概率论方法在数学分析中的一些应用

概率论方法在数学分析中的一些应用Some applications of probability theory in the mathematical

analysis

摘要

概率论作为数学的一个分支，与其他学科分支有着密切的联系，具有广泛的应用性。著名的数学家王梓坤院士在文献中[1]指出：“用概率论的方法来证明一些关系式或者解决其他数学分析中的问题，是概率论的重要研究方向之一。”概率论方法不仅能解决一些随机的数学问题，而且还可以解决一些确定的数学问题[2]，而且某些在数学分析中很难解决的问题，只要运用合适的概率论模型或是定理，就能得到很好的解决。然而现如今多数有关概率论与数学分析联系的文献不是很全面，本文归纳概括了概率论在数学分析中的应用，选择了比较典型的五类：概率论方法解决极限问题、概率论方法解决无穷级数问题、概率论方法解决积分问题、概率论方法解决恒等式问题及概率论方法解决不等式问题，而且在每一类的问题讨论中引入很多概率论中的定理和公式，清晰地阐述概率论在数学分析知识间的运用。

Probability theory as a branch of mathematics has close connection with other subjects and their branches, it has wide applicability. Famous mathematician and academician Wong Chi-Kun, in his literature[1] pointed out: "It is one of the most important research directions to use probability theory to prove some relationship or to solve the problems in mathematical analysis.” Probability theory can not only solve some random math problems, but also can solve some identified mathematical problems[2], What’s more some very difficult questions in mathematical analysis can also be well resolved by using a suitable probability theory model or theorem. However, now most literatures which related to the relationship of probability theory and mathematical analysis are not very comprehensive, This article summarized the outlines of probability theory in mathematical analysis, selected five typical themes: probability theory in solving the ultimate problem, probability theory in solving the problem of infinite series, probability theory in solving the integral problem, probability theory in solving the identity problem and probability theory in solving the inequality problem. Furthermore in

order to represent a clear idea on the use of probability theory in Mathematical Analysis, this article introduced a lot of theorems and formulas related to probability theory when discussing every theme.

关键词：贝努利模型；正态分布；泊松分布；中心极限定理；大数定理；Cauchy-Schwartz 不等式；随机变量

Keyword: Bernoulli model; normal distribution; poisson distribution; central limit theorem; law of large numbers; Cauchy-Schwartz inequality; random variable

目录

引言 (4)

一、概率论方法解决极限问题 (5)

（一）概率论方法解决极限问题概述 (5)

（二）典型例题分析与证明 (5)

（三）概率论方法解决极限问题的意义 (8)

二、概率论方法解决无穷级数问题 (9)

（一）概率论方法解决无穷级数问题概述 (9)

（二）典型例题分析与证明 (9)

（三）概率论方法解决无穷级数问题的意义 (14)

三、概率论方法解决积分问题 (15)

（一）概率论方法解决积分问题概述 (15)

（二）典型例题分析与证明 (15)

（三）概率论方法解决积分问题的意义 (19)

四、概率论方法解决恒等式问题 (19)

（一）概率论方法解决恒等式问题概述 (19)

（二）典型例题分析与证明 (19)

（三）概率论方法解决恒等式问题的意义 (21)

五、概率论方法解决不等式问题 (21)

（一）概率论方法解决不等式问题概述 (21)

（二）典型例题分析与证明 (21)

（三）概率论方法解决不等式问题的意义 (26)

结论 (26)

参考文献 (27)

致谢 (28)

引 言

概率论作为数学的一个分支，它与其他学科分支有着密切的联系，具有广泛的应用性。著名的数学家王梓坤院士在文献中指出：“用概率论的方法来证明一些关系式或者解决其他数学分析中的问题，是概率的重要研究方向之一。”概率论方法不仅能解决一些随机的数学问题，而且还可通过建立适当的随机模型，进而解决一些确定的数学问题，而且某些在数学分析中很难解决的问题，只要运用合适的概率论模型，就能得到很好的解决。例如：朱显康曾在文献中写到：

用概率论方法求一类正项级数a

1n kr (C )(C C )C C a k a a n m n kr n m a k n r ∞

-+-=++-∑ 的和。陆晓恒曾在文献中通过建立随机模型，应用中心极限定理，证明了11

lim e !

