复变函数(第四版)西安交通大学高等数学教研室编-第一章上
(完整版)复变函数知识点梳理解读
第一章:复数与复变函数 这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。 一、复数及其表示法 介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。 二、复数的运算 高中知识,加减乘除,乘方开方等。主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。 三、复数形式的代数方程和平面几何图形 就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。 四、复数域的几何模型——复球面 将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。 五、复变函数 不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。 六、复变函数的极限和连续性 与实变函数的极限、连续性相同。 第二章:解析函数
这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。 一、解析函数的概念 介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。 所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。二、解析函数和调和函数的关系 出现了新的概念:调和函数。就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。 三、初等函数 和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。 第三章:复变函数的积分 这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。 一、复积分的概念 复积分就是复变函数的积分,实质是两个实二型线积分。所以应该具有相应的实二型线积分的性质。复积分存在的充分条件是实部函数和虚部函数都连续。 二、柯西积分定理
西安交通大学复变函数考试题及解答3
一. 填空（每题3分，共30分） 1． i 3＝ 2． 0z ＝0是函数5 1cos )(z z z f -= 的 （说出类型，如果是极点，则要说明阶数） 3. i y xy yi x x z f 322333)(--+=,则()f z '＝ 4. =]0,sin 1 [Re z z s 5. 函数sin w z =在4 z π = 处的转动角为 6. 幂级数∑∞ =0 )(cos n n z in 的收敛半径为R =____________ 7. =?dz z z 1 sin 8．设C 为包围原点在内的任一条简单正向封闭曲线，则=? dz z e C z 2 1 9．函数()1 4 -=z z z f 在复平面上的所有有限奇点处留数的和为___________ 10． =++? = 2 3||22 ) 4)(1(z z z dz 二．判断题（每题3分，共30分） 1．n z z z f =)(在0=z 解析。【 】 2．)(z f 在0z 点可微，则)(z f 在0z 解析。【 】 3．z e z f =)(是周期函数。【 】 4． 每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。【 】 5． 设级数∑∞ =0 n n c 收敛，而||0 ∑∞ =n n c 发散，则∑∞ =0 n n n z c 的收敛半径为1。【 】 6． 1 tan()z 能在圆环域)0(||0+∞<<< 复变函数与高等数学的关系 摘要：在我们学过的高等数学课程中，研究的主要对象是实变函数。理论探讨和实践的发展又提出了对复变函数的探讨，而高等数学也为复变函数的研究提供了基础。 关键词：高等数学，复变函数，积分 在学习完复变函数后，让我认识到了它与高等数学间有着紧密的联系，在高等数学中主要研究的是实变函数，而在复变函数中主要研究复变函数，下面我们了解一下复变函数的学习内容。 自变量为复数的函数就是复变函数。设A是一个复数集,如果对A中的任一复数z，通过一个确定的规则有一个或若干个复数w 与之对应，就说在复数集A上定义了一个复变函数，记为w=?(z)。这个记号表示,?(z)是z通过规则?而确定的复数。如果记z=x+i y,w=u+i v,那么复变函数w=?(z)可分解为w=u(x,y)+i v(x,y)；所以一个复变函数w=?(z)就对应着一对两个实变数的实值函数 主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何 上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出 复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫 做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供 映象，共形映像也叫做保角变换。