第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点讲解

第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点讲解
第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点讲解

第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点

上一章主要介绍了函数在解析点的邻域(圆)内,可以展开成通常的幂级数,但在奇点的领域内

则不能,例如函数

在点,现在我们考虑挖去了奇点的圆

,并讨论在圆环内解析函数的级数展开。这样将得到推广的幂级数——Laurent (罗朗)级数。

它既可以是函数在孤立奇点去心领域内的Laurent展式,反过来,以它为工具就便于研究解析函数在孤立奇点去心领域内的性质。

Taylor级数与Laurent级数都是研究解析函数的有力工具。

第一节解析函数的罗朗展式

教学课题:第一节解析函数的洛朗展式

教学目的:1、了解双边幂级数在其收敛圆环内的性质;

2、充分掌握洛朗级数与泰勒级数的关系;

3、了解解析函数在孤立奇点和非孤立奇点的洛朗级数

教学重点:掌握洛朗级数的展开方法

教学难点:掌握洛朗级数的展开方法

教学方法:启发式、讨论式

教学手段:多媒体与板书相结合

教材分析:洛朗级数是推广了的幂级数,它既可以是函数在孤立奇点去心邻域内的级数展开,也可以作为工具研究解析函数在孤立奇点去心邻域内的性质。

教学过程:

1、双边幂级数

在本节中,我们讲述解析函数的另一种重要的级数展式,即在圆环内解析函数的一种级数展式。首先考虑级数

...

)

(

...

)

(

)

(

2

2

1

+

-

+

+

-

+

-

+

-

-

-

-

-

-

n

n

n

z

z

z

z

z

z

β

β

β

β

其中,...,...,,,100n z --βββ是复常数。此级数可以看成变量

1

z z -的幂级数;设这幂级数的收敛半径是R 。如果0R <<+∞,那么不难看出,此级数在R

z z 1

||0>-内绝对收敛并且内闭一致收敛,在R

z z 1

||0<

-内发散。同样,如果+∞=R ,那么此级数在0||0>-z z 内绝对收敛并且内闭一致收敛;如果R=0,那么此级数在每一点发散。在上列情形下,此级数在0z z =没有意义。于是根据定理2.3,按照不同情形,此级数分别在

0||)0(1

||010>-+∞<<=>

-z z R R R

z z 及内收敛于一个解析函数。 2、解析函数的洛朗展式:

更一般地,考虑级数

,)(0∑+∞

-∞

=-n n n

z z β

这里0,(0,1,2,...)n z n β=±± 是复常数。当级数

,)()(1

0∑∑-∞

-=+∞

=--n n

n n n

n z z z z ββ

及 都收敛时,我们说原级数

∑+∞

-∞

=-n n n

z z )(0β

收敛,并且它的和等于上式中两个级数的和函数相加。

设上式中第一个级数在20||R z z <-内绝对收敛并且内闭一致收敛,第二个级数在10||R z z >-内绝对收敛并且内闭一致收敛。于是两级数的和函数分别20||R z z <-及10||R z z >-在内解析。又设21R R <,那么这两个级数都在圆环201||:R z z R D <-<内绝对收敛并且内闭一致收敛,于是我们说级数

∑+∞

-∞

=-n n n

z z )(0β

在这个圆环内绝对收敛并且内闭一致收敛;显然它的和函数是一个解

析函数。我们称级数∑+∞

-∞

=-n n n

z z )(0β

为洛朗级数。因此,洛朗级数的和函数是圆环D 内的解析

函数,我们也有

定理5.1 (洛朗定理)设函数f (z )在圆环:)0(||:21201+∞≤<≤<-

内解析,那么在D 内

,)()(0∑+∞

-∞

=-=

n n n

z z z f α

其中,

,...)2,1,0(,)()

(211

0±±=-=

?+γζζζπαn d z f i n n

γ是圆ρρ,||0=-z z 是一个满足21R R <<ρ的任何数。

证明:设z 是圆环D 内任一点,在D 内作圆环102':'||'D R z z R <-<,使得'D z ∈,这里

2211''R R R R <<<。

用'

2'1ΓΓ及分别表示圆'||'||2010R z z R z z =-=-及。由于)(ζf 在闭圆环'D 上解析,根据柯西定理,有

??ΓΓ---=

'1'2)

(21)(21)(ζζζπζζζπd z

f i d z f i z f ,

其中积分分别是沿'

2'

1ΓΓ及关于它们所围成圆盘的正向取的。

当'

2Γ∈ζ时,级数

∑∞

+=+--=---?

-=---=-010000

000)

()(111)(11n n n

z z z z z z z z z z z ζζζζζ

一致收敛;而当'

1Γ∈ζ时,级数

+∞

=+--=----=--01

000

00

)()()1)((11n n n z z z z z z z z z ζζζ 一致收敛。把这两个式子代入前面的式子,然后逐项积分,我们就看到f (z )有展式

,)()(0∑+∞

-∞

=-=

n n n

z z z f α

其中,

,...)2,1,0(,)()(21'210?Γ+=-=

n d z f i n n ζζζπα,...)2,1(,)()

(21'11

0?Γ+--=-=n d z f i n n

ζζζπα 由柯西定理,上面两式中的积分可以换成沿圆的积分,于是定理的结论成立。

注解1、由于函数f (z )的解析区域不是单连通区域,所以公式

,...)2,1,0(,)()(2110±±=-=?+γζζζπαn d z f i n n 不能写成:.!

)(0)(n z f n n =α 注解2、我们称∑+∞

=-0

0)(n n

n

z z α

为f (z )的解析部分,而称∑-∞

-=-1

0)(n n n z z α为其主要部分。

注解3、我们称

,)(0∑+∞-∞

=-n n n

z z α

为f (z )的洛朗展式。

定理5.2 设洛朗级数

∑+∞

-∞

=-n n

n

z z )

(0

β在圆环

)0(||:21201+∞≤<≤<-

中内闭一致收敛于和函数g (z ),那么此展式就是g (z )在D 内的洛朗展式:

.)()(0∑+∞

-∞

=-=

n n

n z z z g β

证明:现在把系数用g (z )计算出来。在D 内任取一圆)(|:|210R R z z <<=-ρργ,用乘

10)(21

---k z z i

π以定理中展式的两边,然后沿γ求积分。由于所讨论的级数在γ上一致收敛,

在求积分时,对有关级数可以逐项积分,于是我们有

,...)

2,1,0()(21

)()(211010±±==-=-?∑?--+∞

-+k dz z z i dz z z z g i k k n k k βπβπγγ 这里因为上式中求和记号

+∞

-后各项只有在n=k 时不为零,因此定理的结论成立。

注解:此定理表明,洛朗级数的系数可以用它的和函数来计算,同时,这也表明,g (z )在D 内不可能有其他形式的洛朗展式,因此我们有下面的解析函数洛朗展式的唯一性定理:

推论5.1 在定理5.1的假设下,f (z )在D 的洛朗展式式唯一的。 例1、 求函数

)

2)(1(1

--z z 分别在圆环1<|z |<2及+∞<<||2z 内的洛朗级数展式。

解:如果1<|z |<2,那么,1|1

|,1|2|

<

z 利用当1||<α时的幂级数展式 (111)

2+++++=-n αααα

我们得

1121)2)(1(1---=--z z z z ;12)11(1)2

1(21101∑∑+∞

=+∞=+-=----=n n n n n z

z z

z z 如果+∞<<||2z ,那么,1|1

|,1|2|

<

z 同样,我们有 1121)2)(1(1---=--z z z z 11112

112121

.21(1)(1)

n n n n n

n n n z z z z z z

z

--+∞

+∞+∞===--=-=-=--∑∑∑ 例2、

2s i n z z 及z

z

sin 在+∞<<||0z 内的洛朗级数展式是: ...)!12()1(...!5!31sin 1

232++-+-+-=-n z z z z z z n n ...)!

