向量加法的三角形法则
《向量的加法》教学设计
2014-2015学年第二学期课程名称：数学授课教师
受力分析的矢量三角形法运用练习题
九、力的矢量三角形定则运用 1.如图所示，光滑水平地面上放有柱状物体A ，A 与墙面之间放一光滑的圆柱形物体B ，对A 施加一水平向左的力F ，整个装置保持静止.若将A 的位置向左移动稍许，整个装置仍保持平衡，则( ) A.水平外力F 增大 B.墙对B 的作用力减小 C.地面对A 的支持力不变 D.B 对A 的作用力增大 2. 如图所示，用一根长为L 的细绳一端固定在O 点，另一端悬挂质量为m 的小球A ，为使 细绳与竖直方向夹300角且绷紧，小球处于静止，则需对小球施加的最小力等于（ ） A ．mg 3 B ．m g 23 C ．m g 3 3 D ．mg 21 3.如图4所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m 的小球，小球和斜坡及挡板间均无摩擦，当档板绕O 点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中 （ ） A.斜面对球的支持力逐渐增大 B.斜面对球的支持力逐渐减小 C.档板对小球的弹力先减小后增大 D.档板对小球的弹力先增大后减小 4．将一个已知力F,分解成两个分力,其中一个分力F 1的方向与已知力的方向成θ=30o ,另一个分力大小为F 2= F 3 3 ,则F 1大小可能为 A 、 F 33 B 、 F 21 C 、 F 23 D 、F 3 32 5．已知两个共点力的合力为50N ，分力F 1的方向与合力F 的方向成30 角，分力F 2的大小为30N 。则（ ） A ．F 1的大小是唯一的 B.F 2的方向是唯一的 C. F 2有两个可能的方向 D.F 2可取任意方向 6．将力F 分解为两个分力，已知其中一个分力F 1的方向与F 的夹角为一锐角θ，则：（ ） A ．只要知道另一个力的方向，就可得到确定的两个分力 B ．只要知道F 1的大小，就可得到确定的两个分力 C ．如果知道另一个分力的大小，就可得到唯一确定的两个分力 D ．另一个分力的最小值是F 1sin θ 7．如图所示，AB 为可绕B 转动的挡板，G 为圆柱体．夹于斜面与挡板之间．若不计一切摩擦，使夹角β由开始时较小的某一角度逐渐增大到90°的过程中，挡板AB 受到的压力：（ ） A ．不断增大 B ．不断减小 C ．先增大后减小 D ．先减小后增大 图4
例讲三角形中与向量有关的问题
例讲三角形中与向量有关的问题 教学目标：1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法 2、向量的加法、数量积等性质 3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题 4、数形结合 教学重点：灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题 教学难点：针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题 教学过程： 1、课前练习 1.1已知O 是△ABC 内的一点，若222OC OB OA ==，则O 是△ABC 的〔 〕 A 、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心 1.2在△ABC 中，有命题①=-；②=++；③若()()0=-?+AC AB AC AB ，则△ABC 为等腰三角形；④若0>?，则△ABC 为锐角三角形，上述命题中正确的是〔 〕 A 、①② B 、①④ C 、②③ D 、②③④ 2、知识回顾 2.1 三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法 2.2 向量的有关性质 2.3 上述两者间的关联 3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题 例1、已知△ABC 中，有0=???+BC 21=,试判断△ABC 的形状。 练习1、已知△ABC 中，=，=，B 是△ABC 中的最大角，若0
5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题 例3、已知P 是△ABC 所在平面内的一动点，且点P 满 足 ()+∞∈?? ?++=,0,λλOA OP ，则动点P 一定过△ABC 的〔 〕 A 、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心 练习2、已知O 为平面内一点，A 、B 、C 平面上不共线的三点，动点P 满足 ()+∞∈?? ? ??++=,0,21λλ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的〔 〕 A 、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心 例4、已知O 是△ABC 所在平面内的一点，动点P 满 足 ()+∞∈?? ?++=,0,λλ，则动点P 一定过△ABC 的〔 〕 A 、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心 练习3、已知O 是△ABC 所在平面内的一点，动点P 满 足 ()+∞∈?? ?+++=,0,2λλOP ，则动点P 一定过△ABC 的〔 〕 A 、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心 例5、已知点G 是的重心，过G 作直线与AB 、AC 分别相交于M 、N 两点，且 y x ?=?=,，求证：311=+y x 6、小结 处理与三角形有关的向量问题时，要允分注意数形结合的运用，关注向量等式中的实数互化，合理地将向量等式和图形进行转化是处理这类问题的关键。 7、作业 1、已知O 是△ABC 内的一点，若=++，则O 是△ABC 的〔 〕 A 、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心 2、若△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，且=++，则?等于
