线性代数第二章习题答案

习题 2-1

1．由6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2、4、5、6而负于选手3；选手2胜选手4、5、6而负于选手1、3；选手3胜选手1、2、4而负于选手5、6；选手4胜选手5、6而负于选手1、2、3；选手5胜选手3、6而负于选手1、2、4；选手6胜选手2而负于选手1、3、4、5．若胜一场得1分，负一场得0分，使用矩阵表示输赢状况，并排序．

解： ?????

??000010

100100110000001011

1110001110106543216

54321，选手按胜多负少排序为：6,5,4,3,2,1．

2．设矩阵???? ??-=????

+-=2521

,03231

z x y x B A ，已知B A =，求z y x ,,．解：由于B A =得?????=-=+=-0253223z x y x ，解得：??

??===211

z y x 。

习题 2-2

1．设????

??=0112A ，???

? ??-=4021B ，求（1）B A 52-；（2）BA AB -；（3）2

2B A -．

解：（1）???

??--=???? ??--???? ??=???? ??--???? ??=-202892001050224402150112252B A ；

（2）???

??--=???? ??--???? ??--=???? ?????? ??--???? ??-???? ??=-2592041021820112402140210112BA AB ；

；

（3）???? ??--=???? ??-???? ??=???? ??-???? ??--???? ?????? ??=-1524416061122540

4021011201

12B A 22． 2．已知????? ??--=230412301321A ，????

?---=0521103

51234B ，求B A 23-．解：???

? ??----?????

??--=052110351234223041230

323B -A

???

??----=????? ??----????? ??--=61941016151055011010422061024686901236903963

3．设???

? ??----=?????

??=101012121234,432112

122121B A ，求

（1）B A -3；（2）B A 32+；

（3）若X 满足B X A =-，求X ；

（4）若Y 满足()()O Y B Y A =-+-22，求Y ．

解：（1）???

??-----?????

??=-10101212123443211212

212133B A

???

??-=????? ??-----????? ??=13973282851311010121212341296336366363；

（2）???

? ??----+????? ??=+101012121234

3432112122121232B A

????

?--=????? ??----+????? ??=561

2525278

131430303636369

12864224244242；（3）由B X A =-得，

???

?---=????? ??-----????? ??=-=53310404

1113101012121234

432112122121B A X ；（4）由()()O Y B Y A =-+-22得，

????

??=????

? ??=+=223232340

3402231031033112020335532)(32B A Y 。 4．计算下列矩阵的乘积：

（1）????

??=????? ???+?+??+?-+??+?+?=????? ??????? ??-49635102775132)2(71112374127075321134；

（2）()???

?? ??12332110132231=?+?+?=；

（3）???

?? ??---=????? ???-??-??-?=-????? ??63224223)1(321)1(122)1(2)21(312；

（4）??

???

? ??---???? ??-20413121023

143110412

???? ??-?+?+?-+??+-?+-?-+??+?+?-+?-?+?+?+??+-?+-?+??+?+?+?=)2(4132)1(2104)3(3)1()1(3144130)1(11)2(014212200)3(4)1(1324

0140112???

? ??---=55201076；（5）()???

? ??????? ??321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x

()???

? ??++++++=3213332231133

322221123

31221111x x x x a x a x a x a x a x a x a x a x a

333322311323322221121331221111)()()(x x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a ++++++++=

33332322322223131132121122111)()()(x a x x a a x a x x a a x x a a x a ++++++++=。

（6）??

??---=

???????

??---???????

??9000

3400

4210

30003200

121013

3000120010100121。

5．设???

??=λλλ001001A ，求3A ．

解：????

?=????? ??????? ??=2λλλλλλλλλλλA 0020

120010010010012

????

? ??=????? ?

?????? ?

?==32

030

330010010020

12λλλλλλλλλλλλλλA A A 。 …

6．设???? ??=021032A ，????? ??=032001B ，?

???

? ??=542001C ，

（1）求AB 及AC ；

（2）如果AC AB =，是否必有C B = （3）求T

A B ．

解：（1）???? ??=????? ?????? ??=4162032001021032AB ，?

? ??=????

?????? ??=4162542001021032AC ；（2）由（1）知AC AB =，而C B ≠；

（3）???

? ??=???? ??==16424162T

(AB)A B T T 。 7．已知1)(2

--=x x x f ，????

??-=011213113A ，求)(A f ．

解：????? ??-????? ??--????? ??-????? ??-=--=100010001011213113011213113011213113)(E A A A 2

????

??--=????? ??-????? ??--????? ??-=211301142910001000101121311310052145313。 ,

８．举反例说明下列命题是错误的：（1）若O A =2

，则O A =；

（2）若A A =2，则O A =或E A =；

（3）若AY AX =，且O A ≠，则Y X =．

解：（1）举例若01111≠?

???

??--=A ，而02

=A ；（2）举例若???? ??=0011A ，A A =2

而0≠A 且E A ≠；（3）举例若???? ??--=1111A ，???? ??=0011X ，???

??=1100Y ，AY AX =，且O A ≠而Y X ≠。

9．证明：如果BC CB AC CA ==, ，则有

（1）)()(B A C C B A +=+；（2）)()(AB C C AB =．证明：（1）)()(B A C CB CA BC AC C B A +=+=+=+；

…

（2）)()(AB C (CA)B (AC)B A(CB)A(BC)C AB ===== 10．设B A ,均为n 阶矩阵，证明下列命题是等价的：（1）BA AB =；

（2）2

2)(B AB A B A ++=+；（3）2

2)(B AB A B A +-=-；

（4）2

))(())((B A B A B A B A B A -=+-=-+．

证明：（1）?（2）因为BA AB =，所以2

2)(B AB A B BA AB A B A ++=+++=+；（2）?（1）2

2)(B AB A B BA AB A B A ++=+++=+，所以BA AB =；（1）?（3）因为BA AB =，所以2

2)(B AB A B BA AB A B A +-=+--=-

（3）?（1）2

22222)(B BA AB A B AB A B A +--=+-=-，所以BA AB =；？

（1）?（4）因为BA AB =，所以2

))((B A B BA AB A B A B A -=-+-=-+

（4）?（1）2

))((B A B BA AB A B A B A -=-+-=-+，所以BA AB =。 11．设A 与B 是两个n 阶反对称矩阵，证明：当且仅当BA AB -=时，AB 是反对称矩阵．

证明：先证当BA AB -=时，AB 是反对称矩阵。

因为AB BA A B (AB)T

-===，所以AB 是反对称矩阵。

反之，若AB 是反对称矩阵，即AB (AB)T

-=，则BA A B AB AB T

-=-=-=)(。

习题 2-3

1．判别下列方阵是否可逆，若可逆，求它们的逆矩阵：

（1）???? ??-3411；（2）????

?-θθθθ

cos sin sin cos ；（3）????? ??--523012101；（4）????? ??343122321；（5）?????

??987654321；（6）?

?????

? ??1000210032104321． /

解：（1）073

11≠=-=

A ，故1-A 存在，141322122111=-===A A A A

从而?????

??-=???? ??-==-717

47173

1413711*1

A A A （2）01cos sin sin cos ≠=-=

θθA ，故1-A 存在，

θθ

cos sin sin cos 22122111=-===A A A A

从而*1

1A A A =

-???

