2005年第16届“希望杯”全国数学邀请赛试题(初一第2试)及答案

第十六届“希望杯”全国数学邀请赛

初一 第2试

2005年4月17日 上午8∶30至10∶30

一、选择题：（以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母

填在每题后面的圆括号内。）

1．如果2

2

()()4a b a b +--=，则一定成立的是（ ）

（A ）a 是b 的相反数 （B ）a 是b -的相反数 （C ）a 是b 的倒数 （D ）a 是b -的倒数

2．当712x =-时，式子2

(2)2(22)(1)(1)x x x x ----+-的值等于（ ） （A ）2372- （B ） 23

72

（C ）1 （D ）4972

3．从不同的方向看同一物体时，可能看到不同的图形，其中，从正面看到的图叫主视

图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图。由若干个（大于8个）大小相同的正方体组成一个几何体的主视图和俯视图如图1所示，则这个几何体的左视图不可能是（ ）

图 1

俯视图

主视图

（A）

（B ）

（C）

（D ）

4．如图2所示，在矩形ABCD 中，

11

223

AE BG BF AD AB =====，E 、H 、G 在同一条直线上，则阴影部分的面积等于（ ）

（A ）8 （B ）12 （C ）16 （D ）20

5．In a triangle,if measures of three angles are x,2x and 3x respectively,then the measure of the largest angle is ( )

(A)150° (B)120° (C)90° (D)60°

图 2

F

（英汉词典 triangle ：三角形。measure ：量度。the largest angle ：最大角）

6．If we have

a

b

＜0，a b -＜0 and a b +＜0，then the points in real number axis, given by a and b, can be represented as ( )

(A)

o b

a (B)

a

b

o

(C) a

b o (D)

a

b o

7．方程236x x -++=的解的个数是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

8．如果3

3

3

3

a b a b -=-+，那么下列不等式中成立的是（ ）

（A ）a ＞b （B ）a ＜b （C ）a ≥b （D ）a ≤b 9．如图3，两直线AB 、CD 平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=（ ）

（A ）630° （B ）720° （C ）800° （D ）900°

10．若大于1的整数n 可以表示成若干个质数的

乘积，则这些质数称为n 的质因数，则下面四个命题中正确的是（ ） （A ）n 的相反数等于n 的所有质因数的相反数之积 （B ）n 的倒数等于n 的所有质因数的倒数之积

（C ）n 的倒数的相反数等于n 的所有质因数的倒数的相反数之积 （D ）n 的相反数的倒数等于n 的所有质因数的相反数的倒数之积

二、填空题

11．若0.7x =是方程15

23

ax +

=的解，则a =_________。 12．张师傅加工一批同样类型的零件，他用A 车床加工了这批零件的二分之一后，再用B 车床加工余下的零件，共用了4小时。已知用B 车床比用A 车床每小时可以多加工8个零件，后两个小时比前两个小时多加工了12个零件。张师傅加工零件的总数是________个。

13．如果223x x +=，那么432

781315x x x x ++-+=__________。

14．两个正整数x 和y 的最大公约数是4，最小公倍数是20，则2

2

31x y xy ++=_______。 15．If two rational numbers x,y satisfy 3x y += and 20,x y x +=then x =_________。

图 3

65

432

1H G

F E D

C

B

A

（英汉词典rational number：有理数）16．小明的妈妈买了葡萄、苹果、雪梨和芒果果脯各若干袋，用了340元。葡萄、苹果、雪梨和芒果果脯每袋售价分别为14元、22元、28元和42元。小明的妈妈至少买了_____袋果脯，其中苹果果脯是________袋。

17．地球陆地总面积相当于海洋总面积的41%，北半球的陆地面积相当于其海洋面积的65%，那么，南半球的陆地面积相当于其海洋面积的_________%（精确到个位数）。