力的三角形法则
力的三角形法则 一个物体在三个力的作用下，保持平衡，这三个力构成一个封闭的矢量三角形。力的三角形法则有三种常见题型 题型一：两个力方向不变，第三个力的方向改变，且在改变过程中，物体一直处于平 衡状态，寻求第三个力的方向在改变过程中，该力的最小值。 1．如图所示，一小球用轻绳悬于O 点，用力F 拉住小球，使悬线保持偏离竖直方向75°角，且小球始终处于平衡状态，为了使F 有最小值，F 与竖直方向的夹角θ应该是(B ) A ．90° B ．15° C ．45° D ．0° 2．如图所示，将两个质量均为m 的小球a 、b 用细线相连并悬挂于O 点，用力F 拉小球a 使整个装置处于平衡状态，且悬线Oa 与竖直方向的夹角为θ＝60°，则力F 的大小可能为 A. 3mg B ．mg C. 32 mg D. 33mg ABC 3、如图所示，质量为m 的球放在倾角为α的光滑斜面上， 试分析挡板AO 与斜面间的倾角β多大时，AO 所受 压力最小？ 答案：当β＝900时，挡板AO 所受压力最小， 最小压力N 2min =mgsin α． 题型二：两个力方向不变，第三个力的方向逐渐变化，且在变化过程中，物体一直处于平衡 状态，分析在此过程中，各力的大小变化规律 4、如图所示，将一个重物用两根等长的细绳OA 、OB 悬挂在半圆形的 架子上，在保持重物位置不动的前提下，B 点固定不动，悬点A 由位置C 向位置D 移动，直至水平，在这个过程中，两绳的拉力如何 变化？ 答案：OB 绳子中的拉力不断增大，而OA 绳中的拉力先减小后增大， 当OA 与OB 垂直时，该力最小。
例说矢量三角形的使用
例说矢量三角形的使用 息烽县乌江复旦学校王清安 矢量三角形法则是从平行四边形法则演变来的，是矢量运算的法则。用矢量三角形分析和计算矢量的最小值，即简便又形象，有事半功倍的效果，下面举例分析。 一、求电场强度最小值 例1质量为m的带正电小球A悬挂在绝缘细线上，其电荷量为q，且处匀强电场中。当小球A静止时，细线与竖直方向成30°角，如图所示，求匀强电场强度E的最小值及其方向。 解析：由于小球受重力、电场力和绳的拉力处于静止状态，故小球所受的重力和电场力的合力一定沿绳的方向向下。根据三角形法则可做出重力、电场力及其合力的矢量三角形，如图。可见当电场力qE和合力F垂直时，电场力最小，即E最小。 由几何关系得：mgsin30°＝qE 解得：E小＝mg/2q 方向：垂直于绳向上 二、求速度最小值 例2有一小船在渡河，如图所示，在离对岸30m时，其下游40m处有一危险水域，假若水流速度为5m/s，为了使小船在危险水域之前到达对岸，求小船从现在起，相对于静水的最小速度。
解析：小船同时参与两个运动，随水流的运动和相对于水的运动，两分速度分别为v1和v2，与合速度v可组成矢量三角形，如图，当小船恰好在危险区登陆，且v2垂直于v时，v2最小。v2＝v1sinα，由位移关系可得：sinα＝3/5 解得最小速度v2＝3m/s 船头指向：与上游河岸成53°。 三、求力的最小值 例3 将质量m＝5kg的木板置于水平桌面上，其右端三分之一长度推出桌子边缘，木板与桌面间动摩擦因数为，试求欲将木板推回桌面所施加的最小推力。 解析：木板受力为：重力mg、支持力F N、摩擦力Fμ、和推力F。因Fμ与压力成正比，所以Fμ和F N 也成正比，两者的合力方向F合是确定的，且tanα＝ Fμ/F N＝μ，可得α＝30°，如图。 刚好推动木板的条件是合力恰好为零，即重力、推力和F合三个力的合力为零。重力和推力的合力应该与F合共线。做重力、推力、及其合力的矢量三角形如图，可知当推力与合力的方向垂直时，其值最小，如图中的F2。可解得 F min＝mgsinα＝25N，方向：与水平方向的夹角为30°向上。 此题将支持力和摩擦力合成为一个方向恒定的力F，通过这种巧妙的转化，可做出矢量三角形，有此法求解。 四、求动量的最小值
(完整版)平面向量与三角形四心问题.docx
平面向量基本定理与三角形四心 已知 O 是ABC 内的一点，BOC ,AOC , AOB 的面积分别为S A， S B， S C，求证：S A? OA S B? OB S C? OC 0 A 如图 2延长 OA 与 BC 边相交于点 D 则 O B C 图 1 BD S A BD S BOD S ABD S BOD S C DC S ACD S COD S ACD S COD S B OD DC OB BD OC BC BC A O S B OB S C OC S B S C S B S C B D C OD S BOD S COD S BOD S COD S A OA S BOA S COA S BOA S COA S B S C 图2 OD S A OA S B S C S A OA S B OB S C OC S C S B S B S C S B S C S A? OA S B? OB S C? OC 0 推论 O 是 ABC 内的一点，且 x?OA y?OB z?OC0 ，则S BOC: S COA: S AOB x : y : z
