四边形综合题(含答案)

四边形综合题

1.已知是等腰直角三角形，，，点D是边BC上的一个

动点不运动至点，，点E在BC所在直线上，连结，，且若点E是线段BC上一点，如图1，作点D关于直线AE的对称点F，连结

，，，

求证： ≌ ；

若，，求CE的长；

如图2，若，，求CE的长直接写出答案即可

【答案】解：点D与点F关于直线AE的对称，

垂直平分DF，

，

，

即，

，

，

，

，

在与中，

，

≌ ；

由可得： ≌ ，

，，

，

垂直平分DF，

，

；

或．

理由：如图所示，当点E在BC延长线上时，作点D关于直线AE的对称点F，连结

，，，

根据 ≌ ，可得

，

在等腰直角三角形ABC中，，

，

，

，

在中，，

解得；

如图所示，当点E在线段BC上时，作点D关于直线AE

的对称点F，连结，，，

根据 ≌ ，可得，

，

又，

在中，，

解得．

【解析】根据轴对称的性质，得到， ，再根据同

角的余角相等，得到，即可判定 ≌ ；

由可得： ≌ ，据此得出，，进而得到

，再根据，运用勾股定理求得CE即可；

分两种情况进行讨论：当点E在BC延长线上时，作点D关于直线AE的对称点F，连结，，；当点E在线段BC上时，作点D关于直线AE的对称点F，连结，，分别根据全等三角形的性质以及勾股定理，求得CE的长即可．

本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质以判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及对称轴的性质的综合应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法，解题时注意分类思想的运用．

2.如图，在矩形ABCD中，，，在BC边上取两点E、点E在点

F的左边，以EF为边所作等边，顶点P恰好在AD上，直线PE、PF分别交直线AC于点G、H．

求的边长；

若的边EF在线段CB上移动，试猜想：PH与BE有何数量关系？并证明你猜想的结论；

若的边EF在射线CB上移动分别如图和图所示，，不与A 重合，中的结论还成立吗？若不成立，直接写出你发现的新结论．

【答案】解：过P作于如图，

四边形ABCD是矩形，

，即，

又，

，

是等边三角形，

，

在中，，

设，，，根据勾股定理得：，

解得：，故，

的边长为2；

，理由如下：

在中，，，

由勾股定理得，

，

， ，

，

，

，

是等腰三角形，

作于如图

中，，

，

．

结论不成立，

当时，，

当时，．

【解析】过P作，垂足为Q，由四边形ABCD为矩形，得到为直角，且，得到，又为等边三角形，根据“三线合一”得到为，在中，设出QF为x，则，由PQ的长，根据勾股定理列出关于x的方程，求出x的值，即可得到PF的长，即为等边三角形的边长；

，过E作ER垂直于AD，如图所示，首先证明为等腰三角形，在根据矩形的对边平行得到一对内错角相等，可得，在中，

，根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，由PE求出PR，由，则，即可得到两线段的关系；

当若的边EF在射线CB上移动时中的结论不成立，由的解题思路可知当时，，当时，．

此题综合考查了矩形的性质，等腰三角形的判别与性质、等边三角形的性质及直角三角形的性质学生作第三问时，应借助第二问的结论，结合图形，多次利用数学中等量代换的方法解决问题，这就要求学生在作几何题时注意合理运用各小题之间的联系．

3.已知，正方形ABCD中，， 绕点A顺时针旋转，它的两边长

分别交CB、或它们的延长线于点M、，于点H．

如图，当点A旋转到时，请你直接写出AH与AB的数量关系：______ ；

如图，当绕点A旋转到时，中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；

如图，已知，于点H，且，，求AH 的长．

【答案】

【解析】解：如图，

四边形ABCD是正方形，

， ，

在与中，，

≌ ，

，，

，

，

，

，

在与中，，

≌ ，

；

故答案为：；

数量关系成立如图，延长CB至E，使．

是正方形，

， ，

在和中，，

≌ ，

， ，

，

在和中，，

≌ ，

，，

、AH是和对应边上的高，

；

如图分别沿AM、AN翻折和，得

到和，

，， ，

分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCD，

由可知，，

设，则，，

在中，由勾股定理，得，

，

解得，不符合题意，舍去

．

由三角形全等可以证明，

延长CB至E，使，证明 ≌ ，能得到，

分别沿AM、AN翻折和，得到和，然后分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE，设，则，，在中，由勾股定理，解得x．