??-=θθθθcos sin sin cos （3）025

2301

≠=--=A ，故1

-A 存在，2,2,7,10,52221131211-====-=A A A A A ，

1,2,1,5233323123==-=-=A A A A

从而*1

1A A

A =-??????? ?

?----=211

27115211

（4）023

43122

21≠==A ，故1-A 存在，6,6,2,3,22221131211-===-==A A A A A ，

2,5,4,233323123-==-==A A A A

从而*

1A A

-?????

? ??----=11125323231

（5）09

654

==A ，故1-A 不存在。（6）011

000210032104

321≠==

A ，故1-A 存在，2,0,0,0,12114131211-=====A A A A A ，

,0,0,131242322====A A A A 1,2,1,0,0,1,244434241343332=-=====-=A A A A A A A

从而??????? ??---==-10002100121001

211*1

A A

A 。

2．设?

???

? ??=????

??=????? ??=130231,3512,343122321C B A ，求矩阵X 使满足C AXB =．解：由1题中的（4）小题知 1

-A ?????? ?

?----=11125323231，又知???? ??--=-25131B 所以

==--1

1CB A X ?????? ?

?----11125323231????? ??130231???? ??--2513????? ??---=???? ??--????? ??-=410410122513202011。 3．设???? ??=3152A ，???? ??-=1264B ，???

??-=1242C ，解下列矩阵方程：（1）B AX =；（2）B XA =；（3）C AXB =．

解：???? ??--=-21531

A ，???

? ??-=-42611611

（1）B AX ===?-B A X 1

???? ??--2153???? ?

?-=???? ??-802321264 （2）B XA ===?-1

BA X ???

? ??--=???? ??--???? ??-85321821531264

(3)==?=--1

1CB

A X C AX

B ???? ??--2153 ???? ??-1242???? ??-4261161?

????? ??--=478

5417815

4．利用逆矩阵解下列线性方程组：

（1）?????=+-=-+=--114231124342321321321x x x x x x x x x ；（2）???

??=++=++=++3

5325221

32321

321321x x x x x x x x x ．

解：（1）取????? ??----=423243112A ，X ????? ??=321x x x ，???

?? ??=11114B ，则原方程组为B AX =

604232431

=----=A ，????? ??--=-111181111866126011A ∴?????

??==-1131

B A X ，即?????===1133

21x x x 。

（2）取????? ??=153522321A ，X ????? ??=321x x x ，???

??=321B ，则原方程组为B AX =

151535223

21==A ，????? ??---=-2141813413231511A ∴?????

??==-0011B A X ，即???

??===0013

21x x x 。

—

5．设O A =k

（k 为正整数），证明121

)

(--++++=-k A A A E A E ．

证明：因为))((1

2-++++-k A A A E A E

E )A A A (A A A A E k k k =++++-++++=--1212 （由O A =k ）所以121

)

(--++++=-k A A A E A E 。

6．设方阵A 满足O E A A =--22

，证明A 和E A 2+都可逆，并求1

-A 和1

)2(-+E A ．

证明：因为O E A A =--22

可知E E)(A A =-?21，所以A 可逆且)(2

1E A A -=-；又有O E A A =--22

得E A)E E A =-?

+3(4

)2(，所以E A 2+可逆且 )3(4

)2(1A E E A -=

+-。 7．设B A AB A 2,321011330+=???

?? ??-=，求B ．

解：因为B A AB 2+=，所以A B E A =-)2(，而???

??---=-1210113322E A ，22=-E A ，

????

??---=--11131133121)2(1

E A ，所以

????

? ??-=?????

??-?????

??---=-=-01132133032

101

133

011131133121)2(1A E A B 。

8．设B A E AB A +=+????

? ??=2

,101020101，求矩阵B ．

解：由于B A E AB +=+2，有))(()(2

E A E A E A B E A +-=-=-

而????? ??=-001010100E A 且01≠-=-E A ，可知E A -可逆，所以???

? ??=+=201030102E A B 。

9．设*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵，证明：

（1）若A 可逆，则1

||*-=A A A ；（2）若0||=A ，则0|*|=A ；

（3）1

|||*|-=n A A ；

（4）若A 可逆，则A A A A |

|1*)()*(1

1==--； -

（5）若A 可逆，则T

*)()*(A A =．

证明：（1）∵E A AA =*，而A 可逆，∴11

||*--==A A E A A

（2）0||=A ，当0=A ，则O A =*

，∴0=*A

当0≠A ，则由E A AA =*0=，∴0=A 矛盾。∴0=*

A 故当0=A 时，有0=*A 。

（3）若0=A 由（2）知0=*A 此时命题也成立，故有1

=n A

A 。

若0≠A ，则由?=*

E A AA n

A E A A A ==*

，∴1

-*=n A A

综上有1

=n A

A 。

（4）∵E A AA =*

，而A 可逆，∴A A

A 1)(1

- 又E A E A

A A 1)(1

*11=

=---，∴A A A 1)(*1=-，即A A A A |

|1*)()*(11==-- ,

（5）∵A 可逆，∴T

A 可逆

又E A E A A A T

T T

==*

)(， E A E A A A A A T

===)()()(*

即T T *)()*(A A A A T T =， ∴T

T *)()*(A A =

10．设A 的伴随矩阵??????

? ??-=80300

10100100001*A ，且E BA ABA 31

1+=--，求矩阵B ．

解：由E BA ABA 311+=--A A B A AB A A B AB *

**33+=?+=?

E B A E E A B A B A 6)2(3**=-?+=?

而??????

? ?

?-=--610210010100

100001

)2(1*A E ，∴??

? ??-=-=-10300606006000

06)2(61

*A E B 。 11．设ΛAP P =-1，其中???

? ??-=???? ??--=2001,1141ΛP ，求11

A ．解：∵Λ=-AP P 1故1-=P P A Λ，所以1

1111-=P P A Λ

;

而3=P ， ???? ??-=*1141P ， ???

? ??--=-1141311

P ， ???? ??-=???? ??-=1111

1120012001Λ 故??????

??--???? ??-???? ??--=31313431

200111411111

A ???? ??--=???? ??----++=68468327322731242124213111111313 12．设P ΛAP =，其中????

? ??-=?????

?--=511,11120

1111ΛP ，

求)65()(2

A A E A A +-=?．

解：∵61112011

11-=--=P ，????

??------=12130

3222*

P ，∴???????

? ??--=-61316121021313

131

1*1P

又???

? ??=????? ??-=0000000012)5()1()1()(????Λ

故????

? ??????? ??--==-000000001211120111

1)()(1

A P A ????????

? ??--

61316121021313

131

?????

??=444444444。

13．设矩阵A 、B 及B A +都可逆，证明：（1）11--+B A 也可逆，并且()

B B A A B A 11

11)(----+=+；

（2）A B A B B B A A 1

)

()(--+=+．

;

证明：（1）∵B B A A B E B B A A B A 1

1111))(())()((-----++=++

E B B B B A B A B B B A A B B B ==++=++=------111111))(())((

∴11--+B A 可逆且()

B B A A B A 11

1)(----+=+

（2）∵)()()()()()(1

1111111-------++++=++AB BB B A B AB E B A B B A A B A B -

E BB B B A B A B ==++=---111)()(

∴A B A B B A --11

)()

(--+=+，又有（1）知()

B B A A B A 11

1)(----+=+

由逆矩阵的唯一性知，A B A B B B A A 1

1)()(--+=+。

习题 2-4

1．设矩阵???????