留数理论是复变函数论中 而在高等数学中也主要研究了积分，级数，导数，函数的极限与连续性。下面就一积分为例来说明复变函数与高等数学的关系。 可见，复变函数与高等数学的联系是很紧密的，复变函数中的许多理论，概念和方法是实变函数在复数域的推广。但我们也要明白它与实变函数的许多不同之处，更好的学习它们的相同于不同，真正 的掌握知识提高自己的能力，为以后解决实际问题而运用。 西安交通大学考试题复变函数 (A 卷) 一、填空题（每题4分，共20分） 1 12i +=______________ 2 |z|=2 1d ()(4) z z i z = +-? 3 幂级数1 n n nz ∞ =∑的收敛半径R=______________ 4 1 R e [,]sin s z z π= ____________________ 5 函数1 z ω=将z 平面上的曲线1x =变为ω平面上的 （,z x iy u iv ω=+=+） 二、单项选择题（每题4分，共20分）. 1 设1 ()sin(1)f z z =-，则0z =是()f z 的 【 】 A ．可去奇点 B ．本性奇点 C ．极点 D ．非孤立奇点. 2 设1n > 为正整数，则 ||2 1d 1 n z z z =-? 为 【 】 A ．0 B ． 2i π C. i π D. 2n i π 3 级数1 n n z n ∞ =∑ 在||1z =上 【 】 A ．收敛 B ．发散 C ．既有收敛点也有发散点 D ．不确定 4 0 cos lim sin x z z z z z →-= - 【 】 A ．3- B. ∞ C. 0 D. 3 5 设13 2 8 ()(1)(1) z f z z z = -+， 则()f z 在复平面上所有有限奇点处的留数之和等 于 【 】 A ． 1- B. 1 C. 10 D. 0 三 (10分) 讨论函数2()f z x iy =-的可微性与解析性。 四 (10分) 设()f z 在||(1)z R R <>内解析，且(0)1f =，(0)2f '=，试计算积分 并由此得出22 cos ()2 i f e d πθ θ θ ? 之值。 五 (10分) 已知调和函数22(,)u x y x y xy =-+。求共轭调和函数(,)v x y 及解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+。 2 2 ||1 ()(1) d z f z z z z =+? 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，50 75100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2 z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 22 2 ≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 §1.2 复数函数 授课要点：区域的概念，闭区域，复变函数的极限，连续的概念。 难点：极限概念及其与实变函数中相关概念的区别 1、 邻域：以0z 为圆心，以任意小ε半径作圆，则圆内所有点的集合称为0z 的邻域。 注意，这里说的是“圆内”，“圆边”上的不算。 内点、外点和边界点： 设有一个点集E ，若0z 及其领域均属于点集E ，则称0z 为E 的“内” ，若0z 及其邻域均不属于E ，则0z 为外点，若0z 的每个领域内，既有属于E 的点，也有不属于E 的点，则称0z 为E 的边界点，边界点的全体称为E 的边界线。 区域：（1）全由内点组成 （2）具有连通性，即点集中任意两点都可以用一条折线连起来，且折线上的点全都 属于该点集。 闭区域：区域B 及其边界线所组成的点集称为闭区域，用B 表示。 练习: 下面几个图所示的，哪个是区域？ 答：(a),(b)皆为区域，(a)为单通区域，(b)为复连通区域，(c)不是区域. 例子： ||z r <代表一个圆内区域 ||z r <代表一个圆外区域 12||r z r <<代表一个圆环区域 将上面三个式中的 < 换成 ≤， > 换成 ≥，则变成闭区域。 注意：区域的边界并不属于区域，闭区域和区域是两个概念 2、复变函数 定义：形式和实变函数一样，()w f z = 复变函数的定义域不再限于实轴上某个区间，而是复平面上的某个区域. 