函数的零点研究(四)——隐零点问题

§1.10 函数的零点研究（四）

——隐零点问题

【真题感悟】

（2014?全国Ⅱ）已知函数32

()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点（0，2）处的切 线与x 轴交点的横坐标为－2．

（1）求a ；

（2）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点．

【解】（1）'()f x =236x x a -+，'(0)f a =.

曲线()y f x =在点（0,2）处的切线方程为2y ax =+． 由题设得22a

-

=-，所以1a =． （2）由（1）知，32()32f x x x x =-++

设()g x ()2f x kx =-+323(1)4x x k x =-+-+，由题设知10k ->．

当x ≤0时，'()g x 23610x x k =-+->，()g x 单调递增， (1)10,(0)4g k g -=-<=，所以()g x =0在(],0-∞有唯一实根．

当0x >时，令32

()34h x x x =-+，则()g x ()(1)()h x k x h x =+->． 2'()363(2)h x x x x x =-=-，()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增， 所以()()(2)0g x h x h >≥=，所以()0g x =在(0,)+∞没有实根.

综上，()g x =0在R 有唯一实根，即曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点．

【典题导引】

例1．已知函数f (x )＝x －x ln x ，g (x )＝2

1ax x + ，a ∈R ． （1）当a ＞0时，求g (x )单调区间；

（2）证明：关于x 的方程f (x )＝g (x )有唯一的实数解．

【解】（1）因为22

(1)(1)'()(1)a x x g x x -+=+， 令g'(x )<0,得，x <-1或x >1

令g'(x )>0,得，-1

所以g (x )单调减区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，

单调增区间为(－1，1)．

（2）由方程f (x )＝g (x )，得x －x ln x ＝2

1ax x +， 因为x ＞0，所以等价于证：关于x 的方程1－ln x ＝

21a x +在(0，＋∞)

有唯一的实数解，

即证：关于x 的方程x 2(ln x －1)＋ln x －1＋a ＝0

在(0，＋∞)有唯一的实数解．

设h (x )＝x 2(ln x －1)＋ln x －1＋a ，h'(x )＝2x ln x －x ＋

1x ． 设m (x )＝2x ln x －x ＋

1x ， 因为m'(x )＝2ln x －2

1x ＋1在(0，＋∞)单调递增，且m'(1)＝0， 所以当0＜x ＜1时，m'(x )＜0；当x ＞1时，m'(x )＞0，

因此m (x )在(0，1)上单调递减，m (x )在(1，＋∞)上单调递增，

从而m (x )≥m (1)＝0，即h'(x )≥0恒成立，

所以h (x )＝x 2(ln x －1)＋ln x －1＋a 在(0，＋∞)单调递增．

因为h (e)＝a ，h (1e a -)＝－a 22e a -，

①当a ＝0时，因为h (x )在(0，＋∞)单调递增，且h (e)＝0，

所以h (x )在(0，＋∞)存在唯一的零点x ＝e ．

②当a ≠0时，则h (e)h (1e a -)＜0，又因为h (x )在(0，＋∞)单调递增， 所以h (x )在(0，＋∞)存在唯一的零点．

综上所述，函数h (x )在(0，＋∞)存在唯一的零点，

即方程f (x )＝g (x )有唯一的实数解．

【变式跟踪】

设a ∈R ，函数()e x f x ax =-，其中e 为自然对数的底数．

（1）当1a =时，求函数()f x 的最小值；

（2）若曲线2112

y x =+与曲线()y f x =有三个公共点，求实数a 的取值范围． 解：（1）当1a =时，()e x f x x =-，

则()e 1x f x '=-，

显然当0x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当0x <时，()0f x '<，所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减． 所以函数()f x 的最小值为(0)1f =．

（2）直线2112y x =+与曲线()y f x =有三个公共点?方程211e 2

x x ax +=-有三个不同的 解．

令21()12

x g x e x ax =---，x ∈R ，则函数()g x 有三个零点． ()x g x e x a '=--，

由（1）得，函数()g x '的最小值为1a -，

①若10a -≥，即1a ≤，()0g x '≥恒成立，

所以函数()g x 是R 上单调递增，

又(0)0g =，

所以函数()g x 只有唯一的零点．不满足题意，舍去．

②若10a -<，即1a >，函数()g x '的最小值为10a -<，

由（1）知，函数()g x '在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增． 而()0a a g a e a a e --'-=+-=>，(0)10g a '=-<，且函数()g x '在(,0)a -上的图象不间断，