有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC 的重心 S BOC: S COA: S O 是ABC 的内心 S BOC: S COA: S O 是ABC 的外心 S BOC: S COA: S AOB AOB AOB 1:1:1OA OB OC0 a : b : c a ?OA b ?OB c ?OC0 sin 2A :sin 2B : sin 2C sin 2A ? OA sin 2B ? OB sin 2C ?OC0 O 是ABC 的垂心 S BOC: S COA: S AOB tan A: tan B : tan C tan A ?OA tan B ? OB tan C ?OC0 C O A D B 证明：如图 O 为三角形的垂心， tan A CD , tan B CD tan A: tan B DB : AD AD DB S BOC: S COA DB : AD S BOC: S COA tan A : tan B 同理得 S COA: S AOB tan B : tan C ， S BOC: S AOB tan A : tan C S BOC: S COA: S AOB tan A: tan B : tan C 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一
向量的加减法
3、向量的加法 求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法． 法则：①三角形法则；②平行四边形法则． 运算律：交换律＋＝＋， 结合律(＋)＋＝＋(＋)． 4、向量的减法 向量的加法和减法互为逆运算．已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法． 差向量：向量加上的相反向量，叫做与的差（向量） 求差向量的方法：向量减法的三角形法则，即减向量的终点指向被减向量的终点． 二、重难点知识剖析 1、的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有二个要素：大小、方向.向量不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘. 向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段 2、已知向量、在平面内任取一点，作，，则向量叫做与的和，记作，即
3、向量减法的三角形法则：两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同(否则无法相减)，这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点. 在平面内任取一点O，作，则向量． 4、多边形法则：一般地，几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，那么它们的和向量是以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量． 只要你理解法则内容，那么解起向量加减法的题来就会更加得心应手了，尤其遇到向量的式子运算题时，一般不用画图就可迅速求解，如下面例题： （1）化简－＋－＝（＋）－（＋）＝－＝（2）化简＋＋＋=. 特殊情况：两向量平行
平面向量中的三角形四心问题教师版
平面向量中的三角形四心问题 向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要 工具。本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。 一、重心（barycenter) 三角形重心是三角形三边中线的交点。重心到顶点的距离与 重心到对边中点的距离之比为2：1。 结论1： 是三角形的重心 所在平面内一点，则为若G GC GB GA ABC G ?=++?0 的重心 为故上 在中线同理可得上 在中线这表明，，则中点为证明：设ABC G CF BE G AD G GD GA GC GB GA GC GB GA GC GB GD D BC ?=-∴+=-?=+++=,, 202 结论2： 的重心 是证明：的重心 是所在平面内一点，则为若ABC G GC GB GA PC PG PB PG PA PG PC PB PA PG ABC G PC PB PA PG ABC ??=++?=-+-+-?++=??++=?0 0)()()()(3 1)(3 1P
二、垂心(orthocenter) 三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。 结论3： 的垂心是所在平面内一点，则为若ABC H HA HC HC HB HB HA ABC ???=?=??H 为三角形垂心 故同理，有证明：H AB HC CB HA AC HB AC HB HC HA HB HC HB HB HA ⊥⊥⊥?=??=-???=?,00 )( 结论4： 可知命题成立由结论同理可证得，得，证明：由的垂心 是所在平面内一点，则为若3)()(H 222222222 22222HA HC HC HB HB HA HA HC HC HB HA HC HB HC HB HA CA HB BC HA ABC H AB HC AC HB BC HA ABC ?=?=??=??-+=-++=+??+=+=+?三、外心(circumcenter) 三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。 结论5： 命题成立 证明：由外心定义可知的外心是所在平面内一点，则 是若ABC O OC OB OA ABC O ??==?
