一阶导数应用

一阶导数应用

1、函数的极值

①P82，定义：如在0x 邻域内，恒有()()0x f x f

≤， ()()()0

x f x f ≥，

则称()0x f 为函数()x f 的一个极大（小）值。

可能极值点， ()x f /

不存在的点与()0x f /

=的点。（驻点）

驻点 ←极值点 ②判别方法

P82，ⅰ、导数变号。 ⅱ、()0x f //

≠，???<>0)f(x 0)f(x 00

例1、 设()x f y =满足关系式0y 4y 2y ///=+-，且()0x f >, ()0x f 0/

=，则()x f 在0x 点处 A

A 、取得极大值

B 、取得最小值

C 、在0x 某邻域内单增

D 、在0x 某邻域内单减

例2、 已知函数()x f 对一切x 满足()()[]x 2///

e 1x

f x 3x xf

--=+

如()0x f 0/

=，()0x 0≠，则 A

A 、()0x f 是()x f 的极小值

B 、()0x f 是()x f 的极大值

C 、()()

00x f x 、是曲线的拐点

D 、()0x f 不是()x f 的极值，()()

00x f x 、也不是曲线 ()x f y = 的拐点

例3、 设函数()x f 在0x =的某邻域内可导，且()00f /

=，

2

1

x sin (x)f lim /0x -=→，则()0f 是()x f 的极 大 值。

极小值

极大值

2、函数的最大值与最小值

(1) 求出[]b a ，内可能的极值点，不需判别极大还是极小，求出它们的函数值，再与端点的函数值进行比较，其中最大的（小）为最大（小）值。

(2)在()b a ，内可能极值点唯一，如是极小值则为最小值

如是极大值则为最大值

(3)如)b (f )

a (f ),0(0f <>'分别为最小, 最大值

(4)实际问题据题意可不判别。

例1、 在抛物线2

x 4y -=上的第一象限部分求一点P ，过P 点作 切线，使该切线与坐标轴所围成的三角形面积最小。 解：设切点为()y x P ，，切线方程为()()x X x 2x 4Y 2

--=--

即

14x Y

2x

4x X 2

2=+++ ∴ 三角形面积：

2x 0),x

16

8x (x 412x 4)(x 21S(x)322<<++=+?=

)x

16

-8(3x 41(x)S 22/

+=

，令3

2

x 0(x)S /=

= （唯一）

0)32(

S //

> ∴ 3

8

y ,

32x ==

故 )3

8

32(，为所求点

3、曲线的凹凸、拐点及渐近线 在I 上()x f 可导 如()()00x f

//

<>则曲线()x f y =是凹（凸）的,

在连续曲线上凹凸部分的分界点称为曲线的拐点。 可能的拐点 ()0x f //

= 和 ()x f //

不存在的点

例1、 设

()()2

3

x

1x x f -=

，试讨论()x f 的性态。

4

//

32/

x

1)-6(x (x)f ,x 2)(x 1)-(x (x)f =+= 1x ,

0(x)f -2,

x 1,

x 0

(x)f ///=====

渐近线 如a f(x)lim x =∞

→

则称a y =为水平渐近线

如∞=→f(x)lim 0

x x 则称0x x =为垂直渐近线

例2、 求 2

)

1x (1

x 2y --=

渐近线 （斜渐近线不讨论） 解： ∵ 0)1x (1

x 2lim

2

x =--∞→ ∴ 0y =为水平渐近线 ∵ ∞=--→21x )

1x (1

x 2lim ∴ 1x =垂直渐近线

例4、 曲线)

2x )(1x (x

x y +-=的渐近线有 4 条

4 证明不等式

（1）利用中值定理（R ，L ）； （2）利用函数单调性； （3）利用最值；

（4）引入辅助函数把常值不等式变成函数不等式； （5）利用函数凹凸性； （6）利用泰勒公式。

例1、 当b a 0<<，试证：

a

a

b a b ln b a b -<

<- 即

a

1

a b a ln b ln b 1<--< 证： 设 x ln y =，在]b ,a [连续，)b ,a (可导， 由拉格朗日中值定理

∵ )a b (1a ln b ln -ξ=-，即b a 1

a b a ln b ln <ξ<ξ

=

--

∴ a

1a b a ln b ln b 1<--<

例2、设0x >，证明x )x 1ln(x

1x <+<+

证： 设)x 1ln(x )x (f +-=

x

1x

x 111)x (f /+=

+-

= )x (f 单增，当0x >

0)0(f )x (f => ∴ )x 1ln(x +>

设 x

1x )x 1ln()x (f +-

+= 0)

x 1(x 2)x 1(1x 11)x (f 2

2/

>++=+++=

)x (f 单增，当0x >0)0(f )x (f =>

x

例3、当0x > 证明x ln 1x 2

>+ 证： 令 )0x (x ln 1x )x (f 2

>-+=

x

1

x 2)x (f 2/-= 0)x (f /=

2

1

x =

驻点唯一， ∵ 0x

1

x )x (f 2//

>+

= ∴ )2

1

(

f 极小

∴ )2

1

(

f 为最小值 即 02ln 2

1

2321f )x (f 0

x >+=??? ??>>

例4、 P91 ， 习题22 当 1x 0≤≤ 1p >

证明 ()1x 1x 2

p

p

p

1≤-+≤-

证: 设()()

p

p

x 1x

x f -+= 1x 0≤≤

()()1

p 1

p /

x 1p px

x f ----=

令 ()0x f

/

= , 2

1x = 驻点唯一

()()11f 0f == , p 11p 22

121f --==???

??

当 1p > , 1

p 2

1

1->

→ ()x f 在[]1,0上 最大值为1 ,最小值为p

12-

∴ ()11x 22

p p

p

1≤π-+≤-

例5、 设e >β>α，证明β

αα>β 证明：即 证

β

β

<ααln ln 设 ()x x ln x f =

e x > ，()0x

x ln 1x f 2/

<-= e x <时 ∴ ()x f 单减 当β>α β

β

<ααln ln 即 βα

α>β

例6、 设()x f

在[]c ,0上可导，且()x f /

单调减，()00f =

证明：()()()b f a f b a f +≤+ ，b a b a 0+≤≤≤

证： 令()()()()a f x f a x f x F

--+=

()()()x f a x f x F /

/

/

-+= ∵ ()x f

/

单调减

0a ≥ ，x a x ≥+ ，()()x f a x f //≤+

∴ ()0a F

/

≤ ，即()x F 单调减

[]b ,0fx ∈ ，()()00F b F =≤

即 ()()()b f a f b a f +≤+