函数的值域也可以对应复平面上的某个区域（也可能不是）： 变量：z x iy =+ 函数：()(,)(,,)w f z u x y iv x y ==+ 复变函数的实部和虚部都是一个二元函数（实函数），关于二元实变函数的很多理论都可用于复变函数中（形式可能有所变化） 极限： 设函数f (z )在0z 点的领域内有定义，如果存在复数A ，对于任意的0ε>，总能找到一个()0δε>，使得：当0||z z δ-<时，恒有|()|f z A ε-<，则称0z z →时f (z )的极限为A ，即 0lim ()z z f z A →= 对于非数学专业的学生而言，这段话略显晦涩，一个不太严格但直观的表述是： 当z 以任意方式逼近0z ，()f z 都逼近A 不会因为z 逼近方式之不同，而导致()f z 逼近不同的值，或者发散 举例：（1）222()()xy f z i x y x y =+++ 222(,)xy u x y x y =+ 2222 lim 22(,)010 kx k u x y x x ky k y ==→++→ 结果将因k 之不同而不同，故极限不存在. （2）实变函数例子1()f x x = 0lim ()x f x +→=+∞， lim ()x x f x -→=-∞ 连续：0 0lim ()()z z f z A f z →== 因为()(,)(,)f z u x y iv x y =+，所以，复变函数的连续问题，可以归结为两个二元实变函数的连续问题。 几个简单的复变函数 （1） 多项式：2012n n a a z a z a z +++ （其中n 为整数） （2） 有理分式：20122012n n n n a a z a z a z b b z b z b z ++++++ 学习复变函数与积分变换的心得 这个学期我们学习了复变函数与积分变换这门课程，虽然它同概率统计一样也是考查课，但它的应用及延伸远比概率统计广，复杂得多。我从中学到了很多，上课也感受到了这门课程的魅力及授课老师的精彩的讲课。 每周二都很空闲，除了体育课就没课了，又因为这门课程是公共考查课，是四个班级在一起上课，所以有时候经常想逃课，但自从上了梁老师的一堂课，就感觉到了他是一个很负责的老师，他每次来教室都来得很早，他很喜欢点名，上课上的也很生动，他经常会叫同学上黑板做题目，来检查学生学得怎么样，他不希望同学带早餐进教室。以后的星期二基本上都没逃过课，我深深地被复变函数与积分变换这门课程给吸引住了。 关于这门课程，首先，它作为一门工科类各专业的重要基础理论课程，它与工程力学、电工技术、电磁学、无线电技术、信号系统和自动控制等课程的联系十分密切，其理论方法应用广泛。同时，作为一门工程数学的课程，它主要是以工程背景为依托来展开讨论和研究的，其前提就是为了服务于实际工程。其次，复变函数与积分变换作为一门工程数学课程，概念晦涩难懂、计算繁琐和逻辑推理不易理解。它既具有传统数学的一些特点，又具有与实际工程相结合才能理解的特点。传统数学主要注重对于基本概念的理解和对理论的讲解，要求理论推导具有严密的逻辑性，而不太注重其实际应用。而工程数学在推导定理或概念的过程中就会出现一些不完全符合严密逻辑的推理，但在现实中又是实实在在存在的一些特殊情况。如单位脉冲函数，对于集中于一点或一瞬时的量如点电荷、脉冲电流等，这些物理量都可以用通常的函数形式来描述。 复变函数是在实变函数的基础上产生和发展起来的一个分支，复变函数与积分变换中的理论和方法不仅是数学的许多后续课程如数理方程泛函分析多复变函数调和分析等课程的基础，而且在其它自然科学和各种工程技术领域特别是信号处理以及流体力学电磁学热学等的研究方面有着广泛的应用，可以说复变函数与积分变换既是一门理论性较强的课程，又是解决实际问题的有力工具各高校普遍将复变函数与积分变换课程作为工科各专业的一门重要的必修科来开设，尤其作为电子、机电自动化等电力专业的学生而言，该课程更是一门必不可少的专业基础类必修课，它为电路分析信号与系统以及自动控制原理等后续专业课程的学 复变函数与实变函数微积分理论的比较与 应用 众所周知复变函数论是数学中一个基本的分支学科，它的研究对象是复变数的函数，本学期我们数学专业的学生开始学习这门课程。复变函数论历史悠久，内容丰富，理论十分完美。它在数学许多分支、力学以及工程技术科学中有着广泛的应用。 这里先略微简述一下复变函数的历史。复数起源于求代数方程的根。复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。 下面我将对已学的复变函数微积分的相关知识做以总结和归纳。 ⒈复变函数的微积分理论 ㈠复变函数的微分性质 我们知道函数的导数是由极限来定义的，所以我先把复变函数的极限理论做以梳理。 ①复变函数极限的概念： 函数ω=f(z)定义在z0的去心邻域0＜│z-z0│＜ρ内，如果有一确定的数A存在，对于任给的ε＞0，相应的必有一个正数δ(ε)使得当0＜│z-z0│＜δ（0＜δ≤ρ)时，有│f(z) -A│＜ε。即称z→z0是的极限，记为另外复变函数的连续性叙述与实变函数中的叙述是相似的，此处不细表在实变函数时另有说明。②复变函数导数的概念：设函数ω= f(z)在包含z0的邻域D内有定义，如果极限存在，那么f(z)在z0处可导（或可微）。该极限成为f(z)在z0的导数，记做f’(z0)=│z=z。 = ③复变函数的求导法则 1，（C）’=0,C为复常数 2，（Z n）’=nZ n-1,n为正整数 3，[f(z)g(z)]’= 4,[f(z)g(z)]’=g(z)+f(z) 5,= 6,{ f[g(z)]}‘=,其中ω= 第二章解析函数 一、复变函数的导数及微分 1、导数的定义 2、可导与连续 3、求导法则 实变函数的求导法则可以不加更改地推广到复变函数中来 4、微分的概念 与一元实变函数的微分概念完全一致 二、解析函数的概念 1、解析函数的定义 如果函数f（z）在z0及z0的邻域内处处可导，那么称f（z）在z0解析。 如果函数f（z）在区域D内每一点解析，则称f（z）在区域D内解析。或称f（z）是区域D 内的一个解析函数（全纯函数或正则函数） 2、奇点的定义 如果函数f（z）在z0不解析，那么称z0为f（z）的奇点。 根据定义可知，函数在区域内解析和区域内可导是等价的。但是，函数在一点处解析和一点处可导是不等价的，即在一点处可导，不一定在该点处解析。 函数在一点处解析比在该点处可导的要求高得多。 定理 （1）在区域D内解析的两个函数f（z）和g（z）的和、差、积、商（除去分母为零的点）在D内解析。 （2）设函数h=g（z）在z平面上的区域D内解析，函数w=f（h）在h平面上的区域G内解析。如果对于D内的每个点z，函数g（z）的对应值h都属于G，那么复合函数w=f|g（z）|在D内解析。 根据定理可知： （1）所有多项式在复平面内是处处解析的。 （2）任何一个有理分式函数P（z）/Q（z）在不含分母为零的点的区域内是解析的，使分母为零的点是它的奇点。 注意：复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上是完全一样的，它们的求导公式与求导法则也一样，然而复变函数极限存在要求与z趋于零的方式无关，这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多。 第二节、函数解析的充要条件 一、主要定理 定理一：设函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）定义在区域D内，则f（z）在D内一点z=x+yi 可导的充要条件是：u（x，y）与v（x，y）在点（x，y）可微，并在该点满足柯西-黎曼方 程：=，=。 根据定理一，可得函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在点z=x+yi处的导数公式：f＇（z）=+=+。 定理二：函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在其定义域D内解析的充要条件是：u（x，y）与v（x，y）在D内可微，并满足柯西-黎曼方程。 复变函数学习心得体会 数学学科发展到现在,已成为了分支众多的学科之一，复变函数则是其中一个非常重要的分支，是19世纪，Cauchy,Riemann,Weierstrass 等数学家分别从不同角度建立了复变函数的系统理论，使复变函数真正成为分析数学的一个重要分支。 复变函数是复数域上的微积分，是基于解决数学内部矛盾的间接需要而产生的，是由于在生产实际和科学研究中发现了应用原型而发展起来的! 复变函数现在是大学理工科专业和数学院系数学类专业的一门重要的基础课,但是复变函数的学习要有高等数学的基础,如果没有这方面的知识,学习复变函数无疑会非常困难,因为这门课程在初学者看来非常抽象,理论性太强。作为复变函数的教学工作者,如何使得这门课程的课堂变得生动有趣,而且使学生在学习过程中容易理解,是我们不得不思考的问题。 由于复变函数的导数与可导性、微分与可微性是利用类比的方法从一元实变函数相应概念推广到复数域后得到的，它们在形式上与一元实变函数的导数、可导性与微分一致，因此在教学中应当勤于和善于比较，既要重视共性，更要注意不同点，切实关注在推广到复数域后出现了什么新情况和新问题，探讨出现新问题的原因何在。 在这篇报告中,王锦森先生非常生动地介绍了复变函数课程的改革思路和 分别讨论了复变函数教学中的难点和重点，并且这些难点和重点的教学方法。 难点和重点介绍方面：讨论了“在复变函数可导性(从而判断函数解析性)的充要条件中，为什么要求函数的实部和虚部必须满足Cauchy-Riemann方程?”内在含义，复变函数的导数的几何意义是否跟实变函数导数的几何意义相同?，一元实函数的微分中值定理能不能推广到复变函数中来?，复变初等函数与相应的实变初等函数之间的关系与差别，复变函数的积分与一元实变函数的第二型曲线积分的不同之处，即，它们积分和式的结构不同，积分的表达形式不同，物理意义不同等等，还讨论了学习Cauchy-Goursat 基本定理应当注意的几个问题，复变函数积分中有没有与一元实变函数微积分中的微积分基本定理和 复变函数与实变函数的联系与区别 华中师范大学物理学院 2008213421 路丽珍 摘要： 数的扩展：正数→负数→实数→…在实数范围内：方程当 042<-=?ac b 时，没有实根。