《向量的加法》教学设计方案
《向量的加法》教学设计 【教学目标】 1. 知识与技能 （1）理解并掌握向量的加法运算并理解其几何意义． （2）会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则求作两个向量的和． 2.过程与方法 通过采取实际问题的方式引入课题，让学生初步接触现实生活中除了数量之外的一些量，渗透研究新问题的思想和方法，培养学生自主探究知识形成过程的能力，合作释疑过程中合作交流的能力。 3. 情感态度与价值观 通过创设问题情境，激发学生的好奇心与求知欲，并在教学过程中始终注重数形结合，引导学生思考，养成学生规范的作图习惯，激发学生学习数学的兴趣与积极性。通过引导学生思考，使问题处于学生思维的最近发展区，以此较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力． 【教学重点】 利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，求任意两个向量的和向量． 【教学难点】 向量加法定义的理解． 【教学方法】 启发式教学、讲练结合 【课时】 一课时 【教学过程】 [复习引入] 1、向量的定义： 2、向量的表示： 3、零向量： 4、单位向量： 5、相等向量： 6、共线向量： 7、三角形的边角关系： 8、平行四边形的性质与判定： 我们都知道，数能够进行四则运算，与数的运算类比，向量是否也能进行运算呢？有了刚才所复习的这些知识作基础，接下来就可以进一步的探讨向量的运算了。数的运算中，加法运算是最基本的运算，类似地在向量的运算中，我们也从加法开始进行探索课题：向量的加法。 [问题情境]
某人从A地经B地到C地两次位移 ,的 结果与从A地直接到C地的位移，有什么关 系？用式子表示出来。 结论：动点A直接位移到点C与从A地经B地到C地连续位移的效果相同。
和三角形有关的向量问题
与三角形有关的向量问题 三角形有关的问题可以很好体现向量的核心问题如和差、数乘、数量积。在与三角形的重心、垂心、外心、内心等问题的联系上特别值得重视。 一、 三角形基本问题 例1. 如图?ABC 中，= c ，= a ，= b ， 则下列推导不正确的是…（D ） A ．若a ?b < 0，则△ABC 为钝角三角形。 B ．若a ?b = 0，则△AB C 为直角三角形。 C ．若a ?b = b ?c ，则△ABC 为等腰三角形。 D ．若c ?(a + b + c ) = 0，则△ABC 为正三角形。 解：A ．a ?b = |a ||b |θcos < 0，则θcos < 0，θ为钝角 B ．显然成立 C ．由题设：|a |cos C = |c |cos A ，即a 、c 在b 上的投影相等 D ．∵a + b + c = 0, ∴上式必为0，∴不能说明△ABC 为正三角形 例2. 如图：已知MN 是△ABC 的中位线， 求证：MN =2 1BC , 且MN ∥BC 证：∵MN 是△ABC 的中位线， ∴21=, 21= ∴2 1)(212121=-=-=-= ∴MN =2 1BC , 且MN ∥BC 例 3. 已知：平面上三点O 、A 、B 不共线，求证：平面上任一点C 与A 、B 共线的充要条件是存在实数λ和μ，使=λ+ μ，且λ+ μ = 1。 证：必要性：设A ,B ,C 三点共线，则可设AC = t AB (t ∈R) 则OC =OA +AC =OA + t AB =OA + t (OB -OA ) = (1-t )OA + t OB 令1-t =λ，t = μ，则有：=λ+ μ，且λ+ μ = 1 充分性：=-=λ+ μ-= (λ-1)+ μ = -μ+ μ= μ(-) = μ ∴三点A 、B 、C 共线 例4.（04浙江） 已知平面上三点C B A ,, 3= 4= 5=，则 AB CA CA BC BC AB ?+?+?的值等于 一般地对于?ABC 的结论是 A B C N M
力学分析运动趋势常用矢量三角形法
力学分析运动趋势常用矢量三角形法 矢量三角形法同平行四边形法则在处理矢量的合成和分解时是相同的，也是作图法解决问题的方法之一。应用矢量三角形法则主要解决的试题类型：如果只有某一个力的大小和方向发生变化，而另外两个力的方向不变，用矢量三角形来判断力的大小变化趋势比较简单。 1、如图所示，用细绳将均匀球悬挂在光滑的竖直墙上，绳受的拉力为T，墙对球的弹力为N，如果将绳的长度增加，则（） A．T、N均不变B．T减小、N增大C．T、N均增大D．T、N均减小 2、如图所示，清洗楼房光滑玻璃的工人常用一根绳索将自己悬在空中，工人及其装备的总重量为G，且视为质点．悬绳与竖直墙壁的夹角为α，悬绳对工人的拉力大小为F1，墙壁对工人的弹力大小为F2，则（） A．F1=Gsinα B．F2=Gtanα C．若工人缓慢下移，增加悬绳的长度，则F1与F2的合力变大 D．若工人缓慢下移，增加悬绳的长度，则F1减小，F2增大 3、如图所示，用拉力F将质量为m的滑块沿光滑的半圆柱面极缓慢地拉到顶端，在这个过程中，拉力F的方向始终沿圆柱面的切线方向，则下列说法正确的是（） A．拉力F的大小在不断减小B．物块受到的支持力在不断增大 C．拉力和支持力的合力大小和方向均不变
D．拉力和支持力的合力大小不变，方向不断改变 4、某欧式建筑物屋顶为半球形，一警卫人员为执行特殊任务，必须冒险在半球形屋顶上向上缓慢爬行（如图），他在向上爬的过程中（） A. 屋顶对他的支持力变大B．屋顶对他的支持力变小 C．屋顶对他的摩擦力变大D．屋顶对他的摩擦力变小 5、如图所示，小球用细绳系住放在倾角为θ的光滑斜面上，当细绳由水平方向逐渐向上偏移时，绳上的拉力将() A．逐渐增大B．逐渐减小 C．先增大后减小D．先减小后增大 另外一问：球对斜面的压力（） A．逐渐增大B．逐渐减小C．先增大后减小D．先减小后增大 6、如图8—1所示，细绳跨过定滑轮，系住一个质量为m的球，球靠在光滑竖直墙上，当拉动细绳使球匀速上升时，球对墙的压力将（） 图8—1 A．增大B．先增大后减小C．减小D．先减小后增大 7、用两根绳子系住一重物，如图8—2所示.绳OA与天花板间夹角θ不变，当用手拉住绳子OB，使绳OB由水平方向转向竖直方向的过程中，OB绳所受的拉力将（）
《平面向量的加法教案》