12()1(...!5!31sin 242++-+-+-=n z z z z z n

n 例3、z e

1

在+∞<<||0z 内的洛朗级数展式是:

...1!1...1!211121+++++

=n

z

z n z z e 。 例4、求函数

)

3)(1(1

2--z z 在圆环1<|z |<3内的洛朗级数展式。

解:由于1<|z |<3,那么,1|3

|,1|1|

<

z 利用当1||<α时的幂级数展式 (111)

2+++++=-n αααα

我们得

)1331(81)3)(1(122-+--=--z z z z z )1

3

131(8122-----=z z z z ,

而 ;331)31(31310∑+∞=-=--=-n n

n

z z z ;11)11(1110222

22∑+∞==-=-n n z z z z z 所以,有

2

121220001113

().(1)(3)83n n n n n n n z z z z z

+∞+∞+∞

+--====-----∑∑∑

第二节 解析函数的孤立奇点

教学课题:第二节 解析函数的孤立奇点 教学目的:1、掌握孤立奇点的三种类型;

2、理解孤立奇点的三种类型的判定定理;

3、归纳奇点的所有情况;

4、充分理解关于本性奇点的两大定理。

教学重点:孤立奇点的三种类型

教学难点:孤立奇点的三种类型的判定定理 教学方法:启发式、讨论式 教学手段:多媒体与板书相结合

教材分析:孤立奇点是解析函数中最简单最重要的一种类型,以解析函数的洛朗级数为工具,研究解析函数在孤立奇点去心邻域内一个解析函数的性质。 教学过程:

1、解析函数的孤立奇点:

设函数f (z )在去掉圆心的圆盘)0(||0:0+∞≤<<-

0z 为f (z )的孤立奇点。在D 内,f (z )有洛朗展式

,)()(0∑+∞

-∞

=-=

n n n

z z z f α

其中

,...)2,1,0(,)()

(211

0±±=-=

?+ρζζζπαC n n n d z f i

ρC 是圆)0(||0R z z <<=-ρρ。

,)(0

0∑+∞

-=-n n

n

z z α

为f (z )的正则部分,,)(1

0∑+∞

=---n n n z z α为

f (z )的 主要部分。

例如,0是z

e z

z z z 1

2,sin ,sin 的孤立奇点。 一般地,对于上述函数f (z ),按照它的洛朗展式含负数幂的情况(主要部分的情况),可以把孤立奇点分类如下:

2、可去奇点 如果当时n =-1,-2,-3,…,0=n α,那么我们说0z 是f (z )的可去奇点,或者说f (z )在0z 有可去奇点。这是因为令00)(α=z f ,就得到在整个圆盘R z z <-||0内的解析函数f (z )。

例如,0分别是z

e z

z z z 1

2,sin ,sin 的可去奇点、单极点及本性奇点。 定理5.3 函数f (z )在)0(||0:0+∞≤<<-

z 是f (z )的可去奇点的

必要与充分条件是:存在着极限,0)(lim 0

α=→z f z z ,其中0α是一个复数。

证明:(必要性) 由假设,在R z z <-<||00内,f (z )有洛朗级数展式:

...)(...)()(0010+-++-+=n n z z z z z f ααα

因为上式右边的幂级数的收敛半径至少是R ,所以它的和函数在R z z <-||0内解析,于是显然存在着0)(lim 0

α=→z f z z 。

(充分性) 设在R z z <-<||00内,f (z )的洛朗级数展式是

,)()(0∑+∞

-∞

=-=

n n n

z z z f α

由假设,存在着两个正数M 及)(0R ≤ρ,使得在00||0ρ<-

,|)(|M z f <

那么取ρ,使得00ρρ<<,我们有

,...)2,1,0(221||1±±==≤

+n M

M n n n ρ

ρπρπα 当n =-1,-2,-3,…时,在上式中令ρ趋近于0,就得到,...)3,2,1(0---==n n α。于是0z 是f (z )的可去奇点。

推论5.3 设函数f (z )在)0(||0:0+∞≤<<-

3.席瓦尔兹(Schwarz)引理 如果函数)(z f 在单位圆1

)1(,1)(,0)0(<≤=z z f f 则在单位圆1

如果上述等式成立或在圆1

)1(,)(<=z z e z f i α。

4.极点 下面研究极点的特征。

如果只有有限个(至少一个)整数n ,使得0n α≠,那么我们说0z 是f (z )的极点。设对于正整数m ,0m α-≠,而当n m <-n<-m 时,0n α=,那么我们0z 是f (z )的m 阶极点。按照m=1或m>1,我们也称0z 是f (z )的单极点或m 重极点。

设函数f (z )在R z z <-<||00内解析,0z 是f (z )的)1(≥m 阶极点,那么在R z z <-<||00内,f (z )有洛朗展式:

1

1

01001

000

()...()...()...()()n m

m n m

m f z z z z z z z z z z z αααααα--+--=

+

++

++-++-+---

在这里0≠-m α。于是在R z z <-<||00内

1

1

01001

000

()...()...()...

()()n m

m n m

m f z z z z z z z z z z z αααααα--+--=

+

++

++-++-+---

在这里)(z ?是一个在R z z <-||0内解析的函数,并且0)(0≠z ?。反之,如果函数f (z )在

R z z <-<||00内可以表示成为上面的形状,而)(z ?是一个在R z z <-||0内解析的函数,并且

0)(0≠z ?,那么可以推出0z 是f (z )的m 阶极点。

定理5.4 设函数f (z )在)0(||0:0+∞≤<<-

z f z z 。

证明:必要性是显然的,我们只证明充分性。在定理的假设下,存在着某个正数)(0R ≤ρ,使得在00||0ρ<-

(1

)(z f z F =

在00||0ρ<-

(1

lim

)(lim 0

==→→z f z F z z z z 。因此0z 是F (z )的一个可去奇点,从而在00||0ρ<-

...)(...)()(0010+-++-+=n n z z z z z F βββ

我们有

0)(lim 0

0==→z F z z β。由于在00||0ρ<-

0,0...110≠====-m m ββββ。由此得)()()(0z z z z F m Φ-=,其中)(z Φ在00||ρ<-z z 内解

析,并且不等于零)0)((0≠=Φm z β。于是在00||0ρ<-

)()

(1

)(0z z z z f m

?-=

, 在这里,1()()

z z ?=Φ在00||ρ<-z z 内解析,)0)()((10≠==--m m z βα?。因此0z 是f (z )的m 阶极

点。

推论5.4 设函数f (z )在)0(||0:0+∞≤<<-

z z z f z z -→=-α)()(lim 00

,在这里m 是一个正整数,m -α是一个不等

于0的复数。

5.本性奇点

关于解析函数的本性奇点,我们有下面的结论: 如果有无限个整数n<0,使得

0≠n α,那么我们说0z 是f (z )的本性奇点。

定理5.6函数f (z )在)0(||0:0+∞≤<<-

z f z z →。

例 0是函数z e 1

的本性奇点,不难看出z

z e 10

lim →不存在。

解:当z 沿正实轴趋近于0时,z

e 1趋近于∞+;

当z 沿负实轴趋近于0时,z

e 1趋近于0; 当z 沿虚轴趋近于0时,z

e 1没有极限。 6.毕卡(Picard )定理

定理5.7 如果a 为f(z)的本性奇点,则对于任何常熟A 不管它是有限数还是无限数,都有一个收敛于a 的点列

{}n z ,使得

A z f a

z n =→)(lim {证略}

第三节 解析函数在无穷远点的性质

教学课题:第三节 解析函数在无穷远点的性质

教学目的:1、充分了解解析函数在无穷远点邻域的性态;

2、掌握孤立奇点∞类型的判定定理;

教学重点:充分了解解析函数在无穷远点邻域的性态 教学难点:孤立奇点∞类型的判定定理 教学方法:启发式、讨论式 教学手段:多媒体与板书相结合

教材分析:上一节我们讨论的是孤立奇点为有限的情形,是解析函数中最简单的一种类型,在无穷远点是没有意义的。但我们可以借助上节的理论讨论本节的相关理论。 教学过程:

定义5.4 设函数f (z )在区域+∞<<||z R 内解析,那么无穷远点称为f (z )的孤立奇点。在这个区域内,f (z )有洛朗级数展式:

,)(∑+∞

-∞

==

n n

n

z

z f α

其中系数由定理7.1中类似的公式确定。 令w

z 1

=

,按照R >0或R =0,我们得到在R w 1||0<<或+∞<<||0w 内解析的函数)1()(w f w =?,

其洛朗级数展式是:

,)(∑+∞

-∞

==

n n

n w

z α?