→扩大数域，引进复数，由实变函数学习到复变函数，它们有着紧密的联系，也有着巨大的区别。 关键词： 复变函数 实变函数 联系与区别 正文： 在中学我们主要了解学习了实变函数，与大学期间，我们又更加深入的学习研究了实变函数，与此同时，也开始复变函数的学习。由此我们看到了：“数的扩展：正数→负数→实数→…在实数范围内：方程当 042<-=?ac b 时，没有实根。→扩大数域，引进复数”。这样容易给人一种由浅入深、由简入繁、由特殊到一般的感觉，他们有很深的联系，然而事实上，他们有很大的不同，有很大的区别。下面我们从几个方面来说明实变函数与复变函数的联系与区别。 1. 自变量的不同 以实数作为自变量的函数就做实变函数；即实数→实变量→实变函数。 以复数作为自变量的函数就叫做复变函数；即复数→复变量→复变函数。 2. 实变函数与复变函数的联系区别 （1）因为z=x+yi,所以复变函数y=f(z)的实部与虚部都是x,y 的函数，即w= f(z)=u(x,y)+iv(x,y),由此可以看成：一个复变函数是两个实变函数的有序组合。这样，实变函数的许多定义、公式，定理可直接移植 到复变函数中。然而同时，由于复变函数的虚部，实变函数的许多定义、公式，定理也不再是用于复变函数。 （2）对于复变函数与实变函数，我们分别学习了两者的点集、序列、极限、连续性、可微性、积分等性质与应用。然而同时，由于复变函数的虚部，所要求的点集、序列、极限、连续性、可微性、积分等性质与应用的定义也不尽相同。 文章编号:XXXX—XXXX（2014）01 0005 03 复变函数与积分变换与高等数学相关内容 的异同 管会超1 （中国民航大学飞行器动力工程，河北，保定，120141607） 摘要：复变函数与积分变换和高等数学的联系是很紧密的，复变函数中的许多理论，概念和方法是实变函数在复数域的推广。但我们也要明白它与实变函数的许多不同之处，更好的学习它们的相同于不同，真正的掌握知识提高自己的能力，为以后解决实际问题而运用。 关键词：复函数，极限，实函数，留数，洛朗级数，傅里叶、拉普拉斯变换，解析函数 中图分类号：TU973+.255文献标识码：C Similarities and differences ofcomplex functionandintegral transformandhigher mathematicsrelated content GUAN huichao (China Civil Aviation University ofaircraft engineering, Hebei, Baoding, 120141607) Abstract：ContactsComplexfunctionsandintegral transformandmathematicsarevery close, complex functionofmany theories, concepts and methodsarereal variable functionin promotingcomplex field. But we alsounderstand thatit's a lotdifferent from thereal variable function, the bettertheylearnthe sameina different, truly masterthe knowledgeto improve theirabilityto solve practicalproblemsfor futureuse. Keywords：Complex functions, limits, real function, leaving few, Laurent series, Fourier, Laplace transform, analytic function 引言： 在大学的科目中有许多科目是紧紧相 连的，这些联系使得各科之间使学习起来有连贯性，但是在相同之中又存在着不同点，本文就复变函数与积分变换和高等数学中 的异同进行讨论，分别从复变函数和高等数学之间来进行叙述。 1、复变函数的极限和连续性 复变函数的极限: 复变函数极限的定义在叙述形式 上与一元函数的极限一致。 即： 定义[1]:设A为复常数，函数() w f z =在点0 z的去心邻域 0z zρ <-<内有定义。如果对于任意给定的整数ε，总可以找到相应的整数() δδρ ≤，使得当 0z zρ <-<时恒有() f z Aε -<，则称A为() f z当 z z →时的极限。记作0 lim()()() z z f z A f z A z z → =→→ 或 复、实变函数的比较与应用 作者：阮玲花 学号：201310401205 专业：数学与应用数学 复、实变函数的比较与应用 姓名：阮玲花班级：数学132 学号：201310401205 数域从实数域扩大到复数域后，便产生了复变函数论，并且深入到了微分方程、拓扑学等数学分支。