2k n

n

n k n k -→∞==∑。王大胄在文献中证明了自然倒数平方的级数

和21

1π

6n n ∞

==∑

。李慧琼, 陈振龙一同撰写的文献中就提到了构造随机概率模型证明不等式。如证明∑=<++N

n n n 1

1)!12()!1(，时构造了广义贝努利概率论模型；在证明301

2e !k k k +∞=+≥∑时构造了泊松分布概率模型等等。

但是这些文献仅仅是一个例子或几个例子来介绍用概率方法可以处理在数学分析中的一类问题。那么到底概率方法可以处理数学分析哪些问题，目前还没有一个详细全面的介绍。所以，在查阅了很多资料之后，笔者将这些资料做了整理，归纳了概率方法在数学分析中的应用，其中主要包括用概率方法解决无穷级数问题、概率方法解决极限问题、概率方法解决积分问题、用概率方法解决不等式问题和恒等式问题这五大类。 本文下面就从上述这五个方面阐述概率方法在数学分析知识间的运用，通过大量例子说明用什么概率方法解决数学分析上这四种类型的问题。这祥, 我们就能在数学分析中找到概率论的应用。在每一部分的讨论中，笔者都充分展示了概率论方法解决数学分析优越性。虽然这些问题不一定具有代表性, 但笔者认为, 这样的讨论是别开生面的、很有趣的, 其方法是独特的。下面我们仅就与本文有关的的五个方面介绍一下概率论在数学分析的应用：

一、概率论方法解决极限问题

（一）概率论方法解决极限问题概述 极限问题是数学分析中一个贯穿始终的问题，而难题也经常出现在极限这类问题中，很多复杂的极限问题若运用数学分析中得方法解决相当麻烦，而用概率论方法解决则克服了这类缺陷，在这方面，本文通过构造泊松分布，借助林德贝尔格——Levy 定理、中心极限定理、辛钦大数定理等概率论中的重要定理，简便直观地解决了相关的问题。以下几个例题充分展示了概率论方法解决极限问题的优势所在。 （二）例题与证明

例1： 设1e !

k n

n

n k n a k -==∑，证明1,2n a n →→∞。

证明 设随机变量12,,,,n ξξξ 独立同分布，都服从参数为1的泊松分布()1P ， 那么

()()()1,1,1,2i i E D i ξξ=== 。

设1n

n i i ηξ==∑，则()(),n n E n D n ηη==，则n η服从参数为n 的泊松分布()P n 。

由题设知 ()n n a P n η=≤。

由林德贝尔格——Lev y 定理得：

212

1lim e

2n t i x

i n n P x dt n ξπ

-

=-∞

→∞??

- ? ?≤= ? ???∑?

，

()lim lim n n n n a P n η→∞

→∞

∴=≤

2

2

1lim 0e

2t n n n P dt n ηπ-

-∞

→∞

-??

=≤= ????

22

11e

2

22t dt π

+∞

-

-∞

=

=

?

。

本题用中心极限定理来求原在数学分析中比较困难的所谓泊松极限问题，先把要讨论的问题与泊松分布联系起来，然后应用中心极限定理得出相应的结果。本题还有更一般的表达形式，如下题：

例2（[3]）： 求极限()

lime

,0!

k

n

nt

n k nt t k →∞

=>∑

。

解：令()()

e !

k

n

nt

n k nt a t k -==∑

，考虑n 个相互独立的随机变量12,,,n ξξξ ，都服从参数为t 的泊

松分布，即

()~,1i P t i n ξ≤≤，

令

1

n

n i i ηξ==∑，则()~n P nt η，

由题设知

()()()

0e !

k

n

nt n n k nt a t P n k η-==≤=∑

，

由林德贝尔格——Levy 定理得 ：

2121

lim e 2n t i x i n nt P x dt nt ξπ

-=-∞→∞??

- ? ?≤= ? ???

∑?， ()()1lim ()lim lim n n n n n n n t nt a t P n P nt nt ηη→∞→∞→∞

-??

-∴=≤=≤ ??? 。 ⑴ ⅰ 当1t =时，⑴式变为()2

2

1lim lim 0e

2t n

n n n n P n P dt n ηηπ-

-∞

→∞→∞

-??≤=≤= ???

?