如果w =0是)(z ?的可去奇点、(m 阶)极点或本性奇点,那么分别说∞=z 是f (z )的可去奇点、(m 阶)极点或本性奇点。因此

(1)、如果当时n =1,2,3,…,0=n α,那么

∞=z 是f (z )的可去奇点。

(2)、如果只有有限个(至少一个)整数n ,使得0≠n

α

,那么∞=z 是f (z )的极点。设对于

正整数m ,0≠m α,而当n>m 时,0=n α,那么我们称z =∞是f (z )的m 阶极点。按照m=1

或m>1,我们也称z

=∞是f (z )的单极点或m 重极点。

(3)、如果有无限个整数n>0,使得

0≠n α,那么我们说∞=z 是f (z )的本性奇点。

注解1、我们也称

,

,1

∑∑∞

+=∞

-=n n

n n n n

z z αα

分别为级数

,

∑∞

+-∞

=n n n z α的解析部分和主要部分。

注解2、若z =∞为f (z )的可去奇点,我们也说f (z )在无穷远点解析。

注解3、上一段的结论都可以推广到无穷远点的情形,我们综合如下: 定理5.3 设函数f (z )在区域+∞<<||z R

内解析,那么z =∞是f (z )的可去奇点、极点

或本性奇点的必要与充分条件是:存在着极限、无穷极限lim ()z f z →∞

或不存在有限或无穷的极限lim ()z f z →∞

推论9.1 设函数f (z )在区域||R z <<+∞内解析,那么z

=∞是f (z )的可去奇点的必要与充分

条件是:存在着某一个正数0()R ρ≥,使得f (z )在00||z z ρ<-<+∞内有界。

定理5.4 )(z f 的孤立奇点z =∞为极点的充要条件是lim ()z f z →∞

=∞。 定理5.5 )(z f 的孤立奇点z

=∞为本性奇点的充要条件是下列链条中的任何一条成立:

(1))(z f 在点z =∞ 的主要部分有无穷多项正幂不等于零

(2)lim ()z f z →∞

=∞不存在。 例 在点z =∞ 的去心邻域内将函数2

)(+=z z

e z

f 章程罗朗级数。

例 问函数1

1

sec

-z 在z=1的去心邻域内能否展开为罗朗级数。

第四节 整函数亚纯函数的概念与Schwarz 引理

教学课题:第四节 整函数与亚纯函数 教学目的:1.了解整函数的概念与分类;

2.了解亚纯函数的概念及其与有理函数的关系;

教学重点:整函数与亚纯函数

教学难点:亚纯函数的概念及其与有理函数的关系 教学方法:启发式、讨论式 教学手段:多媒体与板书相结合

教材分析:根据解析函数的孤立奇点特征,可区分出两种最简单的解析函数族,那就是整函数与亚纯函数。 教学过程:

1、整函数:

如果f (z )在有限复平面C 上解析,那么它就称为一个整函数。显然无穷远点是整函数的孤立奇点。在C 上,f (z )围绕无穷远点的洛朗展式也就是其泰勒展式:

,)(0

∑+∞

==n n n z z f α

当f (z )恒等于一个常数时,无穷远点是它的可去奇点;当f (z )是)1(≥n 次多项式时,无穷远点是它的n 阶极点;在其它情况下,无穷远点是f (z )的本性奇点,而这时称f (z )为一个超越整函数。例如z z e z

cos ,sin ,等都是超越整函数,无穷远点是它们的本性奇点。由刘维尔定理,我们有

代数基本定理:任何)1(≥n 次代数方程至少有一个根。 证明:设

)0(...)(011≠+++=--n n n n n z z z P αααα

是一个这样的代数方程。我们要证明整函数P (z )至少有一个零点。反证之,假定P (z )没有零点,

那么

)

(1

z P 也是一个整函数,因为 |)...(||)(|0

1

n

n n n z

z

z z P ααα+

++

=-)0(|)|

||

|...|||||(|||01≠---≥-z z z z n n n n ααα 所以我们有

,0)

(1

lim

,|)(|lim =+∞=∞→∞

→z P z P z z

因而

)(1z P 在全平面上有界,于是根据刘维尔定理,)

(1z P 恒等于0,与所设矛盾,因此P (z )至少有一个零点。

定理5.10 设f (z )是一个整函数,按照∞=z 是可去奇点、)1(≥n 阶极点或本性奇点,必须而且只需f (z )是恒等于常数、)1(≥n 次多项式或超越整函数。

证明:设∞=z 是f (z )的可去奇点,那么)(lim z f z ∞

→为有限复数,从而f (z )有界,由刘维尔定

理,f (z )恒等于一个常数。

设∞=z 是f (z )的极点或本性奇点时,设f (z )在∞=z 的主要部分是

∑∑+∞

===1

1

)(k k k n k k

k z z z g αα或

那么∞=z 是f (z )-g (z )的可去奇点。因此,f (z )=g (z )+C ,其中C 为一个常数。

定理的必要性显然成立。 2、亚纯函数

定义5.6 如果函数f (z )在有限平面上除去有极点外,到处解析,那么它就称为一个亚纯函数。亚纯函数是整函数的推广,它可能有无穷多个极点。例如

z

sin 1

是一个亚纯函数,它有极点,...)1,0(±==k k z π。有理函数

)0,(......22102210≠++++++++m

n m m n

n z z z z z z βαββββαααα

也是一个亚纯函数,它在有限复平面上有有限个极点,而无穷远点是它的极点(当n>m 时)或

可去奇点(当m n ≤时),在这里),...,2,1,0;,...,2,1,0(,m l n k l k ==βα是复常数,m 及n 是正整数。

定理5.11 如果无穷远点是亚纯函数的可去奇点或极点,那么是一个有理函数。

证明:如果无穷远点是f (z )的可去奇点或极点,那么可找到一个有限的R ,使得f (z )在+∞<<||z R 内解析。在R z ≤||上,f (z )只可能有有限个极点,因为否则极点的极限点既不是极点,而且函数也不可能在这点解析,这是不可能的。因此f (z )只可能有有限个极点,设为p z z z ,...,,21;此外,无穷远点是可去奇点或极点。在每一个有限点附近把f (z )展开为洛朗级数,并且设在点λz 的主

要部分是:

);

,...,3,2,1()(...)()()(2

)

(2

)(1p z z c z z c z z c z h =-++-+-=---λλλαλλαλλλλλ

当无穷远点是极点时,在这点的主要部分是:

;...)(221q q z A z A z A z g +++=

而当无穷远点是可去极点时,令0)(≡z g 。

)()()(z R z f z F -=

其中)()(...)()()(21z g z h z h z h z R p ++++=是一个有理函数。函数F (z )除去在p z z z ,...,,21与∞有可去奇点外,在其余各点解析;这是因为由于展式的唯一性,F (z )在p z z z ,...,,21及∞附近的