?--=100001004210

01A ，???

?-=1020013

6000

20021B ，用分块矩阵计算：（1）A k ；（2）B A +．

解：先对B A ,进行分块???

??-=E A E A 01，????

??=E B B B 210，其中???? ??=42311A ，???? ??=02211B ，???

??-=20362B

（1）A k ???? ??-=kE 0kA kE 1??

? ??--=k k k k k k k

k 00000042030；

（2）???? ??+=+0B A B E B A 211????

??-=0020003642123122。 2．设??????? ??-=1011012100100001A ，???

? ??---=0211140110210101

B ，求AB ．解：先对B A ,进行分块???? ??=E A 0E A 1，???? ??=321B B E B B ，其中???

? ??-=11211A ，???? ??-=21011B ，???? ??--=11012B ，???

??=02143B 则????

??++=312111B A B B A E B AB ，

而???? ??--=+1142211B B A ，???? ??=+133331B A ，所以????

?---=1311334

2102

10101AB 。 3．设??????? ??=b b a a 100100000001A ，????

? ??=b b a a 1000

00001000B ，求ABA ．解：先对B A ,进行分块???? ??=21A 00A A ，???? ??=21B 00B B ，其中1A =???? ?

?a a

01，=2A ???

??b b 11，1B =?

??a a 10，=2B ???? ??b b 10，则???? ??=2211B A 00B A AB ，???? ??=222111A B A 0

0A B A ABA 而=111A B A ???? ??+++a a a a a a 322312，=222A B A ???

??+++b b b b b b 231223223 —

∴=ABA ????

?++++++322

22323001220

0000

12b b b b b b a a a

a a

a 4．设??????

?-=22

000200003

40043A ，求8

A 及4A ．解： ?

???

?-=22023443O O A ，令???? ??-=34431A ???

? ??=22022A A 则???? ??=21

A O

O A A 是分块对角阵，故8

218

???? ?

?=A O O A A ???

??=828

1A O

O A 168

281810===A A A A A

???

??=???? ?

?=464

4424

22025005O O A O

O A A 5．已知分块方阵???? ??=O B

A O

D ，???

? ??=B O C A F ，其中B A ,均为可逆方阵，证明D 和F 均可逆，并求1

-D 和1

-F

．

证明：设有矩阵???? ??=43

1X X

X X D ，使E DD =1，即????

??=???? ??E 00E

BX BX AX AX 2143

则??

?????====E BX 0BX 0

AX E

AX 214

3，因B A ,均为可逆方阵，所以有???????====--12

1413B X 0X 0X A X ，即???

? ??=--0A B 0D 1

11 从而D 可逆且=-1

D ???

? ??=--0A B 0D 111。

设有???? ??=43

1X X

X X F ，使E FF =1，即???

??=???? ??++E 00E

BX BX CX AX CX AX 43423

1 ??????

?===+=+E BX 0

BX 0CX AX E

CX AX 434

231，因B A ,均为可逆方阵，所以有???????==-==----14

311211B X 0X CB A X A X ，即???? ?

?-=----1111

1B 0

CB A A F ，从而F 可逆且=-1

F ???

??-=----11111B 0CB A A F 。 6．求下列矩阵的逆阵：

（1）???????

?2500380000120025；（2）????

??4121031200210001．解：（1）记原方阵为???? ??21A 00A ，则???? ??--=-522111A ，???

? ??--=-85321

2A ∴=

?-1

2500380000120025

121-???? ??A 00A ???? ??=--121

1A 00A ??

????

? ??----=85003200005200

21 （2）记原方阵为???? ??32

A A

0A ，则可直接凑得???? ??-=-----1311

2131

1A A A A 0A A 而???? ??-=

-2121011

A ，??????

??-=-4112103113A ，?

????

? ??-=--24581612111213A A A ∴=??????

?-14121031200210001???? ??-----131121311A A A A 0A =????????? ??-----411212458

1031612100212

10001 ~

习题 2-5

1．对下列矩阵作初等行变换，先化为行阶梯形矩阵，再化为行最简形矩阵：

（1）?????

??211152223420；（2）??????? ??-------31370130313111044321；（3）???????

?---------12433023221453334311；（4）??????? ??------34732038234202173132；（5）??????? ??-------37413741174316923

；（6）???????

??----0321050713541420．解：（1）3

212313420100021112342052222111211152223420r r r r r r ???

? ??-????? ???????? ?? ????? ??100034202111（行阶梯形矩阵）????? ??-?---1000021001012

1)3(212132321r r r r r （行最简形矩阵）

（2）??????? ??-------313701303131110443213424213224840012

42003111044

32175r r r r r r r +?????

??-------+-- ??????? ??-----000001242003111044321（行阶梯形矩阵）??????

? ??-----?000006

21003111044321213

r ????

? ??---+-+000006

21003101080001232321r r r r r （行最简形矩阵）】

（3）1

4131232312433023221453334

11r r r r r r ---??

???

?--------- ?????

??--------10105006630088

40034

311)

41(454322

3-?--r r r r r

?---00000000002210034311（行阶梯形矩阵）

13r r -??

?---00000000002210032

1（行最简形矩阵）

(4) ??

??------34732038234202173132 4

132

421242321711877012988

0111104202

1232r r r r r r r r r r r r r r r ?---??

???

??-----?--- ???????

?---00000410001111042021（行阶梯形矩阵）

?---?-+0000041000

30110

202

)1(223221r r r r r （行最简形矩阵）

（5）??????? ??-------37413741174316923?????

? ??----+???

???? ??-----?+++00001430001431037

417000045217014310

374132331322134r r r r r r r r r r （行阶梯形矩阵）??????

??-+-???????

??---?-000010000310

05011459000010

001431059501)1431(4323132

1r r r r r r r （行最简形矩阵）（

）

???????? ??----0321050713541420???????? ??------????????? ??------?++1050105022110210

541211050105022110420541232212523r r r r r r r ???

??---+-+0000000002105415511252423r r r r r r （行阶梯形矩阵）?????

? ??--???????? ??---?0000000002103014000000000210541)1(211r r r （行最简形矩阵）

2．把可逆矩阵????? ??--=023111021A 分解为初等阵的乘积．

解：因为????? ??--=023111021A ?

???? ??-??? ??-?-????? ??-?-????? ??++1003106018128003100213310130021332132321223r r r r r r r r r r r

???

??-+100010001363231r r r r

即E A E E E E E E E E =----))3(2,3())1(1,2())3(3,2()3,2())2(2,1())81

(3())6(3,1())3(3,2(

[

))3(3,2())6(3,1())8(3()2(2,1()3,2()))3(3,2())1(1,2())3(3,2(E E E E E E E E A ----=

3．设???

??=????? ??????? ??963852741101010

001010100001A ，求A ．

解：????? ??=????? ?

?????? ??963852741101010

001010100001A 可以写成????

??=963852741))1(1,3()3,2(AE E

从而))1(1,3(963852741)3,2())1(1,3(963852

741)3,2(11

-???

??=????? ?

?=--E E E E A

????

