a n N n =∈ C ．()11 *2 n n a a n N +=∈ D ．()12*n n a a n N +=∈ 【答案】C 【详解】由题意可知，数列从第二项起，后一项是前一项的12，所以递推公式为() * 112 n n a a n N +=∈. 故选：C. 2．（2021·天津河西区高二期末）已知数列{}n a 满足12a =，1 12n n a a -=-，则5a =（ ） A ． 6 5 B ． 76 C ． 54 D ． 56 【答案】A 【详解】 12a =，1 12n n a a -=- ，∴211322a a =- =，321423a a =-=，431524 a a =-=，5416 25 a a =- =.故选：A. 3.（2021·全国高二课时练）数列{}n a 的前n 项和21 n n S n = +，则n a =（ ）． A ． 23(1) n n + B ．2(1)n n + C ．1 n(n 1)+ D ．12(1)n n + 【答案】B 【详解】当1n =时111a S ==，当2n ≥时122(1)2 1(1) n n n n n a S S n n n n --=-=-=++， 验证，当1n =时1a 满足，故选：B ． 4．（2020·海口市海南中学高二月考）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“.在某种玩法中，用n a 表示解下( )* 9,n n n N ≤∈个圆环所需的移动最少次数，若1 1a =. 第四章 4.1 A 级——基础过关练 1．(2021年山东期末)数列13，－12，35，－2 3，…的通项公式可能是( ) A ．a n ＝(－1)n 1 4－n B ．a n ＝(－1)n －1 14－n C ．a n ＝(－1)n n n ＋2 D ．a n ＝(－1) n －1 n n ＋2 【答案】D 【解析】根据题意，13，－12，35，－23，…，即13，－24，35，－4 6，…，其通 项公式可以为a n ＝(－1) n －1 n n ＋2 .故选D ． 2．(2021年福建期末)数列1，2，7，10，13，…，则22是这个数列的第( ) A ．8项 B ．7项 C ．6项 D ．5项 【答案】A 【解析】根据题意，数列1，2，7，10，13，…，其通项公式为a n ＝3n －2，若3n －2＝22，即3n －2＝22，解可得n ＝8，22是这个数列的第8项．故选A ． 3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1 n ＋1 ，那么这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列 【答案】A 【解析】a n ＝n －1n ＋1＝1－2n ＋1，∴n 越大，2 n ＋1 越小，则a n 越大，故该数列是递增数列． 4．(多选)下列命题中正确的是( ) A ．已知数列{a n }，a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N * )，那么1120 是这个数列的第10项，且最大项为第 1项 B ．数列2，5，22，11，…的一个通项公式是a n ＝3n －1 C ．已知数列{a n }，a n ＝kn －5，且a 8＝11，则a 17＝31 D ．已知a n ＋1＝a n ＋3，则数列{a n }是递增数列 4．1 第一课时 数列的概念 [A 级 基础巩固] 1．下列说法正确的是( ) A ．数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的 B ．数列1,2,3与数列3,2,1是相同的 C ．数列⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫1＋1n 是递增数列 D ．数列⎩ ⎨⎧⎭⎬⎫1＋(－1)n n 是摆动数列 解析：选D 数列是有序的，而数集是无序的，所以A ，B 不正确；选项C 中的数列是递减数列；选项D 中的数列是摆动数列． 2．已知数列12，23，34，…，n n ＋1 ，则0.96是该数列的( ) A ．第20项 B ．第22项 C ．第24项 D ．第26项 解析：选C 由n n ＋1 ＝0.96，解得n ＝24. 3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x 等于( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 解析：选C 观察数列可知，后一项是前两项的和，故x ＝5＋8＝13. 4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)，则它的前30项之积是( ) A.15 B ．5 C ．6 D ． log 23＋log 31325 解析：选B a 1·a 2·a 3·…·a 30＝log 23×log 34×log 45×…×log 3132＝log 232＝log 225＝5. 5．已知递减数列{a n }中，a n ＝kn (k 为常数)，则实数k 的取值范围是( ) A ．R B ．(0，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－∞，0] 解析：选C a n ＋1－a n ＝k (n ＋1)－kn ＝k <0. 6．数列－1,1，－2,2，－3,3，…的一个通项公式为________． 