，即为上题。

ⅱ 当1t >时，lim ()0n n a t →∞

∴=，因为0,N ε?>?使得

2

2

1

e

2t N

dt επ

-

-∞

时，⑴

式变为

()1lim lim n n n n n t nt P n P nt nt ηη→∞→∞

?-?

-≤=≤ ???

， 对以上的1,,N N ε?，当1n N ≥时有

()1n t N nt

-<，

从而

()12n n n t nt nt P P N nt

nt nt ηηε-??--??≤≤≤-< ?

?????， 即

lim ()0n n a t →∞

∴=。

ⅲ 当01t <<时，lim ()1n n a t →∞

∴=，因为0,N ε?>?使得

2

2

1e

12t N

dt επ

-

-∞

>-?

成立，仿1t >时

有：

1112n n n t nt nt P P N nt

nt nt ηηε?-?--??

≥≤

≥≤-≥- ?

?????

， 从而结论也成立。

对于更复杂的求极限问题，用概率论方法也能轻松解决，如下题：

例3（[4]）： 设x xvo +=，求极限()()()012lim 2!!

j n

n

n

n j n j n j j +

→∞

=---∑。

解： 设()12,,,,~0,1n x x x U ， 此时记1

n n i i S x ==∑，取2,3

n n S n

n ξ-=，n ξ的分布弱收敛

于正态分布。注意到n S 的分布密度是：

()()()()()111111,01,11,1,2,3,,!!0,n j n m n n j x x n x j P x n m x m m n n n j j ----=?

≤≤?Γ?

?--?

=+-<≤=?Γ-?????

∑ 其他。

引入,0

0,0x x x xvo x +≥?==?

，则有：

(),0,x a x a

x a x a +-≥?-=?

，

于是

()()()()1

010!!

0,j n n n j x j n x n

P x n j j -+

=?--?≤≤=-??

?

∑，其他， 由独立同分布的中心极限定理，1y R ?∈，有{}2

2

1lim ,02t y

n n P y e

dt y ξπ

-

-∞

→<=

=?

时，

122n n P S ?

?<=???

?，

而

()()()()()1π2

000

1122!!!!n

j

j n n n

n j j n j x j n P S dx n j j n j j -++==??

-- ?--????<==??--??∑∑?，

所以：

()()()0121lim 2!!

2

j n

n

n n j n j n j j +

→∞

=--=

-∑。

本题的极限时一个比较复杂的极限问题，用通常的数学分析的方法难以计算，但本题利用独立同分布的中心极限定理和密度极限定理求极限的方法成功算出了该题的极限。

例4： 求多重积分时，用普通的近似方法往往无法实现，因为这时所需的运算次数是非常惊人的。而用大数定律作为理论基础，可获得n 重积分（n 很大时）的近似值。

设()222121212,,,|,0,,,12n n n n n G x x x x x x x x x ??

=+++≤≤≤????

，求极限：

12lim .n

n n G dx dx dx →∞

??? 。

解：设随机变量()1,2,n n ξ= 在[]0,1上服从均匀分布，且相互独立，则有

()()()11

,,1,2,23

n n E D n ξξ=== 。

(){}1212lim ,,n

n n n n G dx dx dx P G ξξξ→∞

=∈???

()22222212121

122n n n P P n

ξξξξξξ????

=+++≤=+++≤

????????

()()22221211

16n P E n

ξξξξ??=+++-≤????

()2211

116n i i P E n ξξ=??≥-≤????∑。

因为12,,n ξξξ 独立同分布，可见22212,,n ξξξ 独立同分布。根据辛钦大数定律，知：

()2211

11lim 16n i n i P E n ξξ→∞=??

-≤=????∑， 从而得：

()()222212111lim 16n n P E n

ξξξξ→∞??