? ??---=-????? ??=856966746))1(1,3(852963741E

4．用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：

（1）????? ??--523012101；（2）?????

?343122

321；（3）?????

??---11110

3231；（4）??

?-----121023211220

3．

【

解：（1）???

?---+-????? ??--=103220012210

001

101

32100523010012001101),(1312r r r r E A ??????? ?

----?+-?????

??----211

115010211

00121211272000122100011

0123323123r r r r r r r

∴????

? ??----=-2112711521125

（2）?

? ??---------????? ??=11110001252000132

12100343010122001321),(12213r r r r r E A

????

? ??---

--???? ??-?????? ??--------+11110025323010231001)1(21111100563020231001523232321r r r r r r r

∴?????

? ??----=-111253232311

（3）???

?-----+????? ??---=101340013790

001

2313100111010103001231),(1312r r r r E A ???

??-----+-????? ??----+94310

021111

063210

143101340211110001231224

213

2r r r r r r ?

???

??-?-+943100732010311001)1(2323

1r r r r r ∴

????? ??=-9437323111

A （4）

??-----???

????

??-----=100012100100232100101

2200301594

0310001210010023210010122

000011

023),(31r r E A ??

??----??+???????

??-----+--10612100043011100

1000121020

00101

21000121021000101

2010120043011

100224423112434241r r r r r r r r r r r r

???????

?--------+-+-10612100063110100

1010001042

001

243432431r r r r r r r r ∴???

? ??-------=-10612631110104211

5．用初等变换法求矩阵X ，使B AX =，其中????? ??=343122321A ，???

??=341352B ．

解：∵????? ??=343431312252321),(B A ???

? ??----------31100915205232

1212213r r r r r

????

??---???? ??-?????? ??------+311003201023

001)1(21311006402023001523232321r r r r r r r

∴????

? ??--==-313223

B A X

6．求解矩阵方程X A XA 2+=，其中???

??-=321011324A 。

解：A E A X X A XA )2(2-?+=，即T T

A X

E A =-)2(

而(

)

????? ??---=-303103212212114112,)2(T

T A

E A ????

??------11111121221211411223r r ????

??------??-?????

??-------96610033211011111131111110304303321102232211

23231r r r r r r r r r r

? ??------?-+9661001298010223

001)1(2322

1r r r r r ∴????? ??-----=9661298223T

X ∴???

??-----=9122692

683X

习题 2-6

1．在n m ?矩阵A 中，若存在一个r 阶子式不等于0，那么A 的秩如何若A 的所有r 阶子式都为0，那么A 的秩又如何

解：若A 中存在r 阶子式不等于0，则A 的秩)(A R ≥r

、

若A 的所有r 阶子式均为0，则A 的秩)(A R ＜r 。

2．在秩为r 的矩阵中，有没有等于0的1-r 阶子式有没有等于0的r 阶子式解：在秩为r 的矩阵中，可能有等于0的1-r 阶子式，也可能有等于0的r 阶子式。

如??

???

??=0000002100010321A ，3)(=A R ，而二阶子式02101≠，00

三阶子式00

2100

21≠，00

00001321=。

3．从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ，问A 与B 的秩的关系怎样解：)()(A R B R =或1)()(-=A R B R

如第二题中的例子，划去第三行得B ，则1)(2)(-==A R B R 。

、

4．求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式：

（1）????? ??---=8241113365A ；（2）????? ??-----=221235131321A ；（3）???

? ??---=44311211201

3A ；

（4）????? ??-------=81507313

1213123A ；（5）???

? ??----=8114324114321

A ；（6）??????? ??--=1541401310211001A ；（7）???

?? ??-----=4146135102163

230502

3A ．解：（1）?

? ??-++????? ??--+????? ??---=28140261305414382411135418241113365131231r r r r r r A

B =????

? ??---+????? ??----00021054

114281402105412332r r r r 由B 知，2)(=A R ，且1

5-为一个最高阶非零子式。

（2）B A =???

? ??------????? ??-----=045000001321222123513132123321r r r r r

由B 知，2)(=A R ，且122

1-为一个最高阶非零子式。

（3） ??

? ??---44311211201

1r r ???

??---44312013121113123r r r r --????

??----564056401211 ???

? ?

----00

05640

123r r B =

由B 知，2)(=A R ，且3

1-为一个最高阶非零子式。

（4）????? ??-------=815073*********A ???

? ??--------10000313

1224431221213r r r r r ????

??------1000079117024431212r r B = 由B 知，3)(=A R ，且8

07312

----为一个最高阶非零子式。

（5）????? ??----=8114324114321A ?

? ??-++-000021104321212213r r r r r B =

由B 知，2)(=A R ，且1

1--为一个最高阶非零子式。

（6）???????

??--=1541401310211001A ??

?-++??????? ??-----450010100000

100

142054010102020100134432141312r r r r r r r r r r B = 5．求λ的值，使矩阵????

? ??=35223

177111044113λA 有最小的秩．解：因020*******

13≠=，所以3)(≥A R ，要使A 的秩最小，须3)(=A R ，即0=A

而

251020

15612

107201564

12001

0433

2317711

10441

42321-------=---------λλλc c c c c c

λλ

255

0500

3533

231-=------r r r r 因此，当0=λ时，0=A ，A 的秩最小。 6．设n 阶矩阵A 满足A A =2

，证明

n R R =-+)()(E A A ．

证明：∵A A =2

，∴0)(=-E A A ，∴n E A R A R ≤-+)()( 又n E R A E A R A E R A R E A R A R ==-+≥-+=-+)()()()()()(

∴n R R =-+)()(E A A

7．设A 是n 阶方阵（1>n ），*A 是A 的伴随矩阵，证明

?????<-===n

R n R n

R n

R )(0

1)(1

)(*)(A A A A 当当当．解：当n A R =)(时0≠A ，∴01

≠=-n A

A ，∴n R =*)A (

当1)(-

=A ，∴0*)A (=R

当1)(-=n A R 时，A 至少有一个1-n 阶子式不为0，即*A 至少有一个非零元素，∴1*)A (≥R

又∵1)(-=n A R ，∴0=A ，∴0*==E A AA ，∴n A R A R ≤+*)()(，而1)(-=n A R ∴1*)A (≤R ，从而1*)A (=R

∴?????<-===n

R n R n

R n R )(0

1)(1)(*)(A A A A 当当当 ?

