数学实验课程设计作业题

数学实验课程设计作业

作业要求：每个同学做一题，你要做的题的题号与你的学号尾数相同（学号尾数为0的选10号题，注：有一题是两人合作的）；

每人交一份打印课程设计报告，要求有完整的建模过程（如是程序设计，算法思

想要写清楚），至少5页（不算封面、题目和计算结果的显示），程序作为附录

放在后面，标题用宋体四号字，正文用宋体小四号字，单倍行距。作业电子文档

（含程序）交到FTP中去。

1.当一个小圆轮沿着一条曲线行进时，轮缘任一点的轨迹就会产生变化丰富的

摆线。

a）当小圆轮绕着一个大圆（半径R=10）的内部滚动时，请画此“圆轮摆线”

或“内花瓣线”。(小圆的半径至少取10种，作出图形)

b）对象方式产生动画，呈现一个小圆（半径为3）在一个大圆（半径为10）的圆周内部滚动的动画。

注：若大圆和小圆的半径成整数比，当小圆在大圆的内部滚动时，小圆内的任一点 A 的轨迹就会形成一个漂亮无缺的花瓣线。当大圆半径R 为10，小圆半径r 为3，且A 点离小圆圆心距离r1 为2 时，请画出此完整的花瓣线。

2.半导体器件由硅晶片大量生产出来，每个硅晶片包含上百个半导体器件，晶

片生产出来后，将其切割成单个的芯片，然后测试芯片的速度，chip.dat文件中一次半导体芯片测试的数据，文件的第一列式芯片的编号，第二列是芯片测试出的最高速度，单位为兆赫兹(MHZ)，若标注为NaN 的表示该芯片为废品。

1）编写一程序,从chip.dat中读入数据，并输出250、300、350、400和450 MHZ 的芯片个数；

2）打印出每种速度芯片的编号。

3.储油罐的标尺设计

多年前, 一个商人打电话问我，他想了解如何能得到他的储油罐里还剩下多少油，它的储油罐是一个直径为3米的球体。我建议他购买一根4米长的钢尺作为量尺进行测量（如下图）。被油浸湿的标尺刻度就是储存罐中油的高度，

图一: 球形储存罐中的油.

一旦知道罐中油的高度“h ”，则油罐中剩余油的体积“V ”直接由如下公式算出：

()

332h r h V -=π

其中 r 是油罐的半径。 但该商人仍然不满意，他让我给他设计一根量尺，使得油罐里油的体积可直接从量尺上读出来，我该怎样设计量尺上的刻度呢？

4、热敏电阻测温问题

测温电阻器是一种测量温度的设备，其所用的基本原理是：当温度的发生变化时热敏电阻材料的电阻也随之发生变化，通过测量热敏电阻材料的电阻，我们就可以得出温度。

热敏电阻通常是一块半导体，其是用金属氧化物制成的，如：氧化锰、镍、钴等，该块半导体根据用途常被制成珠状，碟状，薄饼状等。

有两种不同类型的热敏电阻，负温度系数(NTC)的热敏电阻和正温度系数(PTC)的热敏电阻，对于负温度系数的热敏电阻，电阻随着温度增加而下降，对于正温度系数的热敏电阻，电阻随着温度增加而增加。 一般用于测温计的热敏电阻为负温度系数的。 为什么我们使用热敏电阻测量温度而不选择其它的（如热电偶）？这是因为具有如下优点：高灵敏性和准确性。

? 对温度改变反应迅速，可作为精确和快速测量设备。

? 有相对较高的电阻可降低由导线本身电阻所导致的误差。

但是热敏电阻器具有非线性输出，且输出值在一个有限范围里，因此 每一个热敏电阻器出厂时，厂方都要附上一张电阻—温度曲线图，该曲线一般使用

由Steinhart —Hart 方程给出的精确表示式

(){}3310ln )ln(1R a R a a T ++= （1）

其中

T 是温度，单位：开尔文( Kelvin),

R 电阻，单为：欧姆（ohms ）.

a 0，a 1，a 3为校准曲线的常数。.