《平面向量的加法》教案 课题名称：平面向量的加法 教材版本：苏教版《中职数学基础模块—*下册》 年级：______________ 高一 ___________ 撰写教师：_____________ 徐艳__________ 一、理解课程要求 教材分析： (1)地位和作用 《平面向量的加法》是苏教版《中职数学基础模块*下册》第七章平面向量第二节平面向量的加法、减法和数乘向量的第1课时，主要内容为向量加法的 三角形法则和运算律?向量的加法是向量线性运算中最基本的一种运算，既是对平面向量这一章第一节向量概念的巩固和应用，也是向量运算的起始课，为后继学习向量的减法运算及其几何意义、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和，在空间向量和立体几何中有很普遍的应用?因此，本节学习起着承上启下的作用? (2)教学内容及教材处理 教材是从两岸直航前后飞机发生的位移作为问题情境引入，让学生结合对平面向量概念的理解感受不同方式的位移对结果的影响，初步体会向量相加的概念，引发思考，引出新知?同时让学生知道数学源于生活并能解决生活中实际问题，更容易激发学习兴趣和激情? 教学目标： (1)知识目标 ①理解向量加法的含义，学会用代数符号表示两个向量的和向量； ②掌握向量加法的三角形法则，学会求作两个向量的和；
③掌握向量加法的交换律和结合律，学会运用它们进行向量运算? (2)能力目标 ①经历向量加法的概念、三角形法则的建构过程； ②通过探究、思考、交流、解决问题等方式锻炼培养学生的逻辑思维能力、运算能力?⑶情感目标 努力运用多种形象、直观和生动的教学方法，通过深入浅出的教学，让学生主动学习数学，体验学习数学的乐趣和成功，使学生产生“我努力，我能行”的乐观心态. 二、分析学生背景 (1)认知分析：学生在上节课中学习了向量的定义及表示，相等向量，平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础. ⑵能力分析：学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，主要培养学生分析问题和处理问题的能力. (3)情感分析:职高学生的数学基础相对较差，学生对数学学习尚有一定兴趣。所以在教学中应因势利导，引导学生积极参与探究，指导学生合作互动，讨论交流? 教法学法：在教学时，主要运用问题情境教学法、启发式教学法和多媒体辅助教学法.在学法上，引导学生采用以“小组合作、自主探究以及练习法. 三、选择媒体资源 媒体资源1 名称：—两岸直航视频 _____________________ 媒体格式：—avr ___________________________ 媒体资源2 名称： _________ 《爱的直航》_____________ 媒体格式： ______ MP3—
平面向量与三角形四心问题-浙江省台州市书生中学2020届高三数学专题复习讲义(无答案)
平面向量与三角形四心问题 问题探究： 已知点G 是ABC 内任意一点,点 M 是ABC 所在平面内一点.试根据下列条件判断G 点可能通过ABC 的__________心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”). (1)若存在常数λ,满足()(0)AB AC MG MA AB AC λλ=++≠,则点G 可能通过ABC 的____. (2)若点D 是ABC 的底边BC 上的中点,满足GD GB GD GC =,则点G 可能通过ABC 的_______. (3)若存在常数λ,满足()(0)sin sin AB AC MG MA AB B AC C λλ=++≠,则点G 可能通过ABC 的 _______. (4)若存在常数λ,满足()(0)cos cos AB AC MG MA AB B AC C λλ=++≠,则点G 可能通过ABC 的 ________. 一．基础梳理 （一）重心：中线的交点 重心性质：（1）重心是中线的三等分点—重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为2:1 （2）重心的向量公式：=++G ?是ABC ?的重心O ?是平面内任意一点，且 1()3 OG OA OB OC =++ （3）重心的坐标公式：??? ????++=++=33321321y y y y x x x x
（4）重心面积公式：G 是ABC ?的重心ABC BCG ACG ABG S S S S ????= ==?3 1 ?重心到3条边的距离与3条边的边长成反比 （二）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直 垂心的向量表示：??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为ABC ?的垂心. （三）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心）， （1）角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （2）内心的向量式：AB c =，AC b =，BC a = ，且0aIA bIB cIC ++=，?I 是 ABC △的内心 （3）设O 为△ABC 所在平面内任意一点， c b a c b a OI ++++= ，?I 是 ABC △的内心 （4）内心坐标公式：内心I ),(c b a cy by ay c b a cx bx ax C B A C B A ++++++++ （四）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心） （1）外心到三角形各顶点的距离相等； （2）外心的向量式：222OA OB OC ==?O 是ABC △的外心． ?().().().0OA OB AB OB OC BC OA OC AC +=+=+= ※ 锐角三角形的外心在三角形的内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在 斜边的中点. 二、典例分析 例1、 证明：（1）重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为2:1.