线性代数第二章答案

第二章矩阵及其运算 1 已知线性变换 ?????++=++=++=3 213321232113235322y y y x y y y x y y y x 求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换解由已知 ? ??? ?????? ? ?=???? ??221321323513122y y y x x x 故 ???? ?????? ? ?=???? ??-3211 221323513122x x x y y y ? ??? ?????? ??----=321423736 947y y y ?????-+=-+=+--=3 21332123 211423736947x x x y x x x y x x x y 2 已知两个线性变换 ?????++=++-=+=321332123 11542322y y y x y y y x y y x ?????+-=+=+-=3 233122 11323z z y z z y z z y 求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换解由已知 ???? ?????? ? ?-=???? ??221321514232102y y y x x x ??? ? ?????? ??--???? ??-=32131 010 2013514232102z z z ??? ? ?????? ??----=321161109412316z z z

所以有?????+--=+-=++-=3 21332123 2111610941236z z z x z z z x z z z x 3 设???? ??--=111111111A ??? ? ??--=150421321B 求3AB 2A 及A T B 解 ??? ? ??---???? ??--???? ??--=-1111111112150421321111111111323A AB ???? ??----=???? ??---???? ??-=2294201722213211111111120926508503 ??? ? ??-=???? ??--???? ??--=092650850150421321111111111B A T 4 计算下列乘积 (1)??? ? ?????? ??-127075321134 解 ???? ?????? ??-127075321134???? ???+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374??? ? ??=49635 (2)???? ??123)321( 解 ??? ? ??123)321((132231)(10)

线性代数第二章矩阵试题及答案

第二章矩阵一、知识点复习 1、矩阵的定义由m?n个数排列成的一个m行n列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个m?n型矩阵。例如 2 -1 0 1 1 1 1 1 0 2 2 5 4 -2 9 3 3 3 -1 8 是一个4?5矩阵. 一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素。元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。两个矩阵A和B相等(记作A=B)，是指它的行数相等，列数也相等(即它们的类型相同)，并且对应的元素都相等。 2、n阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。 n阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线。下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的. 对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵. 单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I). 数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E. 上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵. 下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵. 对称矩阵: 满足A T=A矩阵，也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵. 反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.) 正交矩阵：若AA T=A T A=E，则称矩阵A是正交矩阵。（1）A是正交矩阵?A T=A-1 （2）A是正交矩阵?2A=1 阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足: ①如果它有零行，则都出现在下面。 ②如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增。把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。请注意：一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的，但是其非零行数和台角位置是确定的。 3、矩阵的线形运算（1）加(减)法:两个m?n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m?n矩阵,记作A+B (A-B),运算法则为对应元素相加(减). （2）数乘: 一个m?n的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为m?n的矩阵,记作c A,运算法则为A的每个元素乘c. 这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律: ①加法交换律:A+B=B+A. 2加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C). ③加乘分配律:c(A+B)=c A+c B.(c+d)A=c A+d A. ④数乘结合律: c(d)A=(cd)A. ⑤ c A=0? c=0 或A=0. 4、矩阵乘法的定义和性质（1）当矩阵A的列数和B的行数相等时,则A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.

(完整版)线性代数行列式第一章练习题答案

《线性代数》(工)单元练习题一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A |=5，则|A*|=__125____，|2A |=__80___，|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1．设）（则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ；（B)―12 ；（C ）12 ；（D ）1 2．设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = （ A ）（A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2 3．设A=7 925138 02-，则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4，则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式

国民经济统计概论章节练习题

第一章总论 1.如何正确理解统计的三种涵义？答：统计是指对客观现象的数量方面进行核算和分析的活动，使人们对现象的数量表现、数量关系和数量变化进行描述、分析和推断的一种计量活动。“统计”一词具有三个方面的涵义：即统计活动、统计资料和统计科学。 ⑴.统计活动：即统计工作，是指从事统计业务活动的单位，对政治、经济、文化等方面的数字资料进行搜集、整理、分析的活动。 ⑵.统计资料：即统计所提供的数字和分析资料，是指反映社会政治、经济、文化等方面的统计数字资料。 ⑶.统计科学：即统计学，是指搜集、整理和分析统计数据的方法科学，其目的是探索统计数据的内在数量规律性，以达到对客观事物的科学认识。统计活动、统计资料和统计科学之间存在如下关系：统计活动与统计资料是过程与成果的关系，即：统计活动是取得统计资料的工作过程，而统计资料则是统计活动的成果。统计活动与统计科学是理论与实践的关系，即：统计活动是形成统计科学的实践过程，统计科学是人们长期统计实践工作的经验总结和理论概括。 2.为什么要了解统计学的发展过程？

答：统计学产生于17 世纪中叶，其发展过程是沿着两条主线展开的：一条是以政治算术学派为开端形成和发展起来的以社会经济问题为主要研究对象的社会经济统计；一条是以概率论的研究为开端并以概率论为基础形成和发展起来的以方法和应用研究为主的数理统计。回顾、了解统计科学的渊源及其发展过程，对于我们了解统计学与社会经济统计学的关系，学习统计学的理论和方法，提高我们的统计实践和理论水平都是十分必要的。 3.统计学与其他学科之间的关系如何？答：统计学与其他学科之间的关系主要体现在与哲学的关系、与经济学等实质性科学的关系和与数学、数理统计的关系上。 ⑴.与哲学的关系：辩证唯物主义和历史唯物主义是科学的世界观、方法论，它所阐述的关于实践和认识的辩证关系，关于实践是人类认识的基础、实践是检验真理的唯一标准、矛盾的对立统一观点、质和量的辩证关系、事物普遍联系和相互制约的观点等，对统计发挥认识工具的作用，具有极为重要的指导意义。 ⑵.与经济学等实质性科学的关系：实质性科学的内容和任务在于揭示客观事物发展变化的规律，以指导人们按照客观规律的要求去改造世界，而社会经济统计学的形成和运用不能脱离实质性科学的理论指导。这是因为：其一，这类科学对社会经济现象发展规律的论述和剖析，为统计核算和分析如何入手，如何抓住主要方面描述其数量特征，如何就事物内部及其与其他事物的相互联系、相互制约，进行数

线性代数课后习题答案(陈维新)

第一章行列式习题1.1 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。综上所述，我们有)3(Q 是数域。（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。（反证法）如果)()(q Q p Q ?，则q b a p Q b a +=? ∈?,，从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。所以有0=a 或0=b 。如果0=a ，则2 qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。如果0=b ，则有 a p =，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。所以假设不成立，从而有)()(q Q p Q ?。

线性代数1-2章精选练习题

第一章行列式一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n (C) k n 2 ! (D)k n n 2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1122a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2 n (C) )!2( n (D) )!1( n 4． 001001001001 000( ). (A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 2 5. 0 001100000100100( ). (A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 2 6．在函数10 3 23211112)(x x x x x f 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 2 7. 若2 1 33 32 31 232221 131211 a a a a a a a a a D ，则 32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 8．若 a a a a a 22 2112 11，则 21 11 2212ka a ka a ( ).

(A)ka (B)ka (C)a k 2 (D)a k 2 9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4 , 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2 , 则 x ( ). (A) 0 (B)3 (C) 3 (D) 2 10. 若5 7 3 4 111113263478 D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)0 11. 若2 23 5 1 011110403 D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)0 二、填空题 1. n 2阶排列)12(13)2(24 n n 的逆序数是. 2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是. 3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是 . 4．若一个n 阶行列式中至少有12 n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于 .