由函数的零点存在性定理知()g x '在(,0)a -存在唯一的零点，

设为1x ，且1(,0)x a ∈-；

又因为()2a g a e a '=-，易证明()2a g a e a '=-在(1,)+∞上单调递增， 所以()220a g a e a e '=->->，且函数()g x '在(0,)a 上的图象不间断， 由函数的零点存在性定理知()g x '在(0,)a 存在唯一的零点，

设为2x ，且2(0,)x a ∈．

所以12(,)(,)x x x ∈-∞+∞U 时，()0g x '>，12(,)x x x ∈时，()0g x '<， 所以函数()g x 在1(,)x -∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，

在2(,)x +∞上单调递增．

所以函数()g x 的极大值为1()(0)0g x g >=，极小值为2()(0)0g x g <=， 而2(2)10a g a e --=-<，所以函数()g x 在1(2,)a x -上存在唯一的零点，

易证得2(0)x e x x >>，所以22111122

x e x ax x ax --->--，

21(((102

g a a a a >--=，且2a a x >，

所以函数在2(,x a 存在唯一的零点，

而(0)0g =，

所以当1a >时，函数有三个零点．

综上，实数a 的取值范围为(1,)+∞．

例2．已知函数2()1f x x ax =++，()ln ()g x x a a =-∈R ．

（1）当1a =时，求函数()()()h x f x g x =-的极值；

（2）若存在与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围．

（1）函数()h x 的定义域为(0,)+∞

当1a =时，2()()()ln 2h x f x g x x x x =-=+-+， 所以1(21)(1)()21x x h x x x x

-+'=+-

=， 所以当102

x <<时，()0h x '<，当12x >时，()0h x '>， 所以函数()h x 在区间1(0,)2单调递减，在区间1(,)2

+∞单调递增， 所以当12x =时，函数()h x 取得极小值为11+ln 24，无极大值；

（2）设函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同， 则121212

()()()()f x g x f x g x x x -''==- ， 所以21121212

1(ln )12x ax x a x a x x x ++--+==-， 所以12122

a x x =-，代入21211221(ln )x x x ax x a x -=++--得： 2

22221ln 20(*)424

a a x a x x -++--= 设221()ln 2424a a F x x a x x =-++--，则23231121()222a x ax F x x x x x +-'=-++= 不妨设2000210(0)x ax x +-=>，则当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '> 所以()F x 在区间0(0,)x 上单调递减，在区间0(,)x +∞上单调递增， 代入20000121=2x a x x x -=-可得：2min 00000

1()()2ln 2F x F x x x x x ==+-+- 设21()2ln 2G x x x x x =+-+-，则211()220G x x x x

'=+++>对0x >恒成立， 所以()G x 在区间(0,)+∞上单调递增，又(1)=0G 所以当01x <≤时()0G x ≤，即当001x <≤时0()0F x ≤, 又当2a x e +=时2

22421()ln 2424

a a a a a F x e a e e +++=-++-- 2211()04a a e

+=-≥ 因此当001x <≤时，函数()F x 必有零点；即当001x <≤时，必存在2x 使得(*)成立； 即存在12,x x 使得函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同． 又由12y x x =-得：2120y x

'=--<， 所以12(0,1)y x x =-在单调递减，因此20000

121=2[1+)x a x x x -=-∈-∞，， 所以实数a 的取值范围是[1,)-+∞．

例3．设a ∈R ，函数21()e 2

x f x ax =-，()f x '是函数()f x 的导函数，e 是自然对数的底 数．

（1）当2a =时，求导函数()f x '的最小值；

（2）若函数()f x 存在极大值与极小值，求实数a 的取值范围． 解：()e x f x ax '=-，

（1）当2a =时，()e 2x f x x '=-，记()()e 2x g x f x x '==-，

则()2x g x e '=-，由()0g x '=得ln2x =.