++-≤=???? ， 即得：

12lim 1n

n n G dx dx dx →∞

=??? 。

本题为求极限与n 重积分的综合，通过构造n 个服从[]0,1均匀分布的随机变量，将n 重积分的问题，转化为概率论问题，然后根据辛钦大数定律，获得n 重积分的近似值，即得到了n 重

积分的极限。显而易见，这样的概率论方法解决这个极限难题是非常巧妙的。

（三）概率论方法解决极限问题意义

通过以上四个例题的证明，不难发现概率论方法解决这些极限问题的简便性。在今后的极限计算或是证明中，根据概率论中的的重要分布及一些重要定理如：林德贝尔格——Lev y 定理、中心极限定理、辛钦大数定理等，我们或许可以轻松地的解决一些复杂问题，从中我们可以感受出数学各分支间的紧密联系。

二、概率论方法解决无穷级数问题

（一）概率论方法解决无穷级数问题概述 在这个部分，本文主要通过构造概率论模型如广义贝努力模型，并根据相关概率论模型的性质，解决了许多无穷级数问题。不仅如此，在这部分的讨论中可以发现，有时有概率论方法解题能得到更精确的结果。

（二）典型例题分析与证明

例1（[5]）： 设23221111

(1)(1)(1)(1),2,3,,23(1)n a n n n =----

=+ 试计算无穷级数1

n n a ∞

=∑。 解这道题可构造概率模型：袋中有一个红球和一个黑球，它们除颜色不同外，没有任何差异。现随机地有返回地从袋中两次取球。即第一次从袋中任取一球，记下它的颜色后放回袋中，搅匀后再第二次取球。如果两次取出的球都是红色，那么就认为该次实验成功；如果两次取出的球颜色不相同，那么就认为该次实验失败。假如实验失败了，就必须把一只型号相同的黑球加放在袋中，再进行实验，即有返回地两次取球，如果两次取出的球是红球，则认为该次成功了；假如失败了，再把一只型号相同的黑球加入袋中，如此连续进行以至无穷，求获得成功的概率。

令

{}A =获得成功，

{}1A =第1次实验成功，

{}2A =第1次实验失败，第2次实验成功， {}3A =第1、2次实验失败，第3次实验成功，

{}n A =第1至n-1次实验失败，第n 次实验成功。

显然，1n n A A ∞

== ，且,,1,2,3,i j A A i j ?=?=

()12

12P A =

， ()22211123

P A ?

?=- ???，

()322211111234

P A ?

???=-- ???????，

()2222

1111111,23(1)

n P A n n ?

?????=--- ??? ?+?????? 于是：

()1n n P A P A ∞=??

= ???

()()112n n n n P A P A P A ∞∞

==??

==+ ???∑ ()2

2222111111112231n n ??????=+--- ??? ???????+

22

1

2n n a ∞

==+∑。 可见()P A 就是我们想要求和的无穷级数。这样我们便把无穷级数求和问题，转换成求概率()P A 的问题，下面从另一个角度考虑，求出概率()P A ，即得到无穷级数的和。

在上述所构造的概率论模型中，在各次不同的实验中取出两只红球的概率依次为：212，21

3

，

，21n ， 。于是在各次不同的实验中取出两只红球不全是红球的概率依次为：2112-，21

13-，

21

1n

-， ，故在所有各次试验中所取出的两只球不全是红球的概率为： ()

222211*********P A n ?

???????=---- ????? ?????????

22221111lim 1111234n n →∞

?

???????=---- ????? ?????????

132435(1)(1)

lim 223344n n n n n

→∞???+-=????

???? 11

lim 2n n n

→∞+=?

11lim (1)2n n →∞=+ 12

=。 因此()()

11

11,22

P A P A =-=-=所以有

1

14n

n a ∞

==∑。

通过构造这个摸球的概率模型将这个复杂的无穷级数问题转化为一个较为简单的概率论问题，利用这个模型的概率特性，得到了结果。今后如果碰到这种类型的无穷级数或是其他的数学分析难题，这个模型都可以作为参考，下面这个例题正是说明了这个概率模型对另一种无穷级数模型的应用。

例2： 求无穷级数()()()()()22212

112n

n k k k k k n n ∞==??+- ? ?+++??

∑∏的值。 按照数学分析中知识，我们很容易可以判断出这个级数是收敛的，但至于收敛于什么值，我们借助类似上题的概率论模型求解。

解：先将原无穷级数进行变形，()()()()()()22

122212122

1(1)1211n n n n n n n n n n n n n ∞∞∞===--??==- ?+++++??

∑∑∑ 构造随机试验：假设有两个口袋，其中一个口袋装有两个红球，另一个口袋装有一个红球

和两个黑球，有放回地从两个口袋中各取一只球，若取到的两个均为红球均为红球，则停止取球，否则在两个口袋中各加进一只黑球，然后按照上述规则取球，直到取到两个球均为红球为