线性代数第二章答案

第二章矩阵及其运算 1 已知线性变换 ?????++=++=++=3 21332123 2113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换解由已知 ? ??? ?????? ? ?=???? ??22 1321323513122y y y x x x 故 ???? ?????? ? ?=???? ??-3211 221323513122x x x y y y ? ??? ?????? ??----=321423736 947y y y ?????-+=-+=+--=3 21332123 211423736947x x x y x x x y x x x y 2 已知两个线性变换 ?????++=++-=+=3 2133 2123 11542322y y y x y y y x y y x ?????+-=+=+-=3 233122 11323z z y z z y z z y 求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换解由已知 ???? ?????? ? ?-=???? ??221321514232102y y y x x x ??? ? ?????? ??--???? ??-=32131 010 2013514232102z z z ??? ? ?????? ??----=32 1161109412316z z z

所以有?????+--=+-=++-=3 2133 2123 2111610941236z z z x z z z x z z z x 3 设???? ??--=111111111A ??? ? ??--=150421321B 求3AB 2A 及A T B 解 ??? ? ??---???? ??--???? ??--=-1111111112150421321111111111323A AB ???? ??----=???? ??---???? ??-=2294201722213211111111120926508503 ??? ? ??-=???? ??--???? ??--=092650850150421321111111111B A T 4 计算下列乘积 (1)??? ? ?????? ??-127075321134 解 ???? ?????? ??-127075321134???? ???+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374?? ? ? ??=49635 (2)???? ??123)321( 解 ??? ? ??123)321((132231)(10)

2020知到智慧树线性代数答案中国石油大学

第一章单元测试文章目录[隐藏目录]?第一章单元测试 ?第二章单元测试 ?第三章单元测试 ?第四章单元测试 ?第五章单元测试 1、判断题：二阶行列的乘积项中的元素可以取自同一行. 选项： A:错 B:对答案: 【错】 2、单选题：选项： A:16 B:12 C:-12 D:-16 答案: 【12】 3、单选题：选项： A:n B:2n

C:0 D:4n 答案: 【0 】 4、单选题：选项： A: B: C: D: 答案: 【】 5、判断题：齐次线性方程组的系数行列式等于零，则解是唯一的。选项： A:错

答案: 【错】 6、判断题：线性方程组的系数行列式不等于零，则解可能不唯一。选项： A:对 B:错答案: 【错】 7、判断题：齐次线性方程组的存在非零解，则系数行列式一定等于零。选项： A:对 B:错答案: 【对】 8、判断题：一次对换改变排列的一次奇偶性。选项： A:对 B:错答案: 【对】 9、判断题：两个同阶行列式相加，等于对应位置的元素相加后的行列式。选项：

B:错答案: 【错】 10、判断题：克莱默法则对于齐次线性方程组而言，方程的个数可以不等于未知数的个数。选项： A:错 B:对答案: 【错】第二章单元测试 1、判断题：因为零矩阵的每个元素都为零，所以零矩阵相等。选项： A:错 B:对答案: 【错】 2、判断题：选项： A:错 B:对答案: 【错】

3、单选题：选项： A: B: C: D: 答案: 【】 4、单选题：选项： A:A的伴随矩阵的行列式等于A的行列式的n次方 B:A和A的伴随矩阵的行列式相等 C:A的伴随矩阵的行列式等于A的逆矩阵的行列式 D:A的伴随矩阵的行列式等于A的行列式的n-1次方答案: 【A的伴随矩阵的行列式等于A的行列式的n-1次方】5、判断题：选项： A:对

线性代数第二章习题答案

习题 2-1 1．由6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2、4、5、6而负于选手3；选手2胜选手4、5、6而负于选手1、3；选手3胜选手1、2、4而负于选手5、6；选手4胜选手5、6而负于选手1、2、3；选手5胜选手3、6而负于选手1、2、4；选手6胜选手2而负于选手1、3、4、5．若胜一场得1分，负一场得0分，使用矩阵表示输赢状况，并排序．解： ????? ?? ? ? ? ??000010 100100110000001011 1110001110106543216 54321，选手按胜多负少排序为：6,5,4,3,2,1． 2．设矩阵???? ??-=???? ?? +-=2521 ,03231 z x y x B A ，已知B A =，求z y x ,,．解：由于B A =得?????=-=+=-0253223z x y x ，解得：?? ? ??===211 z y x 。习题 2-2 1．设???? ??=0112A ，??? ? ??-=4021B ，求（1）B A 52-；（2）BA AB -；（3）2 2B A -．解：（1）??? ? ??--=???? ??--???? ??=???? ??--???? ??=-202892001050224402150112252B A ；（2）???? ??--=???? ??--???? ??--=???? ?????? ??--???? ??-???? ??=-2592041021820112402140210112BA AB ；（3）??? ? ??--=???? ??-???? ??=???? ??-???? ??--???? ?????? ??=-152441606112254021402101120112B A 22． 2．已知????? ??--=230412301321A ，??? ? ? ??---=052110 35123 4B ，求B A 23-．解：??? ? ? ??----????? ??--=052110351234223041230 13 21 323B -A ??? ? ? ??----=????? ??----????? ??--=61941016151055011010422061024686901236903963 3．设??? ? ? ??----=????? ??=101012121234,432112 122121B A ，求

线性代数第二单元测试题

线性代数第二单元测试题一．单项选择题(3’×8=24’) 1．若A 、B 为n 阶方阵，则下列结论正确的是（）．（A ）A+B|A|B||||=+；（B ）AB BA =；（C ）AB BA ||||=；（D ）A B A B 111---+=+（）． 2．B A ,均为三阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）．（A ）111)(---=B A AB ；（B ）A A =-；（C ）B A B A B A +-=-22；（D ）A A 22=． 3．B A ,均为三阶矩阵，AB=0，则下列等式成立的是（）．（A ）A=0 （B ）B=0 （C ）A=0 或B=0 （D ）|A|或|B|=0 4、设A 是方阵，若AC AB =，则必有（）（A ）0≠A 时C B =；（B ）C B ≠时0=A ；（C ）C B =时0≠A ；（D ）0≠A 时C B =. 5．设B A ,为n 阶矩阵，**,B A 是伴随矩阵，???? ??=B O O A C ，则=*C （）．（A ） ?? ?? ??**B B O O A A ；（B ） ???? ??**A A O O B B ；（C ） ???? ??**B A O O A B ；（D ） ???? ??**A B O O B A ．

6、设,,A B C 均为n 阶矩阵, 且ABC E =，则必有（）； A ．CA B E = B ．BA C E = C ．CBA E = D ．ACB E = 7、设*A 为n 阶方阵A 的伴随方阵，则下列结论不正确的是（）； A ．**AA A A = B ．*AA A E = C ．1*n A A -= D ．*n A A = 8. 设,A B 均为n 阶矩阵, 且()A B E O -=，则必有（）； A ．A O =或 B E = B ．A BA = C ．0A =或1B = D ．两矩阵A 与B E -中，至少有一个为奇异矩阵二．填空题(2’×13=26’) 1．若???? ??=4321A ，??? ? ??=0110P ，那么=20042003AP P 、 2．B A ,为三阶矩阵，1-=A ，2=B ，则()='-21 2B A 3．已知53)(2+-=x x x f ，??? ? ??=b a A 00，则=)(A f 4．设A 是n 阶矩阵, 满足AA T =E ,且|A|<0,则E A +=____0_____. 5．α是三维列向量，???? ? ??----='111111111αα，则T αα= ． 6、A=101020001?? ? ? ??? ，则 -12A+3E A -9E （）（）= 7、设矩11531A B 3A B A B 1320--????==-== ? ?-????，，则，。 8、设A 为三阶矩阵，且2=A ，则=--1*2A A ，|A*|=______

线性代数第二章矩阵(答案解析)