洛朗展式都不包含主要部分。因此,令

),,...3,2,1)((lim )(p z F z F z z ==→λλ

λ

F (z )就是一个有界整函数。由刘维尔定理,F (z )= C (常数),从而f (z )= R (z )+C 。

复变函数 第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点

第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点 第一阶 解析函数的罗朗展式 一、双边幂级数 212 00102002 00()()()()() n n n n n c c c z z c c z z c z z c z z z z z z ∞ --=-∞ -=+-+-+-+ ++--∑L L 定理 双边幂级数 () n n n c z z ∞ =-∞ -∑的收敛圆环为:H r z a R <-<,则该级数满足 (1) 在H 内绝对且内闭一致收敛于函数()f z 。(2)函数()f z 在H 内解析 (2) 在H 内可逐项求导 (4)可沿H 内的曲线逐项积分。 定理 在圆环:H r z a R <-<内解析的函数()f z 可展为双边幂级数 () n n n c z z ∞ =-∞ -∑,其中 11() 2() n n f c d i a ζζπζ+Γ= -? (0,1,2,n =±±)Γ为圆环内的圆周a ζρ-=,并且展式是唯一的。 例如 将函数1 ()(1)(2) f z z z = --在以下三个圆环内展成罗朗展式 (1)1z <, (2)12z << (3)21z <<+∞。 解11()21 f z z z = --- (1)10 111111()()(1)2112212 n n n f z z z z z z ∞ +== -=-=-----∑。 (2)1101011111111111()()1212222112n n n n n n n n n z z f z z z z z z z z z ∞∞∞∞ -+===== -=-=-=-----∑∑∑∑。 (3)1002111111121121()212111n n n n n n n n f z z z z z z z z z z z z -∞∞∞ ===-=-=-=-=----∑∑∑。 二、 解析函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式 定义 如果函数()f z 在z a =点的去心邻域0z a R <-<内解析,点a 是奇点,则称a 是()f z 的孤立奇点。 如果z a =为()f z 的孤立奇点,则必存在正整数R ,使得()f z 在z a =点的去心邻域0z a R <-<内展为罗朗展式。

由函数图像求解析式

由函数y =Asin(ωx +φ)+B 的 图象求解析式 一、知识回顾 1、五点作图:y =Asin(ωx +φ) 2、图像变换: y=sinx 到 y=Asin(ωx+?) 方法1:(按φ、ω、A 顺序变换) 方法1:(按ω、φ、A 顺序变换) 3. 巩固练习: 【练习1】已知函数 2sin(2x )3y π =+ (1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象; (3) 3 2sin(2x )y π=+的图象可由y =sin x 的图象经过怎样的变换而得? 要得到y=cos2x 的图象,只需把函数y=sin(2x -π/3 ) 的图象向______平移______个单位得到. 二、探究新知: 例1、函数y =Asin(ωx +φ)(A ,ω,φ为常数,A>0,ω>0, 0<φ<π)的部分图象如图所示,则函数的解析式? 小结:知图求式的方法 (1)由最值确定A; (2)由T 确定ω; (3)由图象上的对应点确定φ. 变式训练 1、如图是函数y =A sin(ωx +φ) (A >0,ω>0,|φ|<π)的图象的一段,求其解析式. 例2 sin()(0,0,)2y A x B A πωφωφ=++>>< 如图是函数的部分图像,求它的解析式

例3 已知函数()sin(),0,0 2 f x A x x R π ω?ω? ?? =+∈><< ? ?? 的部分图象如图所示.求函 数的解析式; 三、课堂小结:谈谈你的收获! 四、课后思考: sin()(0,0,)2, 212 y A x A P Q PQ ππ ωφωφ =+>>< 设函数图像上一最高点的坐标为(,),且与它相邻的最低点又

浅谈复变函数中有限孤立奇点的类型判断

浅谈复变函数中有限孤立奇点的类型判断 桂林电子科技大学!王会勇 !摘!要"本文就工科复变函数课程中有关孤立奇点类型判断的教学提出了建议" !关键词"极点!判断!解析 !!留数与留数定理是复变函数课程中的重要内容!同时也是 一个难点"在实际的教学中!笔者发现!很多学生在完成’留数 定理在定积分计算上的应用(部分的学习后!对本章内容感觉 很生涩!并难于下手解题"笔者调查发现!多数同学反映此部 分的难点在于对孤立奇点的类型的判断和计算极点处的留数 两方面"这与现行通用教材%如文献#和文献)&中对该部分的 总结和选取有关"根据实际的教学经验!并参考相关文献!笔 者建议该部分教学内容和顺序简列如下$

简捷报数起卦 佛山科学技术学院!谭伟良 !摘!要"本文介绍一些报数快速起卦的八卦预测方法!文中透露了一些起卦等预测方面的奥妙" !关键词"易!起卦!预测!占卜 #C什么是报数起卦 本文重点介绍报两数起卦$要起卦时!想一下有关要预测的事!然后报或想出两个数!其中小的数除以E余数作外%上&卦!大的数除以E余数作内%下&卦!报或想出的两个数的和除以Q余数作动爻位"报数起卦法还有一数时辰法#两数时辰法和二数多数法" "C报数起卦法的特点和注意事项 报数起卦法不用知方向!纯两数起卦法则连时间也不用知道#不用时辰的运算!相当吸引人"用两数时辰法计算变爻位的方法设定了所问事物的存在值由所报两数和时辰三部分的组成!而纯两数起卦法则设定了所问事物的存在值分别由报出的两数组成"由于各个人的敏感点不一定相同!因工作或体育爱好而习惯腰#身转动的人!可能容易体会到转动身体起卦!%用多方向或方位起卦时!如果提问包含的时间和空间太长#太大或界定不太清楚!则变数很多!身体转很多次)一个多爻变的卦相当于一口气起了多个卦!可根据变爻出现先后分为多个卦&!方向和报数两种方法灵活运用也行"天机不可泄露!就像还没有到站的时候不要下车一样!什么时候出现什么都有一定的规则或惯性或过程!所以知道某些预测结果时!不要轻易泄露!以知而不太知#不太执着等技巧调整自我!以保安全!请参考本人其他文章" )C介绍某些重要原理 %#&设定原理$设起卦的方法为

确定一次函数表达式及图像的应用练习题

一、选择题(每小题4分,共28分) 1. 直线y=kx+b 的图象如图所示,则( ) A. k=-23,b=-2 B. k=23,b=2 C. k=-32,b=2 D. k=23,b=-2 2. 已知油箱中有油25升,每小时耗油5升,则剩油量P (升)与耗油时间t (小时)之间的函数关系式为( ) A. P=25+5t B. P=25-5t C. P=t 525 D. P=5t -25 3. 下列函数中,图象经过原点的有( ) ①y=2x ;②y=5x 2-4x ;③y=-x 2;④y= x 6 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 已知正比例函数y=kx 的图象经过点(1,2),则k 的值为( ) A. 21 B. 1 C. 2 D. 4 5. 为了鼓励节约用水,按以下规定收取水费:(1)每户每月用水量不超过20立方米,则每立方米水费元;(2)每户每月用水量超过20立方米,则超过部分每立方米水费2元,设某户一个月所交水费为y (元),用水量为x (立方米),则y 与x 的函数关系式用图象表示为( ) 6. 如图,OA 、BA 分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图象,图中S 和t 分别表示运动路程和时间,根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快( )

A. 2.5米 B. 2米 C. 1.5米 D. 1米 7. 某学生从家里去学校,开始匀速跑步前进,跑累了,再匀速步行余下的路程,下面图中,横坐标表示该生从家里出发后的时间,纵坐标表示离开家里的路程s ,则路程s 与时间t 之间的关系的函数图象大致是( ) 二、沉着冷静耐心填(每小题4分,共28分) 8. 若一次函数y=kx -3k+6的图象过原点,则k=_______,一次函数的解析式为________. 9. 若y -1与x 成正比例,且当x=-2时,y=4,那么y 与x 之间的函数关系式为________. 10. 如图:直线AB 是一次函数y=kx+b 的图象,若|AB|=5,则函数的表达式为________. 11. 已知直线经过原点和P (-3,2),那么它的解析式为______. 12. 随着海拔高度的升高,大气压强下降,空气中的含氧量也随之下降,即含氧量3(g /m )y 与大气压强(kPa)x 成正比例函数关系. 当36(kPa)x =时,3108(g /m )y =,请写出y 与x 的函数关系式 . 13. 当b=______时,直线y=x+b 与直线y=2x+3的交点在y 轴上. 14. 假定甲乙两人在一次赛跑中,路程s 与时间t 的关系如图所示,那么可以知道:这是一次______米赛跑;甲、乙两人中先到达终点的是______;乙在这次赛跑中的速度为______