解析：注意到数列的奇数项与偶数项的特点即可得a n ＝⎩⎨⎧ －n ＋ 12，n ＝2k －1(k ∈N *)，n 2，n ＝2k (k ∈N *). 答案：a n ＝⎩⎨⎧ －n ＋12，n ＝2k －1(k ∈N *)，n 2，n ＝2k (k ∈N *) 7．已知数列{a n }的通项公式a n ＝19－2n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________． 解析：由a n ＝19－2n >0，得n <192 .∵n ∈N *，∴n ≤9. 答案：9 8．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n n ＋1 ，则a n ·a n ＋1·a n ＋2＝________. 解析： a n ·a n ＋1·a n ＋2＝ n n ＋1·n ＋1n ＋2·n ＋2n ＋3＝n n ＋3. 答案： n n ＋3 9．观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式： (1)34，23，712，________，512，13 ，…； (2) 53，________，1715，2624，3735，…； (3)2,1，________，12 ，…； (4)32，94，________，6516 ，…. 4.1数列的概念（第一课时） 【学习目标】 （1）了解数列的有关概念（项、项的表示）； （2）了解数列的表示方法（列表、图象、通项公式）； （3）了解数列是特殊的函数. 【知识梳理】 请同学们预习课本4.1节（第2-5页），完成下列知识梳理。 从课本中三个例子，归纳出它们的共同特征，我们可以得到数列的相关概念。 1、数列的概念 （1）定义：按照一定顺序排列的一列数叫做数列. （2）项：数列中的每一个数叫做这个数列的项. （3）数列的形式：数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，···，排在第n位的数称为这个数列这个数列的第n项. 数列的一般形式可以写成： a1, a2, a3, a4, …，a n, … 简记为{a n}，其中a n叫做数列的第n项. 2、数列与函数的关系 （1）数列{a n}是从正整数集N∗（或它的有限子集{1,2,⋯n}）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项a n，记为a n=f(n). （2）数列是特殊的函数：数列是自变量为离散的数的函数． 3、数列的分类 （1）与函数类似，我们可以定义数列的单调性： ○1递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，即a n+1>a n； ○2递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，即a n+1 课时同步练 4.1 数列的概念与简单表示法（1） 一、单选题 1．已知数列{}n a 中， 2n+5，则3a =（ ） A ．13 B ．12 C ．11 D ．10 【答案】C 【解析】由已知得 2×3+5=11． 故选C ． 2．有下面四个结论：①数列的通项公式是唯一的；②每个数列都有通项公式；③数列可以看作一个定义在正整数集上的函数；④数列的图象是坐标平面上有限或无限个离散的点.其中真命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 【答案】B 【解析】对①，数列1,1,1,1,--其通项公式1(1)n n a +=-，也可以是3(1)n n a +=-，故①错误； 对②，数列的项与n 具备一定的规律性，才可求出数列的通项公式，所以有的数列是无通项公式的，故②错误； 对③，数列可以看作一个定义在正整数集上或正整数集的子集上的函数，故③错误； 对④，由数列的定义知命题正确. 故选B. 3．已知数列-1，0， 19，18，…，22n n -，…中，则572是其（ ） A ．第14项 B ．第12项 C ．第10项 D ．第8项 【答案】B 【解析】令22n n -=572，化为：5n 2﹣72n +144=0， 解得n =12，或n = 125（舍去）． 故选B ． 4．数列{}n a 的通项公式()*2n a n n =∈N 不满足下列递推公式的是（ ） A ．()122n n a a n -=+ B ．()1223n n n a a a n --=- C ．()()()11222n n n n a a a a n ---=- D ．()122n n a a n -= 【答案】D 【解析】将2n a n =代入四个选项得： A. 22(1)2n n =-+ 成立； B. 222(1)2(2)n n n =⨯--- 成立； C. ()2222(1)2(1)][2n n n n -=--- 成立； D. 222n n =⨯ 不恒成立。 故选D 5．数列2345，，，，的一个通项公式为（ ） A ．n a n = B ．1n a n =+ C ．2n a n =+ D ．2n a n = 【答案】B 【解析】A 项n a n =的前四项为1234、、、，与题意不符；高中数学选择性必修二 4 3 1 1等比数列的概念和通项公式(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)
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