18．在公路上汽车A、B、C分别以每小时80、70、50公里的速度匀速行驶，A从甲站开往乙站，同时，B、C从乙站开往甲站。A在与B相遇后两小时又与C相遇，则甲、乙两站相距__________公里。

19．我们用记号“|”表示两个正整数间的整除关系，如3|12表示3整除12，那么满足|(1)

x y+与|(1)

y x+的正整数组(,)

x y共有________组。

20．用大小相同的正六边形瓷砖按如图4所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为A，定义为第一组，在它的周围铺上六块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二组，在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满，定义为第三组，…，按这种方式铺下去，用现有的2005块瓷砖最多能完整地铺满_______组，此时还剩余__________块瓷砖。

图 4

三、解答题：（要求：写出推算过程）

21．请在下面的五个方框中画出5种不同的正方体的展开图（经过平移或旋转后能够重合的，算作一种）。

22．已知非负实数,,

x y z满足

123

234

x y z

---

==，记345

W x y z

=++，求W的最大值与最小值。

23．如图6（a）是一个33

?的网格，其中放了“希、望、杯、数、学、竞、赛、题”

八个字块，但是放错了顺序。问：

是否可以移动网格中的字块，将图6（a ）中所示的八个字块校正成图6（b ）中所示的八个字块。如果能，请写出操作过程；如果不能，请说明理由。

要求：在每次移动网格中的字块时，只能将字块滑动到相邻的空的网格中。

第十六届“希望杯”全国数学邀请赛

参考答案及评分标准

初中一年级 第2试

三、解答题

图 6

(b)(a)希望杯

数学

竞赛题

题赛竞学数杯望希

21．答案不惟一． （每做对一图得2分）

22、)3.(34,23,12,4

3

3221分则设

+=+-=+==-=-=-k z k y k x k z y x 因为 x,y,z 均为非负实数。

即

分所以分于是分解得所以)

7(,26143

2

2614261421)

5(2614)34(5)23(4)12(3543)5(3

2

21034,

023,012+?≤+≤+?-+=++--+=++=≤≤-

??

?

??≥+≥+-≥+k k k k k z

y x ：W k ：k k k

所以W 的最小值是19，最大值是353

1

（10分） 23．不能． 理由如下：

(1)将“希、望、杯、数、学、竟、赛、题”八个字编号，分另q 是1．2、3、4、5、6、7、8，则图6(8)变为图(c)，调整汉字就是调整这些数字． (1分)

(2)将3×3网格中的数字从左至右、从上往下排成一个八位数，则图(c)对应的八位数是 12354678，其中，数字5排在了4的左端，则称这 个八位数有一个逆序。一个网格所对应的八位 数的逆序的总数称为这个网格的“逆序量”．例 如：图(c)的“逆序量”是1；图(d)对应的八位数 是12357468，其中，5的右端有1个数字4比5 小，7的右端有2个比7小的数字4和6，所以图 (d)的“逆序量”是3． (3分)

(3)两个相邻数字交换位置，逆序的改变量只能是1或一1． (5分)

(4)在同一行中，按照要求调整数字时，数字只能左右移动，移动前后的网格所对应的八位数完全相同，“逆序量”不发生变化，或称“逆序量”的改变是0． (6分)

如果按照要求，将数字移动到相邻的行中，相当于在网格所对应的八位数中，将某个数

字向左(或向右)跳过了两个数字，既然两个相邻数字交换位置，逆序的改变量只能是l或一1，那么，交换两个数字逆序的改变量只能是2或者是0或者是一2． (8分) 如由图(c)到图(d)。相应的八位数由12354678调整为12357468，相应的“逆序量”由1改变为3．改变量是2．

(5)按照要求移动汉字时，逆序的改变量是偶数，不会改变网格的“逆序量”的奇偶性·

(9分)

但是，图6(a)的“逆序量”是奇数，图6(b)的“逆序量”是偶数，所以不能按要求将图6(a)调整为图6(b)。

(10分)