本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，翻折的性质，此题比较典型，具有一定的代表性，且证明过程类似，同时通过做此题培养了学生的猜想能力和类比推理能力．

4.已知在四边形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的一点．

如图1：当四边形ABCD是正方形时，作出将绕点A顺时针旋转90度后的图形；并判断点M、B、C三点是否在同一条直线上______ 填是或否；

如图1：当四边形ABCD是正方形时，且，请直接写出线段EF、BE、DF三者之间的数量关系______ ；

如图2：当， ， 是的一半，问：中的数量关系是否还存在，并说明理由；

在的条件下，将点E平移到BC的延长线上，请在图3中补全图形，并写出EF、BE、DF的关系．

【答案】是；

【解析】解：如图1：

根据旋转的性质，，

四边形ABCD是正方形，

，

、B、C三点在一条直线上．

故答案为：是；

由旋转的性质可得：， ，，四边形ABCD是正方形，，

，

，

，

在和中，

，

≌ ，

；

故答案为：；

存在

理由如下：延长CB到P使，

，

，

，

在和中，

，

≌ ，

， ，

，

，

，

即：，

在和中，

，

≌ ，

，

；

如图3，补全图形．

证明：在BC上截取，

，

，

，

在和中，

，

≌ ，

， ，

，

，

，

，

在和中，

，

≌ ，

，

．

首先由旋转的性质，画出旋转后的图形，然后由，证得点M、B、C三点共线；

首先由旋转的性质可得：， ，，然后由

，证得，继而证得 ≌ ，继而证得结论；

首先延长CB到P使，证得 ≌ ，再证得 ≌ ，继而证得结论；

首先在BC上截取，证得 ≌ ，再证得 ≌ ，即可得．

此题属于四边形的综合题考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意准确作出辅助线是解此题的关键．