解析函数的孤立奇点类型判断及应用

解析函数的孤立奇点类型判断及应用 摘要孤立奇点的应用在解析函数的学习和对其性质分析研究中有着重要作用,而留数计算是复变函数中经常碰到的问题。解析函数在不同类型的孤立奇点处的计算方法不同,关键我们要先判断其类型。本文在分析整理了相关资料的基础上,首先给出了孤立奇点的定义、分类及其类型的判别定理和相关推及引理,其中在考虑极点处的留数求法时,又根据单极点、二阶极点,m阶极点的求法不同,结合例子给出极点阶数的判断方法。并通过有限孤立奇点的判别对解析函数无穷远点的性态进行研究,分析能否把有限孤立奇点的特征应用到无穷远点,进而探讨了孤立奇点在留数计算中的应用,使得孤立奇点的知识更加系统、全面。关键词孤立奇点可去奇点极点本质奇点判断留数计算 前言 在复变函数论中,留数是非常重要的,而解析函数的孤立奇点是学习留数的基础,只有掌握了孤立奇点的相关性质,才能更好的学好留数。目前,在相关资料中,对孤立奇点的判别及应用已较为完备,如在许多版本的《复变函数论》中对孤立奇点的判别做了详细的说明和解释,使我们对孤立奇点的了解更透彻。但在现实中有时我们遇到的留数计算具体例子,运用定理判别会比较麻烦,还需要前后知识的衔接,这为留数计算增加了障碍。本文就是在此基础上作进一步的探讨,将判断这一工作拿出来单独讨论,通过对论文的撰写,将把孤立奇点类型的判别及在留数运算中的应用更全面化、系统化。此项研究内容可以对以后学习此部分内容的同学提供一定的帮助,使其对孤立奇点的理解更加清晰,应用得更加自如。 在复变函数课程上我们已学过了孤立奇点的分类及其类型的判别和其在留数计算中的应用,为对其作进一步的研究奠定了基础。在此基础上查阅大量书籍,搜集相关资料,并对所搜集资料进行分析、研究、筛选和处理。通过指导教师的耐心指导,已具备了研究解析函数类型的判别及其在留数计算中的应用这一课题的初步能力,并能解决现实生活中的相关例题,使理论和实践达到真正的结合和

解析函数的孤立奇点

..解析函数的孤立奇点

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第五章 教学课题:第二节 解析函数的孤立奇点 教学目的:1、掌握孤立奇点的三种类型; 2、理解孤立奇点的三种类型的判定定理; 3、归纳奇点的所有情况; 4、充分理解关于本性奇点的两大定理。 教学重点:孤立奇点的三种类型 教学难点:孤立奇点的三种类型的判定定理 教学方法:启发式、讨论式 教学手段:多媒体与板书相结合 教材分析:孤立奇点是解析函数中最简单最重要的一种类型,以解析函数的洛朗级数为工具,研究解析函数在孤立奇点去心邻域内一个解析函数的性质。 教学过程: 1、解析函数的孤立奇点: 设函数f (z )在去掉圆心的圆盘)0(||0:0+∞≤<<-

复变函数的孤立奇点及其应用(小学期论文)

复变函数的孤立奇点及其应用 数学科学学院 数学与应用数学专业 指导教师: xxx 摘要:本文讨论了孤立奇点的定义、判别方法以及孤立奇点在留数计算中的应用。 关键词:孤立奇点;定义;判别方法;留数 孤立奇点的应用在复变函数的教学以及学习中有着重要的作用,而留数的计算是复变函数中经常碰到的问题. 1 孤立奇点的定义 如果函数)(z f 在点a 的某一去心邻域}{a K -:R a z <-<0内解析,点a 是 )(z f 的奇点,则称a 为)(z f 的一个孤立奇点. 2 孤立奇点的判别方法 设函数)(z f 在区域D 内除有限个孤立奇点n z z z z ,,,,321 外处处解析,C 是D 内包围各奇点的一条正向简单闭曲线,那么)(Re 2)(1 z f s i dz z f n k a z C k ∑?===π.一般 来说,求函数在其孤立奇点0z 处的留数只须求出它在以0z 为中心的圆环域内的 洛朗级数中1 01---)(z z C 项系数1-C 就可以了.但如果能先知道奇点的类型,对求 留数更为有利.例如,如果0z 是)(z f 的可去奇点,那么0]),([Re 0=z z f s .如果0z 是本质奇点,那就往往只能用把)(z f 在0z 展开成洛朗级数的方法来求1-C .若0z 是极点的情形,则可用较方便的求导数与求极限的方法得到留数. 2.1 函数在极点处留数 法则1:如果0z 为)(z f 的简单极点,则 )()(lim ]),([Re 000 z f z z z z f s z z -=- 法则2:设) () ()(z Q z P z f = ,其中)(,)(z Q z P 在0z 处解析,如果0)(≠z P ,0z 为)(z Q 的

几何图形中函数解析式的求法(学法指导)

几何图形中函数解析式的求法 函数是初中数学的重要容,也是初中数学和高中数学有相关联系的细节,在历年的中考试题中都占有重要的份量,而求函数的解析式则成为中考的热点。求函数的解析式的方法是多种多样的,但是学生往往把思维固定在用“待定系数法”去求函数的解析式。而使用待定系数法去求函数的解析式的大前提是必须根据题目的条件,选用恰当函数(如正、反比例函数,一次、二次函数)的表达式。如果题目中能根据直接条件或间接条件给出函数的类型,当然是选用待定系数法求函数的解析式。 但我们发现,在几何图形中求函数解析式却成为初中数学考试的常见题、压轴题。同时我们也发现,在几何图形中求函数解析式往往是无法确定所求函数的类型,因此用待定系数法进行解题是行不通的。我们知道,函数的解析式也是等式,要建立函数解析式,关键是运用已知条件在几何图形中找出等量关系,列出以变量有关的等式。下面以几个例子来探求在几何图形中建立函数解析式的常见类型和解题途径。 一、 用图形的面积公式确立等量关系 例1、如图1,正方形ABCD 的边长为2,有一点P 在 BC 上运动,设PB=x ,梯形APCD 的面积为y (1)求y 与x 的函数关系式; (2)如果S △ABP =S 体型APCD 请确定P 的位置。 分析:本题所给的变量y 是梯形的面积,因此可根据梯形面积公式 B C A D P 图1

A D C B E F G N 图2 S=2 1(上底+下底)×高 ,分别找出上底、下底、高问题可获解决。因为上底CP=x -2,下底AD=2,高CD=2,于是由梯形面积公式建立两个变量之间的等量关系,2)22(2 1 ?+-=x y ,整理得:22 2 +-=x y 。(2)略 例2、如图2,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠BCD=90°,AD=a ,BC=2a ,CD=2,四边形EFCG 是矩形,点E 、G 分别在腰AB 、CD 上, 点F 在BC 上。设EF=x ,矩形EFCG 的面积为y 。(2002年中考题) (1)求y 与x 的函数关系式; (2)当矩形EFCG 的面积等于梯形ABCD 的面积的一半时,求x 的值; (3)当∠ABC=30°时,矩形EFCG 是否能成正方形,若能求其边长,若不能试说明理由。 分析:本题所给的变量y 值是矩形的面积,因此根据矩形面积公式S=长×宽,若能算出长FC 与宽EF ,或者用变量x 、y 表示FC 和EF ,则问题可获解决。其中宽EF=x ,问题归结为求出长FC ,从而两个变量x 、y 之间的关系通过矩形面积公式建立了。 解:(1)过点A 作AN ⊥BC 于N ,因为在矩形EFCG 中,EF ⊥BC , ∴EF ∥AN ∴ AN EF BN BF = 即 22x a a BF =-, 得BF=2 ax