复变函数论着重讨论解析函数，而解析函数的实部与虚部是相互联系的,这与实函数有根本的区别。有关实函数的一些概念，很多都是可以推广到复变函数上。例如：函数的连续性、函数的导数、有（无）界函数、中值定理、泰勒展式、基本初等函数等等。 在中学我们主要了解学习了实变函数，与大学期间我们又更加深入的学习研究了实变函数，与此同时，也开始复变函数的学习。由此我们看到了：“数的扩展：正数→负数→实数→”,在实数范围内：当方程判别式小于0时，没有实根。→扩大数域，引进复数，这样容易给人一种由浅入深、由简入繁、由特殊到一般的感觉，它们有很深的联系，然而事实上，他们有很大的不同，有很大的区别。下面我们从几个方面来说明实变函数与复变函数的联系与区别。 （一）实变函数 实变函数论即讨论以实数为变量的函数,然而实变与常微分方程等不同,简单地说就是恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。由于诸如狄利克雷这样的简单函数都不可积，所以原有的积分范围太窄了，进而便产生了Lebesgue创立新积分的原始思路。 Lebesgue积分： （二）复变函数 复变函数是数学分析的继续，复变函数的定义：若在复数平面上存在一个点集E，对于E的每一点z，按照一定规律，有一个或多个复数值W与之相对应， z为圆心，以任意小则称W为z的函数，记作) f (z W=，z∈E邻域：以复数 z的邻域。把复变函数的正实数ε为半径做一个圆，则圆内所有点的集合称为 西安交通大学现代远程教育考试卷及答案 课 程：复变函数（A ） 专业班号 考试日期 年 月 日 姓 名 学号 期中 期末 一、单项选择题（每题2分，共20分） 1、若函数()z f 在区域D 内解析，则函数()z f 在区域D 内（ ） A ．在有限个点可导 B ．存在任意阶导数 C ．在无穷多个点可导 D ．存在有限个点不可导 2、设()f z 在01z <<内解析且()0lim 1z zf z →=，那么 ()()Re ,0s f z =（ ） A ．2i π B ．2i π- C ．1 D ．-1 3、函数()()()411 ++=z z z z f ，在以0=z 为中心的圆环内的洛朗展式有m 个，则m=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4、下列命题正确的是（ ） A ．i i 2< B ．零的辐角是零 C ．仅存在一个数z,使得z z -=1 D ．iz z i =1 5、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ．()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ．()∑∞=+-01 221n n n n z （z <1） C ．()∑∞=++-012121n n n n z （z <1） D ．()∑∞=-0221n n n n z （z <1） 6、在下列函数中，()0Re 0==z f s z 的是（ ） A ．()21z e z f z -= B ．()z z z z f 1sin -= C ．()z z z z f cos sin += D ．()z e z f z 111--= 7、设a i ≠，C ：i z -=1，则()=-?dz i a z z C 2cos （ ） A ．0 B ． 2i e π C ．2ie π D ．icosi 8、下列函数是解析函数的为（ ） A ．xyi y x 222-- B ．xyi x +2 C ．)2()1(222x x y i y x +-+- D ．33iy x + 9、下列命题中，不正确的是（ ） A ．如果无穷远点∞是()f z 的可去奇点，那么()() Re ,0s f z ∞= B ．若()f z 在区域D 内任一点0z 的邻域内展开成泰勒级数，则()f z 在D 内解析 C ．幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数 D ．函数22e i e i ω-=+将带形域()0Im z π<<映射为单位圆1ω< 10、函数()()() 2222f z x y x i xy y =--+-在（ ）处可导。 A ．全平面 B ．2x = C ．2y = D ．处处不可导 二、判断题（每题2分，共30分；正确：√；错误：×） 1、对任意的z ，() ()2Ln z 2Ln z =.（ ） 2、在柯西积分公式中，如果D a ?，即a 在D 之外，其它条件不变，则积分()=-?dz a z z f i C π210，()D z ∈.（ ） 3、区域()0Im z ＞是无界的单连通的闭区域。（ ） §1 复变函数的定义 由两个实数x，y确定的数z=x+i y称为复数。x，y分别称为复数z的实部和虚部，记作x=Re z 和y =Im z。 Re和Im分别为表示复数实部和虚部的符号。其中称为虚数单位。 显然z可以用直角坐标系（x，y）表示，x称为实轴，y称为虚轴。