【新整理】三角形“四心”向量形式地结论及证明(附练习问题详解)
三角形“四心”向量形式的充要条件应用 在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下： 一． 知识点总结 1）O 是ABC ?的重心?0OC OB OA =++; 若O 是ABC ?的重心，则 ABC AOB AOC BOC S 31 S S S ????= ==故0OC OB OA =++; 1()3 PG PA PB PC =++?G 为ABC ?的重心. 2）O 是ABC ?的垂心?OA OC OC OB OB OA ?=?=?; 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S A OB A OC BOC ：： ：：=??? 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++ 3）O 是ABC ?的外心?|OC ||OB ||OA |==(或2 2 2 OC OB OA ==) 若O 是ABC ?的外心 则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S A OB A OC BOC =∠∠∠=???：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4）O 是内心ABC ?的充要条件是 )| CB |CB | CA |CA ( OC )| BC |BC | BA |BA ( OB )AC AC | AB |AB ( OA =- ?=- ?=- ? 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是 ABC ?内心的充要条件可以写成：0)e e (O C )e e (O B )e e (O A 322131=+?=+?=+? O 是ABC ?内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ?的内心，则c b a S S S A OB A OC BOC ：：：：=??? 故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?ABC ?的内心; 向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分 线所在直线)； 二． 范例 (一)．将平面向量与三角形内心结合考查 例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满 A C B 1 e 2 e P
矢量三角形法--专题
矢量三角形法在三力平衡问题中的应用 在静力学中，经常遇到在力系作用下处于平衡的物体其所受诸力变化趋势判断问题．这 种判断如果用平衡方程作定量分析往往很繁琐，而采用力三角形图解讨论则清晰、直观、全 面．我们知道，当物体受三力作用而处于平衡时，必有∑F=O ，表示三力关系的矢量图呈闭 合三角形，即三个力矢量(有向线段)依次恰好能首尾相接．当物体所受三力有所变化而又维 系着平衡关系时，这闭合三角形总是存在而仅仅是形状发生改变．比较不同形状的力三角形各几何边、角情况，我们对相应的 每个力大小、方向的变化及其相互间的制约关系将一目了然．所 以，作出物体平衡时所受三力矢量可能构成的一簇闭合三角形， 是力三角形法的关键操作。 三力平衡的力三角形判断通常有三类情况． 一、三力中有一个力确定，即大小、方向不变，一个力方向 确定。这个力的大小及第三个力的大小、方向变化情况待定 例1 如图1所示，用细绳通过定滑轮沿竖直光滑的墙壁匀速向上拉动， 例2 则拉力Ｆ和墙壁对球的支持力Ｎ的变化情况如何？ 分析与解 以球为研究对象，在平衡时受重力，绳上的拉力及墙壁 对球的支持力，三力关系可由一系列闭合的矢量三角形来描述。其中重 力为确定力，墙壁对球的支持力为方向确定力， 如图2，取点Ｏ作表示 重力的有向线段①，从该箭头的端点作支持力Ｎ的作用线所 在射线②,作从射线②任意点指向Ｏ点且将图形封闭成三角形的一系列有向线段③它们就是绳子拉力矢量。用曲线箭头 表示变化趋势，从图中容易分析绳子拉力不断增大，墙壁对 球的支持力也不断增大，因上升的过程中图中角度θ在不断 增大 例2 如图3装置，AB 为一轻杆在B 处用铰链固定于 竖墙壁上，AC 为不可伸长的轻质拉索，重物Ｗ可在AB 杆上滑行。试分析当重物W 从A 端向 B 端滑行的过程中，绳索中拉力的变化情况以及墙对AB 杆作用力的变化情况。 分析与解 以AB 杆为研究对象，用力矩平 衡的知识可较为方便明确AC 拉索中的拉力变化情 况，但不易确定墙对AB 杆作用力的情况。我们考虑 到AB 杆受三个力作用且处于平衡状态，则它们的作 用线必相交于一点，这样三力关系可由闭合的矢量 三角形来描述。其中重物对杆的拉力为确定力，拉索对杆的拉力为方向确定力，与上题类似。 如图4，取O 点作表示重物对AB 杆拉力的有向线 段①，过O 点作绳索拉力的作用线所在射线②，从①箭头 端点作指向射线②上任意 点的有向线段③，则③就是墙对AB 杆的作用力. 用曲箭头表明变化趋势。从图中可以看出：随着重物从A 端向B 端移动的过程中，①、③的夹角θ逐渐减小，所以 绳索的拉力不断减小，墙对AB 杆的作用力先减小后增大。 综上所述，类型一问题的作图方法是：以确定力矢量 为力三角形系的基准边，在它的箭头端沿已知方向力的方 向作射线，从射线上的点作指向确定力矢量箭尾的有向线 图4 图 1 图2 图3