解析汇报函数地孤立奇点类型判断及指导应用

解析函数的孤立奇点类型判断及应用 摘 要 孤立奇点的应用在解析函数的学习和对其性质分析研究中有着重要作用,而留数计算是复变函数中经常碰到的问题。解析函数在不同类型的孤立奇点处的计算方法不同,关键我们要先判断其类型。本文在分析整理了相关资料的基础上,首先给出了孤立奇点的定义、分类及其类型的判别定理和相关推及引理,其中在考虑极点处的留数求法时,又根据单极点、二阶极点,m 阶极点的求法不同,结合例子给出极点阶数的判断方法。并通过有限孤立奇点的判别对解析函数无穷远点的性态进行研究,分析能否把有限孤立奇点的特征应用到无穷远点,进而探讨了孤立奇点在留数计算中的应用,使得孤立奇点的知识更加系统、全面。 关键词 孤立奇点 可去奇点 极点 本质奇点 判断 留数计算 前言 在复变函数论中,留数是非常重要的,而解析函数的孤立奇点是学习留数的基础,只有掌握了孤立奇点的相关性质,才能更好的学好留数。目前,在相关资料中,对孤立奇点的判别及应用已较为完备,如在许多版本的《复变函数论》中对孤立奇点的判别做了详细的说明和解释,使我们对孤立奇点的了解更透彻。但在现实中有时我们遇到的留数计算具体例子,运用定理判别会比较麻烦,还需要前后知识的衔接,这为留数计算增加了障碍。本文就是在此基础上作进一步的探讨,将判断这一工作拿出来单独讨论,通过对论文的撰写,将把孤立奇点类型的判别及在留数运算中的应用更全面化、系统化。此项研究容可以对以后学习此部分容的同学提供一定的帮助,使其对孤立奇点的理解更加清晰,应用得更加自如。 在复变函数课程上我们已学过了孤立奇点的分类及其类型的判别和其在留数计算中的应用,为对其作进一步的研究奠定了基础。在此基础上查阅大量书籍,搜集相关资料,并对所搜集资料进行分析、研究、筛选和处理。通过指导教师的耐心指导,已具备了研究解析函数类型的判别及其在留数计算中的应用这一课题的初步能力,并能解决现实生活中的相关例题,使理论和实践达到真正的结合和统一。 本文通过对已学知识的回顾总结,和相关资料的查阅,在老师的指导下自拟题目,将对孤立奇点的类型判别及应用进行说明,通过分析、整理、归纳、总结,对其进行更深入的研究。 正文 一、孤立奇点的定义及类型 (一)定义 如果函数)(z f 在点a 的某一去心邻域R a z a K <-<-0:}{(即除去圆心a 的某圆)解析,点a 是)(z f 的奇点,则称a 为)(z f 的一个孤立奇点。 如果a 为函数)(z f 的一个孤立奇点,则必存在正数 R ,使得)(z f 在点a 的去心邻域 R a z a K <-<-0:}{ 可展成洛朗级数。

§2解析函数的孤立奇点解读

§2 解析函数的孤立奇点 一、教学目标或要求: 掌握解析函数的孤立奇点的分类 许瓦兹引理 二、教学内容(包括基本内容、重点、难点): 基本内容:解析函数的孤立奇点的分类 许瓦兹引理的叙述和证明 重点:解析函数的孤立奇点的分类 难点: 许瓦兹引理的叙述和证明 三、教学手段与方法: 讲授、练习 四、思考题、讨论题、作业与练习: 4-7 §2 解析函数的孤立奇点 1. 孤立奇点的三种类型 若为 的孤立奇点,则 在点的某去心邻域 内可以展开成 Laurent 展式 。 定义5.3 设点a 为函数)(z f 的孤立奇点: (1)若)(z f 在点a 的罗朗级数的主要部分为零(即Laurent 展式不含负幂项),则称点a 为)(z f 的可去奇点; (2)若)(z f 在点a 的罗朗级数的主要部分有有限多项,设为 0,) ()(1 1 )1(≠-++-+-------m m m m m c a z c a z c a z c 则称点a 为)(z f 的m 级(阶)极点; (3)若)(z f 在点a 的罗朗级数的主要部分有无限多项,则称点a 为)(z f 的本性奇

点. 依定义,点0=z 为z z sin 的可去奇点,点0=z 为2e z z 的二级极点,点1=z 为z z -1sin 的本性奇点. 2. 可去奇点 定理5.3 若点a 为)(z f 的孤立奇点,则下列三个条件是等价的: (1) 在点 的主要部分为0; (2) (3) 在点 的某去心邻域内有界。 证 由于 且 在 内解析,从而连续,故 。 由于 ,故 取 ,则 , 即得。 设 , 考虑 在 的 主要部分 则

复变函数论 第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点

第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点 §1 解析函数的洛朗展式 教学目的与要求: 了解双边幂级数,了解洛朗级数与泰勒级数的关系,掌握解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式的求法. 重点: 解析函数的洛朗展式;解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式的求法. 难点:解析函数的洛朗展式的证明. 课时:2学时 定义5.1 级数 1 01()()()n n n n n C C C z a C C z a z a z a +∞ --=-∞ -=???+ +???+++-+???--∑(5.1) 称洛朗()Laurent 级数,n C 称为(4.22)的系数. 对于点z ,如果级数 01() ()()n n n n n C z a C C z a C z a +∞ =-∞ -=+-+???+-+???∑ (5.2) 收敛于1()f x ,且级数 1 ()()n n n n n C C C z a z a z a +∞ --=-∞ -=???+ +???+ --∑ (5.3) 收敛于2()f x ,则称级数(4.22)在 点z 收敛,其和函数为1()f x +2()f x 当0n C -=(1,2,)n =???时,(5.1)即变为幂级数. 类似于幂级数,我们有 定理5.1 设()f z 在圆环12:D R z a R <-<12(0)R R ≤<<+∞内解析,则在D 内 ()()n n n f z C z a +∞ =-∞ = - ∑ (5.4) 其中1 1() 2()n n f z C dz i z a π+Γ= -? (0,1, )n =±??? (5.5) :z a ρΓ-=,且12R R ρ<<,系数n C 被()f z 及D 唯一确定. (5.4)称为()f z 的洛朗展式. 证明:对:z H ?∈作1:1z a ρΓ-=,2:2z a ρΓ-=,(其中12r R ρρ<<<) 且使z D ∈:12z a ρρ<-<,(如图5.1)由柯西积分公式,有

由三角函数的图像求解析式

由B x A y ++=)sin(?ω的图像求解析式 知识点归纳: 1. 利用“五点法”作sin()y A x ω?=+图像,设X x ω?=+,令X =30,,, ,2 2 2 π π ππ 求出相应的x 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象 特 征 图像上升时与x 轴的交点 图像上的“峰点” 图像下降时与x 轴的交点 图像上的“谷点” 图像上升时与x 轴的交点 x 1x 2x 3x 4x 5x ?ω+x 0 2π π 2 3π π2 sin()A x ω?+ A A - 注: 1x 、2x 、3x 、4x 、5x 分别为所给图像上的五个关键点(第一个点至第五个点),要注意x 和?ω+x 之间的对应系 2.函数B x A y ++=)sin(?ω表达式的确定:A (B )由最值确定;ω由周期确定;?由图象上的特殊点(上面的关键点)确定 ①由图像观察最高点、最低点,B A y +=max 、B A y +-=min ,解这个关于A 和B 的二元一次方程组即得A 和B ②由图像观察周期,再利用T π ω2= ,求得ω 【由图像观察周期时,常见形式有: 1x 与5x 之间是一个周期T ;1x 与3x 、2x 与4x 之间是半个周期 2T ;1x 、2x 、3x 、4x 、5x 中相邻两个之间是四分之一的周期4 T .】 ③?的确定,一般要用图像的关键点来求,但要注意该关键点是“五点法”中的第几个点,如01=+?ωx ,2 2π ?ω= +x ,π?ω=+3x ,2 34π ?ω= +x ,从而根据以上等式,解出