作为一个例子, 对一个真实的10K3A 热敏电阻器，其曲线的三个系数值如下： 3010129241.1-=x a ；3110341077.2-=x a ；8310775468

.8-=x a 。 其实按如下方式得出的，首先测试热敏电阻在三个参考点（事实上，这里为0o C, 25o C 和 70o C ）的电阻值，然后使用方程（1）建立三个未知量的线性方程组，最后求解该方程组得出常数a 0，a 1，a 3. 对10K3A 热敏电阻器，其 Steinhart-Hart 方程如下：

(){}3833ln 10775468.8)ln(10341077.210129241.11R x R x x T ---++=

其中T 的温度单位为开尔文，电阻R 单为：欧姆。

使用数字化设备测量温度，其原理是：使用一个类似的设备用于测量热敏电阻再将其转化为可读温度。现在你想确定在热敏电阻正常的工作范围内，厂家的给出的R/T 数据和实际的电阻—温度数据是否一致。例如：对上面提到的热敏电阻测温器，温度误差若不超过±0.01o C ，则可以接受。现在问题是：在温度为19o C 时±0.01o C 误差范围里电阻应落在那个范围中？为解决该问题，我们需要求解温度在19±0.01=18.99 到 19.01 o C 范围的方程. 该方程如下：

(){}3833ln 10775468.8)ln(10341077.210129241.115.27301.191R x R x x ---++=+

(){}38333ln 10775468.8)ln(10341077.210129241.11042278.3R x R x x x ----++= 和

(){}3833ln 10775468.8)ln(10341077.210129241.115.27399.181R x R x x ---++=+

(){}38333ln 10775468.8)ln(10341077.210129241.11042301.3R x R x x x ----++= 问题: 回答下列问题

a) 注意到如用x=ln(R)代入方程, 方程就变化为关于x 的三次方程，方程将有三个根，这三根中可能有复数根，若有则有几个? 确切的解出这个三次方程需要作出相当的大的努力，然而是用数值计算技术我们可以求解任何形为f(x) = 0方程，使用三种以上的数值方法求解上述方程

b) 你是怎样使用该问题的物理知识给出你数值方法初始点的？

c) 如果上方程有一个以上的实根，你怎样去选择有效的根？或者，是否上面方程所有的实根在物理上都是可以接受的？

5、编写m 文件函数计算半径为r ，比重为s （0

1）导出h 和r 、s 之间的关系式；

2）程序要求能处理00的情况，在程序中要解一个关于h 三次多项式方程，要求所编的函数能识别出正确的根；

3）画出h~s 的函数关系图。

6、通常将散热器附着在电子设备上以提高冷却效率，从而降低电子设备的温度。通常使用称为针式散热棒阵列的散热器，如图所示，给定阵列的尺寸L ，H 和W ，要求计算散热棒的大小和最优间距。Adrian Bejian 提出了如下优化间距（S opt ）的公式：

4/13/13/275.2)/1(/2-??? ??=++Ra D H D S D D

S D S opt opt opt

其中D 是散热棒的直径，Ra 是Rayleigh 数，它是起散热作用的自然对流强度的一个无量纲指标，要求编写m 函数文件，对给定的D 、H 和Ra 计算最优间距。并画出区间300≤Ra ≤10000上H/D=5，10，15，20的S opt 图形。

间距

7、下图描述一个直径为d 的球体在空气中下落的情况：

d 和重力W=mg 相等时，达到终结速度，即：

F d =mg （1）

m 为球体的质量，g 为重力加速度，阻力可由下式计算：

A v c F d d 22

1ρ= （2） 其中c d 是经验阻尼系数，ρ是流体密度（此时是空气），v 是球体的速度，A 是球体的表面积。F.M White(Viscous Fluid Flow ,2d ed.,1991,McGrawHill,p182)给出了球体空气动力学阻力实验数据曲线拟合：

51020,4.01624?≤≤+++=Re Re

Re c d （3） μ

ρvs Re =是Reynolds 数，μ是流体（空气）的动态粘度，把方程（2）和（3）代入（1）可以得到终结速度和重量之间关系，c d 仍然用关于Re 的表达式来表示（即使你需要把v 带入Re 的表达式中来计算公式的值）。将得到的公式变换成f (x )=0的形式。