5.正方形ABCD中，点E是射线AB上一动点，点F是线段BC延长线上一动点，且

，

如图1，连接DE、DF，若正方形的边长为，，求EF的长？

如图2，连接AC交EF与G，求证：；

如图3，当点E在AB延长线上时，仍保持不变，试探索线段AC、AE、CG之间的数量关系，并说明理由．

【答案】解：正方形的边长为，，

，

，

，

，

；

证明：如图2，作交AC于H，

四边形ABCD是正方形，

，

，

，

，又，

，即，

；

．

证明：如图3，作交AC的延长线于P，

四边形ABCD是正方形，

，

，

，

，又，

，即，

．

【解析】根据题意分别求出BE、BF的长，根据勾股定理计算即可；

作交AC于H，根据正方形的性质得到，根据勾股定理得到，根据平行线分线段成比例定理得到，得到答案；

作交AC的延长线于P，与的方法类似，证明即可．

本题考查的是正方形的性质、平行线分线段成比例定理以及全等三角形的判定和性质，掌握相关的性质定理、灵活运用类比思想是解题的关键．

6.如图，正方形ABCD边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、

G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接

CF．

求证：；

当时，求证：菱形EFGH为正方形；

设，，的面积为y，求y与x之

间的函数解析式，并直接写出x的取值范围；

求y的最小值．

【答案】证明：如图1，连接GE，

，

，

，

，

；

证明：四边形ABCD是正方形，

，

四边形EFGH是菱形，

，

在和中，

，

≌ ，

，又，

，

，

菱形EFGH为正方形；

解：作，交DC的延长线于M，

在和中，

，

≌ ，

，

，

，

；

，

随x的增大而减小，

时，y的最小值是．

【解析】连接GE，根据正方形的性质和平行线的性质得到，根据菱形的性质和平行线的性质得到，解答即可；

证明 ≌ ，得到，证明，根据正方形的判定定理证明；

作，证明 ≌ ，得到，根据三角形的面积公式得到解析式；

根据一次函数的性质：当时，y随x的增大而减小解答即可．

本题考查的是正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数解析式的求法和一次函数的性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的性质定理和判定定理是解题的关键．

7.四边形ABCD为正方形，点E为射线AC上一点，连接DE，过点E作，

交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．

如图1，当点E在线段AC上时．

求证：矩形DEFG是正方形；

求证：；

如图2，当点E在线段AC的延长线上时，请你在图2中画出相应图形，并直接写出AC、CE、CG之间的数量关系；

直接写出的度数．

【答案】证明：作于，于Q，

，

，

， ，

，

在和中，

，

≌ ，

，

矩形DEFG是正方形；

， ，

，

在和中，

，

≌ ，

，

；

，

证明：由得，矩形DEFG是正方形，

，

，

，

在和中，

，

≌ ，

，

；

如图1，当点E为线段AC上时，

≌，，

；

如图2，当点E为线段AC的延长线上时，

．

【解析】作于，于Q，证明 ≌ ，得到，根据正方形的判定定理证明即可；

根据三角形全等的判定定理证明 ≌ ，得到，证明结论；

根据题意画出图形，与的方法类似，证明 ≌ ，得到，即可得到答案；

根据全等三角形的性质和点E的不同位置求出的度数．

本题考查的是正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．

8.在中，，点为所在平面内一点，过点P分别作交

AB于点，交BC于点D，交AC于点F

当点P在BC边上如图时，请你探索线段，，，与之间的数量关系，并给出证明；

当点P在内如图时，中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，线段，，，与之间又有怎样的数量关系．

当点P在外如图时，线段，，，与之间又有怎样的数量关系．

【答案】答：．

证明如下：点P在BC上，

，

，，

四边形PFAE是平行四边形，

，

，

，

，

，

，

，

；

证明：，

，

，

，

，

，

，，

四边形PFAE是平行四边形，

，

，

；

证明：同可证，，

，

，

．

【解析】先求出四边形PFAE是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得，再根据两直线平行，同位角相等可得，然后求出，利用等角对等边求出，然后求解即可；

根据等边对等角可得，再根据两直线平行，同位角相等可得，然后求出，再根据等角对等边可得，然后求出四边形PFAE 是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得，然后求出，等量代换即可得证；

证明思路同．

本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟记平行四边形的判定方法与性质，并准确识图理清图中边的关系是解题的关键，此类题目，关键在于后面小题与前面小题的求解思路相同．

9.如图，在菱形ABCD中，E是BC上一点，F是CD上一点，连接AE、AF、EF，且

．

如图1，求证：AF平分；

如图2，若，求证：；

在的条件下，若，，求AF的长．

【答案】解：证明：过点A作于G，过A作于H，过A作于M，连接AC，

四边形ABCD是菱形，

平分，

又，，

，

，

平分，

又，，

，

，

平分；

四边形ABCD是菱形，

又，

四边形ABCD是正方形，

，

，，

过A作于H，

，

平分，

又，，

，

，

在与中

，

≌

，

同理 ≌ ，

，

，

；

设，则，

在中，，

，

，

，

由知四边形ABCD是正方形，

，

，

设，则，

由知，

，

在中，，

，

，

在中，，

．

【解析】根据菱形的性质得出AC平分，再根据角平分线的性质证明即可．根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可；

根据勾股定理进行解答即可．

此题主要考查了菱形的性质，关键是判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、

ASA、AAS、HL．