坐标平面称为复平面，或者z平面。 因此，z平面上的任一点可记作 称为复数z的模，称为z的幅角，其在[0，2 ]之间的值称为主幅角。 显然，复数可以写作极坐标表达形式。 设有一个复数z=x+i y的集合g。对于集合g中的每一个复数z都有对应的复数值，w=u+i v，则称w是z的复变函数，记作w = f (z)。 给定一个复变函数就是在点（x，y）与（u，v）之间给出了一一对应关系。因此，u，v均随x，y而确定，这就是说给定了一个复变函数和给定两个实变函数u=u（x，y），v=v（x，y）是等价的。而且 w=u（x，y）+i v（x，y） 复变函数和实变函数同样有单值函数和多值函数，应该注意到实变函数的性质对于复变函数可能是不成立的。例如复变函数中的对数函数w=ln z是多值的。 为了便于理解，以对数函数为例。设 。 上式对于z的所有不等于零的复数值定义了函数ln z。在公式中包含一个任意的整数k，这就是说ln z是一个多值函数。对于k的任一整数值，就有函数ln z的一个分支。通常取k=0的那一支叫做的主值，即 如果z的一个值对应着w的一个值，那么函数f（z）是单值函数；如果z的一个值对应着两个或两个以上的w值，则f（z）是多值函数。 集合g称为f（z）的定义集合。 §2 解析函数--复变函数的可导性 复变函数的导数与实变函数的导数定义是相同的。因此，关于实变函数的一系列微分公式与法则，可以完全照搬到复变函数上。不过应该注意的是，复变函数的变量是复变量，不是实变量。 值得指出的是，实变函数的可导性要求当x＝x0+?x 由左右两方趋近x0时，?y/?x的极限都存在而且相等。复变函数的可导性则要求当点z＝z0+?z 在复平面上沿任意路径趋近z0时，?w/?z的极限都存在，而且这些极限都相等。 讨论点z沿x轴和点z沿y轴方向趋近x0两种情况。 在第一种情况下，由于?y=0，因此?z =?x，而 。 令，取极限, 则。 在第二种情况下，由于?x=0，因此?z =i?y，而 。 令，取极限, 则。 复变函数与实变函数微积分领域浅析 15051254--唐亮 复变函数论是数学中一个基本的分支学科，它研究复变数的函数，很幸运这个学期选到陈老师的复变函数，受益匪浅。复变函数历史悠久，内容丰富，理论十分完美，应用也十分广泛。 首先略微简述一下复变函数的历史。复数起源于求代数方程的根。复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。 以下我将对已学的复变函数微积分的相关知识做以总结和归纳。 复变函数的微积分理论 ㈠复变函数的微分性质 我们知道函数的导数是由极限来定义的，所以我先把复变函数的极限理论做以梳理。 ①复变函数极限的概念：函数ω=f(z)定义在z 0的去心邻域0＜│z-z │＜ ρ内，如果有一确定的数A存在，对于任给的ε＞0，相应的必有一个正数δ(ε) 使得当0＜│z-z 0│＜δ（0＜δ≤ρ)时，有│f(z)-A│＜ε。即称z→z 是的 极限。另外复变函数的连续性叙述与实变函数中的叙述是相似的 ②复变函数导数的概念：设函数ω=f(z)在包含z 的邻域D内有定义，如果 极限存在，那么f(z)在z 处可导（或可微）。 ③复变函数的求导法则：与实变函数一样，求导法则大致相同。 由以上的定义及性质可以看出复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的。 ④复变函数可微的必要、充分、充要条件 ⒈必要条件，设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)可微，则必Ⅰ偏导数u x 、u y 、v x 、v 复变函数与解析函数 专业：工程力学姓名：李小龙学号：10110756在此仅对基础知识加以总结归纳。 1、基本概念 1、复数 指数表示： 宗量：一个函数的自变量是一个复杂的对象，这是通常称为宗量。 若是z的辐角，则也是其辐角，其中是整数集合，若限制，所得的单值分支称为主值分支，记作argz。 做球面与复平面相切于原点O，过O点作直线OZ垂直于复平面，与球面交于N，即球的北极。 设z是任意复数，连接Nz，与复球面交于P，z与P一一对应，故复数也可用球面上的点P表示，该球面称为复球面。 当，作为N的对应点，我们把复平面上无穷远点当做一点，记作，包括的复平面称为扩充复平面。 2、复变函数 领域：由等式所确定的点集，称为的领域，记作，即以为中心，为半径的开圆（不包括圆周）。 区域：非空点集D若满足：一、D是开集，二、D是连通的，即D中任意两点均可以用全属于D的折线连接。则我们称D为区域。 单通与复通区域：在区域D内画任意简单闭曲线，若其内部全含于D,则D称为单通区域，否则称为复通区域。 复变函数：以复数为自变量的函数。记 则： 所以一个复变函数等价于两个二元实变函数。它给出了z平面到w平面的映射或变换。 复变函数的连续性： 如果 则称在处连续。 