编写两个m 文件求解任意球体在空气中下落的终结速度。一个m 文件接受用户从命令行输入的m 值和d 值，另一个m 文件为求根程序计算f (x )=0的值。m 、d 和μ 的值怎样传给f (x )文件？不要使用全局变量，用所编的m 文件函数给出下列情况的终结速度：

(a) m =2gm ，d=2cm ；

(b) m =2kg ， d=15cm ；

(c) m =200kg ，d=1m 。

方程（3）对任何的m 值和d 值都有效吗？

方程（3）仅在Re 一个有限的范围内有效。当Re =105时，c d 值会在某点处急剧减小，此点就称为阻力临界点。阻力的临界点随球体的粗糙程度不同而不g

同，当球体比较粗糙时，Re 的值就比较小。高尔夫球比较粗糙，所以他在低速情况下出现阻力临界点。从而减少空气动力学阻力。

数据文件sphereCd.dat 中包含光滑球体在104≤Re ≤3.99?106范围内的cd=f(Re)的数据。对指定的Re 值编写一个m 文件函数（取名为sphereCd ），返回适合的cd 值。当0≤Re ≤104时，用方程（3）计算；当104≤Re ≤3.99?106时，对sphereCd.dat 中的数据进行线性插值（可使用Matlab 内置函数 interp1）当Re>3.99?106时，假设cd 为它在Re=3.99?106处的常量。

用所编写的sphereCd 函数代替方程（3）重新计算上面的终结速度。用sphereCd 函数得到的三种球体的终极速度与仅使用方程（3）得到的有何不同。

8、一个物体的热辐射量是其热力学温度的函数。黑体发射器是一个理想的表面

它在所有的方向等同地进行热辐射，并且能吸收入射其表面的所有辐射，Planck 分布

]

1)/[e x p (251,-=T c c E b λλλ 描述了黑体发射器发射功率变化关于波长的函数，其中λ是波长，单位为μm ，T 是热力学温度，单位为K ，c 1=3.7418?108μm 4/m 2，c 2=1.43888?104μm ?K 。，波长在0≤λ≤λ*的发射能量为：

?=→T b T d T E F **05

,0)(λλλλσ 其中σ=5.6696?10-8W /(m 2?K)，F 0→λ*定义的被积函数依赖于乘积λT ，而非分别依赖于λ和T 。

写出Matlab 函数对任何λT 的输入值计算F 0→λ*。对于λ*T =1000，5000，8000，10000和20000时计算F 0→λ*（答案：在λ*T =5000时有F 0→λ*=0.63376），注意， F 0→λ*的计算值取决于常数c 1、c 2和σ 的数值。F 0→λ*函数与其它表格数据不同，它更依赖定义F 0→λ*的常数。而不是积分算法，虽然如此，还是要尽可能的提高积分数值计算中的精度。

9、Stanley Middleman 分析了管道中的流体溶剂对固体残留物的溶解问题。为找出溶解给定厚度的残留物需要的时间，需要找到满足下式的τ 值。

?=-τ

03131)

1(u du 将上面方程写为： ?

--=ττ03131)1()(u du f 将此问题转化为一个求根问题，即求出使f (τ)=0的τ 值。使用内置的fzero 函数和求积分的方法编程解决此问题。注意：求f (τ)的m 文件需要输入τ 值向量并返回f (τ)值向量。

10、数据文件coverRain.dat中包含了某地区从1890年到1994年的降水量数据，

数据按列保存第一列为年份，后12列为降水量，单位为百分之一英寸/每月。

要求：

1）编程读入数据文件coverRain.dat；

2）编程计算并画出从1890到1994年，每年总降水量（单位用英寸）并打印出对应年份的平均降水量，最低降水量和最大降水量。

3）计算并打印出文件coverRain.dat中每月平均降水量。计算并打印出从1890到1994年每个月的总降水量。（单位用英寸）

4）不用循环来计算每年的总降水量。