? 考点 确定函数解析式问题 例1.⑴若函数sin()y A x ω?=+的图像(部分)如下图所示,则ω和?的取值是( ) A 、1,3 π ω?== B 、1,3 π ω?==- C 、1,26πω?== D 、1,6 πω?==- ⑵已知函数sin(),y A x x R ω?=+∈(其中0,0A ω>>)的图像在y 轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为() 2,22M ,与x 轴在原点右侧的第一个交点为()6,0N ,则这个函数的解析式是 . ⑶若函数()2sin()f x x ω?=+,x ∈R (其中0ω>,2 ?π < )的最小正周期是π,且(0)3f =,则( ) A .126 ω?π ==, B .123 ω?π= =, C .26 ω?π ==, D .23 ω?π ==, 例2.⑴某港口水的深度y (米)是时间t (240≤≤t ,单位:时)的函数,记作()y f t =, 下面是某日水深的数据: t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m 经常期观察,()y f t =的曲线可以近似的看成函数b t A y +=ωsin 的图象,根据以上的数据,可得函数()y f t =的近似表达式为 . ⑵一个大风车的半径为8m ,每12min 旋转一周,最低点离地面2m ,风车翼片的一个端点P 离地面的距离()h m 与时间()min t 之间的函数关系式是()sin h A t B ω?=++,0t =时端

第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点

第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点 上一章主要介绍了函数在解析点的邻域(圆)内,可以展开成通常的幂级数,但在奇点的领域内 则不能,例如函数 在点,现在我们考虑挖去了奇点的圆 环 ,并讨论在圆环内解析函数的级数展开。这样将得到推广的幂级数——Laurent (罗朗)级数。 它既可以是函数在孤立奇点去心领域内的Laurent展式,反过来,以它为工具就便于研究解析函数在孤立奇点去心领域内的性质。 Taylor级数与Laurent级数都是研究解析函数的有力工具。 第一节解析函数的罗朗展式 教学课题:第一节解析函数的洛朗展式 教学目的:1、了解双边幂级数在其收敛圆环内的性质; 2、充分掌握洛朗级数与泰勒级数的关系; 3、了解解析函数在孤立奇点和非孤立奇点的洛朗级数 教学重点:掌握洛朗级数的展开方法 教学难点:掌握洛朗级数的展开方法 教学方法:启发式、讨论式 教学手段:多媒体与板书相结合 教材分析:洛朗级数是推广了的幂级数,它既可以是函数在孤立奇点去心邻域内的级数展开,也可以作为工具研究解析函数在孤立奇点去心邻域内的性质。 教学过程: 1、双边幂级数 在本节中,我们讲述解析函数的另一种重要的级数展式,即在圆环内解析函数的一种级数展式。首先考虑级数 ... ) ( ... ) ( ) ( 2 2 1 + - + + - + - + - - - - - - n n n z z z z z z β β β β 其中,... ,..., , , 1 0n z - - β β β是复常数。此级数可以看成变量 1 z z- 的幂级数;设这幂级数的收敛半

径是R 。如果0R <<+∞,那么不难看出,此级数在R z z 1 ||0>-内绝对收敛并且内闭一致收敛,在R z z 1 ||0< -内发散。同样,如果+∞=R ,那么此级数在0||0>-z z 内绝对收敛并且内闭一致收敛;如果R=0,那么此级数在每一点发散。在上列情形下,此级数在0z z =没有意义。于是根据定理2.3,按照不同情形,此级数分别在 0||)0(1 ||010>-+∞<<=> -z z R R R z z 及内收敛于一个解析函数。 2、解析函数的洛朗展式: 更一般地,考虑级数 ,)(0 ∑+∞ -∞ =-n n n z z β 这里0,(0,1,2,...)n z n β=±± 是复常数。当级数 ,)()(1 00 0∑∑-∞ -=+∞ =--n n n n n n z z z z ββ 及 都收敛时,我们说原级数 ∑+∞ -∞ =-n n n z z ) (0 β收敛,并且它的和等于上式中两个级数的和函数相加。 设上式中第一个级数在20||R z z <-内绝对收敛并且内闭一致收敛,第二个级数在10||R z z >-内绝对收敛并且内闭一致收敛。于是两级数的和函数分别20||R z z <-及10||R z z >-在内解析。又设21R R <,那么这两个级数都在圆环201||:R z z R D <-<内绝对收敛并且内闭一致收敛,于是我们说级数 ∑+∞ -∞ =-n n n z z ) (0β在这个圆环内绝对收敛并且内闭一致收敛;显然它的和函数是一个解 析函数。我们称级数∑+∞ -∞ =-n n n z z ) (0 β为洛朗级数。因此,洛朗级数的和函数是圆环D 内的解析 函数,我们也有 定理5.1 (洛朗定理)设函数f (z )在圆环:)0(||:21201+∞≤<≤<-

复变函数的解析点与孤立奇点的运算性质

万方数据

万方数据

万方数据

复变函数的解析点与孤立奇点的运算性质 作者:何彩香, 张晓玲, HE Caixiang, ZHANG Xiaoling 作者单位:大理学院数学与计算机学院,云南大理,671003 刊名: 大理学院学报 英文刊名:JOURNAL OF DALI UNIVERSITY 年,卷(期):2010,09(4) 被引用次数:0次 参考文献(12条) 1.钟玉泉复变函数论 2003 2.西安交通大学高等数学教研室复变函数 2005 3.何彩香复函数极点的运算性质 2004(5) 4.张元林积分变换 2006 5.何彩香.姚恩瑜.葛浩带有宵禁限制的动态最短费用路问题 2008(4) 6.何彩香.姚恩瑜带硬宵禁限制的动态最短费用路问题的讨论 2007(4) 7.何彩香.姜秀燕.施冰有宵禁限制的时间最短路 2006(6) 8.何彩香.胡竞湘.李汝烯有宵禁限制的成本最短路问题 2006(3) 9.顾作林.闫心丽.方影高等数学 2008 10.毛宗秀.姚金华高等数学 2005 11.何彩香.寸仙娥带硬宵禁限制的动态最短费用路逆问题的讨论 2008(8) 12.Cai-Xiang He.Shao-Ming Wang The math model and algorithm for the dynamic minimum time path problem with curfews 2008(2) 本文链接:https://www.360docs.net/doc/f914523845.html,/Periodical_dlxyxb201004003.aspx 授权使用:中国科学技术大学(zgkxjsdx),授权号:8e5f20b4-183e-47d1-8915-9df800c027a2 下载时间:2010年9月21日

函数图像中求函数的解析式

一、应用勾股定理建立函数解析式 例1 )如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G. (1)当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH,GP,求关于的函数解析式,并写出函数的定义域(即自变量的取值范围). (3)如果△PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长. 解:(1)当点P在弧AB上运动时,OP保持不变,于是线段GO、GP、GH中,有长度保持不变的线段,这条线段是GH=NH=OP=2. (2)在Rt△POH中, , ∴. 在Rt△MPH中, . ∴=GP=MP= (0<<6). (3)△PGH是等腰三角形有三种可能情况: ①GP=PH时,,解得. 经检验, 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH时, ,解得. 经检验, 是原方程的根,但不符合题意. ③PH=GH时,. 综上所述,如果△PGH是等腰三角形,那么线段PH的长为或2 二、应用比例式建立函数解析式 例2 如图2,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=CE=. (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定与之间的函数解析式; (2)如果∠BAC的度数为,∠DAE的度数为,当,满足怎样的关系式时,(1)中与之间的函数解析式还成立?试说明理由. 解:(1)在△ABC中,∵AB=AC,∠BAC=30°, ∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°. ∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB, ∴△ADB∽△EAC, ∴, ∴, ∴. (2)由于∠DAB+∠CAE=,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=,且函数关系式成立, ∴=, 整理得. 当时,函数解析式成立. 例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E.作EP⊥ED,交射线AB于点P,交射线CB于点F. (1)求证: △ADE∽△AEP. (2)设OA=,AP=,求关于的函数解析式,并写出它的定义域. (3)当BF=1时,求线段AP的长. 解:(1)连结OD. 根据题意,得OD⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP. 又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE∽△AEP.