3、解析函数 复变函数的导数： 复变函数定义在区域D上，，如果极限 存在且有限，则称在处可导或可微（differentiable），且该极限称为在处的导数或微商（derivative），记作： 解析函数： 若函数f(z)在区域D内可导，则称为区域D内的解析函数，也称全纯函数。 奇点：若函数f（z）在某点不解析，但在的任意领域内都有它的解析点，则称为f(z)的奇点（singular point）。 Cauchy-Riemann条件（CR条件） 此为f(z)在z点可微的必要条件。 充要条件： （1）二元函数u(x,y),v(x,y)在点(x,y)可微。 （2）u(x,y),v(x,y)在点(x,y)满足CR条件。 另外我们有推论： 若f(z)在D内解析，则f(z)在D内具有任意阶导数。 4、初等单值函数 初等函数（elementary function）是由基本初等函数（通常认为包括常数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数）经过有限次的加减乘除和复合所构成的函数。 令 称为有理分式，也称有理函数。除去满足的点外，f(z)在复平面上处处解析，是f(z)的奇点。 复变量的三角函数（trigonometric function）是通过指数函数来定义的：显然都是周期函数，周期为，且他们的绝对值都能大于1. 如：，显然可以大于任意数。 双曲函数： 复变量的双曲函数也是通过指数函数来定义的。 称为双曲余弦函数和双曲正弦函数。他们在整个复平面上解析。 5、解析函数的物理意义 调和函数：如果二元实变函数在区域D内具有连续的二阶偏导数，且满足二维Laplace方程 则称为区域D内的调和函数。 若是区域D内的解析函数，则、均为D内的调和函数。 Advances in Education教育进展, 2016, 6(3), 142-145 Published Online May 2016 in Hans. https://www.360docs.net/doc/fa6237095.html,/journal/ae https://www.360docs.net/doc/fa6237095.html,/10.12677/ae.2016.63022 With Concise Remarks on the Teaching of Complex Function Shumei Guo, Xinna Li, Ning Zhang Department of Science, Information Engineering University, Zhengzhou Henan Received: May. 8th, 2016; accepted: May. 22nd, 2016; published: May. 27th, 2016 Copyright ? 2016 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). https://www.360docs.net/doc/fa6237095.html,/licenses/by/4.0/ Abstract Analogy in the teaching of complex function is a commonly used method. But the complex function and the real function still have many differences in essence. Only clear with the essential differ-ence between complex function and real function, and realizing the unique properties of complex function content, students can better understand and apply complex function. Keywords Complex Function, Limit, Derivative, Analytic Function 浅谈复变函数教学 郭淑妹，李新娜，张宁 信息工程大学理学院，河南郑州 收稿日期：2016年5月8日；录用日期：2016年5月22日；发布日期：2016年5月27日 摘要 在复变函数的教学中类比教学法是比较常用的教学方法，但是复变函数与实函数还是有许多本质的区别，学生只有清楚复变函数与实函数的本质区别，了解复变函数内容的独特之处，才能更好地理解和应用复变函数。复变函数与高等数学的关系
西安交通大学复变函数考试题及解答1
西安交通大学复变函数习题
1-2复变函数基本概念
学习复变函数与积分变换的心得
复变函数与实变函数微积分理论的比较与应用
复变函数与积分变换 学习笔记
复变函数学习心得体会
复变函数与实变函数的联系与区别
复变函数与积分变换与高等数学的异同(完整版)
复变函数论文
西交大复变函数考查课习题及答案
复变函数及保角变换
复变函数与实变函数微积分领域浅析
复变函数与解析函数
浅谈复变函数教学