高中物理矢量三角形法应用
高中物理矢量三角形法应用 河北 石晓兵 物体在三个非平行力的作用下平衡时，这三个力必在同一平面内共点。根据共点力的平衡条件可知，其合力为零，三个力组成一个封闭三角形。解答此类题目时，用矢量三角形分析一些动态变化，使得定性分析的解答过程简捷、直观、明了，使得定量计算的解答过程远比解析法简便得多。尤其是遇到物体在共点力的作用下平衡时求极值的题目，用矢量三角形可以大大简化解题过程，避免用解析法通过三角函数求极值的繁琐过程，能收到事半功倍的效果。 1. 共点力平衡时力变化的定性讨论 例1 用一根细绳把重为G 的小球挂在竖直光滑的墙壁上，如图1所示，若改用较长的细绳，使α角变小时，细绳对小球的拉力及墙壁对小球的弹力如何变化？ 图1 解析 选小球为研究对象，小球在重力G 、细绳拉力T F 、墙壁弹力F N 三个力作用下始终处于共点力的平衡状态，G 的大小和方向都确定。F N 的方向确定，但大小不定，T F 的大小和方向都不定。根据图中力的封闭矢量三角形可以看出，α角较小时，细绳对小球的拉力和墙壁对小球的弹力均减小。 例2 如图2所示，一轻杆O 端用铰链固定于墙壁上，A 端用轻绳拉紧使OA 杆保持水平，若在A 端挂重物G ，当把重物的悬点A 点向O 点逐渐缓慢移动时，绳对A 点的拉力和铰链对杆的作用如何变化？ 图2 解析 选杆为研究对象，杆在拉力)G F (F 1T 1T 、拉力2T F 和铰链作用力N F 三个力作用下始终处于平衡状态。1T F 的大小和方向都确定，2T F 的方向确定，但大小不定，N F 的大小和方向都不定。根据图3中力的封闭矢量三角形可以看出，当把重物的悬点从A 点向O 点逐渐缓慢移动时，2T F 一直减小，N F 先减小后增大。 图3
三角形法则教学设计公开课
2.2.1向量加法运算及其几何意义 （三角形法则）: 一.教学目标： 1.理解向量加法的定义，向量加法的三角形法则并理解它们的几何义； 2.通过合作探究，小组交流学习向量的加法的几何意义； 3.通过对三角形法则的运算，提高运用基本知识解决简单问题的能力； 二.教学重点: 向量加法的运算（三角形法则），及几何意义； 三.教学难点： 对向量加法法则的理解; 四. 引入1： 引入2； 五. 向量加法的三角形法则：（阅读课本5分钟） 向量加法的三角形法则：（阅读课本5分钟） a b b a +a b C A B ,,, ,a b A AB a BC b AC a b a b a b AB BC AC ==++=+= 、内点，则与，记 则 这称为 已知非零向量在平面任取一作向量叫做的和作即种求向量和向量加法的三角方法，形法的。 首尾相接
六. 尝试练习一： AC A B C D E _____ AB BC +=_____ BC CD +=_____AB BC CD ++=（1）根据图示填空： _____ AB BC CD DE +++=
，求作向量 。 ,a b a b +a b 尝试练习二： (3)已知向量 ，用向量加法的三角形法则作出 a b 、a b +① ② a b b a
2018/5/27 思考1：如图，当在数轴上两个向量共线时，加法的三角形 法则是否还适用？如何作出两个向量的和？ a b a b （1） （2） 00a a a +=+=规定： 根据图示填空:(1)a+b=________(2)c+d=________ (3)a+b+d=______(4)c+d+e=______ D C B A E g e f d c a b 提升练习： 小结： 这一节课学习了向量的加法运算及几何意义（三角形法则） 作业： 导学案P80 第1，4题 P83 第1 题
三角形中基本向量关系
三角形中基本向量关系 1. 如图?ABC 中，= c ，= a ，= b ， 则下列推导不正确的 是…（ ） A ．若a ?b < 0，则△ABC 为钝角三角形。 B ．若a ?b = 0，则△AB C 为直角三角形。 C ．若a ?b = b ?c ，则△ABC 为等腰三角形。 D ．若c ?(a + b + c ) = 0，则△ABC 为正三角形。 解：A ．a ?b = |a ||b |θcos < 0，则θcos < 0，θ为钝角 B ．显然成立 C ．由题设：|a |cos C = |c |cos A ，即a 、c 在b 上的投影相等 D ．∵a + b + c = 0, ∴上式必为0，△ABC 未必为正三角形. 2. 已知O 是平面内一点，C B A ,,是平面上不共线的三点，动点P 满足 ?? ? ??++=21λ，()+∞∈,0λ，则动点P 的轨迹一定通过ABC ?的 A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 3. 已知O 是平面内一点，C B A ,,是平面上不共线的三点，动点P 满足 () AC AB OA OP ++=λ，()+∞∈,0λ，则动点P 的轨迹一定通过ABC ?的 A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 4. ABC ?中，O 为其外心，P 为平面内一点，OP OC OB OA =++ ，则 P 是ABC ?的 A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 5. 已知O 是ABC ?所在平面上一点，若OA OC OC OB OB OA ?=?=?，则 O 是ABC ? A. 重心 ， B. 垂心； C. 外心， D. 内心 6. 已知O 是ABC ?所在平面上一点，若222==，则O 是ABC ?的 A. 重心 B. 垂心 ， C. 外心 ； D. 内心