解析函数的孤立奇点类型判断及应用

解析函数的孤立奇点类型判断及应用 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

解析函数的孤立奇点类型判断及应用 摘 要 孤立奇点的应用在解析函数的学习和对其性质分析研究中有着重要作用,而留数计算是复变函数中经常碰到的问题。解析函数在不同类型的孤立奇点处的计算方法不同,关键我们要先判断其类型。本文在分析整理了相关资料的基础上,首先给出了孤立奇点的定义、分类及其类型的判别定理和相关推及引理,其中在考虑极点处的留数求法时,又根据单极点、二阶极点,m 阶极点的求法不同,结合例子给出极点阶数的判断方法。并通过有限孤立奇点的判别对解析函数无穷远点的性态进行研究,分析能否把有限孤立奇点的特征应用到无穷远点,进而探讨了孤立奇点在留数计算中的应用,使得孤立奇点的知识更加系统、全面。 关键词 孤立奇点 可去奇点 极点 本质奇点 判断 留数计算 前言 在复变函数论中,留数是非常重要的,而解析函数的孤立奇点是学习留数的基础,只有掌握了孤立奇点的相关性质,才能更好的学好留数。目前,在相关资料中,对孤立奇点的判别及应用已较为完备,如在许多版本的《复变函数论》中对孤立奇点的判别做了详细的说明和解释,使我们对孤立奇点的了解更透彻。但在现实中有时我们遇到的留数计算具体例子,运用定理判别会比较麻烦,还需要前后知识的衔接,这为留数计算增加了障碍。本文就是在此基础上作进一步的探讨,将判断这一工作拿出来单独讨论,通过对论文的撰写,将把孤立奇点类型的判别及在留数运算中的应用更全面化、系统化。此项研究内容可以对以后学习此部分内容的同学提供一定的帮助,使其对孤立奇点的理解更加清晰,应用得更加自如。 在复变函数课程上我们已学过了孤立奇点的分类及其类型的判别和其在留数计算中的应用,为对其作进一步的研究奠定了基础。在此基础上查阅大量书籍,搜集相关资料,并对所搜集资料进行分析、研究、筛选和处理。通过指导教师的耐心指导,已具备了研究解析函数类型的判别及其在留数计算中的应用这一课题的初步能力,并能解决现实生活中的相关例题,使理论和实践达到真正的结合和统一。 本文通过对已学知识的回顾总结,和相关资料的查阅,在老师的指导下自拟题目,将对孤立奇点的类型判别及应用进行说明,通过分析、整理、归纳、总结,对其进行更深入的研究。 正文 一、孤立奇点的定义及类型 (一)定义 如果函数)(z f 在点a 的某一去心邻域R a z a K <-<-0:}{(即除去圆心a 的某圆)内解析,点a 是)(z f 的奇点,则称a 为)(z f 的一个孤立奇点。

20道利用三角函数图像求解析式习题

1是函数π 2sin()2 y x ω???? =+< ?? ? 的图象上的一段,则( ) A.10π 116ω?==, B.10π116 ω?= =-, C.π 26 ω?==, D.π 26 ω?==-, 2、若函数k x A y ++=)sin(?ω的最大值为5,最小值为-1,则函数A =____k =_______。 3、下列函数中,图像的一部分如右图所示的是( ) (A )sin()6y x π=+ (B )cos(2)6y x π=- (C )cos(4)3y x π=- (D )sin(2)6y x π=- 4、已知函数()?? ? ? ? <>+=2,0sin π?ω?ωx y 的部分图象如右上图所示,则( ) A. 6 ,1π ?ω== B. 6 ,1π ?ω- == C. 6 ,2π ?ω== D. 6 ,2π ?ω- == 5、将函数sin (0)y x ωω=>的图象向左平移 6 π 个单位,平移后的图象如图所示,则平移后的图象所对应函数的解析式是( ) A .sin()6y x π =+ B .sin()6 y x π =- C .sin(2)3y x π =+ D .sin(2)3 y x π =- .6、设函数)(x f = )2sin(?+x (0<<-?π),)(x f 图像的一条对称轴是直线8 π = x , 则? 的值为( )A .2π B .π C .2π D .4 π 7、函数)20,0,)(sin(π?ω?ω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图,则 A .4 ,2 π ?π ω= = B .6 ,3 π ?π ω= =

根据三角函数图像求解析式经典题型分析

根据三角函数图像求解析式经典20题 1是函数π 2sin()2 y x ω???? =+< ?? ?的图象上的一段,则( ) A.10π 116ω?==, B.10π116 ω?= =-, C.π 26 ω?==, D.π 26 ω?==-, 2、若函数k x A y ++=)sin(?ω的最大值为5,最小值为-1,则函数A =____k =_______。 3、下列函数中,图像的一部分如右图所示的是( ) (A )sin()6y x π=+ (B )cos(2)6y x π=- (C )cos(4)3y x π =- (D )sin(2)6y x π=- 4、已知函数()?? ? ? ? <>+=2,0sin π?ω?ωx y 的部分图象如右上图所示,则( ) A. 6 ,1π ?ω== B. 6 ,1π ?ω- == C. 6 ,2π ?ω== D. 6 ,2π ?ω- == 5、将函数sin (0)y x ωω=>的图象向左平移 6 π 个单位,平移后的图象如图所示,则平移后的图象所对应函数的解析式是( ) A .sin()6 y x π =+ B .sin()6 y x π =- C .sin(2)3y x π =+ D .sin(2)3 y x π =- .6、设函数)(x f = )2sin(?+x (0<<-?π),)(x f 图像的一条对称轴是直线8 π = x , 则? 的值为( )A .2π B .π C .2π D .4 π 7、函数)20,0,)(sin(π?ω?ω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图,则

A .4 ,2 π ?π ω= = B .6 ,3 π ?π ω= = C .4,4π?πω== D .4 5,4π ?πω== 8、函数),2 ,0)(sin(R x x A y ∈π ω?+ω=的部分图象如图 所示,则函数表达式为) (A ))48sin(4π+π-=x y (B ))48sin(4π -π=x y (C ))48sin(4π-π-=x y (D ))4 8sin(4π +π=x y 9、函数()?ω+=x A y sin 的一个周期内的图象如下图, 求y 的解析式。(其中 π?πω<<->>,0,0A ) 10、已知函数k x A y ++=)sin(?ω (A >0,ω>0,|?|<π)在同一周期内,当9 π =x 时取 得最大值1,当9 4π =x 时,取得最小值0,求函数的表达式。 11、已知函数)sin(?ω+=x A y (A >0,ω>0,|?|<π) 的图象的一段如图,求它的解析式。 12、已知函数)sin(?ω+=x A y (A >0,ω>0,|?|< 2 π )的图象如图,求函数的解析式。 y x π 6 - 2 3 π 3 2 y x 2 1 -1 -2 π 12 11 O

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