线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第一节矩阵及其运算一．选择题 1．有矩阵23?A ，32?B ，33?C ，下列运算正确的是 [ B ] （A ）AC （B ）ABC （C ）AB －BC （D ）AC +BC 2．设)2 1 ,0,0,21( =C ，C C E A T -=，C C E B T 2+=，则=AB [ B ] （A ）C C E T + （B ）E （C ）E - （D ）0 3．设A 为任意n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是 [ B ] （A ）T A A + （B ）T A A - （C ）T AA （D ）A A T 二、填空题： 1．? ?? ? ??---=???? ??--+???? ??-1212561432102824461 2．设????? ??=432112122121A ，????? ??----=101012121234B ，则=+B A 32??? ?? ??--56125252781314 3．=????? ??????? ??-127075321134???? ? ??49635 4．=????? ? ? ??---???? ??-20413121013 143110412???? ? ?---6520876 三、计算题：设???? ? ? ?--=11 1111 111 A ，4

??? ? ? ??--=150421321B ，求A AB 23-及B A T ;2294201722213 2222222222092650850311111111 1215042 132111111111 1323???? ? ??----=???? ? ? ?---????? ??-=?? ??? ??---????? ? ?--????? ??--=-A AB .09265085015042132111111111 1???? ? ??-=????? ??--????? ??--===AB B A A A A T T ，则对称，由线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第二节逆矩阵一．选择题 1．设* A 是n 阶矩阵A 的伴随矩阵，则 [ B ] （A ）1 -* =A A A （B ）1 -* =n A A （C ）* * =A A n λλ)( （D ）0)(=* *A 2．设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，则 [ C ] （A ）A +B 是n 阶可逆矩阵（B ）A +B 是n 阶不可逆矩阵（C ）AB 是n 阶可逆矩阵（D ）|A +B | = |A |+|B | 3．设A 是n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是 [ C ] （A ） A A λλ= （ B ）A A λλ= （ C ）A A n λλ= （ D ）A A n λλ= 4．设A ，B ，C 是n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有 [ B ] （A ）CBA = E （B ）BCA = E （C ）BAC = E （D ）ACB = E 5．设n 阶矩阵A ，B ，C ，满足ABAC = E ，则 [ A ]

线性代数第二章习题部分答案

第二章向量组的线性相关性 §2-1 §2-2 维向量，线性相关与线性无关（一）一、填空题 1. 设3 α1α +2 α2+α =5 α3+α , 其中α1=(2,5,1,3)T, α2=(10,1,5,10)T, α3=(4,1,1,1)T, 则α= (1,2,3,4)T . 2. 设α1=(1,1,1)T, α2=(2,1,1)T,α3=(0,2,4)T, 则线性组合α13α2+α3= (5,0,2)T . 3. 设矩阵A= 5 ，设βi为矩阵A的第i个列向量，则2β1+β2β3= (2,8,2)T . 二、试确定下列向量组的线性相关性

1. α1=(2,1,0)T, α2=(1,2,1)T, α3=(1,1,1)T 解：设k1α1+k2α2+k3α3=0, 则k1 210 +k2 121 +k3 111 = 000 即2k1+k2+k3=0k1+2k2+k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=03k2k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=0k2+k3=0k3=0 k1=k2=k3=0，线性无关。 2. α1=(1,1,2)T, α2=(0,0,0)T, α3=(1,4,3)T 线性相关

三、设有向量组α1=(1,1,0)T, α2=(1,3,1)T, α3=(5,3,t)T，问t取何值时该向量组线性相关。解：设k1α1+k2α2+k3α3=0, 则k1 110 +k2 131 +k3 53t =0 即k1+k2+5k3=0k1+3k23k3=0k2+tk3=0 k1+k2+5k3=0k24k3=0k2+tk3=0 k1+k2+5k3=0k1+3k23k3=0(t4)k3=0 所以，t=4, 线性相关; t≠4, 线性无关四、设a1,a2线性无关，a1+b,a2+b线性相关，求向量b用a1,a2线性表示的表示式。解：因为a1+b,a2+b线性相关，所以存在不全为零的k1，k2，使得k1(a1+b)+k2(a2+b)=0, 即(k1+k2)b=k1a1k2a2.又因为a1,a2线性无关，所以k1+k2≠0，于是，b=k1k1+k2a1k2k1+k2a2. 五、已知向量组α1,α2,,α2n，令β1=α1+α2,β2=α2+α3,,β2n=α2n+α1，求证向量组β1,β2,,β2n线性相关。

线性代数课后习题答案 1.3

习题1.3 1. 设11 1213 21 22233132330a a a D a a a a a a a ==≠, 据此计算下列行列式(要求写出计算过程): (1) 31 3233 21 2223111231a a a a a a a a a ; (2) 11 1312 1221232222313332 32 235235235a a a a a a a a a a a a ---. 分析利用行列式得性质找出所求行列式与已知行列式的关系. 解 (1) 31 323321 222311 12 31 a a a a a a a a a 13 R 111213 21 222331 3233 a a a a a a a a a -=a -. (4) 方法一 11 13121221 23222231 333232 235235235a a a a a a a a a a a a ---23 5C C +111312212322313332 232323a a a a a a a a a 提取公因子 11 13122123223133 32 6a a a a a a a a a 23 C 111213 21 222331 32 33 6a a a a a a a a a -=6a -. 方法二注意到该行列式的第二列均为2个数的和, 可用行列式的性质5将该行列式分成2个行求和, 结果与方法一相同. 2. 用行列式性质计算下列行列式(要求写出计算过程): (1) 19981999 20002001 20022003200420052006; (2) 1 11 a b c b c a c a b +++; (3) 11121321 22233132 33 x y x y x y x y x y x y x y x y x y ; (4) 10 010220 033040 04 --; (5) 111112341410204004; (6) 111011 01101101 11 ; (7) 2 11 4 1 120110299 ---; (8) 222222a b c a a b b c a b c c c a b ------. 分析第(1)至第(4)小题可利用行列式性质求解; 第(5)至第(9)小题是采用归结化简为上 (下)三角行列式求解.

线性代数-第三单元测试

一、判断题 10’ 1. 可逆矩阵A 总可以只经若干次初等行变换化为单位矩阵E 。（） 2. 若A 可逆，则对矩阵)(E A 施行若干次初等行变换和初等列变换，当A 变为E 时，相应地E 变为1 -A ，故求得A 的逆矩阵。（） 3. 对于矩阵A ，总可以只经过初等行变换把它化为标准形。（） 4. 若A ，B 都是n 阶可逆矩阵，则A 总可以经过初等行变换化为B 。（） 5. 设矩阵A 的秩为r ，则A 中所有1-r 阶子式必不是零。（） 6. 若A ，B 均为n 阶非零方阵且O AB =, 则A 的秩n A R <)(。（） 7 从矩阵n m A ?（1>n ）中划去一列得到矩阵B ，则)()(B R A R >。 ( ) 8. 设B A ,均为n m ?矩阵，若)()(B R A R =，则A 与B 必有相同的标准形。（） 9. 在秩为r 的矩阵A 中，有可能存在值为零的r 阶子式。（） 10.设A 为n m ?矩阵，若AY AX =，且n A R =)(，则Y X =。（）二、单项选择题30’ 1. 设A ? ??? ??=333231 232221 131211 a a a a a a a a a ，B =????? ??---=323332 31 12131221222322 11222a a a a a a a a a a a a , 1P ????? ??=100001010,2P ???? ? ??=100210001, 则B =（） (A) A P P 21 (B) 1211--AP P (C) 21P AP (D) 1 112--AP P 。 2. 若矩阵,,A B C 满足=A BC ，则（）. (A)()()R R =A B (B) ()()R R =A C (C)()()R R ≤A B (D)()max{(),()}R R R ≥A B C 3. 设A 为3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得矩阵B ，再把B 的第2列加到第3列得矩阵C ，则满足C AQ =的可逆矩阵Q 为（） (A) ????? ??101001010 (B) ????? ??100101010 (C) ????? ??110001010 (D) ???? ? ??100001110 4. 下列矩阵中不是初等矩阵的矩阵是（）