向量的减法
向量的减法 黄岩第一职业技术学校朱永玲 教学目标 1．理解相反向量的概念，理解向量减法的定义，在理解掌握向量加法的基础上，认识向量的减法是转化为加法来进行的． 2．正确熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量． 教学重点和难点 重点：相反向量的定义、向量减法的定义、向量减法的三角形法则和平行四边形法则．特别要准确熟练掌握三角形法则． 难点：对向量减法的三角形法则和平行四边形法则的熟练掌握，要把法则记准，防止将向量的差向量搞颠倒． 教学过程设计 (一)复习向量加法的定义、向量加法的三角形法则和平行四边形法则． (二)导出新课：与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作－． 于是有：①－(－)＝． ②任一向量与它相反向量的和是零向量．＋(－)＝(－)＋＝． ③如果、是互为相反的向量，＝－，＝－，＝． ④零向量的相反向量仍是零向量．－＝． 同学们理解了相反向量的定义后，我们来研究向量的减法：向量加上的相反向量，叫做 与的差，即．我们把求两个向量差的运算，叫做向量的减法．下面我们来求在已知向量、向量的情况下，得到差向量的方法：已知向量，向量，与的差向量为．根据减法的定义，即找一向量，使把、
平移到共同起点O ，，，连BA 这样我们就得到求差向量的三角形法则： 把向量、平移到共同的起点，连结两个向量的终点得一线段，向量箭头所指的向量为被减向量．口诀：尾尾相连，谁被减指向谁。 例1．已知向量a ，b ，c 与d ，求 和 例2．如图，作出． O A B C D a b -c d -a b d c a b c a b -c d -d
处理此类特殊情况，仍旧可以按照三角形法则处理。 课堂巩固：P64 ；练习A 第2题 例3．ABCD中，用、表示向量． 解： 课堂巩固：P64 练习A 第3题 做完此题，可提示学生不用画图，直接从字母上看出什么东西。 (三)小结 1．相反向量的概念 2．向量减法三角形法则的口诀 (四)作业：课本P64 练习B 一课一练 P34、P35．
17第二章--向量的加法
教学课题：向量的加法三维目标： 1．知识与技能： ⑴掌握向量加法的意义，并能运用三角形法则和平行四边形法则作几个向量的和向量； ⑵能表述向量加法的交换律和结合律，并运用它进行向量计算 2．过程与方法： 熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作已知两向量的和向量. 3．情感、态度与价值观： 让学生积极参与知识的形成过程，经历知识的“发展”过程，获得“发现” 的经验，培养合情猜测能力. 教学重点：向量加法运算（三角形法则、平行四边形法则）教学难点：对向量加法法则定义的理解. 教学课时：1 课时教学过程： ．引入 提出问题：数因为有了运算而使数的威力无穷，与数的运算类比，向量是否也能进行运算呢？ 情景1：如图1，飞机由广州飞往上海，再从上海飞往北京，这两次位移的结果与飞机直接飞往北京的位移是相同的. 这时，我们就把后面这样一次位移叫作前面两次位移的合位移. 情景2:如图2,在大型生产车间里，一重物被天车从 A处搬运到B处.它
的实际位移AB ，可以看作水平运动的分位移 AC 与竖直运动的分位移AD 按平行 四边形的法则合成的合位移. 引入：根据上面物理中两个位移的合成法则，我们可以类似地给出向量的 加法定义.（板书课题） 二. 新知 ㈠向量的加法 1向量加法的定义 已知向量a 、b ，如图，在平面内任取一点A ，作AB a , BC b ，再作向量 AC ,则向量AC 叫作向量a 与b 的和，记作a b . 说明: ⑴两个向量的和仍然是一个向量; 2.求两个向量和的作图方法 上海 图 1 图2
⑴三角形法则 用定义来求向量a、b的和向量的方法，称为向量加法的三角形法则 说明: ①三角形法则的特点是“首尾相接”，具体做法是：把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示（其中后面向量的起点与前一个向量的终点重合，即用同一字母来表示），则由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和.即：“首尾相连，起指终” a lb. ⑵平行四边形法则 如图，以同一点0为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形OACB，则以0为起点的对角线Oc就是a与b的和.这种求向量和的方法，称为向量加法 的平行四边形法则. 说明: 当两向量共线时, 平行四边形法则就不适用了 ⑶多边形法则 已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点, 第n个向量的终点为终点的向量叫作这n个向量的和向量. ㈡向量加法的运算律 交换律：abba ； 结合律： a b c a be.