线性代数知识点总结第二章doc资料

线性代数知识点总结第二章矩阵及其运算第一节矩阵定义由m n ?个数() 1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==L L 排成的m 行n 列的数表 11 12 1212221 2n n m m mn a a a a a a a a a L L M M M L 称为m 行n 列矩阵。简称m n ?矩阵，记作111212122 211 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? L L L L L L L ，简记为() ()m n ij ij m n A A a a ??===，,m n A ?这个数称为的元素简称为元。说明元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。扩展几种特殊的矩阵：方阵：行数与列数都等于n 的矩阵A 。记作：A n 。行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同）对角阵：不在主对角线上的元素都是零。单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引起混淆时，也可表示为E )（课本P29—P31）注意矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。第二节矩阵的运算矩阵的加法设有两个m n ?矩阵() () ij ij A a B b ==和，那么矩阵A 与B 的和记作A B +，规定为111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++?? ? +++ ? += ? ? +++?? L L L L L L L 说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（课本P33）矩阵加法的运算规律 ()1A B B A +=+； ()()()2A B C A B C ++=++

线性代数第二章矩阵练习题

第二章一、选择题 1、计算13230102-???? +? ??? ???? 的值为(C) A 、-5 B 、6 C 、3003?????? D 、2902-?? ???? 2、设,A B 都就是n 阶可逆矩阵,且AB BA =,则下列结论中不正确的就是(D) A. 11AB B A --= B 、 11A B BA --= C 、 1111A B B A ----= D 、11B A A B --= 3、初等矩阵(A) A. 都就是可逆阵 B 、所对应的行列式值等于1 C 、相乘仍就是初等阵 D 、相加仍就是初等阵 4、已知,A B 均为n 阶矩阵,满足0AB =,若()2r A n =-,则(C) A. ()2r B = B 、()2r B < C 、 ()2r B ≤ D 、()1r B ≥ 二、判断题 1、若,,A B C 都就是n 阶矩阵,则()k k k k ABC A B C =、 (×) 2、若,A B 就是n 阶反对称方阵,则kA 与A B +仍就是反对称方阵、(√) 3、矩阵324113A ??=? ???与矩阵2213B ?? =?? ?? 可进行乘法运算、 (√) 4、若n 阶方阵A 经若干次初等变换后变成B ,则A B =、 (×) 三、填空题 1、已知[]456A =,123B ?? ??=?????? ,求AB 得_________ 。 2、已知1 2n a a A a ???? ??= ? ???? ? O (0,1,2,,i a i n ≠=K ),则1A -= (32) 12 11 1n a a a ????????????????????? ? O 12n +

自考04184线性代数(经管类)讲解第二章矩阵

第二章矩阵 2.1矩阵的概念定义2.1.1由m×n个数a ij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）排成一个m行n列的数表用大小括号表示称为一个m行n列矩阵。矩阵的含义是：这m×n个数排成一个矩形阵列。其中a ij称为矩阵的第i行第j列元素（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n），而i 称为行标，j称为列标。第i行与第j列的变叉位置记为（i，j）。通常用大写字母A，B，C等表示矩阵。有时为了标明矩阵的行数m和列数n，也可记为 A=（a ij）m×n或（a ij）m×n或A m×n

当m=n时，称A=（a ij）n×n为n阶矩阵，或者称为n阶方阵。n阶方阵是由n2个数排成一个正方形表，它不是一个数（行列式是一个数），它与n阶行列式是两个完全不同的概念。只有一阶方阵才是一个数。一个n阶方阵A中从左上角到右下角的这条对角线称为A的主对角线。n阶方阵的主对角线上的元素a11，a22，…，a nn，称为此方阵的对角元。在本课程中，对于不是方阵的矩阵，我们不定义对角元。元素全为零的矩阵称为零矩阵。用O m×n或者O（大写字）表示。特别，当m=1时，称α=（a1，a2，…，a n）为n维行向量。它是1×n矩阵。当n=1时，称为m维列向量。它是m×1矩阵。向量是特殊的矩阵，而且它们是非常重要的特殊矩阵。例如，（a，b，c）是3维行向量，

是3维列向量。几种常用的特殊矩阵： 1.n阶对角矩阵形如或简写为（那不是A，念“尖”）的矩阵，称为对角矩阵，例如，是一个三阶对角矩阵，也可简写为。 2.数量矩阵当对角矩阵的主对角线上的元n阶数量矩阵

线性代数第二章矩阵(答案)

线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第一节矩阵及其运算一．选择题 1．有矩阵23?A ，32?B ，33?C ，下列运算正确的是 [ B ] （A ）AC （B ）ABC （C ）AB －BC （D ）AC +BC 2．设)2 1 ,0,0,21( =C ，C C E A T -=，C C E B T 2+=，则=AB [ B ] （A ）C C E T + （B ）E （C ）E - （D ）0 3．设A 为任意n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是 [ B ] （A ）T A A + （ B ）T A A - （C ）T AA （D ）A A T 二、填空题： 1．? ?? ? ??---=???? ??--+???? ??-1212561432102824461 2．设????? ??=432112122121A ，????? ??----=101012121234B ，则=+B A 32??? ?? ??--56125252781314 3．=????? ??????? ??-127075321134???? ? ??49635 4．=????? ? ? ??---???? ??-20413121013 143110412???? ? ?---6520876 三、计算题：设???? ? ? ?--=11 1111 111 A ，4

??? ? ? ??--=150421321B ，求A AB 23-及B A T ;229 42017222132222222222092650850311111111 1215042 132111111111 1323???? ? ? ?----=???? ? ? ?---????? ??-=?? ??? ??---????? ? ?--????? ??--=-A AB .09265085015042132111111111 1???? ? ??-=????? ??--????? ??--===AB B A A A A T T ，则对称，由线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第二节逆矩阵一．选择题 1．设* A 是n 阶矩阵A 的伴随矩阵，则 [ B ] （A ）1 -* =A A A （B ）1 -* =n A A （C ）**=A A n λλ)( （D ）0)(=* *A 2．设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，则 [ C ] （A ）A +B 是n 阶可逆矩阵（B ）A +B 是n 阶不可逆矩阵（C ）AB 是n 阶可逆矩阵（D ）|A +B | = |A |+|B | 3．设A 是n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是 [ C ] （A ） A A λλ= （ B ）A A λλ= （ C ）A A n λλ= （ D ）A A n λλ= 4．设A ，B ，C 是n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有 [ B ] （A ）CBA = E （B ）BCA = E （C ）BAC = E （D ）ACB = E 5．设n 阶矩阵A ，B ，C ，满足ABAC = E ，则 [ A ]